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Theorem exbtwnzlemstep 9548
Description: Lemma for exbtwnzlemex 9550. Induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
exbtwnzlemstep.k  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
exbtwnzlemstep.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
exbtwnzlemstep.tri  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  <_  A  \/  A  <  n ) )
Assertion
Ref Expression
exbtwnzlemstep  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  ( K  +  1 ) ) ) )  ->  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  K ) ) )
Distinct variable groups:    A, m, n   
m, K, n    ph, m, n

Proof of Theorem exbtwnzlemstep
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 501 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  m  e.  ZZ )
2 exbtwnzlemstep.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
32ad3antrrr 476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  K  e.  NN )
43nnzd 8763 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  K  e.  ZZ )
51, 4zaddcld 8768 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  (
m  +  K )  e.  ZZ )
6 simpr 108 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  (
m  +  K )  <_  A )
7 exbtwnzlemstep.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
87ad3antrrr 476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  A  e.  RR )
95zred 8764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  (
m  +  K )  e.  RR )
10 1red 7406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  1  e.  RR )
119, 10readdcld 7420 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  (
( m  +  K
)  +  1 )  e.  RR )
123nnred 8329 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  K  e.  RR )
139, 12readdcld 7420 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  (
( m  +  K
)  +  K )  e.  RR )
14 simplrr 503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  A  <  ( m  +  ( K  +  1 ) ) )
151zcnd 8765 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  m  e.  CC )
163nncnd 8330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  K  e.  CC )
17 1cnd 7407 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  1  e.  CC )
1815, 16, 17addassd 7413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  (
( m  +  K
)  +  1 )  =  ( m  +  ( K  +  1
) ) )
1914, 18breqtrrd 3837 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  A  <  ( ( m  +  K )  +  1 ) )
203nnge1d 8358 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  1  <_  K )
2110, 12, 9, 20leadd2dd 7937 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  (
( m  +  K
)  +  1 )  <_  ( ( m  +  K )  +  K ) )
228, 11, 13, 19, 21ltletrd 7804 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  A  <  ( ( m  +  K )  +  K
) )
23 breq1 3814 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( m  +  K )  ->  (
j  <_  A  <->  ( m  +  K )  <_  A
) )
24 oveq1 5598 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( m  +  K )  ->  (
j  +  K )  =  ( ( m  +  K )  +  K ) )
2524breq2d 3823 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( m  +  K )  ->  ( A  <  ( j  +  K )  <->  A  <  ( ( m  +  K
)  +  K ) ) )
2623, 25anbi12d 457 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( m  +  K )  ->  (
( j  <_  A  /\  A  <  ( j  +  K ) )  <-> 
( ( m  +  K )  <_  A  /\  A  <  ( ( m  +  K )  +  K ) ) ) )
2726rspcev 2712 . . . . . . 7  |-  ( ( ( m  +  K
)  e.  ZZ  /\  ( ( m  +  K )  <_  A  /\  A  <  ( ( m  +  K )  +  K ) ) )  ->  E. j  e.  ZZ  ( j  <_  A  /\  A  <  (
j  +  K ) ) )
285, 6, 22, 27syl12anc 1168 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  E. j  e.  ZZ  ( j  <_  A  /\  A  <  (
j  +  K ) ) )
29 simpllr 501 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  A  < 
( m  +  K
) )  ->  m  e.  ZZ )
30 simplrl 502 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  A  < 
( m  +  K
) )  ->  m  <_  A )
31 simpr 108 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  A  < 
( m  +  K
) )  ->  A  <  ( m  +  K
) )
32 breq1 3814 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  m  ->  (
j  <_  A  <->  m  <_  A ) )
33 oveq1 5598 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  m  ->  (
j  +  K )  =  ( m  +  K ) )
3433breq2d 3823 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  m  ->  ( A  <  ( j  +  K )  <->  A  <  ( m  +  K ) ) )
3532, 34anbi12d 457 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  m  ->  (
( j  <_  A  /\  A  <  ( j  +  K ) )  <-> 
( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  K ) ) ) )
3635rspcev 2712 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  K ) ) )  ->  E. j  e.  ZZ  ( j  <_  A  /\  A  <  ( j  +  K ) ) )
3729, 30, 31, 36syl12anc 1168 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  A  < 
( m  +  K
) )  ->  E. j  e.  ZZ  ( j  <_  A  /\  A  <  (
j  +  K ) ) )
38 breq1 3814 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( m  +  K )  ->  (
n  <_  A  <->  ( m  +  K )  <_  A
) )
39 breq2 3815 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( m  +  K )  ->  ( A  <  n  <->  A  <  ( m  +  K ) ) )
4038, 39orbi12d 740 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( m  +  K )  ->  (
( n  <_  A  \/  A  <  n )  <-> 
( ( m  +  K )  <_  A  \/  A  <  ( m  +  K ) ) ) )
41 exbtwnzlemstep.tri . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  <_  A  \/  A  <  n ) )
4241ralrimiva 2440 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  ZZ  ( n  <_  A  \/  A  <  n ) )
4342ad2antrr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  +  1
) ) ) )  ->  A. n  e.  ZZ  ( n  <_  A  \/  A  <  n ) )
44 simplr 497 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  +  1
) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
452ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  +  1
) ) ) )  ->  K  e.  NN )
4645nnzd 8763 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  +  1
) ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
4744, 46zaddcld 8768 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  +  1
) ) ) )  ->  ( m  +  K )  e.  ZZ )
4840, 43, 47rspcdva 2717 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  +  1
) ) ) )  ->  ( ( m  +  K )  <_  A  \/  A  <  ( m  +  K ) ) )
4928, 37, 48mpjaodan 745 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  +  1
) ) ) )  ->  E. j  e.  ZZ  ( j  <_  A  /\  A  <  ( j  +  K ) ) )
5049ex 113 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  +  1
) ) )  ->  E. j  e.  ZZ  ( j  <_  A  /\  A  <  ( j  +  K ) ) ) )
5150rexlimdva 2483 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  ( K  +  1 ) ) )  ->  E. j  e.  ZZ  ( j  <_  A  /\  A  <  (
j  +  K ) ) ) )
5251imp 122 . 2  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  ( K  +  1 ) ) ) )  ->  E. j  e.  ZZ  ( j  <_  A  /\  A  <  (
j  +  K ) ) )
53 breq1 3814 . . . 4  |-  ( m  =  j  ->  (
m  <_  A  <->  j  <_  A ) )
54 oveq1 5598 . . . . 5  |-  ( m  =  j  ->  (
m  +  K )  =  ( j  +  K ) )
5554breq2d 3823 . . . 4  |-  ( m  =  j  ->  ( A  <  ( m  +  K )  <->  A  <  ( j  +  K ) ) )
5653, 55anbi12d 457 . . 3  |-  ( m  =  j  ->  (
( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  K ) )  <-> 
( j  <_  A  /\  A  <  ( j  +  K ) ) ) )
5756cbvrexv 2584 . 2  |-  ( E. m  e.  ZZ  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  K ) )  <->  E. j  e.  ZZ  ( j  <_  A  /\  A  <  (
j  +  K ) ) )
5852, 57sylibr 132 1  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  ( K  +  1 ) ) ) )  ->  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 662    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2353   E.wrex 2354   class class class wbr 3811  (class class class)co 5591   RRcr 7252   1c1 7254    + caddc 7256    < clt 7425    <_ cle 7426   NNcn 8316   ZZcz 8646
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-addcom 7348  ax-addass 7350  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-ltadd 7364
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-inn 8317  df-n0 8566  df-z 8647
This theorem is referenced by:  exbtwnzlemshrink  9549
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