Theorem divap1d 9140

Description: If two complex numbers are apart, their quotient is apart from one. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divclapd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 # 0)
divap1d.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
divap1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) # 1)

Proof of Theorem divap1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divap1d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝐵)
2		divcld.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		divcld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		divclapd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 # 0)
5	3, 4	recclapd 9120	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
6	3, 4	recap0d 9121	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐵) # 0)
7		apmul1 9127	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ((1 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝐵) # 0)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · (1 / 𝐵)) # (𝐵 · (1 / 𝐵))))
8	2, 3, 5, 6, 7	syl112anc 1282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · (1 / 𝐵)) # (𝐵 · (1 / 𝐵))))
9	1, 8	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (1 / 𝐵)) # (𝐵 · (1 / 𝐵)))
10	2, 3, 4	divrecapd 9132	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
11	10	eqcomd 2244	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (1 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵))
12	3, 4	recidapd 9122	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (1 / 𝐵)) = 1)
13	9, 11, 12	3brtr3d 4162	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) # 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  ℂcc 8184  0cc0 8186  1c1 8187   · cmul 8191   # cap 8918   / cdiv 9011

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012

This theorem is used by: (None)