Theorem exbtwnzlemshrink 10428

Description: Lemma for exbtwnzlemex 10429. Shrinking the range around A. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
exbtwnzlemshrink.j	|- ( ph -> J e. NN )
exbtwnzlemshrink.a	|- ( ph -> A e. RR )
exbtwnzlemshrink.tri	|- ( ( ph /\ n e. ZZ ) -> ( n <_ A \/ A < n ) )

Assertion

Ref	Expression
exbtwnzlemshrink	|- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )

Distinct variable groups:   A, m, n   x, A, m   m, J   ph, m, n

Allowed substitution hints:   ph( x)   J( x, n)

Proof of Theorem exbtwnzlemshrink

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exbtwnzlemshrink.j	. . 3 |- ( ph -> J e. NN )
2	1	adantr 276	. 2 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) -> J e. NN )
3		oveq2 5975	. . . . . . . 8 |- ( w = 1 -> ( m + w ) = ( m + 1 ) )
4	3	breq2d 4071	. . . . . . 7 |- ( w = 1 -> ( A < ( m + w ) <-> A < ( m + 1 ) ) )
5	4	anbi2d 464	. . . . . 6 |- ( w = 1 -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) ) )
6	5	rexbidv 2509	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) ) )
7	6	anbi2d 464	. . . 4 |- ( w = 1 -> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) <-> ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) ) ) )
8	7	imbi1d 231	. . 3 |- ( w = 1 -> ( ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) <-> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) ) )
9		oveq2 5975	. . . . . . . 8 |- ( w = k -> ( m + w ) = ( m + k ) )
10	9	breq2d 4071	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( A < ( m + w ) <-> A < ( m + k ) ) )
11	10	anbi2d 464	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) ) )
12	11	rexbidv 2509	. . . . 5 |- ( w = k -> ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) ) )
13	12	anbi2d 464	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) <-> ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) ) ) )
14	13	imbi1d 231	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) <-> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) ) )
15		oveq2 5975	. . . . . . . 8 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( m + w ) = ( m + ( k + 1 ) ) )
16	15	breq2d 4071	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( A < ( m + w ) <-> A < ( m + ( k + 1 ) ) ) )
17	16	anbi2d 464	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) ) )
18	17	rexbidv 2509	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) ) )
19	18	anbi2d 464	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) <-> ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) ) ) )
20	19	imbi1d 231	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) <-> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) ) )
21		oveq2 5975	. . . . . . . 8 |- ( w = J -> ( m + w ) = ( m + J ) )
22	21	breq2d 4071	. . . . . . 7 |- ( w = J -> ( A < ( m + w ) <-> A < ( m + J ) ) )
23	22	anbi2d 464	. . . . . 6 |- ( w = J -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) )
24	23	rexbidv 2509	. . . . 5 |- ( w = J -> ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) )
25	24	anbi2d 464	. . . 4 |- ( w = J -> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) <-> ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) ) )
26	25	imbi1d 231	. . 3 |- ( w = J -> ( ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) <-> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) ) )
27		breq1 4062	. . . . . . 7 |- ( m = x -> ( m <_ A <-> x <_ A ) )
28		oveq1 5974	. . . . . . . 8 |- ( m = x -> ( m + 1 ) = ( x + 1 ) )
29	28	breq2d 4071	. . . . . . 7 |- ( m = x -> ( A < ( m + 1 ) <-> A < ( x + 1 ) ) )
30	27, 29	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( m = x -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) <-> ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
31	30	cbvrexv 2743	. . . . 5 |- ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) <-> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
32	31	biimpi 120	. . . 4 |- ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
33	32	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
34		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ ph ) -> k e. NN )
35		exbtwnzlemshrink.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR )
36	35	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ ph ) -> A e. RR )
37		exbtwnzlemshrink.tri	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ZZ ) -> ( n <_ A \/ A < n ) )
38	37	adantll 476	. . . . . . 7 |- ( ( ( k e. NN /\ ph ) /\ n e. ZZ ) -> ( n <_ A \/ A < n ) )
39	34, 36, 38	exbtwnzlemstep 10427	. . . . . 6 |- ( ( ( k e. NN /\ ph ) /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) ) -> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) )
40	39	ex 115	. . . . 5 |- ( ( k e. NN /\ ph ) -> ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) -> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) ) )
41	40	imdistanda 448	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) ) ) )
42	41	imim1d 75	. . 3 |- ( k e. NN -> ( ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) -> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) ) )
43	8, 14, 20, 26, 33, 42	nnind 9087	. 2 |- ( J e. NN -> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
44	2, 43	mpcom 36	1 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2178   E.wrex 2487   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967   RRcr 7959   1c1 7961   + caddc 7963   < clt 8142   <_ cle 8143   NNcn 9071   ZZcz 9407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408

This theorem is referenced by:  exbtwnzlemex  10429