Theorem elfzuz 9833

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	|- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 9831	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
2	1	simplbi 272	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1481   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   ZZ>=cuz 9350   ...cfz 9821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-neg 7960  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822

This theorem is referenced by:  elfzel1  9836  elfzelz  9837  elfzle1  9838  eluzfz2b  9844  fzsplit2  9861  fzsplit  9862  fzopth  9872  fzss1  9874  fzss2  9875  fzssuz  9876  fzp1elp1  9886  uzsplit  9903  elfzmlbm  9939  fzosplit  9985  seq3feq2  10274  seq3feq  10276  ser3mono  10282  seq3caopr3  10285  iseqf1olemkle  10288  iseqf1olemklt  10289  iseqf1olemnab  10292  iseqf1olemqk  10298  iseqf1olemjpcl  10299  iseqf1olemqpcl  10300  iseqf1olemfvp  10301  seq3f1olemqsumkj  10302  seq3f1olemqsumk  10303  seq3f1olemqsum  10304  seq3f1olemstep  10305  seq3f1oleml  10307  seq3f1o  10308  seq3z  10315  ser0  10318  ser3le  10322  seq3coll  10617  climub  11145  sumrbdclem  11178  fsum3cvg  11179  fsum3ser  11198  fsump1i  11234  fsum0diaglem  11241  iserabs  11276  isumsplit  11292  isum1p  11293  geosergap  11307  mertenslemi1  11336  prodf1  11343  prodfap0  11346  prodfrecap  11347  prodfdivap  11348  prodrbdclem  11372  fproddccvg  11373  infssuzex  11678  prmind2  11837  prmdvdsfz  11855  cvgcmp2nlemabs  13402