Theorem elfzom1p1elfzo 10458

Description: Increasing an element of a half-open range of nonnegative integers by 1 results in an element of the half-open range of nonnegative integers with an upper bound increased by 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzom1p1elfzo	|- ( ( N e. NN /\ X e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( X + 1 ) e. ( 0..^ N ) )

Proof of Theorem elfzom1p1elfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 10420	. . 3 |- ( X e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) <-> ( X e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. NN /\ X < ( N - 1 ) ) )
2		peano2nn0 9441	. . . . . . 7 |- ( X e. NN0 -> ( X + 1 ) e. NN0 )
3	2	3ad2ant1 1044	. . . . . 6 |- ( ( X e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. NN /\ X < ( N - 1 ) ) -> ( X + 1 ) e. NN0 )
4	3	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( X e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. NN /\ X < ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( X + 1 ) e. NN0 )
5		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( X e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. NN /\ X < ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> N e. NN )
6		nn0re 9410	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. NN0 -> X e. RR )
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. NN0 /\ N e. NN ) -> X e. RR )
8		1red 8193	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. NN0 /\ N e. NN ) -> 1 e. RR )
9		nnre 9149	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. RR )
10	9	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. NN0 /\ N e. NN ) -> N e. RR )
11	7, 8, 10	ltaddsubd 8724	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( ( X + 1 ) < N <-> X < ( N - 1 ) ) )
12	11	biimprd 158	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( X < ( N - 1 ) -> ( X + 1 ) < N ) )
13	12	impancom 260	. . . . . . 7 |- ( ( X e. NN0 /\ X < ( N - 1 ) ) -> ( N e. NN -> ( X + 1 ) < N ) )
14	13	3adant2 1042	. . . . . 6 |- ( ( X e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. NN /\ X < ( N - 1 ) ) -> ( N e. NN -> ( X + 1 ) < N ) )
15	14	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( X e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. NN /\ X < ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( X + 1 ) < N )
16		elfzo0 10420	. . . . 5 |- ( ( X + 1 ) e. ( 0..^ N ) <-> ( ( X + 1 ) e. NN0 /\ N e. NN /\ ( X + 1 ) < N ) )
17	4, 5, 15, 16	syl3anbrc 1207	. . . 4 |- ( ( ( X e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. NN /\ X < ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( X + 1 ) e. ( 0..^ N ) )
18	17	ex 115	. . 3 |- ( ( X e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. NN /\ X < ( N - 1 ) ) -> ( N e. NN -> ( X + 1 ) e. ( 0..^ N ) ) )
19	1, 18	sylbi 121	. 2 |- ( X e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) -> ( N e. NN -> ( X + 1 ) e. ( 0..^ N ) ) )
20	19	impcom 125	1 |- ( ( N e. NN /\ X e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( X + 1 ) e. ( 0..^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   e. wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   RRcr 8030   0cc0 8031   1c1 8032   + caddc 8034   < clt 8213   - cmin 8349   NNcn 9142   NN0cn0 9401  ..^cfzo 10376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-fzo 10377

This theorem is referenced by: (None)