ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzom1p1elfzo Unicode version

Theorem elfzom1p1elfzo 9998
Description: Increasing an element of a half-open range of nonnegative integers by 1 results in an element of the half-open range of nonnegative integers with an upper bound increased by 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzom1p1elfzo  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
( X  +  1 )  e.  ( 0..^ N ) )

Proof of Theorem elfzom1p1elfzo
StepHypRef Expression
1 elfzo0 9966 . . 3  |-  ( X  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) )  <->  ( X  e. 
NN0  /\  ( N  -  1 )  e.  NN  /\  X  < 
( N  -  1 ) ) )
2 peano2nn0 9024 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  NN0  ->  ( X  +  1 )  e. 
NN0 )
323ad2ant1 1002 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  NN0  /\  ( N  -  1
)  e.  NN  /\  X  <  ( N  - 
1 ) )  -> 
( X  +  1 )  e.  NN0 )
43adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  NN0  /\  ( N  -  1 )  e.  NN  /\  X  <  ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( X  +  1 )  e.  NN0 )
5 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  NN0  /\  ( N  -  1 )  e.  NN  /\  X  <  ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
6 nn0re 8993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  NN0  ->  X  e.  RR )
76adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  X  e.  RR )
8 1red 7788 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
9 nnre 8734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
109adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
117, 8, 10ltaddsubd 8314 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( X  + 
1 )  <  N  <->  X  <  ( N  - 
1 ) ) )
1211biimprd 157 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( X  <  ( N  -  1 )  ->  ( X  + 
1 )  <  N
) )
1312impancom 258 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  NN0  /\  X  <  ( N  - 
1 ) )  -> 
( N  e.  NN  ->  ( X  +  1 )  <  N ) )
14133adant2 1000 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  NN0  /\  ( N  -  1
)  e.  NN  /\  X  <  ( N  - 
1 ) )  -> 
( N  e.  NN  ->  ( X  +  1 )  <  N ) )
1514imp 123 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  NN0  /\  ( N  -  1 )  e.  NN  /\  X  <  ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( X  +  1 )  <  N )
16 elfzo0 9966 . . . . 5  |-  ( ( X  +  1 )  e.  ( 0..^ N )  <->  ( ( X  +  1 )  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  ( X  + 
1 )  <  N
) )
174, 5, 15, 16syl3anbrc 1165 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  NN0  /\  ( N  -  1 )  e.  NN  /\  X  <  ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( X  +  1 )  e.  ( 0..^ N ) )
1817ex 114 . . 3  |-  ( ( X  e.  NN0  /\  ( N  -  1
)  e.  NN  /\  X  <  ( N  - 
1 ) )  -> 
( N  e.  NN  ->  ( X  +  1 )  e.  ( 0..^ N ) ) )
191, 18sylbi 120 . 2  |-  ( X  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( X  +  1 )  e.  ( 0..^ N ) ) )
2019impcom 124 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
( X  +  1 )  e.  ( 0..^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 962    e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7626   0cc0 7627   1c1 7628    + caddc 7630    < clt 7807    - cmin 7940   NNcn 8727   NN0cn0 8984  ..^cfzo 9926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-fz 9798  df-fzo 9927
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator