Theorem elfzuz 10426

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	|- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10424	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   ZZ>=cuz 9923   ...cfz 10413

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-neg 8500  df-z 9647  df-uz 9924  df-fz 10414

This theorem is used by:  elfzel1  10429  elfzelz  10430  elfzle1  10433  eluzfz2b  10439  fzsplit2  10457  fzsplit  10458  fzsplit3  10460  fzopth  10469  fzss1  10471  fzss2  10472  fzssuz  10473  fzp1elp1  10484  uzsplit  10501  elfzmlbm  10540  fzosplit  10588  infssuzex  10668  infssfzcldc  10671  infssfzledc  10672  seq3feq2  10915  seq3feq  10919  ser3mono  10926  seq3caopr3  10930  iseqf1olemkle  10936  iseqf1olemklt  10937  iseqf1olemnab  10940  iseqf1olemqk  10946  iseqf1olemjpcl  10947  iseqf1olemqpcl  10948  iseqf1olemfvp  10949  seq3f1olemqsumkj  10950  seq3f1olemqsumk  10951  seq3f1olemqsum  10952  seq3f1olemstep  10953  seq3f1oleml  10955  seq3f1o  10956  seqf1oglem2  10959  seq3z  10967  ser0  10972  ser3le  10976  seq3coll  11296  swrdval2  11425  swrdswrd  11479  pfxccatin12  11507  pfxccatpfx2  11511  climub  12112  sumrbdclem  12146  fsum3cvg  12147  fsum3ser  12166  fsump1i  12202  fsum0diaglem  12209  iserabs  12244  isumsplit  12260  isum1p  12261  geosergap  12275  mertenslemi1  12304  prodf1  12311  prodfap0  12314  prodfrecap  12315  prodfdivap  12316  prodrbdclem  12340  fproddccvg  12341  fprodntrivap  12353  fprodabs  12385  fprodeq0  12386  nninfctlemfo  12819  prmind2  12900  prmdvdsfz  12919  isprm5lem  12921  eulerthlemrprm  13009  eulerthlema  13010  pcfac  13131  ballotfilemfrci  13273  birthdaylem2  16094  mersenne  16117  lgsdilem2  16167  cvgcmp2nlemabs  17093