Theorem nn0o1gt2 12416

Description: An odd nonnegative integer is either 1 or greater than 2. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0o1gt2	|- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )

Proof of Theorem nn0o1gt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9371	. . 3 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		elnnnn0c 9414	. . . . 5 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )
3		1z 9472	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
4		nn0z 9466	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
5		zleloe 9493	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1 <_ N <-> ( 1 < N \/ 1 = N ) ) )
6	3, 4, 5	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 1 <_ N <-> ( 1 < N \/ 1 = N ) ) )
7		1zzd 9473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> 1 e. ZZ )
8		zltp1le 9501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1 < N <-> ( 1 + 1 ) <_ N ) )
9	7, 4, 8	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( 1 < N <-> ( 1 + 1 ) <_ N ) )
10		1p1e2 9227	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 + 1 ) = 2
11	10	breq1i 4090	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 + 1 ) <_ N <-> 2 <_ N )
12	11	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( ( 1 + 1 ) <_ N <-> 2 <_ N ) )
13		2z 9474	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. ZZ
14		zleloe 9493	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 2 <_ N <-> ( 2 < N \/ 2 = N ) ) )
15	13, 4, 14	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( 2 <_ N <-> ( 2 < N \/ 2 = N ) ) )
16	9, 12, 15	3bitrd 214	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( 1 < N <-> ( 2 < N \/ 2 = N ) ) )
17		olc 716	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 < N -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
18	17	2a1d 23	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 < N -> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
19		oveq1 6008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N = 2 -> ( N + 1 ) = ( 2 + 1 ) )
20	19	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N = 2 -> ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( ( 2 + 1 ) / 2 ) )
21	20	eqcoms 2232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 = N -> ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( ( 2 + 1 ) / 2 ) )
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 = N ) -> ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( ( 2 + 1 ) / 2 ) )
23		2p1e3 9244	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 + 1 ) = 3
24	23	oveq1i 6011	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 + 1 ) / 2 ) = ( 3 / 2 )
25	22, 24	eqtrdi 2278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 = N ) -> ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( 3 / 2 ) )
26	25	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 = N ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( 3 / 2 ) e. NN0 ) )
27		3halfnz 9544	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -. ( 3 / 2 ) e. ZZ
28		nn0z 9466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 3 / 2 ) e. NN0 -> ( 3 / 2 ) e. ZZ )
29	28	pm2.24d 625	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 3 / 2 ) e. NN0 -> ( -. ( 3 / 2 ) e. ZZ -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
30	27, 29	mpi 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 3 / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
31	26, 30	biimtrdi 163	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 = N ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
32	31	expcom 116	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 = N -> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
33	18, 32	jaoi 721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 < N \/ 2 = N ) -> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
34	33	com12 30	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 < N \/ 2 = N ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
35	16, 34	sylbid 150	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( 1 < N -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
36	35	com12 30	. . . . . . . . 9 |- ( 1 < N -> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
37		orc 717	. . . . . . . . . . 11 |- ( N = 1 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
38	37	eqcoms 2232	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 = N -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
39	38	2a1d 23	. . . . . . . . 9 |- ( 1 = N -> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
40	36, 39	jaoi 721	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 < N \/ 1 = N ) -> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
41	40	com12 30	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( 1 < N \/ 1 = N ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
42	6, 41	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 1 <_ N -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
43	42	imp 124	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
44	2, 43	sylbi 121	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
45		oveq1 6008	. . . . . . . 8 |- ( N = 0 -> ( N + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
46		0p1e1 9224	. . . . . . . 8 |- ( 0 + 1 ) = 1
47	45, 46	eqtrdi 2278	. . . . . . 7 |- ( N = 0 -> ( N + 1 ) = 1 )
48	47	oveq1d 6016	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( 1 / 2 ) )
49	48	eleq1d 2298	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( 1 / 2 ) e. NN0 ) )
50		halfnz 9543	. . . . . 6 |- -. ( 1 / 2 ) e. ZZ
51		nn0z 9466	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / 2 ) e. NN0 -> ( 1 / 2 ) e. ZZ )
52	51	pm2.24d 625	. . . . . 6 |- ( ( 1 / 2 ) e. NN0 -> ( -. ( 1 / 2 ) e. ZZ -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
53	50, 52	mpi 15	. . . . 5 |- ( ( 1 / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
54	49, 53	biimtrdi 163	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
55	44, 54	jaoi 721	. . 3 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
56	1, 55	sylbi 121	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
57	56	imp 124	1 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   0cc0 7999   1c1 8000   + caddc 8002   < clt 8181   <_ cle 8182   / cdiv 8819   NNcn 9110   2c2 9161   3c3 9162   NN0cn0 9369   ZZcz 9446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447

This theorem is referenced by:  nno  12417  nn0o  12418