Theorem exbtwnzlemshrink 10661

Description: Lemma for exbtwnzlemex 10662. Shrinking the range around A. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
exbtwnzlemshrink.j	|- ( ph -> J e. NN )
exbtwnzlemshrink.a	|- ( ph -> A e. RR )
exbtwnzlemshrink.tri	|- ( ( ph /\ n e. ZZ ) -> ( n <_ A \/ A < n ) )

Assertion

Ref	Expression
exbtwnzlemshrink	|- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )

Distinct variable groups:   A, m, n   x, A, m   m, J   ph, m, n

Allowed substitution hints:   ph( x)   J( x, n)

Proof of Theorem exbtwnzlemshrink

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exbtwnzlemshrink.j	. . 3 |- ( ph -> J e. NN )
2	1	adantr 276	. 2 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) -> J e. NN )
3		oveq2 6083	. . . . . . . 8 |- ( w = 1 -> ( m + w ) = ( m + 1 ) )
4	3	breq2d 4137	. . . . . . 7 |- ( w = 1 -> ( A < ( m + w ) <-> A < ( m + 1 ) ) )
5	4	anbi2d 468	. . . . . 6 |- ( w = 1 -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) ) )
6	5	rexbidv 2551	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) ) )
7	6	anbi2d 468	. . . 4 |- ( w = 1 -> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) <-> ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) ) ) )
8	7	imbi1d 231	. . 3 |- ( w = 1 -> ( ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) <-> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) ) )
9		oveq2 6083	. . . . . . . 8 |- ( w = k -> ( m + w ) = ( m + k ) )
10	9	breq2d 4137	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( A < ( m + w ) <-> A < ( m + k ) ) )
11	10	anbi2d 468	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) ) )
12	11	rexbidv 2551	. . . . 5 |- ( w = k -> ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) ) )
13	12	anbi2d 468	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) <-> ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) ) ) )
14	13	imbi1d 231	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) <-> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) ) )
15		oveq2 6083	. . . . . . . 8 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( m + w ) = ( m + ( k + 1 ) ) )
16	15	breq2d 4137	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( A < ( m + w ) <-> A < ( m + ( k + 1 ) ) ) )
17	16	anbi2d 468	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) ) )
18	17	rexbidv 2551	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) ) )
19	18	anbi2d 468	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) <-> ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) ) ) )
20	19	imbi1d 231	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) <-> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) ) )
21		oveq2 6083	. . . . . . . 8 |- ( w = J -> ( m + w ) = ( m + J ) )
22	21	breq2d 4137	. . . . . . 7 |- ( w = J -> ( A < ( m + w ) <-> A < ( m + J ) ) )
23	22	anbi2d 468	. . . . . 6 |- ( w = J -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) )
24	23	rexbidv 2551	. . . . 5 |- ( w = J -> ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) )
25	24	anbi2d 468	. . . 4 |- ( w = J -> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) <-> ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) ) )
26	25	imbi1d 231	. . 3 |- ( w = J -> ( ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) <-> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) ) )
27		breq1 4128	. . . . . . 7 |- ( m = x -> ( m <_ A <-> x <_ A ) )
28		oveq1 6082	. . . . . . . 8 |- ( m = x -> ( m + 1 ) = ( x + 1 ) )
29	28	breq2d 4137	. . . . . . 7 |- ( m = x -> ( A < ( m + 1 ) <-> A < ( x + 1 ) ) )
30	27, 29	anbi12d 477	. . . . . 6 |- ( m = x -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) <-> ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
31	30	cbvrexv 2787	. . . . 5 |- ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) <-> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
32	31	biimpi 120	. . . 4 |- ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
33	32	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
34		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ ph ) -> k e. NN )
35		exbtwnzlemshrink.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR )
36	35	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ ph ) -> A e. RR )
37		exbtwnzlemshrink.tri	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ZZ ) -> ( n <_ A \/ A < n ) )
38	37	adantll 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( k e. NN /\ ph ) /\ n e. ZZ ) -> ( n <_ A \/ A < n ) )
39	34, 36, 38	exbtwnzlemstep 10660	. . . . . 6 |- ( ( ( k e. NN /\ ph ) /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) ) -> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) )
40	39	ex 115	. . . . 5 |- ( ( k e. NN /\ ph ) -> ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) -> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) ) )
41	40	imdistanda 452	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) ) ) )
42	41	imim1d 75	. . 3 |- ( k e. NN -> ( ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) -> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) ) )
43	8, 14, 20, 26, 33, 42	nnind 9299	. 2 |- ( J e. NN -> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
44	2, 43	mpcom 36	1 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   RRcr 8168   1c1 8170   + caddc 8172   < clt 8350   <_ cle 8351   NNcn 9283   ZZcz 9623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624

This theorem is referenced by:  exbtwnzlemex  10662