Theorem eluzsubi 9620

Description: Membership in an earlier upper set of integers. (Contributed by Paul Chapman, 22-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
eluzaddi.1	⊢ 𝑀 ∈ ℤ
eluzaddi.2	⊢ 𝐾 ∈ ℤ

Assertion

Ref	Expression
eluzsubi	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem eluzsubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9601	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		eluzaddi.2	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
3		zsubcl 9358	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	sylancl 413	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
5		eluzaddi.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
6		zaddcl 9357	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
7	5, 2, 6	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ
8	7	eluz1i 9599	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑁))
9		zre 9321	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
10	5	zrei 9323	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℝ
11	2	zrei 9323	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
12		leaddsub 8457	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
13	10, 11, 12	mp3an12 1338	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
14	9, 13	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
15	14	biimpa 296	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 𝐾))
16	8, 15	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 𝐾))
17	5	eluz1i 9599	. 2 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
18	4, 16, 17	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℝcr 7871   + caddc 7875   ≤ cle 8055   − cmin 8190  ℤcz 9317  ℤ_≥cuz 9592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593

This theorem is referenced by: (None)