Theorem elfzom1p1elfzo 10234

Description: Increasing an element of a half-open range of nonnegative integers by 1 results in an element of the half-open range of nonnegative integers with an upper bound increased by 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzom1p1elfzo	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑋 + 1) ∈ (0..^𝑁))

Proof of Theorem elfzom1p1elfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 10202	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) ↔ (𝑋 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 < (𝑁 − 1)))
2		peano2nn0 9236	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ0 → (𝑋 + 1) ∈ ℕ0)
3	2	3ad2ant1 1020	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 < (𝑁 − 1)) → (𝑋 + 1) ∈ ℕ0)
4	3	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 < (𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 + 1) ∈ ℕ0)
5		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 < (𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
6		nn0re 9205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ0 → 𝑋 ∈ ℝ)
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℝ)
8		1red 7992	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
9		nnre 8946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
10	9	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
11	7, 8, 10	ltaddsubd 8522	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑋 + 1) < 𝑁 ↔ 𝑋 < (𝑁 − 1)))
12	11	biimprd 158	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 < (𝑁 − 1) → (𝑋 + 1) < 𝑁))
13	12	impancom 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 < (𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 + 1) < 𝑁))
14	13	3adant2 1018	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 < (𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 + 1) < 𝑁))
15	14	imp 124	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 < (𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 + 1) < 𝑁)
16		elfzo0 10202	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 + 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑋 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 + 1) < 𝑁))
17	4, 5, 15, 16	syl3anbrc 1183	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 < (𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 + 1) ∈ (0..^𝑁))
18	17	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 < (𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 + 1) ∈ (0..^𝑁)))
19	1, 18	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 + 1) ∈ (0..^𝑁)))
20	19	impcom 125	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑋 + 1) ∈ (0..^𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5892  ℝcr 7830  0cc0 7831  1c1 7832   + caddc 7834   < clt 8012   − cmin 8148  ℕcn 8939  ℕ₀cn0 9196  ..^cfzo 10162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7922  ax-resscn 7923  ax-1cn 7924  ax-1re 7925  ax-icn 7926  ax-addcl 7927  ax-addrcl 7928  ax-mulcl 7929  ax-addcom 7931  ax-addass 7933  ax-distr 7935  ax-i2m1 7936  ax-0lt1 7937  ax-0id 7939  ax-rnegex 7940  ax-cnre 7942  ax-pre-ltirr 7943  ax-pre-ltwlin 7944  ax-pre-lttrn 7945  ax-pre-ltadd 7947

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-pnf 8014  df-mnf 8015  df-xr 8016  df-ltxr 8017  df-le 8018  df-sub 8150  df-neg 8151  df-inn 8940  df-n0 9197  df-z 9274  df-uz 9549  df-fz 10029  df-fzo 10163

This theorem is referenced by: (None)