Theorem exbtwnzlemstep 9918

Description: Lemma for exbtwnzlemex 9920. Induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
exbtwnzlemstep.k	|- ( ph -> K e. NN )
exbtwnzlemstep.a	|- ( ph -> A e. RR )
exbtwnzlemstep.tri	|- ( ( ph /\ n e. ZZ ) -> ( n <_ A \/ A < n ) )

Assertion

Ref	Expression
exbtwnzlemstep	|- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) )

Distinct variable groups:   A, m, n   m, K, n   ph, m, n

Proof of Theorem exbtwnzlemstep

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 506	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> m e. ZZ )
2		exbtwnzlemstep.k	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. NN )
3	2	ad3antrrr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> K e. NN )
4	3	nnzd 9076	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> K e. ZZ )
5	1, 4	zaddcld 9081	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( m + K ) e. ZZ )
6		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( m + K ) <_ A )
7		exbtwnzlemstep.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR )
8	7	ad3antrrr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> A e. RR )
9	5	zred 9077	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( m + K ) e. RR )
10		1red 7705	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> 1 e. RR )
11	9, 10	readdcld 7719	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( ( m + K ) + 1 ) e. RR )
12	3	nnred 8643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> K e. RR )
13	9, 12	readdcld 7719	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( ( m + K ) + K ) e. RR )
14		simplrr 508	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> A < ( m + ( K + 1 ) ) )
15	1	zcnd 9078	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> m e. CC )
16	3	nncnd 8644	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> K e. CC )
17		1cnd 7706	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> 1 e. CC )
18	15, 16, 17	addassd 7712	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( ( m + K ) + 1 ) = ( m + ( K + 1 ) ) )
19	14, 18	breqtrrd 3921	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> A < ( ( m + K ) + 1 ) )
20	3	nnge1d 8673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> 1 <_ K )
21	10, 12, 9, 20	leadd2dd 8240	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( ( m + K ) + 1 ) <_ ( ( m + K ) + K ) )
22	8, 11, 13, 19, 21	ltletrd 8104	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> A < ( ( m + K ) + K ) )
23		breq1 3898	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( m + K ) -> ( j <_ A <-> ( m + K ) <_ A ) )
24		oveq1 5735	. . . . . . . . . 10 |- ( j = ( m + K ) -> ( j + K ) = ( ( m + K ) + K ) )
25	24	breq2d 3907	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( m + K ) -> ( A < ( j + K ) <-> A < ( ( m + K ) + K ) ) )
26	23, 25	anbi12d 462	. . . . . . . 8 |- ( j = ( m + K ) -> ( ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) <-> ( ( m + K ) <_ A /\ A < ( ( m + K ) + K ) ) ) )
27	26	rspcev 2760	. . . . . . 7 |- ( ( ( m + K ) e. ZZ /\ ( ( m + K ) <_ A /\ A < ( ( m + K ) + K ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
28	5, 6, 22, 27	syl12anc 1197	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
29		simpllr 506	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ A < ( m + K ) ) -> m e. ZZ )
30		simplrl 507	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ A < ( m + K ) ) -> m <_ A )
31		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ A < ( m + K ) ) -> A < ( m + K ) )
32		breq1 3898	. . . . . . . . 9 |- ( j = m -> ( j <_ A <-> m <_ A ) )
33		oveq1 5735	. . . . . . . . . 10 |- ( j = m -> ( j + K ) = ( m + K ) )
34	33	breq2d 3907	. . . . . . . . 9 |- ( j = m -> ( A < ( j + K ) <-> A < ( m + K ) ) )
35	32, 34	anbi12d 462	. . . . . . . 8 |- ( j = m -> ( ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) <-> ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) ) )
36	35	rspcev 2760	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ZZ /\ ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
37	29, 30, 31, 36	syl12anc 1197	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ A < ( m + K ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
38		breq1 3898	. . . . . . . 8 |- ( n = ( m + K ) -> ( n <_ A <-> ( m + K ) <_ A ) )
39		breq2 3899	. . . . . . . 8 |- ( n = ( m + K ) -> ( A < n <-> A < ( m + K ) ) )
40	38, 39	orbi12d 765	. . . . . . 7 |- ( n = ( m + K ) -> ( ( n <_ A \/ A < n ) <-> ( ( m + K ) <_ A \/ A < ( m + K ) ) ) )
41		exbtwnzlemstep.tri	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ZZ ) -> ( n <_ A \/ A < n ) )
42	41	ralrimiva 2479	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. n e. ZZ ( n <_ A \/ A < n ) )
43	42	ad2antrr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> A. n e. ZZ ( n <_ A \/ A < n ) )
44		simplr 502	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> m e. ZZ )
45	2	ad2antrr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> K e. NN )
46	45	nnzd 9076	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> K e. ZZ )
47	44, 46	zaddcld 9081	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> ( m + K ) e. ZZ )
48	40, 43, 47	rspcdva 2765	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> ( ( m + K ) <_ A \/ A < ( m + K ) ) )
49	28, 37, 48	mpjaodan 770	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
50	49	ex 114	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ZZ ) -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) ) )
51	50	rexlimdva 2523	. . 3 |- ( ph -> ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) ) )
52	51	imp 123	. 2 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
53		breq1 3898	. . . 4 |- ( m = j -> ( m <_ A <-> j <_ A ) )
54		oveq1 5735	. . . . 5 |- ( m = j -> ( m + K ) = ( j + K ) )
55	54	breq2d 3907	. . . 4 |- ( m = j -> ( A < ( m + K ) <-> A < ( j + K ) ) )
56	53, 55	anbi12d 462	. . 3 |- ( m = j -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) <-> ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) ) )
57	56	cbvrexv 2629	. 2 |- ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) <-> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
58	52, 57	sylibr 133	1 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 680   = wceq 1314   e. wcel 1463   A.wral 2390   E.wrex 2391   class class class wbr 3895  (class class class)co 5728   RRcr 7546   1c1 7548   + caddc 7550   < clt 7724   <_ cle 7725   NNcn 8630   ZZcz 8958

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-ltadd 7661

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-br 3896  df-opab 3950  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-inn 8631  df-n0 8882  df-z 8959

This theorem is referenced by:  exbtwnzlemshrink  9919