ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elnnnn0c GIF version

Theorem elnnnn0c 8779
Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 10-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
elnnnn0c (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnnnn0c
StepHypRef Expression
1 nnnn0 8741 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 nnge1 8506 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
31, 2jca 301 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
4 0lt1 7671 . . . . 5 0 < 1
5 nn0re 8743 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
6 0re 7549 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
7 1re 7548 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
8 ltletr 7635 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
96, 7, 8mp3an12 1264 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
105, 9syl 14 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
114, 10mpani 422 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁))
1211imdistani 435 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁))
13 elnnnn0b 8778 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁))
1412, 13sylibr 133 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
153, 14impbii 125 1 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 1439   class class class wbr 3851  cr 7410  0cc0 7411  1c1 7412   < clt 7583  cle 7584  cn 8483  0cn0 8734
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-ltadd 7522
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2622  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-xp 4458  df-cnv 4460  df-iota 4993  df-fv 5036  df-ov 5669  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-inn 8484  df-n0 8735
This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn  8794  nn0o1gt2  11244
  Copyright terms: Public domain W3C validator