Theorem enqer 7425

Description: The equivalence relation for positive fractions is an equivalence relation. Proposition 9-2.1 of [Gleason] p. 117. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enqer	⊢ ~Q Er (N × N)

Proof of Theorem enqer

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-enq 7414	. 2 ⊢ ~Q = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦 ∈ (N × N)) ∧ ∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑣, 𝑢⟩) ∧ (𝑧 ·N 𝑢) = (𝑤 ·N 𝑣)))}
2		mulcompig 7398	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
3		mulclpi 7395	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
4		mulasspig 7399	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
5		mulcanpig 7402	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑦) = (𝑥 ·N 𝑧) ↔ 𝑦 = 𝑧))
6	5	biimpd 144	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑦) = (𝑥 ·N 𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
7	1, 2, 3, 4, 6	ecopoverg 6695	1 ⊢ ~Q Er (N × N)

Syntax hints:   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   × cxp 4661  (class class class)co 5922   Er wer 6589  Ncnpi 7339   ·_N cmi 7341   ~_Q ceq 7346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6592  df-ni 7371  df-mi 7373  df-enq 7414

This theorem is referenced by:  enqeceq  7426  0nnq  7431  addpipqqs  7437  mulpipqqs  7440  ordpipqqs  7441  mulcanenqec  7453