Theorem elfzuz 10377

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	|- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10375	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   ZZ>=cuz 9874   ...cfz 10364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-neg 8464  df-z 9598  df-uz 9875  df-fz 10365

This theorem is referenced by:  elfzel1  10380  elfzelz  10381  elfzle1  10384  eluzfz2b  10390  fzsplit2  10407  fzsplit  10408  fzsplit3  10410  fzopth  10419  fzss1  10421  fzss2  10422  fzssuz  10423  fzp1elp1  10434  uzsplit  10451  elfzmlbm  10490  fzosplit  10538  infssuzex  10618  infssfzcldc  10621  infssfzledc  10622  seq3feq2  10865  seq3feq  10869  ser3mono  10876  seq3caopr3  10880  iseqf1olemkle  10886  iseqf1olemklt  10887  iseqf1olemnab  10890  iseqf1olemqk  10896  iseqf1olemjpcl  10897  iseqf1olemqpcl  10898  iseqf1olemfvp  10899  seq3f1olemqsumkj  10900  seq3f1olemqsumk  10901  seq3f1olemqsum  10902  seq3f1olemstep  10903  seq3f1oleml  10905  seq3f1o  10906  seqf1oglem2  10909  seq3z  10917  ser0  10922  ser3le  10926  seq3coll  11242  swrdval2  11371  swrdswrd  11425  pfxccatin12  11453  pfxccatpfx2  11457  climub  12057  sumrbdclem  12091  fsum3cvg  12092  fsum3ser  12111  fsump1i  12147  fsum0diaglem  12154  iserabs  12189  isumsplit  12205  isum1p  12206  geosergap  12220  mertenslemi1  12249  prodf1  12256  prodfap0  12259  prodfrecap  12260  prodfdivap  12261  prodrbdclem  12285  fproddccvg  12286  fprodntrivap  12298  fprodabs  12330  fprodeq0  12331  nninfctlemfo  12764  prmind2  12845  prmdvdsfz  12864  isprm5lem  12866  eulerthlemrprm  12954  eulerthlema  12955  pcfac  13076  ballotfilemfrci  13218  mersenne  15994  lgsdilem2  16038  cvgcmp2nlemabs  16955