Theorem elfzuz 10351

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	|- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10349	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2203   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   ZZ>=cuz 9849   ...cfz 10338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-neg 8443  df-z 9574  df-uz 9850  df-fz 10339

This theorem is referenced by:  elfzel1  10354  elfzelz  10355  elfzle1  10357  eluzfz2b  10363  fzsplit2  10380  fzsplit  10381  fzopth  10391  fzss1  10393  fzss2  10394  fzssuz  10395  fzp1elp1  10405  uzsplit  10422  elfzmlbm  10461  fzosplit  10509  infssuzex  10589  seq3feq2  10834  seq3feq  10838  ser3mono  10845  seq3caopr3  10849  iseqf1olemkle  10855  iseqf1olemklt  10856  iseqf1olemnab  10859  iseqf1olemqk  10865  iseqf1olemjpcl  10866  iseqf1olemqpcl  10867  iseqf1olemfvp  10868  seq3f1olemqsumkj  10869  seq3f1olemqsumk  10870  seq3f1olemqsum  10871  seq3f1olemstep  10872  seq3f1oleml  10874  seq3f1o  10875  seqf1oglem2  10878  seq3z  10886  ser0  10891  ser3le  10895  seq3coll  11207  swrdval2  11336  swrdswrd  11390  pfxccatin12  11418  pfxccatpfx2  11422  climub  12022  sumrbdclem  12056  fsum3cvg  12057  fsum3ser  12076  fsump1i  12112  fsum0diaglem  12119  iserabs  12154  isumsplit  12170  isum1p  12171  geosergap  12185  mertenslemi1  12214  prodf1  12221  prodfap0  12224  prodfrecap  12225  prodfdivap  12226  prodrbdclem  12250  fproddccvg  12251  fprodntrivap  12263  fprodabs  12295  fprodeq0  12296  nninfctlemfo  12729  prmind2  12810  prmdvdsfz  12829  isprm5lem  12831  eulerthlemrprm  12919  eulerthlema  12920  pcfac  13041  mersenne  15852  lgsdilem2  15896  cvgcmp2nlemabs  16803