Theorem nn0o1gt2 12331

Description: An odd nonnegative integer is either 1 or greater than 2. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0o1gt2	|- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )

Proof of Theorem nn0o1gt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9332	. . 3 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		elnnnn0c 9375	. . . . 5 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )
3		1z 9433	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
4		nn0z 9427	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
5		zleloe 9454	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1 <_ N <-> ( 1 < N \/ 1 = N ) ) )
6	3, 4, 5	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 1 <_ N <-> ( 1 < N \/ 1 = N ) ) )
7		1zzd 9434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> 1 e. ZZ )
8		zltp1le 9462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1 < N <-> ( 1 + 1 ) <_ N ) )
9	7, 4, 8	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( 1 < N <-> ( 1 + 1 ) <_ N ) )
10		1p1e2 9188	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 + 1 ) = 2
11	10	breq1i 4066	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 + 1 ) <_ N <-> 2 <_ N )
12	11	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( ( 1 + 1 ) <_ N <-> 2 <_ N ) )
13		2z 9435	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. ZZ
14		zleloe 9454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 2 <_ N <-> ( 2 < N \/ 2 = N ) ) )
15	13, 4, 14	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( 2 <_ N <-> ( 2 < N \/ 2 = N ) ) )
16	9, 12, 15	3bitrd 214	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( 1 < N <-> ( 2 < N \/ 2 = N ) ) )
17		olc 713	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 < N -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
18	17	2a1d 23	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 < N -> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
19		oveq1 5974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N = 2 -> ( N + 1 ) = ( 2 + 1 ) )
20	19	oveq1d 5982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N = 2 -> ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( ( 2 + 1 ) / 2 ) )
21	20	eqcoms 2210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 = N -> ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( ( 2 + 1 ) / 2 ) )
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 = N ) -> ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( ( 2 + 1 ) / 2 ) )
23		2p1e3 9205	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 + 1 ) = 3
24	23	oveq1i 5977	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 + 1 ) / 2 ) = ( 3 / 2 )
25	22, 24	eqtrdi 2256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 = N ) -> ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( 3 / 2 ) )
26	25	eleq1d 2276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 = N ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( 3 / 2 ) e. NN0 ) )
27		3halfnz 9505	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -. ( 3 / 2 ) e. ZZ
28		nn0z 9427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 3 / 2 ) e. NN0 -> ( 3 / 2 ) e. ZZ )
29	28	pm2.24d 623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 3 / 2 ) e. NN0 -> ( -. ( 3 / 2 ) e. ZZ -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
30	27, 29	mpi 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 3 / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
31	26, 30	biimtrdi 163	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 = N ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
32	31	expcom 116	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 = N -> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
33	18, 32	jaoi 718	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 < N \/ 2 = N ) -> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
34	33	com12 30	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 < N \/ 2 = N ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
35	16, 34	sylbid 150	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( 1 < N -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
36	35	com12 30	. . . . . . . . 9 |- ( 1 < N -> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
37		orc 714	. . . . . . . . . . 11 |- ( N = 1 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
38	37	eqcoms 2210	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 = N -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
39	38	2a1d 23	. . . . . . . . 9 |- ( 1 = N -> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
40	36, 39	jaoi 718	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 < N \/ 1 = N ) -> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
41	40	com12 30	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( 1 < N \/ 1 = N ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
42	6, 41	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 1 <_ N -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
43	42	imp 124	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
44	2, 43	sylbi 121	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
45		oveq1 5974	. . . . . . . 8 |- ( N = 0 -> ( N + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
46		0p1e1 9185	. . . . . . . 8 |- ( 0 + 1 ) = 1
47	45, 46	eqtrdi 2256	. . . . . . 7 |- ( N = 0 -> ( N + 1 ) = 1 )
48	47	oveq1d 5982	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( 1 / 2 ) )
49	48	eleq1d 2276	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( 1 / 2 ) e. NN0 ) )
50		halfnz 9504	. . . . . 6 |- -. ( 1 / 2 ) e. ZZ
51		nn0z 9427	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / 2 ) e. NN0 -> ( 1 / 2 ) e. ZZ )
52	51	pm2.24d 623	. . . . . 6 |- ( ( 1 / 2 ) e. NN0 -> ( -. ( 1 / 2 ) e. ZZ -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
53	50, 52	mpi 15	. . . . 5 |- ( ( 1 / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
54	49, 53	biimtrdi 163	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
55	44, 54	jaoi 718	. . 3 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
56	1, 55	sylbi 121	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
57	56	imp 124	1 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2178   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967   0cc0 7960   1c1 7961   + caddc 7963   < clt 8142   <_ cle 8143   / cdiv 8780   NNcn 9071   2c2 9122   3c3 9123   NN0cn0 9330   ZZcz 9407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408

This theorem is referenced by:  nno  12332  nn0o  12333