ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluzsubi GIF version

Theorem eluzsubi 9203
Description: Membership in an earlier upper set of integers. (Contributed by Paul Chapman, 22-Nov-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
eluzaddi.1 𝑀 ∈ ℤ
eluzaddi.2 𝐾 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
eluzsubi (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)) → (𝑁𝐾) ∈ (ℤ𝑀))

Proof of Theorem eluzsubi
StepHypRef Expression
1 eluzelz 9185 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)) → 𝑁 ∈ ℤ)
2 eluzaddi.2 . . 3 𝐾 ∈ ℤ
3 zsubcl 8947 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
41, 2, 3sylancl 407 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
5 eluzaddi.1 . . . . 5 𝑀 ∈ ℤ
6 zaddcl 8946 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
75, 2, 6mp2an 420 . . . 4 (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ
87eluz1i 9183 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑁))
9 zre 8910 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
105zrei 8912 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℝ
112zrei 8912 . . . . . 6 𝐾 ∈ ℝ
12 leaddsub 8067 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑁𝑀 ≤ (𝑁𝐾)))
1310, 11, 12mp3an12 1273 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑁𝑀 ≤ (𝑁𝐾)))
149, 13syl 14 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑁𝑀 ≤ (𝑁𝐾)))
1514biimpa 292 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁𝐾))
168, 15sylbi 120 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)) → 𝑀 ≤ (𝑁𝐾))
175eluz1i 9183 . 2 ((𝑁𝐾) ∈ (ℤ𝑀) ↔ ((𝑁𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁𝐾)))
184, 16, 17sylanbrc 411 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)) → (𝑁𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 1448   class class class wbr 3875  cfv 5059  (class class class)co 5706  cr 7499   + caddc 7503  cle 7673  cmin 7804  cz 8906  cuz 9176
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-ltadd 7611
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator