Theorem elfzel1 10021

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the lower bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel1	|- ( K e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )

Proof of Theorem elfzel1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10018	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzel2 9531	. 2 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   ZZcz 9251   ZZ>=cuz 9526   ...cfz 10006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-neg 8129  df-z 9252  df-uz 9527  df-fz 10007

This theorem is referenced by:  fzdisj  10049  fzrev2i  10083  fzrev3  10084  uznfz  10100  elfzmlbm  10128  fzoval  10145  iseqf1olemqcl  10483  iseqf1olemab  10486  iseqf1olemqf1o  10490  iseqf1olemqk  10491  iseqf1olemjpcl  10492  iseqf1olemqpcl  10493  iseqf1olemfvp  10494  seq3f1olemqsumkj  10495  seq3f1olemqsumk  10496  seq3f1olemqsum  10497  seq3f1olemstep  10498  bcp1nk  10737