Theorem elfzuz 10145

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	|- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10143	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   ZZ>=cuz 9650   ...cfz 10132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-neg 8248  df-z 9375  df-uz 9651  df-fz 10133

This theorem is referenced by:  elfzel1  10148  elfzelz  10149  elfzle1  10151  eluzfz2b  10157  fzsplit2  10174  fzsplit  10175  fzopth  10185  fzss1  10187  fzss2  10188  fzssuz  10189  fzp1elp1  10199  uzsplit  10216  elfzmlbm  10255  fzosplit  10303  infssuzex  10378  seq3feq2  10623  seq3feq  10627  ser3mono  10634  seq3caopr3  10638  iseqf1olemkle  10644  iseqf1olemklt  10645  iseqf1olemnab  10648  iseqf1olemqk  10654  iseqf1olemjpcl  10655  iseqf1olemqpcl  10656  iseqf1olemfvp  10657  seq3f1olemqsumkj  10658  seq3f1olemqsumk  10659  seq3f1olemqsum  10660  seq3f1olemstep  10661  seq3f1oleml  10663  seq3f1o  10664  seqf1oglem2  10667  seq3z  10675  ser0  10680  ser3le  10684  seq3coll  10989  swrdval2  11107  climub  11688  sumrbdclem  11721  fsum3cvg  11722  fsum3ser  11741  fsump1i  11777  fsum0diaglem  11784  iserabs  11819  isumsplit  11835  isum1p  11836  geosergap  11850  mertenslemi1  11879  prodf1  11886  prodfap0  11889  prodfrecap  11890  prodfdivap  11891  prodrbdclem  11915  fproddccvg  11916  fprodntrivap  11928  fprodabs  11960  fprodeq0  11961  nninfctlemfo  12394  prmind2  12475  prmdvdsfz  12494  isprm5lem  12496  eulerthlemrprm  12584  eulerthlema  12585  pcfac  12706  mersenne  15502  lgsdilem2  15546  cvgcmp2nlemabs  16008