ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elnnnn0c GIF version

Theorem elnnnn0c 9250
Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 10-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
elnnnn0c (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnnnn0c
StepHypRef Expression
1 nnnn0 9212 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 nnge1 8971 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
31, 2jca 306 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
4 0lt1 8113 . . . . 5 0 < 1
5 nn0re 9214 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
6 0re 7986 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
7 1re 7985 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
8 ltletr 8076 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
96, 7, 8mp3an12 1338 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
105, 9syl 14 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
114, 10mpani 430 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁))
1211imdistani 445 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁))
13 elnnnn0b 9249 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁))
1412, 13sylibr 134 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
153, 14impbii 126 1 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wcel 2160   class class class wbr 4018  cr 7839  0cc0 7840  1c1 7841   < clt 8021  cle 8022  cn 8948  0cn0 9205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-ltadd 7956
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4650  df-cnv 4652  df-iota 5196  df-fv 5243  df-ov 5898  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-inn 8949  df-n0 9206
This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn  9265  nn0o1gt2  11941  pcelnn  12352  lgsabs1  14893
  Copyright terms: Public domain W3C validator