Theorem lgsabs1 14443

Description: The Legendre symbol is nonzero (and hence equal to 1 or -u 1) precisely when the arguments are coprime. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsabs1	|- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( A /L N ) ) = 1 <-> ( A gcd N ) = 1 ) )

Proof of Theorem lgsabs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgscl 14418	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) e. ZZ )
2	1	zcnd 9376	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) e. CC )
3	2	abscld 11190	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( abs ` ( A /L N ) ) e. RR )
4		1re 7956	. . 3 |- 1 e. RR
5		letri3 8038	. . 3 |- ( ( ( abs ` ( A /L N ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` ( A /L N ) ) = 1 <-> ( ( abs ` ( A /L N ) ) <_ 1 /\ 1 <_ ( abs ` ( A /L N ) ) ) ) )
6	3, 4, 5	sylancl 413	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( A /L N ) ) = 1 <-> ( ( abs ` ( A /L N ) ) <_ 1 /\ 1 <_ ( abs ` ( A /L N ) ) ) ) )
7		lgsle1 14419	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( abs ` ( A /L N ) ) <_ 1 )
8	7	biantrurd 305	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1 <_ ( abs ` ( A /L N ) ) <-> ( ( abs ` ( A /L N ) ) <_ 1 /\ 1 <_ ( abs ` ( A /L N ) ) ) ) )
9		nnne0 8947	. . . 4 |- ( ( abs ` ( A /L N ) ) e. NN -> ( abs ` ( A /L N ) ) =/= 0 )
10		neneq 2369	. . . . . . 7 |- ( ( abs ` ( A /L N ) ) =/= 0 -> -. ( abs ` ( A /L N ) ) = 0 )
11	10	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( abs ` ( A /L N ) ) =/= 0 ) -> -. ( abs ` ( A /L N ) ) = 0 )
12		nn0abscl 11094	. . . . . . . . 9 |- ( ( A /L N ) e. ZZ -> ( abs ` ( A /L N ) ) e. NN0 )
13	1, 12	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( abs ` ( A /L N ) ) e. NN0 )
14		elnn0 9178	. . . . . . . 8 |- ( ( abs ` ( A /L N ) ) e. NN0 <-> ( ( abs ` ( A /L N ) ) e. NN \/ ( abs ` ( A /L N ) ) = 0 ) )
15	13, 14	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( A /L N ) ) e. NN \/ ( abs ` ( A /L N ) ) = 0 ) )
16	15	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( abs ` ( A /L N ) ) =/= 0 ) -> ( ( abs ` ( A /L N ) ) e. NN \/ ( abs ` ( A /L N ) ) = 0 ) )
17	11, 16	ecased 1349	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( abs ` ( A /L N ) ) =/= 0 ) -> ( abs ` ( A /L N ) ) e. NN )
18	17	ex 115	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( A /L N ) ) =/= 0 -> ( abs ` ( A /L N ) ) e. NN ) )
19	9, 18	impbid2 143	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( A /L N ) ) e. NN <-> ( abs ` ( A /L N ) ) =/= 0 ) )
20		elnnnn0c 9221	. . . . 5 |- ( ( abs ` ( A /L N ) ) e. NN <-> ( ( abs ` ( A /L N ) ) e. NN0 /\ 1 <_ ( abs ` ( A /L N ) ) ) )
21	20	baib 919	. . . 4 |- ( ( abs ` ( A /L N ) ) e. NN0 -> ( ( abs ` ( A /L N ) ) e. NN <-> 1 <_ ( abs ` ( A /L N ) ) ) )
22	13, 21	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( A /L N ) ) e. NN <-> 1 <_ ( abs ` ( A /L N ) ) ) )
23		abs00 11073	. . . . . 6 |- ( ( A /L N ) e. CC -> ( ( abs ` ( A /L N ) ) = 0 <-> ( A /L N ) = 0 ) )
24	23	necon3bid 2388	. . . . 5 |- ( ( A /L N ) e. CC -> ( ( abs ` ( A /L N ) ) =/= 0 <-> ( A /L N ) =/= 0 ) )
25	2, 24	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( A /L N ) ) =/= 0 <-> ( A /L N ) =/= 0 ) )
26		lgsne0 14442	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( A /L N ) =/= 0 <-> ( A gcd N ) = 1 ) )
27	25, 26	bitrd 188	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( A /L N ) ) =/= 0 <-> ( A gcd N ) = 1 ) )
28	19, 22, 27	3bitr3d 218	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1 <_ ( abs ` ( A /L N ) ) <-> ( A gcd N ) = 1 ) )
29	6, 8, 28	3bitr2d 216	1 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( A /L N ) ) = 1 <-> ( A gcd N ) = 1 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   class class class wbr 4004   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   CCcc 7809   RRcr 7810   0cc0 7811   1c1 7812   <_ cle 7993   NNcn 8919   NN0cn0 9176   ZZcz 9253   abscabs 11006   gcd cgcd 11943   /Lclgs 14401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-2o 6418  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-5 8981  df-6 8982  df-7 8983  df-8 8984  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-proddc 11559  df-dvds 11795  df-gcd 11944  df-prm 12108  df-phi 12211  df-pc 12285  df-lgs 14402

This theorem is referenced by:  lgssq  14444  lgssq2  14445