Theorem divrecapd 8896

Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcld.1	|- ( ph -> A e. CC )
divcld.2	|- ( ph -> B e. CC )
divclapd.3	|- ( ph -> B # 0 )

Assertion

Ref	Expression
divrecapd	|- ( ph -> ( A / B ) = ( A x. ( 1 / B ) ) )

Proof of Theorem divrecapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		divcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		divclapd.3	. 2 |- ( ph -> B # 0 )
4		divrecap 8791	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( A / B ) = ( A x. ( 1 / B ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1250	1 |- ( ph -> ( A / B ) = ( A x. ( 1 / B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177   class class class wbr 4054  (class class class)co 5962   CCcc 7953   0cc0 7955   1c1 7956   x. cmul 7960   # cap 8684   / cdiv 8775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-mulrcl 8054  ax-addcom 8055  ax-mulcom 8056  ax-addass 8057  ax-mulass 8058  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-1rid 8062  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-precex 8065  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-apti 8070  ax-pre-ltadd 8071  ax-pre-mulgt0 8072  ax-pre-mulext 8073

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-br 4055  df-opab 4117  df-id 4353  df-po 4356  df-iso 4357  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-reap 8678  df-ap 8685  df-div 8776

This theorem is referenced by:  divap1d  8904  prodgt0gt0  8954  ltdiv1  8971  ltrec  8986  ltdiv2  8990  lediv2  8994  lediv12a  8997  qapne  9790  qdivcl  9794  expsubap  10764  expdivap  10767  resqrexlemnm  11414  isumdivapc  11824  fsumdivapc  11846  trirecip  11897  geo2sum  11910  geo2lim  11912  0.999...  11917  prodfdivap  11943  fproddivap  12026  ege2le3  12067  efsub  12077  eftlub  12086  eirraplem  12173  sqrt2irrap  12587  cdivcncfap  15161  divcncfap  15171  rpcxpsub  15465  rpdivcxp  15468  rprelogbdiv  15514