ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  exbtwnzlemshrink GIF version

Theorem exbtwnzlemshrink 10217
Description: Lemma for exbtwnzlemex 10218. Shrinking the range around 𝐴. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
exbtwnzlemshrink.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
exbtwnzlemshrink.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
exbtwnzlemshrink.tri ((𝜑𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛𝐴𝐴 < 𝑛))
Assertion
Ref Expression
exbtwnzlemshrink ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑥,𝐴,𝑚   𝑚,𝐽   𝜑,𝑚,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem exbtwnzlemshrink
Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 exbtwnzlemshrink.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
21adantr 276 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → 𝐽 ∈ ℕ)
3 oveq2 5873 . . . . . . . 8 (𝑤 = 1 → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + 1))
43breq2d 4010 . . . . . . 7 (𝑤 = 1 → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 1)))
54anbi2d 464 . . . . . 6 (𝑤 = 1 → ((𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 1))))
65rexbidv 2476 . . . . 5 (𝑤 = 1 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 1))))
76anbi2d 464 . . . 4 (𝑤 = 1 → ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 1)))))
87imbi1d 231 . . 3 (𝑤 = 1 → (((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 1))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))))
9 oveq2 5873 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑘 → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + 𝑘))
109breq2d 4010 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑘 → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))
1110anbi2d 464 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → ((𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘))))
1211rexbidv 2476 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘))))
1312anbi2d 464 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))))
1413imbi1d 231 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))))
15 oveq2 5873 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + (𝑘 + 1)))
1615breq2d 4010 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1))))
1716anbi2d 464 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))))
1817rexbidv 2476 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))))
1918anbi2d 464 . . . 4 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1))))))
2019imbi1d 231 . . 3 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))))
21 oveq2 5873 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝐽 → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + 𝐽))
2221breq2d 4010 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐽 → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽)))
2322anbi2d 464 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐽 → ((𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))))
2423rexbidv 2476 . . . . 5 (𝑤 = 𝐽 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))))
2524anbi2d 464 . . . 4 (𝑤 = 𝐽 → ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽)))))
2625imbi1d 231 . . 3 (𝑤 = 𝐽 → (((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))))
27 breq1 4001 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑥 → (𝑚𝐴𝑥𝐴))
28 oveq1 5872 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 + 1) = (𝑥 + 1))
2928breq2d 4010 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑥 → (𝐴 < (𝑚 + 1) ↔ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
3027, 29anbi12d 473 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 1)) ↔ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
3130cbvrexv 2702 . . . . 5 (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 1)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
3231biimpi 120 . . . 4 (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
3332adantl 277 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 1))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
34 simpl 109 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → 𝑘 ∈ ℕ)
35 exbtwnzlemshrink.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3635adantl 277 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ ℝ)
37 exbtwnzlemshrink.tri . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛𝐴𝐴 < 𝑛))
3837adantll 476 . . . . . . 7 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛𝐴𝐴 < 𝑛))
3934, 36, 38exbtwnzlemstep 10216 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))
4039ex 115 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘))))
4140imdistanda 448 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → (𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))))
4241imim1d 75 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → (((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) → ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))))
438, 14, 20, 26, 33, 42nnind 8906 . 2 (𝐽 ∈ ℕ → ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
442, 43mpcom 36 1 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wo 708   = wceq 1353  wcel 2146  wrex 2454   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865  cr 7785  1c1 7787   + caddc 7789   < clt 7966  cle 7967  cn 8890  cz 9224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-ltadd 7902
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8891  df-n0 9148  df-z 9225
This theorem is referenced by:  exbtwnzlemex  10218
  Copyright terms: Public domain W3C validator