ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  3prm Unicode version

Theorem 3prm 11716
Description: 3 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
3prm  |-  3  e.  Prime

Proof of Theorem 3prm
StepHypRef Expression
1 3z 9037 . . 3  |-  3  e.  ZZ
2 1lt3 8845 . . 3  |-  1  <  3
3 eluz2b1 9347 . . 3  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 3  e.  ZZ  /\  1  <  3 ) )
41, 2, 3mpbir2an 909 . 2  |-  3  e.  ( ZZ>= `  2 )
5 elfz1eq 9766 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( 2 ... 2 )  ->  z  =  2 )
6 2z 9036 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
7 iddvds 11413 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  2 )
8 2nn 8835 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
9 1lt2 8843 . . . . . . . . 9  |-  1  <  2
10 ndvdsp1 11536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  e.  NN  /\  1  <  2 )  ->  (
2  ||  2  ->  -.  2  ||  ( 2  +  1 ) ) )
116, 8, 9, 10mp3an 1298 . . . . . . . 8  |-  ( 2 
||  2  ->  -.  2  ||  ( 2  +  1 ) )
126, 7, 11mp2b 8 . . . . . . 7  |-  -.  2  ||  ( 2  +  1 )
13 df-3 8740 . . . . . . . 8  |-  3  =  ( 2  +  1 )
1413breq2i 3905 . . . . . . 7  |-  ( 2 
||  3  <->  2  ||  ( 2  +  1 ) )
1512, 14mtbir 643 . . . . . 6  |-  -.  2  ||  3
16 breq1 3900 . . . . . 6  |-  ( z  =  2  ->  (
z  ||  3  <->  2  ||  3 ) )
1715, 16mtbiri 647 . . . . 5  |-  ( z  =  2  ->  -.  z  ||  3 )
185, 17syl 14 . . . 4  |-  ( z  e.  ( 2 ... 2 )  ->  -.  z  ||  3 )
19 3m1e2 8800 . . . . 5  |-  ( 3  -  1 )  =  2
2019oveq2i 5751 . . . 4  |-  ( 2 ... ( 3  -  1 ) )  =  ( 2 ... 2
)
2118, 20eleq2s 2210 . . 3  |-  ( z  e.  ( 2 ... ( 3  -  1 ) )  ->  -.  z  ||  3 )
2221rgen 2460 . 2  |-  A. z  e.  ( 2 ... (
3  -  1 ) )  -.  z  ||  3
23 isprm3 11706 . 2  |-  ( 3  e.  Prime  <->  ( 3  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  ( 2 ... ( 3  -  1 ) )  -.  z  ||  3
) )
244, 22, 23mpbir2an 909 1  |-  3  e.  Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391   class class class wbr 3897   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   1c1 7585    + caddc 7587    < clt 7764    - cmin 7897   NNcn 8680   2c2 8731   3c3 8732   ZZcz 9008   ZZ>=cuz 9278   ...cfz 9741    || cdvds 11400   Primecprime 11695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 799  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-1o 6279  df-2o 6280  df-er 6395  df-en 6601  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-2 8739  df-3 8740  df-4 8741  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-q 9364  df-rp 9394  df-fz 9742  df-fl 9994  df-mod 10047  df-seqfrec 10170  df-exp 10244  df-cj 10565  df-re 10566  df-im 10567  df-rsqrt 10721  df-abs 10722  df-dvds 11401  df-prm 11696
This theorem is referenced by:  3lcm2e6  11745
  Copyright terms: Public domain W3C validator