Theorem exbtwnzlemstep 10204

Description: Lemma for exbtwnzlemex 10206. Induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
exbtwnzlemstep.k	|- ( ph -> K e. NN )
exbtwnzlemstep.a	|- ( ph -> A e. RR )
exbtwnzlemstep.tri	|- ( ( ph /\ n e. ZZ ) -> ( n <_ A \/ A < n ) )

Assertion

Ref	Expression
exbtwnzlemstep	|- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) )

Distinct variable groups:   A, m, n   m, K, n   ph, m, n

Proof of Theorem exbtwnzlemstep

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> m e. ZZ )
2		exbtwnzlemstep.k	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. NN )
3	2	ad3antrrr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> K e. NN )
4	3	nnzd 9333	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> K e. ZZ )
5	1, 4	zaddcld 9338	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( m + K ) e. ZZ )
6		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( m + K ) <_ A )
7		exbtwnzlemstep.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR )
8	7	ad3antrrr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> A e. RR )
9	5	zred 9334	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( m + K ) e. RR )
10		1red 7935	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> 1 e. RR )
11	9, 10	readdcld 7949	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( ( m + K ) + 1 ) e. RR )
12	3	nnred 8891	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> K e. RR )
13	9, 12	readdcld 7949	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( ( m + K ) + K ) e. RR )
14		simplrr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> A < ( m + ( K + 1 ) ) )
15	1	zcnd 9335	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> m e. CC )
16	3	nncnd 8892	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> K e. CC )
17		1cnd 7936	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> 1 e. CC )
18	15, 16, 17	addassd 7942	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( ( m + K ) + 1 ) = ( m + ( K + 1 ) ) )
19	14, 18	breqtrrd 4017	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> A < ( ( m + K ) + 1 ) )
20	3	nnge1d 8921	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> 1 <_ K )
21	10, 12, 9, 20	leadd2dd 8479	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( ( m + K ) + 1 ) <_ ( ( m + K ) + K ) )
22	8, 11, 13, 19, 21	ltletrd 8342	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> A < ( ( m + K ) + K ) )
23		breq1 3992	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( m + K ) -> ( j <_ A <-> ( m + K ) <_ A ) )
24		oveq1 5860	. . . . . . . . . 10 |- ( j = ( m + K ) -> ( j + K ) = ( ( m + K ) + K ) )
25	24	breq2d 4001	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( m + K ) -> ( A < ( j + K ) <-> A < ( ( m + K ) + K ) ) )
26	23, 25	anbi12d 470	. . . . . . . 8 |- ( j = ( m + K ) -> ( ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) <-> ( ( m + K ) <_ A /\ A < ( ( m + K ) + K ) ) ) )
27	26	rspcev 2834	. . . . . . 7 |- ( ( ( m + K ) e. ZZ /\ ( ( m + K ) <_ A /\ A < ( ( m + K ) + K ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
28	5, 6, 22, 27	syl12anc 1231	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
29		simpllr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ A < ( m + K ) ) -> m e. ZZ )
30		simplrl 530	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ A < ( m + K ) ) -> m <_ A )
31		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ A < ( m + K ) ) -> A < ( m + K ) )
32		breq1 3992	. . . . . . . . 9 |- ( j = m -> ( j <_ A <-> m <_ A ) )
33		oveq1 5860	. . . . . . . . . 10 |- ( j = m -> ( j + K ) = ( m + K ) )
34	33	breq2d 4001	. . . . . . . . 9 |- ( j = m -> ( A < ( j + K ) <-> A < ( m + K ) ) )
35	32, 34	anbi12d 470	. . . . . . . 8 |- ( j = m -> ( ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) <-> ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) ) )
36	35	rspcev 2834	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ZZ /\ ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
37	29, 30, 31, 36	syl12anc 1231	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ A < ( m + K ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
38		breq1 3992	. . . . . . . 8 |- ( n = ( m + K ) -> ( n <_ A <-> ( m + K ) <_ A ) )
39		breq2 3993	. . . . . . . 8 |- ( n = ( m + K ) -> ( A < n <-> A < ( m + K ) ) )
40	38, 39	orbi12d 788	. . . . . . 7 |- ( n = ( m + K ) -> ( ( n <_ A \/ A < n ) <-> ( ( m + K ) <_ A \/ A < ( m + K ) ) ) )
41		exbtwnzlemstep.tri	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ZZ ) -> ( n <_ A \/ A < n ) )
42	41	ralrimiva 2543	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. n e. ZZ ( n <_ A \/ A < n ) )
43	42	ad2antrr 485	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> A. n e. ZZ ( n <_ A \/ A < n ) )
44		simplr 525	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> m e. ZZ )
45	2	ad2antrr 485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> K e. NN )
46	45	nnzd 9333	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> K e. ZZ )
47	44, 46	zaddcld 9338	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> ( m + K ) e. ZZ )
48	40, 43, 47	rspcdva 2839	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> ( ( m + K ) <_ A \/ A < ( m + K ) ) )
49	28, 37, 48	mpjaodan 793	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
50	49	ex 114	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ZZ ) -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) ) )
51	50	rexlimdva 2587	. . 3 |- ( ph -> ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) ) )
52	51	imp 123	. 2 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
53		breq1 3992	. . . 4 |- ( m = j -> ( m <_ A <-> j <_ A ) )
54		oveq1 5860	. . . . 5 |- ( m = j -> ( m + K ) = ( j + K ) )
55	54	breq2d 4001	. . . 4 |- ( m = j -> ( A < ( m + K ) <-> A < ( j + K ) ) )
56	53, 55	anbi12d 470	. . 3 |- ( m = j -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) <-> ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) ) )
57	56	cbvrexv 2697	. 2 |- ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) <-> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
58	52, 57	sylibr 133	1 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 703   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   RRcr 7773   1c1 7775   + caddc 7777   < clt 7954   <_ cle 7955   NNcn 8878   ZZcz 9212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213

This theorem is referenced by:  exbtwnzlemshrink  10205