Theorem 3prm 12780

Description: 3 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
3prm	|- 3 e. Prime

Proof of Theorem 3prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 9569	. . 3 |- 3 e. ZZ
2		1lt3 9374	. . 3 |- 1 < 3
3		eluz2b1 9896	. . 3 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 3 e. ZZ /\ 1 < 3 ) )
4	1, 2, 3	mpbir2an 951	. 2 |- 3 e. ( ZZ>= ` 2 )
5		elfz1eq 10332	. . . . 5 |- ( z e. ( 2 ... 2 ) -> z = 2 )
6		2z 9568	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
7		iddvds 12445	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. ZZ -> 2 || 2 )
8		2nn 9364	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
9		1lt2 9372	. . . . . . . . 9 |- 1 < 2
10		ndvdsp1 12573	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 e. NN /\ 1 < 2 ) -> ( 2 || 2 -> -. 2 || ( 2 + 1 ) ) )
11	6, 8, 9, 10	mp3an 1374	. . . . . . . 8 |- ( 2 || 2 -> -. 2 || ( 2 + 1 ) )
12	6, 7, 11	mp2b 8	. . . . . . 7 |- -. 2 || ( 2 + 1 )
13		df-3 9262	. . . . . . . 8 |- 3 = ( 2 + 1 )
14	13	breq2i 4101	. . . . . . 7 |- ( 2 || 3 <-> 2 || ( 2 + 1 ) )
15	12, 14	mtbir 678	. . . . . 6 |- -. 2 || 3
16		breq1 4096	. . . . . 6 |- ( z = 2 -> ( z || 3 <-> 2 || 3 ) )
17	15, 16	mtbiri 682	. . . . 5 |- ( z = 2 -> -. z || 3 )
18	5, 17	syl 14	. . . 4 |- ( z e. ( 2 ... 2 ) -> -. z || 3 )
19		3m1e2 9322	. . . . 5 |- ( 3 - 1 ) = 2
20	19	oveq2i 6039	. . . 4 |- ( 2 ... ( 3 - 1 ) ) = ( 2 ... 2 )
21	18, 20	eleq2s 2326	. . 3 |- ( z e. ( 2 ... ( 3 - 1 ) ) -> -. z || 3 )
22	21	rgen 2586	. 2 |- A. z e. ( 2 ... ( 3 - 1 ) ) -. z || 3
23		isprm3 12770	. 2 |- ( 3 e. Prime <-> ( 3 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. ( 2 ... ( 3 - 1 ) ) -. z || 3 ) )
24	4, 22, 23	mpbir2an 951	1 |- 3 e. Prime

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   1c1 8093   + caddc 8095   < clt 8273   - cmin 8409   NNcn 9202   2c2 9253   3c3 9254   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816   ...cfz 10305   || cdvds 12428   Primecprime 12759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-en 6953  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-fz 10306  df-fl 10593  df-mod 10648  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-dvds 12429  df-prm 12760

This theorem is referenced by:  3lcm2e6  12812  2logb9irr  15782  2logb3irr  15784  2logb9irrap  15788