Theorem elfzo0 10074

Description: Membership in a half-open integer range based at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo0	|- ( A e. ( 0..^ B ) <-> ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) )

Proof of Theorem elfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 10043	. . . 4 |- ( A e. ( 0..^ B ) -> A e. ( ZZ>= ` 0 ) )
2		elnn0uz 9470	. . . 4 |- ( A e. NN0 <-> A e. ( ZZ>= ` 0 ) )
3	1, 2	sylibr 133	. . 3 |- ( A e. ( 0..^ B ) -> A e. NN0 )
4		elfzolt3b 10051	. . . 4 |- ( A e. ( 0..^ B ) -> 0 e. ( 0..^ B ) )
5		lbfzo0 10073	. . . 4 |- ( 0 e. ( 0..^ B ) <-> B e. NN )
6	4, 5	sylib 121	. . 3 |- ( A e. ( 0..^ B ) -> B e. NN )
7		elfzolt2 10048	. . 3 |- ( A e. ( 0..^ B ) -> A < B )
8	3, 6, 7	3jca 1162	. 2 |- ( A e. ( 0..^ B ) -> ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) )
9		simp1 982	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) -> A e. NN0 )
10	9, 2	sylib 121	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) -> A e. ( ZZ>= ` 0 ) )
11		nnz 9180	. . . 4 |- ( B e. NN -> B e. ZZ )
12	11	3ad2ant2 1004	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) -> B e. ZZ )
13		simp3 984	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) -> A < B )
14		elfzo2 10042	. . 3 |- ( A e. ( 0..^ B ) <-> ( A e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ B e. ZZ /\ A < B ) )
15	10, 12, 13, 14	syl3anbrc 1166	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) -> A e. ( 0..^ B ) )
16	8, 15	impbii 125	1 |- ( A e. ( 0..^ B ) <-> ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) )

Syntax hints:   <-> wb 104   /\ w3a 963   e. wcel 2128   class class class wbr 3965   ` cfv 5169  (class class class)co 5821   0cc0 7726   < clt 7906   NNcn 8827   NN0cn0 9084   ZZcz 9161   ZZ>=cuz 9433  ..^cfzo 10034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-addcom 7826  ax-addass 7828  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-ltadd 7842

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-inn 8828  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-fz 9906  df-fzo 10035

This theorem is referenced by:  fzo1fzo0n0  10075  elfzo0z  10076  elfzo0le  10077  fzonmapblen  10079  fzofzim  10080  ubmelfzo  10092  elfzodifsumelfzo  10093  elfzonlteqm1  10102  fzonn0p1  10103  fzonn0p1p1  10105  elfzom1p1elfzo  10106  ubmelm1fzo  10118  subfzo0  10134  zmodidfzoimp  10246  modfzo0difsn  10287  modsumfzodifsn  10288  addmodlteq  10290  addmodlteqALT  11743  hashgcdlem  12101