Theorem exbtwnzlemstep 10570

Description: Lemma for exbtwnzlemex 10572. Induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
exbtwnzlemstep.k	|- ( ph -> K e. NN )
exbtwnzlemstep.a	|- ( ph -> A e. RR )
exbtwnzlemstep.tri	|- ( ( ph /\ n e. ZZ ) -> ( n <_ A \/ A < n ) )

Assertion

Ref	Expression
exbtwnzlemstep	|- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) )

Distinct variable groups:   A, m, n   m, K, n   ph, m, n

Proof of Theorem exbtwnzlemstep

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 536	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> m e. ZZ )
2		exbtwnzlemstep.k	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. NN )
3	2	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> K e. NN )
4	3	nnzd 9662	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> K e. ZZ )
5	1, 4	zaddcld 9667	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( m + K ) e. ZZ )
6		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( m + K ) <_ A )
7		exbtwnzlemstep.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR )
8	7	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> A e. RR )
9	5	zred 9663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( m + K ) e. RR )
10		1red 8254	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> 1 e. RR )
11	9, 10	readdcld 8268	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( ( m + K ) + 1 ) e. RR )
12	3	nnred 9215	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> K e. RR )
13	9, 12	readdcld 8268	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( ( m + K ) + K ) e. RR )
14		simplrr 538	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> A < ( m + ( K + 1 ) ) )
15	1	zcnd 9664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> m e. CC )
16	3	nncnd 9216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> K e. CC )
17		1cnd 8255	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> 1 e. CC )
18	15, 16, 17	addassd 8261	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( ( m + K ) + 1 ) = ( m + ( K + 1 ) ) )
19	14, 18	breqtrrd 4121	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> A < ( ( m + K ) + 1 ) )
20	3	nnge1d 9245	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> 1 <_ K )
21	10, 12, 9, 20	leadd2dd 8799	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( ( m + K ) + 1 ) <_ ( ( m + K ) + K ) )
22	8, 11, 13, 19, 21	ltletrd 8662	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> A < ( ( m + K ) + K ) )
23		breq1 4096	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( m + K ) -> ( j <_ A <-> ( m + K ) <_ A ) )
24		oveq1 6035	. . . . . . . . . 10 |- ( j = ( m + K ) -> ( j + K ) = ( ( m + K ) + K ) )
25	24	breq2d 4105	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( m + K ) -> ( A < ( j + K ) <-> A < ( ( m + K ) + K ) ) )
26	23, 25	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( j = ( m + K ) -> ( ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) <-> ( ( m + K ) <_ A /\ A < ( ( m + K ) + K ) ) ) )
27	26	rspcev 2911	. . . . . . 7 |- ( ( ( m + K ) e. ZZ /\ ( ( m + K ) <_ A /\ A < ( ( m + K ) + K ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
28	5, 6, 22, 27	syl12anc 1272	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
29		simpllr 536	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ A < ( m + K ) ) -> m e. ZZ )
30		simplrl 537	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ A < ( m + K ) ) -> m <_ A )
31		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ A < ( m + K ) ) -> A < ( m + K ) )
32		breq1 4096	. . . . . . . . 9 |- ( j = m -> ( j <_ A <-> m <_ A ) )
33		oveq1 6035	. . . . . . . . . 10 |- ( j = m -> ( j + K ) = ( m + K ) )
34	33	breq2d 4105	. . . . . . . . 9 |- ( j = m -> ( A < ( j + K ) <-> A < ( m + K ) ) )
35	32, 34	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( j = m -> ( ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) <-> ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) ) )
36	35	rspcev 2911	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ZZ /\ ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
37	29, 30, 31, 36	syl12anc 1272	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ A < ( m + K ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
38		breq1 4096	. . . . . . . 8 |- ( n = ( m + K ) -> ( n <_ A <-> ( m + K ) <_ A ) )
39		breq2 4097	. . . . . . . 8 |- ( n = ( m + K ) -> ( A < n <-> A < ( m + K ) ) )
40	38, 39	orbi12d 801	. . . . . . 7 |- ( n = ( m + K ) -> ( ( n <_ A \/ A < n ) <-> ( ( m + K ) <_ A \/ A < ( m + K ) ) ) )
41		exbtwnzlemstep.tri	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ZZ ) -> ( n <_ A \/ A < n ) )
42	41	ralrimiva 2606	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. n e. ZZ ( n <_ A \/ A < n ) )
43	42	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> A. n e. ZZ ( n <_ A \/ A < n ) )
44		simplr 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> m e. ZZ )
45	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> K e. NN )
46	45	nnzd 9662	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> K e. ZZ )
47	44, 46	zaddcld 9667	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> ( m + K ) e. ZZ )
48	40, 43, 47	rspcdva 2916	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> ( ( m + K ) <_ A \/ A < ( m + K ) ) )
49	28, 37, 48	mpjaodan 806	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
50	49	ex 115	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ZZ ) -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) ) )
51	50	rexlimdva 2651	. . 3 |- ( ph -> ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) ) )
52	51	imp 124	. 2 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
53		breq1 4096	. . . 4 |- ( m = j -> ( m <_ A <-> j <_ A ) )
54		oveq1 6035	. . . . 5 |- ( m = j -> ( m + K ) = ( j + K ) )
55	54	breq2d 4105	. . . 4 |- ( m = j -> ( A < ( m + K ) <-> A < ( j + K ) ) )
56	53, 55	anbi12d 473	. . 3 |- ( m = j -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) <-> ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) ) )
57	56	cbvrexv 2769	. 2 |- ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) <-> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
58	52, 57	sylibr 134	1 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   RRcr 8091   1c1 8093   + caddc 8095   < clt 8273   <_ cle 8274   NNcn 9202   ZZcz 9540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541

This theorem is referenced by:  exbtwnzlemshrink  10571