Theorem elfzuz 9434

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	|- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 9432	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
2	1	simplbi 268	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1438   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   ZZ>=cuz 9017   ...cfz 9422

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-neg 7654  df-z 8749  df-uz 9018  df-fz 9423

This theorem is referenced by:  elfzel1  9437  elfzelz  9438  elfzle1  9439  eluzfz2b  9445  fzsplit2  9462  fzsplit  9463  fzopth  9472  fzss1  9474  fzss2  9475  fzssuz  9476  fzp1elp1  9485  uzsplit  9502  elfzmlbm  9538  fzosplit  9584  iseqfeq2  9887  seq3feq2  9889  iseqfeq  9892  isermono  9902  iseqsplit  9904  iseqcaopr3  9906  iseqf1olemkle  9909  iseqf1olemklt  9910  iseqf1olemnab  9913  iseqf1olemqk  9919  iseqf1olemjpcl  9920  iseqf1olemqpcl  9921  iseqf1olemfvp  9922  seq3f1olemqsumkj  9923  seq3f1olemqsumk  9924  seq3f1olemqsum  9925  seq3f1olemstep  9926  seq3f1oleml  9928  seq3f1o  9929  iseqz  9939  iser0  9943  ser0  9945  ser3le  9949  iseqcoll  10243  climub  10729  isumrblem  10761  fisumcvg  10762  fsum3cvg  10763  fisumser  10786  fsump1i  10823  fsum0diaglem  10830  iserabs  10865  isumsplit  10881  isum1p  10882  geosergap  10896  mertenslemi1  10925  infssuzex  11219  prmind2  11376  prmdvdsfz  11394