Theorem elfzom1p1elfzo 10149

Description: Increasing an element of a half-open range of nonnegative integers by 1 results in an element of the half-open range of nonnegative integers with an upper bound increased by 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzom1p1elfzo	|- ( ( N e. NN /\ X e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( X + 1 ) e. ( 0..^ N ) )

Proof of Theorem elfzom1p1elfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 10117	. . 3 |- ( X e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) <-> ( X e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. NN /\ X < ( N - 1 ) ) )
2		peano2nn0 9154	. . . . . . 7 |- ( X e. NN0 -> ( X + 1 ) e. NN0 )
3	2	3ad2ant1 1008	. . . . . 6 |- ( ( X e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. NN /\ X < ( N - 1 ) ) -> ( X + 1 ) e. NN0 )
4	3	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( X e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. NN /\ X < ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( X + 1 ) e. NN0 )
5		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ( X e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. NN /\ X < ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> N e. NN )
6		nn0re 9123	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. NN0 -> X e. RR )
7	6	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. NN0 /\ N e. NN ) -> X e. RR )
8		1red 7914	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. NN0 /\ N e. NN ) -> 1 e. RR )
9		nnre 8864	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. RR )
10	9	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. NN0 /\ N e. NN ) -> N e. RR )
11	7, 8, 10	ltaddsubd 8443	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( ( X + 1 ) < N <-> X < ( N - 1 ) ) )
12	11	biimprd 157	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( X < ( N - 1 ) -> ( X + 1 ) < N ) )
13	12	impancom 258	. . . . . . 7 |- ( ( X e. NN0 /\ X < ( N - 1 ) ) -> ( N e. NN -> ( X + 1 ) < N ) )
14	13	3adant2 1006	. . . . . 6 |- ( ( X e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. NN /\ X < ( N - 1 ) ) -> ( N e. NN -> ( X + 1 ) < N ) )
15	14	imp 123	. . . . 5 |- ( ( ( X e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. NN /\ X < ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( X + 1 ) < N )
16		elfzo0 10117	. . . . 5 |- ( ( X + 1 ) e. ( 0..^ N ) <-> ( ( X + 1 ) e. NN0 /\ N e. NN /\ ( X + 1 ) < N ) )
17	4, 5, 15, 16	syl3anbrc 1171	. . . 4 |- ( ( ( X e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. NN /\ X < ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( X + 1 ) e. ( 0..^ N ) )
18	17	ex 114	. . 3 |- ( ( X e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. NN /\ X < ( N - 1 ) ) -> ( N e. NN -> ( X + 1 ) e. ( 0..^ N ) ) )
19	1, 18	sylbi 120	. 2 |- ( X e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) -> ( N e. NN -> ( X + 1 ) e. ( 0..^ N ) ) )
20	19	impcom 124	1 |- ( ( N e. NN /\ X e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( X + 1 ) e. ( 0..^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 968   e. wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   RRcr 7752   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   < clt 7933   - cmin 8069   NNcn 8857   NN0cn0 9114  ..^cfzo 10077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-fz 9945  df-fzo 10078

This theorem is referenced by: (None)