Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  exbtwnzlemshrink GIF version

Theorem exbtwnzlemshrink 10033
 Description: Lemma for exbtwnzlemex 10034. Shrinking the range around 𝐴. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
exbtwnzlemshrink.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
exbtwnzlemshrink.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
exbtwnzlemshrink.tri ((𝜑𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛𝐴𝐴 < 𝑛))
Assertion
Ref Expression
exbtwnzlemshrink ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑥,𝐴,𝑚   𝑚,𝐽   𝜑,𝑚,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem exbtwnzlemshrink
Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 exbtwnzlemshrink.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
21adantr 274 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → 𝐽 ∈ ℕ)
3 oveq2 5782 . . . . . . . 8 (𝑤 = 1 → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + 1))
43breq2d 3941 . . . . . . 7 (𝑤 = 1 → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 1)))
54anbi2d 459 . . . . . 6 (𝑤 = 1 → ((𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 1))))
65rexbidv 2438 . . . . 5 (𝑤 = 1 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 1))))
76anbi2d 459 . . . 4 (𝑤 = 1 → ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 1)))))
87imbi1d 230 . . 3 (𝑤 = 1 → (((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 1))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))))
9 oveq2 5782 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑘 → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + 𝑘))
109breq2d 3941 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑘 → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))
1110anbi2d 459 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → ((𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘))))
1211rexbidv 2438 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘))))
1312anbi2d 459 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))))
1413imbi1d 230 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))))
15 oveq2 5782 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + (𝑘 + 1)))
1615breq2d 3941 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1))))
1716anbi2d 459 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))))
1817rexbidv 2438 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))))
1918anbi2d 459 . . . 4 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1))))))
2019imbi1d 230 . . 3 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))))
21 oveq2 5782 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝐽 → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + 𝐽))
2221breq2d 3941 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐽 → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽)))
2322anbi2d 459 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐽 → ((𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))))
2423rexbidv 2438 . . . . 5 (𝑤 = 𝐽 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))))
2524anbi2d 459 . . . 4 (𝑤 = 𝐽 → ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽)))))
2625imbi1d 230 . . 3 (𝑤 = 𝐽 → (((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))))
27 breq1 3932 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑥 → (𝑚𝐴𝑥𝐴))
28 oveq1 5781 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 + 1) = (𝑥 + 1))
2928breq2d 3941 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑥 → (𝐴 < (𝑚 + 1) ↔ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
3027, 29anbi12d 464 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 1)) ↔ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
3130cbvrexv 2655 . . . . 5 (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 1)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
3231biimpi 119 . . . 4 (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
3332adantl 275 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 1))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
34 simpl 108 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → 𝑘 ∈ ℕ)
35 exbtwnzlemshrink.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3635adantl 275 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ ℝ)
37 exbtwnzlemshrink.tri . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛𝐴𝐴 < 𝑛))
3837adantll 467 . . . . . . 7 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛𝐴𝐴 < 𝑛))
3934, 36, 38exbtwnzlemstep 10032 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))
4039ex 114 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘))))
4140imdistanda 444 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → (𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))))
4241imim1d 75 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → (((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) → ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))))
438, 14, 20, 26, 33, 42nnind 8743 . 2 (𝐽 ∈ ℕ → ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
442, 43mpcom 36 1 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 697   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∃wrex 2417   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℝcr 7626  1c1 7628   + caddc 7630   < clt 7807   ≤ cle 7808  ℕcn 8727  ℤcz 9061 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062 This theorem is referenced by:  exbtwnzlemex  10034
 Copyright terms: Public domain W3C validator