Theorem exbtwnzlemshrink 9660

Description: Lemma for exbtwnzlemex 9661. Shrinking the range around A. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
exbtwnzlemshrink.j	|- ( ph -> J e. NN )
exbtwnzlemshrink.a	|- ( ph -> A e. RR )
exbtwnzlemshrink.tri	|- ( ( ph /\ n e. ZZ ) -> ( n <_ A \/ A < n ) )

Assertion

Ref	Expression
exbtwnzlemshrink	|- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )

Distinct variable groups:   A, m, n   x, A, m   m, J   ph, m, n

Allowed substitution hints:   ph( x)   J( x, n)

Proof of Theorem exbtwnzlemshrink

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exbtwnzlemshrink.j	. . 3 |- ( ph -> J e. NN )
2	1	adantr 270	. 2 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) -> J e. NN )
3		oveq2 5660	. . . . . . . 8 |- ( w = 1 -> ( m + w ) = ( m + 1 ) )
4	3	breq2d 3857	. . . . . . 7 |- ( w = 1 -> ( A < ( m + w ) <-> A < ( m + 1 ) ) )
5	4	anbi2d 452	. . . . . 6 |- ( w = 1 -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) ) )
6	5	rexbidv 2381	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) ) )
7	6	anbi2d 452	. . . 4 |- ( w = 1 -> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) <-> ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) ) ) )
8	7	imbi1d 229	. . 3 |- ( w = 1 -> ( ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) <-> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) ) )
9		oveq2 5660	. . . . . . . 8 |- ( w = k -> ( m + w ) = ( m + k ) )
10	9	breq2d 3857	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( A < ( m + w ) <-> A < ( m + k ) ) )
11	10	anbi2d 452	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) ) )
12	11	rexbidv 2381	. . . . 5 |- ( w = k -> ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) ) )
13	12	anbi2d 452	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) <-> ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) ) ) )
14	13	imbi1d 229	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) <-> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) ) )
15		oveq2 5660	. . . . . . . 8 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( m + w ) = ( m + ( k + 1 ) ) )
16	15	breq2d 3857	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( A < ( m + w ) <-> A < ( m + ( k + 1 ) ) ) )
17	16	anbi2d 452	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) ) )
18	17	rexbidv 2381	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) ) )
19	18	anbi2d 452	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) <-> ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) ) ) )
20	19	imbi1d 229	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) <-> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) ) )
21		oveq2 5660	. . . . . . . 8 |- ( w = J -> ( m + w ) = ( m + J ) )
22	21	breq2d 3857	. . . . . . 7 |- ( w = J -> ( A < ( m + w ) <-> A < ( m + J ) ) )
23	22	anbi2d 452	. . . . . 6 |- ( w = J -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) )
24	23	rexbidv 2381	. . . . 5 |- ( w = J -> ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) )
25	24	anbi2d 452	. . . 4 |- ( w = J -> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) <-> ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) ) )
26	25	imbi1d 229	. . 3 |- ( w = J -> ( ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) <-> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) ) )
27		breq1 3848	. . . . . . 7 |- ( m = x -> ( m <_ A <-> x <_ A ) )
28		oveq1 5659	. . . . . . . 8 |- ( m = x -> ( m + 1 ) = ( x + 1 ) )
29	28	breq2d 3857	. . . . . . 7 |- ( m = x -> ( A < ( m + 1 ) <-> A < ( x + 1 ) ) )
30	27, 29	anbi12d 457	. . . . . 6 |- ( m = x -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) <-> ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
31	30	cbvrexv 2591	. . . . 5 |- ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) <-> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
32	31	biimpi 118	. . . 4 |- ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
33	32	adantl 271	. . 3 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
34		simpl 107	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ ph ) -> k e. NN )
35		exbtwnzlemshrink.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR )
36	35	adantl 271	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ ph ) -> A e. RR )
37		exbtwnzlemshrink.tri	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ZZ ) -> ( n <_ A \/ A < n ) )
38	37	adantll 460	. . . . . . 7 |- ( ( ( k e. NN /\ ph ) /\ n e. ZZ ) -> ( n <_ A \/ A < n ) )
39	34, 36, 38	exbtwnzlemstep 9659	. . . . . 6 |- ( ( ( k e. NN /\ ph ) /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) ) -> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) )
40	39	ex 113	. . . . 5 |- ( ( k e. NN /\ ph ) -> ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) -> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) ) )
41	40	imdistanda 437	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) ) ) )
42	41	imim1d 74	. . 3 |- ( k e. NN -> ( ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) -> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) ) )
43	8, 14, 20, 26, 33, 42	nnind 8438	. 2 |- ( J e. NN -> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
44	2, 43	mpcom 36	1 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   \/ wo 664   = wceq 1289   e. wcel 1438   E.wrex 2360   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   RRcr 7349   1c1 7351   + caddc 7353   < clt 7522   <_ cle 7523   NNcn 8422   ZZcz 8750

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-ltadd 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-inn 8423  df-n0 8674  df-z 8751

This theorem is referenced by:  exbtwnzlemex  9661