Theorem elfzuz 9917

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	|- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 9915	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
2	1	simplbi 272	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2128   ` cfv 5169  (class class class)co 5821   ZZ>=cuz 9433   ...cfz 9905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-setind 4495  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-fv 5177  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-neg 8043  df-z 9162  df-uz 9434  df-fz 9906

This theorem is referenced by:  elfzel1  9920  elfzelz  9921  elfzle1  9922  eluzfz2b  9928  fzsplit2  9945  fzsplit  9946  fzopth  9956  fzss1  9958  fzss2  9959  fzssuz  9960  fzp1elp1  9970  uzsplit  9987  elfzmlbm  10023  fzosplit  10069  seq3feq2  10362  seq3feq  10364  ser3mono  10370  seq3caopr3  10373  iseqf1olemkle  10376  iseqf1olemklt  10377  iseqf1olemnab  10380  iseqf1olemqk  10386  iseqf1olemjpcl  10387  iseqf1olemqpcl  10388  iseqf1olemfvp  10389  seq3f1olemqsumkj  10390  seq3f1olemqsumk  10391  seq3f1olemqsum  10392  seq3f1olemstep  10393  seq3f1oleml  10395  seq3f1o  10396  seq3z  10403  ser0  10406  ser3le  10410  seq3coll  10706  climub  11234  sumrbdclem  11267  fsum3cvg  11268  fsum3ser  11287  fsump1i  11323  fsum0diaglem  11330  iserabs  11365  isumsplit  11381  isum1p  11382  geosergap  11396  mertenslemi1  11425  prodf1  11432  prodfap0  11435  prodfrecap  11436  prodfdivap  11437  prodrbdclem  11461  fproddccvg  11462  fprodntrivap  11474  fprodabs  11506  fprodeq0  11507  infssuzex  11828  prmind2  11988  prmdvdsfz  12006  eulerthlemrprm  12092  eulerthlema  12093  cvgcmp2nlemabs  13574