ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzom1p1elfzo Unicode version

Theorem elfzom1p1elfzo 9625
Description: Increasing an element of a half-open range of nonnegative integers by 1 results in an element of the half-open range of nonnegative integers with an upper bound increased by 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzom1p1elfzo  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
( X  +  1 )  e.  ( 0..^ N ) )

Proof of Theorem elfzom1p1elfzo
StepHypRef Expression
1 elfzo0 9593 . . 3  |-  ( X  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) )  <->  ( X  e. 
NN0  /\  ( N  -  1 )  e.  NN  /\  X  < 
( N  -  1 ) ) )
2 peano2nn0 8713 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  NN0  ->  ( X  +  1 )  e. 
NN0 )
323ad2ant1 964 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  NN0  /\  ( N  -  1
)  e.  NN  /\  X  <  ( N  - 
1 ) )  -> 
( X  +  1 )  e.  NN0 )
43adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  NN0  /\  ( N  -  1 )  e.  NN  /\  X  <  ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( X  +  1 )  e.  NN0 )
5 simpr 108 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  NN0  /\  ( N  -  1 )  e.  NN  /\  X  <  ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
6 nn0re 8682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  NN0  ->  X  e.  RR )
76adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  X  e.  RR )
8 1red 7503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
9 nnre 8429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
109adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
117, 8, 10ltaddsubd 8022 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( X  + 
1 )  <  N  <->  X  <  ( N  - 
1 ) ) )
1211biimprd 156 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( X  <  ( N  -  1 )  ->  ( X  + 
1 )  <  N
) )
1312impancom 256 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  NN0  /\  X  <  ( N  - 
1 ) )  -> 
( N  e.  NN  ->  ( X  +  1 )  <  N ) )
14133adant2 962 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  NN0  /\  ( N  -  1
)  e.  NN  /\  X  <  ( N  - 
1 ) )  -> 
( N  e.  NN  ->  ( X  +  1 )  <  N ) )
1514imp 122 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  NN0  /\  ( N  -  1 )  e.  NN  /\  X  <  ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( X  +  1 )  <  N )
16 elfzo0 9593 . . . . 5  |-  ( ( X  +  1 )  e.  ( 0..^ N )  <->  ( ( X  +  1 )  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  ( X  + 
1 )  <  N
) )
174, 5, 15, 16syl3anbrc 1127 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  NN0  /\  ( N  -  1 )  e.  NN  /\  X  <  ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( X  +  1 )  e.  ( 0..^ N ) )
1817ex 113 . . 3  |-  ( ( X  e.  NN0  /\  ( N  -  1
)  e.  NN  /\  X  <  ( N  - 
1 ) )  -> 
( N  e.  NN  ->  ( X  +  1 )  e.  ( 0..^ N ) ) )
191, 18sylbi 119 . 2  |-  ( X  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( X  +  1 )  e.  ( 0..^ N ) ) )
2019impcom 123 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
( X  +  1 )  e.  ( 0..^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 924    e. wcel 1438   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   RRcr 7349   0cc0 7350   1c1 7351    + caddc 7353    < clt 7522    - cmin 7653   NNcn 8422   NN0cn0 8673  ..^cfzo 9553
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-ltadd 7461
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-inn 8423  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-fz 9425  df-fzo 9554
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator