ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  exbtwnzlemshrink Unicode version

Theorem exbtwnzlemshrink 9660
Description: Lemma for exbtwnzlemex 9661. Shrinking the range around  A. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
exbtwnzlemshrink.j  |-  ( ph  ->  J  e.  NN )
exbtwnzlemshrink.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
exbtwnzlemshrink.tri  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  <_  A  \/  A  <  n ) )
Assertion
Ref Expression
exbtwnzlemshrink  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  J ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  (
x  +  1 ) ) )
Distinct variable groups:    A, m, n   
x, A, m    m, J    ph, m, n
Allowed substitution hints:    ph( x)    J( x, n)

Proof of Theorem exbtwnzlemshrink
Dummy variables  k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 exbtwnzlemshrink.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  NN )
21adantr 270 . 2  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  J ) ) )  ->  J  e.  NN )
3 oveq2 5660 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  1  ->  (
m  +  w )  =  ( m  + 
1 ) )
43breq2d 3857 . . . . . . 7  |-  ( w  =  1  ->  ( A  <  ( m  +  w )  <->  A  <  ( m  +  1 ) ) )
54anbi2d 452 . . . . . 6  |-  ( w  =  1  ->  (
( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  w ) )  <-> 
( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  1 ) ) ) )
65rexbidv 2381 . . . . 5  |-  ( w  =  1  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  w ) )  <->  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  1 ) ) ) )
76anbi2d 452 . . . 4  |-  ( w  =  1  ->  (
( ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  w ) ) )  <->  ( ph  /\ 
E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  + 
1 ) ) ) ) )
87imbi1d 229 . . 3  |-  ( w  =  1  ->  (
( ( ph  /\  E. m  e.  ZZ  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  w ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  E. m  e.  ZZ  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  + 
1 ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) ) ) )
9 oveq2 5660 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  k  ->  (
m  +  w )  =  ( m  +  k ) )
109breq2d 3857 . . . . . . 7  |-  ( w  =  k  ->  ( A  <  ( m  +  w )  <->  A  <  ( m  +  k ) ) )
1110anbi2d 452 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  (
( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  w ) )  <-> 
( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  k ) ) ) )
1211rexbidv 2381 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  w ) )  <->  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  k ) ) ) )
1312anbi2d 452 . . . 4  |-  ( w  =  k  ->  (
( ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  w ) ) )  <->  ( ph  /\ 
E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  k ) ) ) ) )
1413imbi1d 229 . . 3  |-  ( w  =  k  ->  (
( ( ph  /\  E. m  e.  ZZ  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  w ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  E. m  e.  ZZ  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  k ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) ) ) )
15 oveq2 5660 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
m  +  w )  =  ( m  +  ( k  +  1 ) ) )
1615breq2d 3857 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( A  <  ( m  +  w )  <->  A  <  ( m  +  ( k  +  1 ) ) ) )
1716anbi2d 452 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  w ) )  <-> 
( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( k  +  1 ) ) ) ) )
1817rexbidv 2381 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  w ) )  <->  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  ( k  +  1 ) ) ) ) )
1918anbi2d 452 . . . 4  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  w ) ) )  <->  ( ph  /\ 
E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
2019imbi1d 229 . . 3  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  E. m  e.  ZZ  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  w ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  E. m  e.  ZZ  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) ) ) )
21 oveq2 5660 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  J  ->  (
m  +  w )  =  ( m  +  J ) )
2221breq2d 3857 . . . . . . 7  |-  ( w  =  J  ->  ( A  <  ( m  +  w )  <->  A  <  ( m  +  J ) ) )
2322anbi2d 452 . . . . . 6  |-  ( w  =  J  ->  (
( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  w ) )  <-> 
( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  J ) ) ) )
2423rexbidv 2381 . . . . 5  |-  ( w  =  J  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  w ) )  <->  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  J ) ) ) )
2524anbi2d 452 . . . 4  |-  ( w  =  J  ->  (
( ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  w ) ) )  <->  ( ph  /\ 
E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  J ) ) ) ) )
2625imbi1d 229 . . 3  |-  ( w  =  J  ->  (
( ( ph  /\  E. m  e.  ZZ  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  w ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  E. m  e.  ZZ  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  J ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) ) ) )
27 breq1 3848 . . . . . . 7  |-  ( m  =  x  ->  (
m  <_  A  <->  x  <_  A ) )
28 oveq1 5659 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  x  ->  (
m  +  1 )  =  ( x  + 
1 ) )
2928breq2d 3857 . . . . . . 7  |-  ( m  =  x  ->  ( A  <  ( m  + 
1 )  <->  A  <  ( x  +  1 ) ) )
3027, 29anbi12d 457 . . . . . 6  |-  ( m  =  x  ->  (
( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  1 ) )  <-> 
( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) ) ) )
3130cbvrexv 2591 . . . . 5  |-  ( E. m  e.  ZZ  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  + 
1 ) )  <->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  (
x  +  1 ) ) )
3231biimpi 118 . . . 4  |-  ( E. m  e.  ZZ  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  + 
1 ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )
3332adantl 271 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  1 ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  (
x  +  1 ) ) )
34 simpl 107 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ph )  ->  k  e.  NN )
35 exbtwnzlemshrink.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3635adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ph )  ->  A  e.  RR )
37 exbtwnzlemshrink.tri . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  <_  A  \/  A  <  n ) )
3837adantll 460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
ph )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
n  <_  A  \/  A  <  n ) )
3934, 36, 38exbtwnzlemstep 9659 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
ph )  /\  E. m  e.  ZZ  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  k ) ) )
4039ex 113 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ph )  ->  ( E. m  e.  ZZ  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( k  +  1 ) ) )  ->  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  k ) ) ) )
4140imdistanda 437 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  k ) ) ) ) )
4241imim1d 74 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ph  /\  E. m  e.  ZZ  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  k ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  ->  ( ( ph  /\ 
E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) ) ) )
438, 14, 20, 26, 33, 42nnind 8438 . 2  |-  ( J  e.  NN  ->  (
( ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  J ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  (
x  +  1 ) ) ) )
442, 43mpcom 36 1  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  J ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  (
x  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 664    = wceq 1289    e. wcel 1438   E.wrex 2360   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   RRcr 7349   1c1 7351    + caddc 7353    < clt 7522    <_ cle 7523   NNcn 8422   ZZcz 8750
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-ltadd 7461
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-inn 8423  df-n0 8674  df-z 8751
This theorem is referenced by:  exbtwnzlemex  9661
  Copyright terms: Public domain W3C validator