Theorem divap1d 9071

Description: If two complex numbers are apart, their quotient is apart from one. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divclapd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 # 0)
divap1d.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
divap1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) # 1)

Proof of Theorem divap1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divap1d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝐵)
2		divcld.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		divcld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		divclapd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 # 0)
5	3, 4	recclapd 9051	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
6	3, 4	recap0d 9052	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐵) # 0)
7		apmul1 9058	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ((1 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝐵) # 0)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · (1 / 𝐵)) # (𝐵 · (1 / 𝐵))))
8	2, 3, 5, 6, 7	syl112anc 1278	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · (1 / 𝐵)) # (𝐵 · (1 / 𝐵))))
9	1, 8	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (1 / 𝐵)) # (𝐵 · (1 / 𝐵)))
10	2, 3, 4	divrecapd 9063	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
11	10	eqcomd 2238	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (1 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵))
12	3, 4	recidapd 9053	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (1 / 𝐵)) = 1)
13	9, 11, 12	3brtr3d 4139	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) # 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4108  (class class class)co 6049  ℂcc 8121  0cc0 8123  1c1 8124   · cmul 8128   # cap 8851   / cdiv 8942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-div 8943

This theorem is referenced by: (None)