Theorem elfzuz 10225

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	|- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10223	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   ZZ>=cuz 9730   ...cfz 10212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-neg 8328  df-z 9455  df-uz 9731  df-fz 10213

This theorem is referenced by:  elfzel1  10228  elfzelz  10229  elfzle1  10231  eluzfz2b  10237  fzsplit2  10254  fzsplit  10255  fzopth  10265  fzss1  10267  fzss2  10268  fzssuz  10269  fzp1elp1  10279  uzsplit  10296  elfzmlbm  10335  fzosplit  10383  infssuzex  10461  seq3feq2  10706  seq3feq  10710  ser3mono  10717  seq3caopr3  10721  iseqf1olemkle  10727  iseqf1olemklt  10728  iseqf1olemnab  10731  iseqf1olemqk  10737  iseqf1olemjpcl  10738  iseqf1olemqpcl  10739  iseqf1olemfvp  10740  seq3f1olemqsumkj  10741  seq3f1olemqsumk  10742  seq3f1olemqsum  10743  seq3f1olemstep  10744  seq3f1oleml  10746  seq3f1o  10747  seqf1oglem2  10750  seq3z  10758  ser0  10763  ser3le  10767  seq3coll  11072  swrdval2  11191  swrdswrd  11245  pfxccatin12  11273  pfxccatpfx2  11277  climub  11863  sumrbdclem  11896  fsum3cvg  11897  fsum3ser  11916  fsump1i  11952  fsum0diaglem  11959  iserabs  11994  isumsplit  12010  isum1p  12011  geosergap  12025  mertenslemi1  12054  prodf1  12061  prodfap0  12064  prodfrecap  12065  prodfdivap  12066  prodrbdclem  12090  fproddccvg  12091  fprodntrivap  12103  fprodabs  12135  fprodeq0  12136  nninfctlemfo  12569  prmind2  12650  prmdvdsfz  12669  isprm5lem  12671  eulerthlemrprm  12759  eulerthlema  12760  pcfac  12881  mersenne  15679  lgsdilem2  15723  cvgcmp2nlemabs  16430