ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzom1p1elfzo Unicode version

Theorem elfzom1p1elfzo 10244
Description: Increasing an element of a half-open range of nonnegative integers by 1 results in an element of the half-open range of nonnegative integers with an upper bound increased by 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzom1p1elfzo  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
( X  +  1 )  e.  ( 0..^ N ) )

Proof of Theorem elfzom1p1elfzo
StepHypRef Expression
1 elfzo0 10212 . . 3  |-  ( X  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) )  <->  ( X  e. 
NN0  /\  ( N  -  1 )  e.  NN  /\  X  < 
( N  -  1 ) ) )
2 peano2nn0 9246 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  NN0  ->  ( X  +  1 )  e. 
NN0 )
323ad2ant1 1020 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  NN0  /\  ( N  -  1
)  e.  NN  /\  X  <  ( N  - 
1 ) )  -> 
( X  +  1 )  e.  NN0 )
43adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  NN0  /\  ( N  -  1 )  e.  NN  /\  X  <  ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( X  +  1 )  e.  NN0 )
5 simpr 110 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  NN0  /\  ( N  -  1 )  e.  NN  /\  X  <  ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
6 nn0re 9215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  NN0  ->  X  e.  RR )
76adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  X  e.  RR )
8 1red 8002 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
9 nnre 8956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
109adantl 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
117, 8, 10ltaddsubd 8532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( X  + 
1 )  <  N  <->  X  <  ( N  - 
1 ) ) )
1211biimprd 158 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( X  <  ( N  -  1 )  ->  ( X  + 
1 )  <  N
) )
1312impancom 260 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  NN0  /\  X  <  ( N  - 
1 ) )  -> 
( N  e.  NN  ->  ( X  +  1 )  <  N ) )
14133adant2 1018 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  NN0  /\  ( N  -  1
)  e.  NN  /\  X  <  ( N  - 
1 ) )  -> 
( N  e.  NN  ->  ( X  +  1 )  <  N ) )
1514imp 124 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  NN0  /\  ( N  -  1 )  e.  NN  /\  X  <  ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( X  +  1 )  <  N )
16 elfzo0 10212 . . . . 5  |-  ( ( X  +  1 )  e.  ( 0..^ N )  <->  ( ( X  +  1 )  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  ( X  + 
1 )  <  N
) )
174, 5, 15, 16syl3anbrc 1183 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  NN0  /\  ( N  -  1 )  e.  NN  /\  X  <  ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( X  +  1 )  e.  ( 0..^ N ) )
1817ex 115 . . 3  |-  ( ( X  e.  NN0  /\  ( N  -  1
)  e.  NN  /\  X  <  ( N  - 
1 ) )  -> 
( N  e.  NN  ->  ( X  +  1 )  e.  ( 0..^ N ) ) )
191, 18sylbi 121 . 2  |-  ( X  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( X  +  1 )  e.  ( 0..^ N ) ) )
2019impcom 125 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
( X  +  1 )  e.  ( 0..^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 980    e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5896   RRcr 7840   0cc0 7841   1c1 7842    + caddc 7844    < clt 8022    - cmin 8158   NNcn 8949   NN0cn0 9206  ..^cfzo 10172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-addcom 7941  ax-addass 7943  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-ltadd 7957
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-inn 8950  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-fz 10039  df-fzo 10173
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator