Theorem exbtwnzlemstep 10183

Description: Lemma for exbtwnzlemex 10185. Induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
exbtwnzlemstep.k	|- ( ph -> K e. NN )
exbtwnzlemstep.a	|- ( ph -> A e. RR )
exbtwnzlemstep.tri	|- ( ( ph /\ n e. ZZ ) -> ( n <_ A \/ A < n ) )

Assertion

Ref	Expression
exbtwnzlemstep	|- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) )

Distinct variable groups:   A, m, n   m, K, n   ph, m, n

Proof of Theorem exbtwnzlemstep

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 524	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> m e. ZZ )
2		exbtwnzlemstep.k	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. NN )
3	2	ad3antrrr 484	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> K e. NN )
4	3	nnzd 9312	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> K e. ZZ )
5	1, 4	zaddcld 9317	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( m + K ) e. ZZ )
6		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( m + K ) <_ A )
7		exbtwnzlemstep.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR )
8	7	ad3antrrr 484	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> A e. RR )
9	5	zred 9313	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( m + K ) e. RR )
10		1red 7914	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> 1 e. RR )
11	9, 10	readdcld 7928	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( ( m + K ) + 1 ) e. RR )
12	3	nnred 8870	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> K e. RR )
13	9, 12	readdcld 7928	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( ( m + K ) + K ) e. RR )
14		simplrr 526	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> A < ( m + ( K + 1 ) ) )
15	1	zcnd 9314	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> m e. CC )
16	3	nncnd 8871	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> K e. CC )
17		1cnd 7915	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> 1 e. CC )
18	15, 16, 17	addassd 7921	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( ( m + K ) + 1 ) = ( m + ( K + 1 ) ) )
19	14, 18	breqtrrd 4010	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> A < ( ( m + K ) + 1 ) )
20	3	nnge1d 8900	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> 1 <_ K )
21	10, 12, 9, 20	leadd2dd 8458	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( ( m + K ) + 1 ) <_ ( ( m + K ) + K ) )
22	8, 11, 13, 19, 21	ltletrd 8321	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> A < ( ( m + K ) + K ) )
23		breq1 3985	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( m + K ) -> ( j <_ A <-> ( m + K ) <_ A ) )
24		oveq1 5849	. . . . . . . . . 10 |- ( j = ( m + K ) -> ( j + K ) = ( ( m + K ) + K ) )
25	24	breq2d 3994	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( m + K ) -> ( A < ( j + K ) <-> A < ( ( m + K ) + K ) ) )
26	23, 25	anbi12d 465	. . . . . . . 8 |- ( j = ( m + K ) -> ( ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) <-> ( ( m + K ) <_ A /\ A < ( ( m + K ) + K ) ) ) )
27	26	rspcev 2830	. . . . . . 7 |- ( ( ( m + K ) e. ZZ /\ ( ( m + K ) <_ A /\ A < ( ( m + K ) + K ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
28	5, 6, 22, 27	syl12anc 1226	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
29		simpllr 524	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ A < ( m + K ) ) -> m e. ZZ )
30		simplrl 525	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ A < ( m + K ) ) -> m <_ A )
31		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ A < ( m + K ) ) -> A < ( m + K ) )
32		breq1 3985	. . . . . . . . 9 |- ( j = m -> ( j <_ A <-> m <_ A ) )
33		oveq1 5849	. . . . . . . . . 10 |- ( j = m -> ( j + K ) = ( m + K ) )
34	33	breq2d 3994	. . . . . . . . 9 |- ( j = m -> ( A < ( j + K ) <-> A < ( m + K ) ) )
35	32, 34	anbi12d 465	. . . . . . . 8 |- ( j = m -> ( ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) <-> ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) ) )
36	35	rspcev 2830	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ZZ /\ ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
37	29, 30, 31, 36	syl12anc 1226	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ A < ( m + K ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
38		breq1 3985	. . . . . . . 8 |- ( n = ( m + K ) -> ( n <_ A <-> ( m + K ) <_ A ) )
39		breq2 3986	. . . . . . . 8 |- ( n = ( m + K ) -> ( A < n <-> A < ( m + K ) ) )
40	38, 39	orbi12d 783	. . . . . . 7 |- ( n = ( m + K ) -> ( ( n <_ A \/ A < n ) <-> ( ( m + K ) <_ A \/ A < ( m + K ) ) ) )
41		exbtwnzlemstep.tri	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ZZ ) -> ( n <_ A \/ A < n ) )
42	41	ralrimiva 2539	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. n e. ZZ ( n <_ A \/ A < n ) )
43	42	ad2antrr 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> A. n e. ZZ ( n <_ A \/ A < n ) )
44		simplr 520	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> m e. ZZ )
45	2	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> K e. NN )
46	45	nnzd 9312	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> K e. ZZ )
47	44, 46	zaddcld 9317	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> ( m + K ) e. ZZ )
48	40, 43, 47	rspcdva 2835	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> ( ( m + K ) <_ A \/ A < ( m + K ) ) )
49	28, 37, 48	mpjaodan 788	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
50	49	ex 114	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ZZ ) -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) ) )
51	50	rexlimdva 2583	. . 3 |- ( ph -> ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) ) )
52	51	imp 123	. 2 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
53		breq1 3985	. . . 4 |- ( m = j -> ( m <_ A <-> j <_ A ) )
54		oveq1 5849	. . . . 5 |- ( m = j -> ( m + K ) = ( j + K ) )
55	54	breq2d 3994	. . . 4 |- ( m = j -> ( A < ( m + K ) <-> A < ( j + K ) ) )
56	53, 55	anbi12d 465	. . 3 |- ( m = j -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) <-> ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) ) )
57	56	cbvrexv 2693	. 2 |- ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) <-> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
58	52, 57	sylibr 133	1 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   RRcr 7752   1c1 7754   + caddc 7756   < clt 7933   <_ cle 7934   NNcn 8857   ZZcz 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192

This theorem is referenced by:  exbtwnzlemshrink  10184