Theorem elfzuz 10099

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	|- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10097	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   ZZ>=cuz 9604   ...cfz 10086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-neg 8203  df-z 9330  df-uz 9605  df-fz 10087

This theorem is referenced by:  elfzel1  10102  elfzelz  10103  elfzle1  10105  eluzfz2b  10111  fzsplit2  10128  fzsplit  10129  fzopth  10139  fzss1  10141  fzss2  10142  fzssuz  10143  fzp1elp1  10153  uzsplit  10170  elfzmlbm  10209  fzosplit  10256  infssuzex  10326  seq3feq2  10571  seq3feq  10575  ser3mono  10582  seq3caopr3  10586  iseqf1olemkle  10592  iseqf1olemklt  10593  iseqf1olemnab  10596  iseqf1olemqk  10602  iseqf1olemjpcl  10603  iseqf1olemqpcl  10604  iseqf1olemfvp  10605  seq3f1olemqsumkj  10606  seq3f1olemqsumk  10607  seq3f1olemqsum  10608  seq3f1olemstep  10609  seq3f1oleml  10611  seq3f1o  10612  seqf1oglem2  10615  seq3z  10623  ser0  10628  ser3le  10632  seq3coll  10937  climub  11512  sumrbdclem  11545  fsum3cvg  11546  fsum3ser  11565  fsump1i  11601  fsum0diaglem  11608  iserabs  11643  isumsplit  11659  isum1p  11660  geosergap  11674  mertenslemi1  11703  prodf1  11710  prodfap0  11713  prodfrecap  11714  prodfdivap  11715  prodrbdclem  11739  fproddccvg  11740  fprodntrivap  11752  fprodabs  11784  fprodeq0  11785  nninfctlemfo  12218  prmind2  12299  prmdvdsfz  12318  isprm5lem  12320  eulerthlemrprm  12408  eulerthlema  12409  pcfac  12530  mersenne  15259  lgsdilem2  15303  cvgcmp2nlemabs  15703