ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfz1eq GIF version

Theorem elfz1eq 9449
Description: Membership in a finite set of sequential integers containing one integer. (Contributed by NM, 19-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz1eq (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾 = 𝑁)

Proof of Theorem elfz1eq
StepHypRef Expression
1 elfzle2 9442 . 2 (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾𝑁)
2 elfzle1 9441 . 2 (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝑁𝐾)
3 elfzelz 9440 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
4 elfzel2 9438 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
5 zre 8754 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
6 zre 8754 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
7 letri3 7566 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 = 𝑁 ↔ (𝐾𝑁𝑁𝐾)))
85, 6, 7syl2an 283 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 = 𝑁 ↔ (𝐾𝑁𝑁𝐾)))
93, 4, 8syl2anc 403 . 2 (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → (𝐾 = 𝑁 ↔ (𝐾𝑁𝑁𝐾)))
101, 2, 9mpbir2and 890 1 (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾 = 𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1289  wcel 1438   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652  cr 7349  cle 7523  cz 8750  ...cfz 9424
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-apti 7460
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-neg 7656  df-z 8751  df-uz 9020  df-fz 9425
This theorem is referenced by:  fzsn  9480  fz1sbc  9510  fzm1  9514  fz01or  9525  bccl  10175  sumsnf  10803  prmind2  11380  3prm  11388
  Copyright terms: Public domain W3C validator