Theorem nn0o1gt2 11913

Description: An odd nonnegative integer is either 1 or greater than 2. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0o1gt2	|- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )

Proof of Theorem nn0o1gt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9181	. . 3 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		elnnnn0c 9224	. . . . 5 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )
3		1z 9282	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
4		nn0z 9276	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
5		zleloe 9303	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1 <_ N <-> ( 1 < N \/ 1 = N ) ) )
6	3, 4, 5	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 1 <_ N <-> ( 1 < N \/ 1 = N ) ) )
7		1zzd 9283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> 1 e. ZZ )
8		zltp1le 9310	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1 < N <-> ( 1 + 1 ) <_ N ) )
9	7, 4, 8	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( 1 < N <-> ( 1 + 1 ) <_ N ) )
10		1p1e2 9039	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 + 1 ) = 2
11	10	breq1i 4012	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 + 1 ) <_ N <-> 2 <_ N )
12	11	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( ( 1 + 1 ) <_ N <-> 2 <_ N ) )
13		2z 9284	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. ZZ
14		zleloe 9303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 2 <_ N <-> ( 2 < N \/ 2 = N ) ) )
15	13, 4, 14	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( 2 <_ N <-> ( 2 < N \/ 2 = N ) ) )
16	9, 12, 15	3bitrd 214	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( 1 < N <-> ( 2 < N \/ 2 = N ) ) )
17		olc 711	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 < N -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
18	17	2a1d 23	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 < N -> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
19		oveq1 5885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N = 2 -> ( N + 1 ) = ( 2 + 1 ) )
20	19	oveq1d 5893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N = 2 -> ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( ( 2 + 1 ) / 2 ) )
21	20	eqcoms 2180	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 = N -> ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( ( 2 + 1 ) / 2 ) )
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 = N ) -> ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( ( 2 + 1 ) / 2 ) )
23		2p1e3 9055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 + 1 ) = 3
24	23	oveq1i 5888	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 + 1 ) / 2 ) = ( 3 / 2 )
25	22, 24	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 = N ) -> ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( 3 / 2 ) )
26	25	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 = N ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( 3 / 2 ) e. NN0 ) )
27		3halfnz 9353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -. ( 3 / 2 ) e. ZZ
28		nn0z 9276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 3 / 2 ) e. NN0 -> ( 3 / 2 ) e. ZZ )
29	28	pm2.24d 622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 3 / 2 ) e. NN0 -> ( -. ( 3 / 2 ) e. ZZ -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
30	27, 29	mpi 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 3 / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
31	26, 30	biimtrdi 163	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 = N ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
32	31	expcom 116	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 = N -> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
33	18, 32	jaoi 716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 < N \/ 2 = N ) -> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
34	33	com12 30	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 < N \/ 2 = N ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
35	16, 34	sylbid 150	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( 1 < N -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
36	35	com12 30	. . . . . . . . 9 |- ( 1 < N -> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
37		orc 712	. . . . . . . . . . 11 |- ( N = 1 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
38	37	eqcoms 2180	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 = N -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
39	38	2a1d 23	. . . . . . . . 9 |- ( 1 = N -> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
40	36, 39	jaoi 716	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 < N \/ 1 = N ) -> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
41	40	com12 30	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( 1 < N \/ 1 = N ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
42	6, 41	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 1 <_ N -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
43	42	imp 124	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
44	2, 43	sylbi 121	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
45		oveq1 5885	. . . . . . . 8 |- ( N = 0 -> ( N + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
46		0p1e1 9036	. . . . . . . 8 |- ( 0 + 1 ) = 1
47	45, 46	eqtrdi 2226	. . . . . . 7 |- ( N = 0 -> ( N + 1 ) = 1 )
48	47	oveq1d 5893	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( 1 / 2 ) )
49	48	eleq1d 2246	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( 1 / 2 ) e. NN0 ) )
50		halfnz 9352	. . . . . 6 |- -. ( 1 / 2 ) e. ZZ
51		nn0z 9276	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / 2 ) e. NN0 -> ( 1 / 2 ) e. ZZ )
52	51	pm2.24d 622	. . . . . 6 |- ( ( 1 / 2 ) e. NN0 -> ( -. ( 1 / 2 ) e. ZZ -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
53	50, 52	mpi 15	. . . . 5 |- ( ( 1 / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
54	49, 53	biimtrdi 163	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
55	44, 54	jaoi 716	. . 3 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
56	1, 55	sylbi 121	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
57	56	imp 124	1 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878   0cc0 7814   1c1 7815   + caddc 7817   < clt 7995   <_ cle 7996   / cdiv 8632   NNcn 8922   2c2 8973   3c3 8974   NN0cn0 9179   ZZcz 9256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257

This theorem is referenced by:  nno  11914  nn0o  11915