Theorem elfzo0 10519

Description: Membership in a half-open integer range based at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo0	|- ( A e. ( 0..^ B ) <-> ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) )

Proof of Theorem elfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 10484	. . . 4 |- ( A e. ( 0..^ B ) -> A e. ( ZZ>= ` 0 ) )
2		elnn0uz 9891	. . . 4 |- ( A e. NN0 <-> A e. ( ZZ>= ` 0 ) )
3	1, 2	sylibr 134	. . 3 |- ( A e. ( 0..^ B ) -> A e. NN0 )
4		elfzolt3b 10493	. . . 4 |- ( A e. ( 0..^ B ) -> 0 e. ( 0..^ B ) )
5		lbfzo0 10518	. . . 4 |- ( 0 e. ( 0..^ B ) <-> B e. NN )
6	4, 5	sylib 122	. . 3 |- ( A e. ( 0..^ B ) -> B e. NN )
7		elfzolt2 10490	. . 3 |- ( A e. ( 0..^ B ) -> A < B )
8	3, 6, 7	3jca 1204	. 2 |- ( A e. ( 0..^ B ) -> ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) )
9		simp1 1024	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) -> A e. NN0 )
10	9, 2	sylib 122	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) -> A e. ( ZZ>= ` 0 ) )
11		nnz 9595	. . . 4 |- ( B e. NN -> B e. ZZ )
12	11	3ad2ant2 1046	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) -> B e. ZZ )
13		simp3 1026	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) -> A < B )
14		elfzo2 10483	. . 3 |- ( A e. ( 0..^ B ) <-> ( A e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ B e. ZZ /\ A < B ) )
15	10, 12, 13, 14	syl3anbrc 1208	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) -> A e. ( 0..^ B ) )
16	8, 15	impbii 126	1 |- ( A e. ( 0..^ B ) <-> ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) )

Syntax hints:   <-> wb 105   /\ w3a 1005   e. wcel 2203   class class class wbr 4108   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   0cc0 8126   < clt 8307   NNcn 9236   NN0cn0 9495   ZZcz 9576   ZZ>=cuz 9852  ..^cfzo 10475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-inn 9237  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-fz 10342  df-fzo 10476

This theorem is referenced by:  nn0p1elfzo  10520  fzo1fzo0n0  10521  elfzo0z  10522  elfzo0le  10523  fzonmapblen  10525  fzofzim  10526  ubmelfzo  10544  elfzodifsumelfzo  10545  elfzonlteqm1  10554  fzonn0p1  10555  fzonn0p1p1  10557  elfzom1p1elfzo  10558  ubmelm1fzo  10570  subfzo0  10587  zmodidfzoimp  10715  modfzo0difsn  10756  modsumfzodifsn  10757  addmodlteq  10759  ccatalpha  11297  ccat2s1fvwd  11331  swrdswrd  11393  swrdccatin1  11413  pfxccatin12lem3  11420  addmodlteqALT  12541  hashgcdlem  12931  umgr2cwwkdifex  16412  clwwlknonex2lem2  16425