Theorem elfzom1p1elfzo 10610

Description: Increasing an element of a half-open range of nonnegative integers by 1 results in an element of the half-open range of nonnegative integers with an upper bound increased by 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzom1p1elfzo	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑋 + 1) ∈ (0..^𝑁))

Proof of Theorem elfzom1p1elfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 10571	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) ↔ (𝑋 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 < (𝑁 − 1)))
2		peano2nn0 9582	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ0 → (𝑋 + 1) ∈ ℕ0)
3	2	3ad2ant1 1049	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 < (𝑁 − 1)) → (𝑋 + 1) ∈ ℕ0)
4	3	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 < (𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 + 1) ∈ ℕ0)
5		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 < (𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
6		nn0re 9551	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ0 → 𝑋 ∈ ℝ)
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℝ)
8		1red 8331	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
9		nnre 9290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
10	9	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
11	7, 8, 10	ltaddsubd 8863	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑋 + 1) < 𝑁 ↔ 𝑋 < (𝑁 − 1)))
12	11	biimprd 158	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 < (𝑁 − 1) → (𝑋 + 1) < 𝑁))
13	12	impancom 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 < (𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 + 1) < 𝑁))
14	13	3adant2 1047	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 < (𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 + 1) < 𝑁))
15	14	imp 124	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 < (𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 + 1) < 𝑁)
16		elfzo0 10571	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 + 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑋 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 + 1) < 𝑁))
17	4, 5, 15, 16	syl3anbrc 1212	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 < (𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 + 1) ∈ (0..^𝑁))
18	17	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 < (𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 + 1) ∈ (0..^𝑁)))
19	1, 18	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 + 1) ∈ (0..^𝑁)))
20	19	impcom 125	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑋 + 1) ∈ (0..^𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075  ℝcr 8168  0cc0 8169  1c1 8170   + caddc 8172   < clt 8350   − cmin 8487  ℕcn 9283  ℕ₀cn0 9542  ..^cfzo 10527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528

This theorem is referenced by: (None)