ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzo0 Unicode version

Theorem elfzo0 9514
Description: Membership in a half-open integer range based at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzo0  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  <->  ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B
) )

Proof of Theorem elfzo0
StepHypRef Expression
1 elfzouz 9483 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
2 elnn0uz 8981 . . . 4  |-  ( A  e.  NN0  <->  A  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )
31, 2sylibr 132 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  ->  A  e.  NN0 )
4 elfzolt3b 9491 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  ->  0  e.  ( 0..^ B ) )
5 lbfzo0 9513 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0..^ B )  <->  B  e.  NN )
64, 5sylib 120 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  ->  B  e.  NN )
7 elfzolt2 9488 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  ->  A  <  B )
83, 6, 73jca 1121 . 2  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  ->  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  < 
B ) )
9 simp1 941 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  ->  A  e.  NN0 )
109, 2sylib 120 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
11 nnz 8695 . . . 4  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
12113ad2ant2 963 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  ->  B  e.  ZZ )
13 simp3 943 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  ->  A  <  B )
14 elfzo2 9482 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  0 )  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B ) )
1510, 12, 13, 14syl3anbrc 1125 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  ->  A  e.  ( 0..^ B ) )
168, 15impbii 124 1  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  <->  ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 103    /\ w3a 922    e. wcel 1436   class class class wbr 3820   ` cfv 4978  (class class class)co 5607   0cc0 7287    < clt 7459   NNcn 8350   NN0cn0 8599   ZZcz 8676   ZZ>=cuz 8944  ..^cfzo 9474
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3931  ax-pow 3983  ax-pr 4009  ax-un 4233  ax-setind 4325  ax-cnex 7373  ax-resscn 7374  ax-1cn 7375  ax-1re 7376  ax-icn 7377  ax-addcl 7378  ax-addrcl 7379  ax-mulcl 7380  ax-addcom 7382  ax-addass 7384  ax-distr 7386  ax-i2m1 7387  ax-0lt1 7388  ax-0id 7390  ax-rnegex 7391  ax-cnre 7393  ax-pre-ltirr 7394  ax-pre-ltwlin 7395  ax-pre-lttrn 7396  ax-pre-ltadd 7398
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-id 4093  df-xp 4416  df-rel 4417  df-cnv 4418  df-co 4419  df-dm 4420  df-rn 4421  df-res 4422  df-ima 4423  df-iota 4943  df-fun 4980  df-fn 4981  df-f 4982  df-fv 4986  df-riota 5563  df-ov 5610  df-oprab 5611  df-mpt2 5612  df-1st 5862  df-2nd 5863  df-pnf 7461  df-mnf 7462  df-xr 7463  df-ltxr 7464  df-le 7465  df-sub 7592  df-neg 7593  df-inn 8351  df-n0 8600  df-z 8677  df-uz 8945  df-fz 9350  df-fzo 9475
This theorem is referenced by:  fzo1fzo0n0  9515  elfzo0z  9516  elfzo0le  9517  fzonmapblen  9519  fzofzim  9520  ubmelfzo  9532  elfzodifsumelfzo  9533  elfzonlteqm1  9542  fzonn0p1  9543  fzonn0p1p1  9545  elfzom1p1elfzo  9546  ubmelm1fzo  9558  subfzo0  9574  zmodidfzoimp  9682  modfzo0difsn  9723  modsumfzodifsn  9724  addmodlteq  9726  addmodlteqALT  10727  hashgcdlem  11070
  Copyright terms: Public domain W3C validator