Theorem elfz1eq 10394

Description: Membership in a finite set of sequential integers containing one integer. (Contributed by NM, 19-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfz1eq	⊢ (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾 = 𝑁)

Proof of Theorem elfz1eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle2 10387	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
2		elfzle1 10386	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝑁 ≤ 𝐾)
3		elfzelz 10383	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
4		elfzel2 10381	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		zre 9603	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
6		zre 9603	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
7		letri3 8372	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 = 𝑁 ↔ (𝐾 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐾)))
8	5, 6, 7	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 = 𝑁 ↔ (𝐾 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐾)))
9	3, 4, 8	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → (𝐾 = 𝑁 ↔ (𝐾 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐾)))
10	1, 2, 9	mpbir2and 953	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾 = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4115  (class class class)co 6060  ℝcr 8144   ≤ cle 8327  ℤcz 9599  ...cfz 10366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-apti 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-fv 5367  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-neg 8466  df-z 9600  df-uz 9877  df-fz 10367

This theorem is referenced by:  fzsn  10426  fz1sbc  10457  fzm1  10461  fz01or  10472  bccl  11159  hashfibc  11237  swrdccatin1  11447  sumsnf  12126  prmind2  12848  3prm  12856  ply1termlem  15738  2sqlem10  16130