ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfz1eq GIF version

Theorem elfz1eq 9755
Description: Membership in a finite set of sequential integers containing one integer. (Contributed by NM, 19-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz1eq (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾 = 𝑁)

Proof of Theorem elfz1eq
StepHypRef Expression
1 elfzle2 9748 . 2 (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾𝑁)
2 elfzle1 9747 . 2 (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝑁𝐾)
3 elfzelz 9746 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
4 elfzel2 9744 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
5 zre 9009 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
6 zre 9009 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
7 letri3 7809 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 = 𝑁 ↔ (𝐾𝑁𝑁𝐾)))
85, 6, 7syl2an 285 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 = 𝑁 ↔ (𝐾𝑁𝑁𝐾)))
93, 4, 8syl2anc 406 . 2 (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → (𝐾 = 𝑁 ↔ (𝐾𝑁𝑁𝐾)))
101, 2, 9mpbir2and 911 1 (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾 = 𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1314  wcel 1463   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740  cr 7583  cle 7765  cz 9005  ...cfz 9730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-apti 7699
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-neg 7900  df-z 9006  df-uz 9276  df-fz 9731
This theorem is referenced by:  fzsn  9786  fz1sbc  9816  fzm1  9820  fz01or  9831  bccl  10453  sumsnf  11118  prmind2  11697  3prm  11705
  Copyright terms: Public domain W3C validator