Theorem elfzuz 10023

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	|- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10021	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   ZZ>=cuz 9530   ...cfz 10010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-neg 8133  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011

This theorem is referenced by:  elfzel1  10026  elfzelz  10027  elfzle1  10029  eluzfz2b  10035  fzsplit2  10052  fzsplit  10053  fzopth  10063  fzss1  10065  fzss2  10066  fzssuz  10067  fzp1elp1  10077  uzsplit  10094  elfzmlbm  10133  fzosplit  10179  seq3feq2  10472  seq3feq  10474  ser3mono  10480  seq3caopr3  10483  iseqf1olemkle  10486  iseqf1olemklt  10487  iseqf1olemnab  10490  iseqf1olemqk  10496  iseqf1olemjpcl  10497  iseqf1olemqpcl  10498  iseqf1olemfvp  10499  seq3f1olemqsumkj  10500  seq3f1olemqsumk  10501  seq3f1olemqsum  10502  seq3f1olemstep  10503  seq3f1oleml  10505  seq3f1o  10506  seq3z  10513  ser0  10516  ser3le  10520  seq3coll  10824  climub  11354  sumrbdclem  11387  fsum3cvg  11388  fsum3ser  11407  fsump1i  11443  fsum0diaglem  11450  iserabs  11485  isumsplit  11501  isum1p  11502  geosergap  11516  mertenslemi1  11545  prodf1  11552  prodfap0  11555  prodfrecap  11556  prodfdivap  11557  prodrbdclem  11581  fproddccvg  11582  fprodntrivap  11594  fprodabs  11626  fprodeq0  11627  infssuzex  11952  prmind2  12122  prmdvdsfz  12141  isprm5lem  12143  eulerthlemrprm  12231  eulerthlema  12232  pcfac  12350  lgsdilem2  14522  cvgcmp2nlemabs  14865