Theorem elnnnn0c 9447

Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 10-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnnn0c	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnnnn0c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 9409	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		nnge1 9166	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
3	1, 2	jca 306	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
4		0lt1 8306	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
5		nn0re 9411	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
6		0re 8179	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		1re 8178	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		ltletr 8269	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
9	6, 7, 8	mp3an12 1363	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
10	5, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
11	4, 10	mpani 430	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁))
12	11	imdistani 445	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁))
13		elnnnn0b 9446	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁))
14	12, 13	sylibr 134	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
15	3, 14	impbii 126	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ℝcr 8031  0cc0 8032  1c1 8033   < clt 8214   ≤ cle 8215  ℕcn 9143  ℕ₀cn0 9402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6021  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-inn 9144  df-n0 9403

This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn  9462  wrdsymb1  11154  lswccats1fst  11225  nn0o1gt2  12471  pcelnn  12899  lgsabs1  15774