Theorem elfzom1p1elfzo 9625

Description: Increasing an element of a half-open range of nonnegative integers by 1 results in an element of the half-open range of nonnegative integers with an upper bound increased by 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzom1p1elfzo	|- ( ( N e. NN /\ X e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( X + 1 ) e. ( 0..^ N ) )

Proof of Theorem elfzom1p1elfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 9593	. . 3 |- ( X e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) <-> ( X e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. NN /\ X < ( N - 1 ) ) )
2		peano2nn0 8713	. . . . . . 7 |- ( X e. NN0 -> ( X + 1 ) e. NN0 )
3	2	3ad2ant1 964	. . . . . 6 |- ( ( X e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. NN /\ X < ( N - 1 ) ) -> ( X + 1 ) e. NN0 )
4	3	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( ( X e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. NN /\ X < ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( X + 1 ) e. NN0 )
5		simpr 108	. . . . 5 |- ( ( ( X e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. NN /\ X < ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> N e. NN )
6		nn0re 8682	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. NN0 -> X e. RR )
7	6	adantr 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. NN0 /\ N e. NN ) -> X e. RR )
8		1red 7503	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. NN0 /\ N e. NN ) -> 1 e. RR )
9		nnre 8429	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. RR )
10	9	adantl 271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. NN0 /\ N e. NN ) -> N e. RR )
11	7, 8, 10	ltaddsubd 8022	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( ( X + 1 ) < N <-> X < ( N - 1 ) ) )
12	11	biimprd 156	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( X < ( N - 1 ) -> ( X + 1 ) < N ) )
13	12	impancom 256	. . . . . . 7 |- ( ( X e. NN0 /\ X < ( N - 1 ) ) -> ( N e. NN -> ( X + 1 ) < N ) )
14	13	3adant2 962	. . . . . 6 |- ( ( X e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. NN /\ X < ( N - 1 ) ) -> ( N e. NN -> ( X + 1 ) < N ) )
15	14	imp 122	. . . . 5 |- ( ( ( X e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. NN /\ X < ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( X + 1 ) < N )
16		elfzo0 9593	. . . . 5 |- ( ( X + 1 ) e. ( 0..^ N ) <-> ( ( X + 1 ) e. NN0 /\ N e. NN /\ ( X + 1 ) < N ) )
17	4, 5, 15, 16	syl3anbrc 1127	. . . 4 |- ( ( ( X e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. NN /\ X < ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( X + 1 ) e. ( 0..^ N ) )
18	17	ex 113	. . 3 |- ( ( X e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. NN /\ X < ( N - 1 ) ) -> ( N e. NN -> ( X + 1 ) e. ( 0..^ N ) ) )
19	1, 18	sylbi 119	. 2 |- ( X e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) -> ( N e. NN -> ( X + 1 ) e. ( 0..^ N ) ) )
20	19	impcom 123	1 |- ( ( N e. NN /\ X e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( X + 1 ) e. ( 0..^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   /\ w3a 924   e. wcel 1438   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   RRcr 7349   0cc0 7350   1c1 7351   + caddc 7353   < clt 7522   - cmin 7653   NNcn 8422   NN0cn0 8673  ..^cfzo 9553

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-ltadd 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-inn 8423  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-fz 9425  df-fzo 9554

This theorem is referenced by: (None)