Theorem divap1d 8981

Description: If two complex numbers are apart, their quotient is apart from one. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divclapd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 # 0)
divap1d.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
divap1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) # 1)

Proof of Theorem divap1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divap1d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝐵)
2		divcld.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		divcld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		divclapd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 # 0)
5	3, 4	recclapd 8961	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
6	3, 4	recap0d 8962	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐵) # 0)
7		apmul1 8968	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ((1 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝐵) # 0)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · (1 / 𝐵)) # (𝐵 · (1 / 𝐵))))
8	2, 3, 5, 6, 7	syl112anc 1277	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · (1 / 𝐵)) # (𝐵 · (1 / 𝐵))))
9	1, 8	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (1 / 𝐵)) # (𝐵 · (1 / 𝐵)))
10	2, 3, 4	divrecapd 8973	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
11	10	eqcomd 2237	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (1 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵))
12	3, 4	recidapd 8963	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (1 / 𝐵)) = 1)
13	9, 11, 12	3brtr3d 4119	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) # 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  0cc0 8032  1c1 8033   · cmul 8037   # cap 8761   / cdiv 8852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853

This theorem is referenced by: (None)