Theorem elfzom1p1elfzo 10281

Description: Increasing an element of a half-open range of nonnegative integers by 1 results in an element of the half-open range of nonnegative integers with an upper bound increased by 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzom1p1elfzo	|- ( ( N e. NN /\ X e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( X + 1 ) e. ( 0..^ N ) )

Proof of Theorem elfzom1p1elfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 10249	. . 3 |- ( X e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) <-> ( X e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. NN /\ X < ( N - 1 ) ) )
2		peano2nn0 9280	. . . . . . 7 |- ( X e. NN0 -> ( X + 1 ) e. NN0 )
3	2	3ad2ant1 1020	. . . . . 6 |- ( ( X e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. NN /\ X < ( N - 1 ) ) -> ( X + 1 ) e. NN0 )
4	3	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( X e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. NN /\ X < ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( X + 1 ) e. NN0 )
5		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( X e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. NN /\ X < ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> N e. NN )
6		nn0re 9249	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. NN0 -> X e. RR )
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. NN0 /\ N e. NN ) -> X e. RR )
8		1red 8034	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. NN0 /\ N e. NN ) -> 1 e. RR )
9		nnre 8989	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. RR )
10	9	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. NN0 /\ N e. NN ) -> N e. RR )
11	7, 8, 10	ltaddsubd 8564	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( ( X + 1 ) < N <-> X < ( N - 1 ) ) )
12	11	biimprd 158	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( X < ( N - 1 ) -> ( X + 1 ) < N ) )
13	12	impancom 260	. . . . . . 7 |- ( ( X e. NN0 /\ X < ( N - 1 ) ) -> ( N e. NN -> ( X + 1 ) < N ) )
14	13	3adant2 1018	. . . . . 6 |- ( ( X e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. NN /\ X < ( N - 1 ) ) -> ( N e. NN -> ( X + 1 ) < N ) )
15	14	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( X e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. NN /\ X < ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( X + 1 ) < N )
16		elfzo0 10249	. . . . 5 |- ( ( X + 1 ) e. ( 0..^ N ) <-> ( ( X + 1 ) e. NN0 /\ N e. NN /\ ( X + 1 ) < N ) )
17	4, 5, 15, 16	syl3anbrc 1183	. . . 4 |- ( ( ( X e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. NN /\ X < ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( X + 1 ) e. ( 0..^ N ) )
18	17	ex 115	. . 3 |- ( ( X e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. NN /\ X < ( N - 1 ) ) -> ( N e. NN -> ( X + 1 ) e. ( 0..^ N ) ) )
19	1, 18	sylbi 121	. 2 |- ( X e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) -> ( N e. NN -> ( X + 1 ) e. ( 0..^ N ) ) )
20	19	impcom 125	1 |- ( ( N e. NN /\ X e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( X + 1 ) e. ( 0..^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   e. wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   RRcr 7871   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   < clt 8054   - cmin 8190   NNcn 8982   NN0cn0 9240  ..^cfzo 10208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-fzo 10209

This theorem is referenced by: (None)