Theorem exbtwnzlemshrink 10194

Description: Lemma for exbtwnzlemex 10195. Shrinking the range around A. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
exbtwnzlemshrink.j	|- ( ph -> J e. NN )
exbtwnzlemshrink.a	|- ( ph -> A e. RR )
exbtwnzlemshrink.tri	|- ( ( ph /\ n e. ZZ ) -> ( n <_ A \/ A < n ) )

Assertion

Ref	Expression
exbtwnzlemshrink	|- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )

Distinct variable groups:   A, m, n   x, A, m   m, J   ph, m, n

Allowed substitution hints:   ph( x)   J( x, n)

Proof of Theorem exbtwnzlemshrink

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exbtwnzlemshrink.j	. . 3 |- ( ph -> J e. NN )
2	1	adantr 274	. 2 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) -> J e. NN )
3		oveq2 5859	. . . . . . . 8 |- ( w = 1 -> ( m + w ) = ( m + 1 ) )
4	3	breq2d 3999	. . . . . . 7 |- ( w = 1 -> ( A < ( m + w ) <-> A < ( m + 1 ) ) )
5	4	anbi2d 461	. . . . . 6 |- ( w = 1 -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) ) )
6	5	rexbidv 2471	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) ) )
7	6	anbi2d 461	. . . 4 |- ( w = 1 -> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) <-> ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) ) ) )
8	7	imbi1d 230	. . 3 |- ( w = 1 -> ( ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) <-> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) ) )
9		oveq2 5859	. . . . . . . 8 |- ( w = k -> ( m + w ) = ( m + k ) )
10	9	breq2d 3999	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( A < ( m + w ) <-> A < ( m + k ) ) )
11	10	anbi2d 461	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) ) )
12	11	rexbidv 2471	. . . . 5 |- ( w = k -> ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) ) )
13	12	anbi2d 461	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) <-> ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) ) ) )
14	13	imbi1d 230	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) <-> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) ) )
15		oveq2 5859	. . . . . . . 8 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( m + w ) = ( m + ( k + 1 ) ) )
16	15	breq2d 3999	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( A < ( m + w ) <-> A < ( m + ( k + 1 ) ) ) )
17	16	anbi2d 461	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) ) )
18	17	rexbidv 2471	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) ) )
19	18	anbi2d 461	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) <-> ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) ) ) )
20	19	imbi1d 230	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) <-> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) ) )
21		oveq2 5859	. . . . . . . 8 |- ( w = J -> ( m + w ) = ( m + J ) )
22	21	breq2d 3999	. . . . . . 7 |- ( w = J -> ( A < ( m + w ) <-> A < ( m + J ) ) )
23	22	anbi2d 461	. . . . . 6 |- ( w = J -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) )
24	23	rexbidv 2471	. . . . 5 |- ( w = J -> ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) )
25	24	anbi2d 461	. . . 4 |- ( w = J -> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) <-> ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) ) )
26	25	imbi1d 230	. . 3 |- ( w = J -> ( ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) <-> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) ) )
27		breq1 3990	. . . . . . 7 |- ( m = x -> ( m <_ A <-> x <_ A ) )
28		oveq1 5858	. . . . . . . 8 |- ( m = x -> ( m + 1 ) = ( x + 1 ) )
29	28	breq2d 3999	. . . . . . 7 |- ( m = x -> ( A < ( m + 1 ) <-> A < ( x + 1 ) ) )
30	27, 29	anbi12d 470	. . . . . 6 |- ( m = x -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) <-> ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
31	30	cbvrexv 2697	. . . . 5 |- ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) <-> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
32	31	biimpi 119	. . . 4 |- ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
33	32	adantl 275	. . 3 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
34		simpl 108	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ ph ) -> k e. NN )
35		exbtwnzlemshrink.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR )
36	35	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ ph ) -> A e. RR )
37		exbtwnzlemshrink.tri	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ZZ ) -> ( n <_ A \/ A < n ) )
38	37	adantll 473	. . . . . . 7 |- ( ( ( k e. NN /\ ph ) /\ n e. ZZ ) -> ( n <_ A \/ A < n ) )
39	34, 36, 38	exbtwnzlemstep 10193	. . . . . 6 |- ( ( ( k e. NN /\ ph ) /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) ) -> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) )
40	39	ex 114	. . . . 5 |- ( ( k e. NN /\ ph ) -> ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) -> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) ) )
41	40	imdistanda 446	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) ) ) )
42	41	imim1d 75	. . 3 |- ( k e. NN -> ( ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) -> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) ) )
43	8, 14, 20, 26, 33, 42	nnind 8883	. 2 |- ( J e. NN -> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
44	2, 43	mpcom 36	1 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 703   = wceq 1348   e. wcel 2141   E.wrex 2449   class class class wbr 3987  (class class class)co 5851   RRcr 7762   1c1 7764   + caddc 7766   < clt 7943   <_ cle 7944   NNcn 8867   ZZcz 9201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-addcom 7863  ax-addass 7865  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-ltadd 7879

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-sub 8081  df-neg 8082  df-inn 8868  df-n0 9125  df-z 9202

This theorem is referenced by:  exbtwnzlemex  10195