Theorem divap1d 8365

Description: If two complex numbers are apart, their quotient is apart from one. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divclapd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 # 0)
divap1d.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
divap1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) # 1)

Proof of Theorem divap1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divap1d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝐵)
2		divcld.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		divcld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		divclapd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 # 0)
5	3, 4	recclapd 8345	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
6	3, 4	recap0d 8346	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐵) # 0)
7		apmul1 8352	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ((1 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝐵) # 0)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · (1 / 𝐵)) # (𝐵 · (1 / 𝐵))))
8	2, 3, 5, 6, 7	syl112anc 1185	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · (1 / 𝐵)) # (𝐵 · (1 / 𝐵))))
9	1, 8	mpbid 146	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (1 / 𝐵)) # (𝐵 · (1 / 𝐵)))
10	2, 3, 4	divrecapd 8357	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
11	10	eqcomd 2100	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (1 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵))
12	3, 4	recidapd 8347	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (1 / 𝐵)) = 1)
13	9, 11, 12	3brtr3d 3896	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) # 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∈ wcel 1445   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690  ℂcc 7445  0cc0 7447  1c1 7448   · cmul 7452   # cap 8155   / cdiv 8236

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237

This theorem is referenced by: (None)