Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzom1p1elfzo GIF version

Theorem elfzom1p1elfzo 10042
 Description: Increasing an element of a half-open range of nonnegative integers by 1 results in an element of the half-open range of nonnegative integers with an upper bound increased by 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzom1p1elfzo ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑋 + 1) ∈ (0..^𝑁))

Proof of Theorem elfzom1p1elfzo
StepHypRef Expression
1 elfzo0 10010 . . 3 (𝑋 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) ↔ (𝑋 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 < (𝑁 − 1)))
2 peano2nn0 9061 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℕ0 → (𝑋 + 1) ∈ ℕ0)
323ad2ant1 1003 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 < (𝑁 − 1)) → (𝑋 + 1) ∈ ℕ0)
43adantr 274 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 < (𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 + 1) ∈ ℕ0)
5 simpr 109 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 < (𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
6 nn0re 9030 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℝ)
76adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℝ)
8 1red 7825 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
9 nnre 8771 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
109adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
117, 8, 10ltaddsubd 8351 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑋 + 1) < 𝑁𝑋 < (𝑁 − 1)))
1211biimprd 157 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 < (𝑁 − 1) → (𝑋 + 1) < 𝑁))
1312impancom 258 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑋 < (𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 + 1) < 𝑁))
14133adant2 1001 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 < (𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 + 1) < 𝑁))
1514imp 123 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 < (𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 + 1) < 𝑁)
16 elfzo0 10010 . . . . 5 ((𝑋 + 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑋 + 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 + 1) < 𝑁))
174, 5, 15, 16syl3anbrc 1166 . . . 4 (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 < (𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 + 1) ∈ (0..^𝑁))
1817ex 114 . . 3 ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 < (𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 + 1) ∈ (0..^𝑁)))
191, 18sylbi 120 . 2 (𝑋 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 + 1) ∈ (0..^𝑁)))
2019impcom 124 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑋 + 1) ∈ (0..^𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 963   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3938  (class class class)co 5783  ℝcr 7663  0cc0 7664  1c1 7665   + caddc 7667   < clt 7844   − cmin 7977  ℕcn 8764  ℕ0cn0 9021  ..^cfzo 9970 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-addcom 7764  ax-addass 7766  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-ltadd 7780 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-id 4224  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-fv 5140  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-inn 8765  df-n0 9022  df-z 9099  df-uz 9371  df-fz 9842  df-fzo 9971 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator