Theorem elfzuz 10234

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	|- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10232	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   ` cfv 5321  (class class class)co 6010   ZZ>=cuz 9738   ...cfz 10221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-fv 5329  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-neg 8336  df-z 9463  df-uz 9739  df-fz 10222

This theorem is referenced by:  elfzel1  10237  elfzelz  10238  elfzle1  10240  eluzfz2b  10246  fzsplit2  10263  fzsplit  10264  fzopth  10274  fzss1  10276  fzss2  10277  fzssuz  10278  fzp1elp1  10288  uzsplit  10305  elfzmlbm  10344  fzosplit  10392  infssuzex  10470  seq3feq2  10715  seq3feq  10719  ser3mono  10726  seq3caopr3  10730  iseqf1olemkle  10736  iseqf1olemklt  10737  iseqf1olemnab  10740  iseqf1olemqk  10746  iseqf1olemjpcl  10747  iseqf1olemqpcl  10748  iseqf1olemfvp  10749  seq3f1olemqsumkj  10750  seq3f1olemqsumk  10751  seq3f1olemqsum  10752  seq3f1olemstep  10753  seq3f1oleml  10755  seq3f1o  10756  seqf1oglem2  10759  seq3z  10767  ser0  10772  ser3le  10776  seq3coll  11082  swrdval2  11204  swrdswrd  11258  pfxccatin12  11286  pfxccatpfx2  11290  climub  11876  sumrbdclem  11909  fsum3cvg  11910  fsum3ser  11929  fsump1i  11965  fsum0diaglem  11972  iserabs  12007  isumsplit  12023  isum1p  12024  geosergap  12038  mertenslemi1  12067  prodf1  12074  prodfap0  12077  prodfrecap  12078  prodfdivap  12079  prodrbdclem  12103  fproddccvg  12104  fprodntrivap  12116  fprodabs  12148  fprodeq0  12149  nninfctlemfo  12582  prmind2  12663  prmdvdsfz  12682  isprm5lem  12684  eulerthlemrprm  12772  eulerthlema  12773  pcfac  12894  mersenne  15692  lgsdilem2  15736  cvgcmp2nlemabs  16514