ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divap1d GIF version

Theorem divap1d 8761
Description: If two complex numbers are apart, their quotient is apart from one. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
divcld.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
divcld.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
divclapd.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)
divap1d.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด # ๐ต)
Assertion
Ref Expression
divap1d (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ต) # 1)

Proof of Theorem divap1d
StepHypRef Expression
1 divap1d.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด # ๐ต)
2 divcld.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 divcld.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 divclapd.3 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)
53, 4recclapd 8741 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐ต) โˆˆ โ„‚)
63, 4recap0d 8742 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐ต) # 0)
7 apmul1 8748 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ((1 / ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / ๐ต) # 0)) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” (๐ด ยท (1 / ๐ต)) # (๐ต ยท (1 / ๐ต))))
82, 3, 5, 6, 7syl112anc 1242 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” (๐ด ยท (1 / ๐ต)) # (๐ต ยท (1 / ๐ต))))
91, 8mpbid 147 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (1 / ๐ต)) # (๐ต ยท (1 / ๐ต)))
102, 3, 4divrecapd 8753 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ต) = (๐ด ยท (1 / ๐ต)))
1110eqcomd 2183 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (1 / ๐ต)) = (๐ด / ๐ต))
123, 4recidapd 8743 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท (1 / ๐ต)) = 1)
139, 11, 123brtr3d 4036 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ต) # 1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 105   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878  โ„‚cc 7812  0cc0 7814  1c1 7815   ยท cmul 7819   # cap 8541   / cdiv 8632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator