Theorem elfzuz 10090

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	|- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10088	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2164   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   ZZ>=cuz 9595   ...cfz 10077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-neg 8195  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078

This theorem is referenced by:  elfzel1  10093  elfzelz  10094  elfzle1  10096  eluzfz2b  10102  fzsplit2  10119  fzsplit  10120  fzopth  10130  fzss1  10132  fzss2  10133  fzssuz  10134  fzp1elp1  10144  uzsplit  10161  elfzmlbm  10200  fzosplit  10247  seq3feq2  10550  seq3feq  10554  ser3mono  10561  seq3caopr3  10565  iseqf1olemkle  10571  iseqf1olemklt  10572  iseqf1olemnab  10575  iseqf1olemqk  10581  iseqf1olemjpcl  10582  iseqf1olemqpcl  10583  iseqf1olemfvp  10584  seq3f1olemqsumkj  10585  seq3f1olemqsumk  10586  seq3f1olemqsum  10587  seq3f1olemstep  10588  seq3f1oleml  10590  seq3f1o  10591  seqf1oglem2  10594  seq3z  10602  ser0  10607  ser3le  10611  seq3coll  10916  climub  11490  sumrbdclem  11523  fsum3cvg  11524  fsum3ser  11543  fsump1i  11579  fsum0diaglem  11586  iserabs  11621  isumsplit  11637  isum1p  11638  geosergap  11652  mertenslemi1  11681  prodf1  11688  prodfap0  11691  prodfrecap  11692  prodfdivap  11693  prodrbdclem  11717  fproddccvg  11718  fprodntrivap  11730  fprodabs  11762  fprodeq0  11763  infssuzex  12089  nninfctlemfo  12180  prmind2  12261  prmdvdsfz  12280  isprm5lem  12282  eulerthlemrprm  12370  eulerthlema  12371  pcfac  12491  lgsdilem2  15193  cvgcmp2nlemabs  15592