Theorem elfzel1 9980

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the lower bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel1	|- ( K e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )

Proof of Theorem elfzel1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 9977	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzel2 9492	. 2 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2141   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   ...cfz 9965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-neg 8093  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966

This theorem is referenced by:  fzdisj  10008  fzrev2i  10042  fzrev3  10043  uznfz  10059  elfzmlbm  10087  fzoval  10104  iseqf1olemqcl  10442  iseqf1olemab  10445  iseqf1olemqf1o  10449  iseqf1olemqk  10450  iseqf1olemjpcl  10451  iseqf1olemqpcl  10452  iseqf1olemfvp  10453  seq3f1olemqsumkj  10454  seq3f1olemqsumk  10455  seq3f1olemqsum  10456  seq3f1olemstep  10457  bcp1nk  10696