Theorem elfzuz 10407

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	|- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10405	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   ZZ>=cuz 9904   ...cfz 10394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-neg 8494  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395

This theorem is referenced by:  elfzel1  10410  elfzelz  10411  elfzle1  10414  eluzfz2b  10420  fzsplit2  10438  fzsplit  10439  fzsplit3  10441  fzopth  10450  fzss1  10452  fzss2  10453  fzssuz  10454  fzp1elp1  10465  uzsplit  10482  elfzmlbm  10521  fzosplit  10569  infssuzex  10649  infssfzcldc  10652  infssfzledc  10653  seq3feq2  10896  seq3feq  10900  ser3mono  10907  seq3caopr3  10911  iseqf1olemkle  10917  iseqf1olemklt  10918  iseqf1olemnab  10921  iseqf1olemqk  10927  iseqf1olemjpcl  10928  iseqf1olemqpcl  10929  iseqf1olemfvp  10930  seq3f1olemqsumkj  10931  seq3f1olemqsumk  10932  seq3f1olemqsum  10933  seq3f1olemstep  10934  seq3f1oleml  10936  seq3f1o  10937  seqf1oglem2  10940  seq3z  10948  ser0  10953  ser3le  10957  seq3coll  11277  swrdval2  11406  swrdswrd  11460  pfxccatin12  11488  pfxccatpfx2  11492  climub  12093  sumrbdclem  12127  fsum3cvg  12128  fsum3ser  12147  fsump1i  12183  fsum0diaglem  12190  iserabs  12225  isumsplit  12241  isum1p  12242  geosergap  12256  mertenslemi1  12285  prodf1  12292  prodfap0  12295  prodfrecap  12296  prodfdivap  12297  prodrbdclem  12321  fproddccvg  12322  fprodntrivap  12334  fprodabs  12366  fprodeq0  12367  nninfctlemfo  12800  prmind2  12881  prmdvdsfz  12900  isprm5lem  12902  eulerthlemrprm  12990  eulerthlema  12991  pcfac  13112  ballotfilemfrci  13254  birthdaylem2  16071  mersenne  16094  lgsdilem2  16138  cvgcmp2nlemabs  17055