ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  exbtwnzlemshrink GIF version

Theorem exbtwnzlemshrink 10248
Description: Lemma for exbtwnzlemex 10249. Shrinking the range around 𝐴. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
exbtwnzlemshrink.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
exbtwnzlemshrink.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
exbtwnzlemshrink.tri ((𝜑𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛𝐴𝐴 < 𝑛))
Assertion
Ref Expression
exbtwnzlemshrink ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑥,𝐴,𝑚   𝑚,𝐽   𝜑,𝑚,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem exbtwnzlemshrink
Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 exbtwnzlemshrink.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
21adantr 276 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → 𝐽 ∈ ℕ)
3 oveq2 5882 . . . . . . . 8 (𝑤 = 1 → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + 1))
43breq2d 4015 . . . . . . 7 (𝑤 = 1 → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 1)))
54anbi2d 464 . . . . . 6 (𝑤 = 1 → ((𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 1))))
65rexbidv 2478 . . . . 5 (𝑤 = 1 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 1))))
76anbi2d 464 . . . 4 (𝑤 = 1 → ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 1)))))
87imbi1d 231 . . 3 (𝑤 = 1 → (((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 1))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))))
9 oveq2 5882 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑘 → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + 𝑘))
109breq2d 4015 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑘 → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))
1110anbi2d 464 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → ((𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘))))
1211rexbidv 2478 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘))))
1312anbi2d 464 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))))
1413imbi1d 231 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))))
15 oveq2 5882 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + (𝑘 + 1)))
1615breq2d 4015 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1))))
1716anbi2d 464 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))))
1817rexbidv 2478 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))))
1918anbi2d 464 . . . 4 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1))))))
2019imbi1d 231 . . 3 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))))
21 oveq2 5882 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝐽 → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + 𝐽))
2221breq2d 4015 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐽 → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽)))
2322anbi2d 464 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐽 → ((𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))))
2423rexbidv 2478 . . . . 5 (𝑤 = 𝐽 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))))
2524anbi2d 464 . . . 4 (𝑤 = 𝐽 → ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽)))))
2625imbi1d 231 . . 3 (𝑤 = 𝐽 → (((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))))
27 breq1 4006 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑥 → (𝑚𝐴𝑥𝐴))
28 oveq1 5881 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 + 1) = (𝑥 + 1))
2928breq2d 4015 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑥 → (𝐴 < (𝑚 + 1) ↔ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
3027, 29anbi12d 473 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 1)) ↔ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
3130cbvrexv 2704 . . . . 5 (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 1)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
3231biimpi 120 . . . 4 (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
3332adantl 277 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 1))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
34 simpl 109 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → 𝑘 ∈ ℕ)
35 exbtwnzlemshrink.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3635adantl 277 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ ℝ)
37 exbtwnzlemshrink.tri . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛𝐴𝐴 < 𝑛))
3837adantll 476 . . . . . . 7 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛𝐴𝐴 < 𝑛))
3934, 36, 38exbtwnzlemstep 10247 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))
4039ex 115 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘))))
4140imdistanda 448 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → (𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))))
4241imim1d 75 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → (((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) → ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))))
438, 14, 20, 26, 33, 42nnind 8934 . 2 (𝐽 ∈ ℕ → ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
442, 43mpcom 36 1 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wo 708   = wceq 1353  wcel 2148  wrex 2456   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  cr 7809  1c1 7811   + caddc 7813   < clt 7991  cle 7992  cn 8918  cz 9252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253
This theorem is referenced by:  exbtwnzlemex  10249
  Copyright terms: Public domain W3C validator