Theorem 3prm 12483

Description: 3 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
3prm	|- 3 e. Prime

Proof of Theorem 3prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 9403	. . 3 |- 3 e. ZZ
2		1lt3 9210	. . 3 |- 1 < 3
3		eluz2b1 9724	. . 3 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 3 e. ZZ /\ 1 < 3 ) )
4	1, 2, 3	mpbir2an 945	. 2 |- 3 e. ( ZZ>= ` 2 )
5		elfz1eq 10159	. . . . 5 |- ( z e. ( 2 ... 2 ) -> z = 2 )
6		2z 9402	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
7		iddvds 12148	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. ZZ -> 2 || 2 )
8		2nn 9200	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
9		1lt2 9208	. . . . . . . . 9 |- 1 < 2
10		ndvdsp1 12276	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 e. NN /\ 1 < 2 ) -> ( 2 || 2 -> -. 2 || ( 2 + 1 ) ) )
11	6, 8, 9, 10	mp3an 1350	. . . . . . . 8 |- ( 2 || 2 -> -. 2 || ( 2 + 1 ) )
12	6, 7, 11	mp2b 8	. . . . . . 7 |- -. 2 || ( 2 + 1 )
13		df-3 9098	. . . . . . . 8 |- 3 = ( 2 + 1 )
14	13	breq2i 4053	. . . . . . 7 |- ( 2 || 3 <-> 2 || ( 2 + 1 ) )
15	12, 14	mtbir 673	. . . . . 6 |- -. 2 || 3
16		breq1 4048	. . . . . 6 |- ( z = 2 -> ( z || 3 <-> 2 || 3 ) )
17	15, 16	mtbiri 677	. . . . 5 |- ( z = 2 -> -. z || 3 )
18	5, 17	syl 14	. . . 4 |- ( z e. ( 2 ... 2 ) -> -. z || 3 )
19		3m1e2 9158	. . . . 5 |- ( 3 - 1 ) = 2
20	19	oveq2i 5957	. . . 4 |- ( 2 ... ( 3 - 1 ) ) = ( 2 ... 2 )
21	18, 20	eleq2s 2300	. . 3 |- ( z e. ( 2 ... ( 3 - 1 ) ) -> -. z || 3 )
22	21	rgen 2559	. 2 |- A. z e. ( 2 ... ( 3 - 1 ) ) -. z || 3
23		isprm3 12473	. 2 |- ( 3 e. Prime <-> ( 3 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. ( 2 ... ( 3 - 1 ) ) -. z || 3 ) )
24	4, 22, 23	mpbir2an 945	1 |- 3 e. Prime

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   class class class wbr 4045   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   1c1 7928   + caddc 7930   < clt 8109   - cmin 8245   NNcn 9038   2c2 9089   3c3 9090   ZZcz 9374   ZZ>=cuz 9650   ...cfz 10132   || cdvds 12131   Primecprime 12462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045  ax-arch 8046  ax-caucvg 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-frec 6479  df-1o 6504  df-2o 6505  df-er 6622  df-en 6830  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-q 9743  df-rp 9778  df-fz 10133  df-fl 10415  df-mod 10470  df-seqfrec 10595  df-exp 10686  df-cj 11186  df-re 11187  df-im 11188  df-rsqrt 11342  df-abs 11343  df-dvds 12132  df-prm 12463

This theorem is referenced by:  3lcm2e6  12515  2logb9irr  15476  2logb3irr  15478  2logb9irrap  15482