ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lgsabs1 Unicode version

Theorem lgsabs1 13933
Description: The Legendre symbol is nonzero (and hence equal to  1 or  -u 1) precisely when the arguments are coprime. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsabs1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  =  1  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )

Proof of Theorem lgsabs1
StepHypRef Expression
1 lgscl 13908 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  /L
N )  e.  ZZ )
21zcnd 9347 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  /L
N )  e.  CC )
32abscld 11157 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( A  /L N ) )  e.  RR )
4 1re 7931 . . 3  |-  1  e.  RR
5 letri3 8012 . . 3  |-  ( ( ( abs `  ( A  /L N ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  =  1  <->  (
( abs `  ( A  /L N ) )  <_  1  /\  1  <_  ( abs `  ( A  /L N ) ) ) ) )
63, 4, 5sylancl 413 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  =  1  <->  (
( abs `  ( A  /L N ) )  <_  1  /\  1  <_  ( abs `  ( A  /L N ) ) ) ) )
7 lgsle1 13909 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( A  /L N ) )  <_  1 )
87biantrurd 305 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 1  <_  ( abs `  ( A  /L N ) )  <-> 
( ( abs `  ( A  /L N ) )  <_  1  /\  1  <_  ( abs `  ( A  /L N ) ) ) ) )
9 nnne0 8918 . . . 4  |-  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  e.  NN  ->  ( abs `  ( A  /L N ) )  =/=  0 )
10 neneq 2367 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  =/=  0  ->  -.  ( abs `  ( A  /L N ) )  =  0 )
1110adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( abs `  ( A  /L N ) )  =/=  0 )  ->  -.  ( abs `  ( A  /L
N ) )  =  0 )
12 nn0abscl 11061 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /L N )  e.  ZZ  ->  ( abs `  ( A  /L N ) )  e.  NN0 )
131, 12syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( A  /L N ) )  e.  NN0 )
14 elnn0 9149 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  e.  NN0  <->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  e.  NN  \/  ( abs `  ( A  /L N ) )  =  0 ) )
1513, 14sylib 122 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  e.  NN  \/  ( abs `  ( A  /L N ) )  =  0 ) )
1615adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( abs `  ( A  /L N ) )  =/=  0 )  ->  ( ( abs `  ( A  /L
N ) )  e.  NN  \/  ( abs `  ( A  /L
N ) )  =  0 ) )
1711, 16ecased 1349 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( abs `  ( A  /L N ) )  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( A  /L N ) )  e.  NN )
1817ex 115 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  =/=  0  -> 
( abs `  ( A  /L N ) )  e.  NN ) )
199, 18impbid2 143 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  e.  NN  <->  ( abs `  ( A  /L
N ) )  =/=  0 ) )
20 elnnnn0c 9192 . . . . 5  |-  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  e.  NN  <->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  e.  NN0  /\  1  <_  ( abs `  ( A  /L N ) ) ) )
2120baib 919 . . . 4  |-  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  e.  NN0  ->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  e.  NN  <->  1  <_  ( abs `  ( A  /L N ) ) ) )
2213, 21syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  e.  NN  <->  1  <_  ( abs `  ( A  /L N ) ) ) )
23 abs00 11040 . . . . . 6  |-  ( ( A  /L N )  e.  CC  ->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  =  0  <->  ( A  /L N )  =  0 ) )
2423necon3bid 2386 . . . . 5  |-  ( ( A  /L N )  e.  CC  ->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  =/=  0  <->  ( A  /L N )  =/=  0 ) )
252, 24syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  =/=  0  <->  ( A  /L N )  =/=  0 ) )
26 lgsne0 13932 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( A  /L N )  =/=  0  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
2725, 26bitrd 188 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  =/=  0  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
2819, 22, 273bitr3d 218 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 1  <_  ( abs `  ( A  /L N ) )  <-> 
( A  gcd  N
)  =  1 ) )
296, 8, 283bitr2d 216 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  =  1  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708    = wceq 1353    e. wcel 2146    =/= wne 2345   class class class wbr 3998   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   CCcc 7784   RRcr 7785   0cc0 7786   1c1 7787    <_ cle 7967   NNcn 8890   NN0cn0 9147   ZZcz 9224   abscabs 10973    gcd cgcd 11909    /Lclgs 13891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-frec 6382  df-1o 6407  df-2o 6408  df-oadd 6411  df-er 6525  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-5 8952  df-6 8953  df-7 8954  df-8 8955  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-q 9591  df-rp 9623  df-fz 9978  df-fzo 10111  df-fl 10238  df-mod 10291  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-ihash 10722  df-cj 10818  df-re 10819  df-im 10820  df-rsqrt 10974  df-abs 10975  df-clim 11254  df-proddc 11526  df-dvds 11762  df-gcd 11910  df-prm 12074  df-phi 12177  df-pc 12251  df-lgs 13892
This theorem is referenced by:  lgssq  13934  lgssq2  13935
  Copyright terms: Public domain W3C validator