Theorem elfzuz 10249

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	|- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10247	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   ZZ>=cuz 9748   ...cfz 10236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-neg 8346  df-z 9473  df-uz 9749  df-fz 10237

This theorem is referenced by:  elfzel1  10252  elfzelz  10253  elfzle1  10255  eluzfz2b  10261  fzsplit2  10278  fzsplit  10279  fzopth  10289  fzss1  10291  fzss2  10292  fzssuz  10293  fzp1elp1  10303  uzsplit  10320  elfzmlbm  10359  fzosplit  10407  infssuzex  10486  seq3feq2  10731  seq3feq  10735  ser3mono  10742  seq3caopr3  10746  iseqf1olemkle  10752  iseqf1olemklt  10753  iseqf1olemnab  10756  iseqf1olemqk  10762  iseqf1olemjpcl  10763  iseqf1olemqpcl  10764  iseqf1olemfvp  10765  seq3f1olemqsumkj  10766  seq3f1olemqsumk  10767  seq3f1olemqsum  10768  seq3f1olemstep  10769  seq3f1oleml  10771  seq3f1o  10772  seqf1oglem2  10775  seq3z  10783  ser0  10788  ser3le  10792  seq3coll  11099  swrdval2  11225  swrdswrd  11279  pfxccatin12  11307  pfxccatpfx2  11311  climub  11898  sumrbdclem  11931  fsum3cvg  11932  fsum3ser  11951  fsump1i  11987  fsum0diaglem  11994  iserabs  12029  isumsplit  12045  isum1p  12046  geosergap  12060  mertenslemi1  12089  prodf1  12096  prodfap0  12099  prodfrecap  12100  prodfdivap  12101  prodrbdclem  12125  fproddccvg  12126  fprodntrivap  12138  fprodabs  12170  fprodeq0  12171  nninfctlemfo  12604  prmind2  12685  prmdvdsfz  12704  isprm5lem  12706  eulerthlemrprm  12794  eulerthlema  12795  pcfac  12916  mersenne  15714  lgsdilem2  15758  cvgcmp2nlemabs  16586