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Theorem exbtwnzlemstep 9659
Description: Lemma for exbtwnzlemex 9661. Induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
exbtwnzlemstep.k  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
exbtwnzlemstep.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
exbtwnzlemstep.tri  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  <_  A  \/  A  <  n ) )
Assertion
Ref Expression
exbtwnzlemstep  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  ( K  +  1 ) ) ) )  ->  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  K ) ) )
Distinct variable groups:    A, m, n   
m, K, n    ph, m, n

Proof of Theorem exbtwnzlemstep
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 501 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  m  e.  ZZ )
2 exbtwnzlemstep.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
32ad3antrrr 476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  K  e.  NN )
43nnzd 8867 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  K  e.  ZZ )
51, 4zaddcld 8872 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  (
m  +  K )  e.  ZZ )
6 simpr 108 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  (
m  +  K )  <_  A )
7 exbtwnzlemstep.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
87ad3antrrr 476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  A  e.  RR )
95zred 8868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  (
m  +  K )  e.  RR )
10 1red 7503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  1  e.  RR )
119, 10readdcld 7517 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  (
( m  +  K
)  +  1 )  e.  RR )
123nnred 8435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  K  e.  RR )
139, 12readdcld 7517 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  (
( m  +  K
)  +  K )  e.  RR )
14 simplrr 503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  A  <  ( m  +  ( K  +  1 ) ) )
151zcnd 8869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  m  e.  CC )
163nncnd 8436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  K  e.  CC )
17 1cnd 7504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  1  e.  CC )
1815, 16, 17addassd 7510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  (
( m  +  K
)  +  1 )  =  ( m  +  ( K  +  1
) ) )
1914, 18breqtrrd 3871 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  A  <  ( ( m  +  K )  +  1 ) )
203nnge1d 8465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  1  <_  K )
2110, 12, 9, 20leadd2dd 8037 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  (
( m  +  K
)  +  1 )  <_  ( ( m  +  K )  +  K ) )
228, 11, 13, 19, 21ltletrd 7901 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  A  <  ( ( m  +  K )  +  K
) )
23 breq1 3848 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( m  +  K )  ->  (
j  <_  A  <->  ( m  +  K )  <_  A
) )
24 oveq1 5659 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( m  +  K )  ->  (
j  +  K )  =  ( ( m  +  K )  +  K ) )
2524breq2d 3857 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( m  +  K )  ->  ( A  <  ( j  +  K )  <->  A  <  ( ( m  +  K
)  +  K ) ) )
2623, 25anbi12d 457 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( m  +  K )  ->  (
( j  <_  A  /\  A  <  ( j  +  K ) )  <-> 
( ( m  +  K )  <_  A  /\  A  <  ( ( m  +  K )  +  K ) ) ) )
2726rspcev 2722 . . . . . . 7  |-  ( ( ( m  +  K
)  e.  ZZ  /\  ( ( m  +  K )  <_  A  /\  A  <  ( ( m  +  K )  +  K ) ) )  ->  E. j  e.  ZZ  ( j  <_  A  /\  A  <  (
j  +  K ) ) )
285, 6, 22, 27syl12anc 1172 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  E. j  e.  ZZ  ( j  <_  A  /\  A  <  (
j  +  K ) ) )
29 simpllr 501 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  A  < 
( m  +  K
) )  ->  m  e.  ZZ )
30 simplrl 502 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  A  < 
( m  +  K
) )  ->  m  <_  A )
31 simpr 108 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  A  < 
( m  +  K
) )  ->  A  <  ( m  +  K
) )
32 breq1 3848 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  m  ->  (
j  <_  A  <->  m  <_  A ) )
33 oveq1 5659 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  m  ->  (
j  +  K )  =  ( m  +  K ) )
3433breq2d 3857 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  m  ->  ( A  <  ( j  +  K )  <->  A  <  ( m  +  K ) ) )
3532, 34anbi12d 457 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  m  ->  (
( j  <_  A  /\  A  <  ( j  +  K ) )  <-> 
( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  K ) ) ) )
3635rspcev 2722 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  K ) ) )  ->  E. j  e.  ZZ  ( j  <_  A  /\  A  <  ( j  +  K ) ) )
3729, 30, 31, 36syl12anc 1172 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  A  < 
( m  +  K
) )  ->  E. j  e.  ZZ  ( j  <_  A  /\  A  <  (
j  +  K ) ) )
38 breq1 3848 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( m  +  K )  ->  (
n  <_  A  <->  ( m  +  K )  <_  A
) )
39 breq2 3849 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( m  +  K )  ->  ( A  <  n  <->  A  <  ( m  +  K ) ) )
4038, 39orbi12d 742 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( m  +  K )  ->  (
( n  <_  A  \/  A  <  n )  <-> 
( ( m  +  K )  <_  A  \/  A  <  ( m  +  K ) ) ) )
41 exbtwnzlemstep.tri . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  <_  A  \/  A  <  n ) )
4241ralrimiva 2446 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  ZZ  ( n  <_  A  \/  A  <  n ) )
4342ad2antrr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  +  1
) ) ) )  ->  A. n  e.  ZZ  ( n  <_  A  \/  A  <  n ) )
44 simplr 497 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  +  1
) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
452ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  +  1
) ) ) )  ->  K  e.  NN )
4645nnzd 8867 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  +  1
) ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
4744, 46zaddcld 8872 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  +  1
) ) ) )  ->  ( m  +  K )  e.  ZZ )
4840, 43, 47rspcdva 2727 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  +  1
) ) ) )  ->  ( ( m  +  K )  <_  A  \/  A  <  ( m  +  K ) ) )
4928, 37, 48mpjaodan 747 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  +  1
) ) ) )  ->  E. j  e.  ZZ  ( j  <_  A  /\  A  <  ( j  +  K ) ) )
5049ex 113 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  +  1
) ) )  ->  E. j  e.  ZZ  ( j  <_  A  /\  A  <  ( j  +  K ) ) ) )
5150rexlimdva 2489 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  ( K  +  1 ) ) )  ->  E. j  e.  ZZ  ( j  <_  A  /\  A  <  (
j  +  K ) ) ) )
5251imp 122 . 2  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  ( K  +  1 ) ) ) )  ->  E. j  e.  ZZ  ( j  <_  A  /\  A  <  (
j  +  K ) ) )
53 breq1 3848 . . . 4  |-  ( m  =  j  ->  (
m  <_  A  <->  j  <_  A ) )
54 oveq1 5659 . . . . 5  |-  ( m  =  j  ->  (
m  +  K )  =  ( j  +  K ) )
5554breq2d 3857 . . . 4  |-  ( m  =  j  ->  ( A  <  ( m  +  K )  <->  A  <  ( j  +  K ) ) )
5653, 55anbi12d 457 . . 3  |-  ( m  =  j  ->  (
( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  K ) )  <-> 
( j  <_  A  /\  A  <  ( j  +  K ) ) ) )
5756cbvrexv 2591 . 2  |-  ( E. m  e.  ZZ  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  K ) )  <->  E. j  e.  ZZ  ( j  <_  A  /\  A  <  (
j  +  K ) ) )
5852, 57sylibr 132 1  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  ( K  +  1 ) ) ) )  ->  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 664    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   RRcr 7349   1c1 7351    + caddc 7353    < clt 7522    <_ cle 7523   NNcn 8422   ZZcz 8750
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-ltadd 7461
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-inn 8423  df-n0 8674  df-z 8751
This theorem is referenced by:  exbtwnzlemshrink  9660
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