Theorem elfzuz 10442

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	|- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10440	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   ZZ>=cuz 9938   ...cfz 10429

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-neg 8508  df-z 9657  df-uz 9939  df-fz 10430

This theorem is used by:  elfzel1  10445  elfzelz  10446  elfzle1  10449  eluzfz2b  10455  fzsplit2  10473  fzsplit  10474  fzsplit3  10476  fzopth  10485  fzss1  10487  fzss2  10488  fzssuz  10489  fzp1elp1  10500  uzsplit  10517  elfzmlbm  10556  fzosplit  10604  infssuzex  10684  infssfzcldc  10687  infssfzledc  10688  seq3feq2  10935  seq3feq  10939  ser3mono  10946  seq3caopr3  10950  iseqf1olemkle  10956  iseqf1olemklt  10957  iseqf1olemnab  10960  iseqf1olemqk  10966  iseqf1olemjpcl  10967  iseqf1olemqpcl  10968  iseqf1olemfvp  10969  seq3f1olemqsumkj  10970  seq3f1olemqsumk  10971  seq3f1olemqsum  10972  seq3f1olemstep  10973  seq3f1oleml  10975  seq3f1o  10976  seqf1oglem2  10979  seq3z  10987  ser0  10992  ser3le  10996  seq3coll  11317  swrdval2  11446  swrdswrd  11500  pfxccatin12  11528  pfxccatpfx2  11532  climub  12136  sumrbdclem  12170  fsum3cvg  12171  fsum3ser  12190  fsump1i  12226  fsum0diaglem  12233  iserabs  12268  isumsplit  12284  isum1p  12285  geosergap  12299  mertenslemi1  12328  prodf1  12335  prodfap0  12338  prodfrecap  12339  prodfdivap  12340  prodrbdclem  12364  fproddccvg  12365  fprodntrivap  12377  fprodabs  12409  fprodeq0  12410  nninfctlemfo  12843  prmind2  12924  prmdvdsfz  12944  isprm5lem  12946  eulerthlemrprm  13037  eulerthlema  13038  pcfac  13159  ballotfilemfrci  13330  birthdaylem2  16238  chtqub  16308  mersenne  16309  bposlem6  16328  lgsdilem2  16372  cvgcmp2nlemabs  17299