Theorem elfzuz 10361

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	|- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10359	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   ZZ>=cuz 9859   ...cfz 10348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-neg 8452  df-z 9583  df-uz 9860  df-fz 10349

This theorem is referenced by:  elfzel1  10364  elfzelz  10365  elfzle1  10367  eluzfz2b  10373  fzsplit2  10390  fzsplit  10391  fzopth  10401  fzss1  10403  fzss2  10404  fzssuz  10405  fzp1elp1  10416  uzsplit  10433  elfzmlbm  10472  fzosplit  10520  infssuzex  10600  seq3feq2  10845  seq3feq  10849  ser3mono  10856  seq3caopr3  10860  iseqf1olemkle  10866  iseqf1olemklt  10867  iseqf1olemnab  10870  iseqf1olemqk  10876  iseqf1olemjpcl  10877  iseqf1olemqpcl  10878  iseqf1olemfvp  10879  seq3f1olemqsumkj  10880  seq3f1olemqsumk  10881  seq3f1olemqsum  10882  seq3f1olemstep  10883  seq3f1oleml  10885  seq3f1o  10886  seqf1oglem2  10889  seq3z  10897  ser0  10902  ser3le  10906  seq3coll  11222  swrdval2  11351  swrdswrd  11405  pfxccatin12  11433  pfxccatpfx2  11437  climub  12037  sumrbdclem  12071  fsum3cvg  12072  fsum3ser  12091  fsump1i  12127  fsum0diaglem  12134  iserabs  12169  isumsplit  12185  isum1p  12186  geosergap  12200  mertenslemi1  12229  prodf1  12236  prodfap0  12239  prodfrecap  12240  prodfdivap  12241  prodrbdclem  12265  fproddccvg  12266  fprodntrivap  12278  fprodabs  12310  fprodeq0  12311  nninfctlemfo  12744  prmind2  12825  prmdvdsfz  12844  isprm5lem  12846  eulerthlemrprm  12934  eulerthlema  12935  pcfac  13056  mersenne  15914  lgsdilem2  15958  cvgcmp2nlemabs  16865