Theorem elnnnn0c 9490

Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 10-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnnn0c	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnnnn0c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 9452	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		nnge1 9209	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
3	1, 2	jca 306	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
4		0lt1 8349	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
5		nn0re 9454	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
6		0re 8222	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		1re 8221	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		ltletr 8312	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
9	6, 7, 8	mp3an12 1364	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
10	5, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
11	4, 10	mpani 430	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁))
12	11	imdistani 445	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁))
13		elnnnn0b 9489	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁))
14	12, 13	sylibr 134	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
15	3, 14	impbii 126	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ℝcr 8074  0cc0 8075  1c1 8076   < clt 8257   ≤ cle 8258  ℕcn 9186  ℕ₀cn0 9445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-inn 9187  df-n0 9446

This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn  9505  wrdsymb1  11197  lswccats1fst  11268  nn0o1gt2  12527  pcelnn  12955  lgsabs1  15838