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Theorem exbtwnzlemstep 9918
Description: Lemma for exbtwnzlemex 9920. Induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
exbtwnzlemstep.k  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
exbtwnzlemstep.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
exbtwnzlemstep.tri  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  <_  A  \/  A  <  n ) )
Assertion
Ref Expression
exbtwnzlemstep  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  ( K  +  1 ) ) ) )  ->  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  K ) ) )
Distinct variable groups:    A, m, n   
m, K, n    ph, m, n

Proof of Theorem exbtwnzlemstep
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 506 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  m  e.  ZZ )
2 exbtwnzlemstep.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
32ad3antrrr 481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  K  e.  NN )
43nnzd 9076 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  K  e.  ZZ )
51, 4zaddcld 9081 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  (
m  +  K )  e.  ZZ )
6 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  (
m  +  K )  <_  A )
7 exbtwnzlemstep.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
87ad3antrrr 481 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  A  e.  RR )
95zred 9077 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  (
m  +  K )  e.  RR )
10 1red 7705 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  1  e.  RR )
119, 10readdcld 7719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  (
( m  +  K
)  +  1 )  e.  RR )
123nnred 8643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  K  e.  RR )
139, 12readdcld 7719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  (
( m  +  K
)  +  K )  e.  RR )
14 simplrr 508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  A  <  ( m  +  ( K  +  1 ) ) )
151zcnd 9078 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  m  e.  CC )
163nncnd 8644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  K  e.  CC )
17 1cnd 7706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  1  e.  CC )
1815, 16, 17addassd 7712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  (
( m  +  K
)  +  1 )  =  ( m  +  ( K  +  1
) ) )
1914, 18breqtrrd 3921 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  A  <  ( ( m  +  K )  +  1 ) )
203nnge1d 8673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  1  <_  K )
2110, 12, 9, 20leadd2dd 8240 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  (
( m  +  K
)  +  1 )  <_  ( ( m  +  K )  +  K ) )
228, 11, 13, 19, 21ltletrd 8104 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  A  <  ( ( m  +  K )  +  K
) )
23 breq1 3898 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( m  +  K )  ->  (
j  <_  A  <->  ( m  +  K )  <_  A
) )
24 oveq1 5735 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( m  +  K )  ->  (
j  +  K )  =  ( ( m  +  K )  +  K ) )
2524breq2d 3907 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( m  +  K )  ->  ( A  <  ( j  +  K )  <->  A  <  ( ( m  +  K
)  +  K ) ) )
2623, 25anbi12d 462 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( m  +  K )  ->  (
( j  <_  A  /\  A  <  ( j  +  K ) )  <-> 
( ( m  +  K )  <_  A  /\  A  <  ( ( m  +  K )  +  K ) ) ) )
2726rspcev 2760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( m  +  K
)  e.  ZZ  /\  ( ( m  +  K )  <_  A  /\  A  <  ( ( m  +  K )  +  K ) ) )  ->  E. j  e.  ZZ  ( j  <_  A  /\  A  <  (
j  +  K ) ) )
285, 6, 22, 27syl12anc 1197 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  ( m  +  K )  <_  A )  ->  E. j  e.  ZZ  ( j  <_  A  /\  A  <  (
j  +  K ) ) )
29 simpllr 506 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  A  < 
( m  +  K
) )  ->  m  e.  ZZ )
30 simplrl 507 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  A  < 
( m  +  K
) )  ->  m  <_  A )
31 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  A  < 
( m  +  K
) )  ->  A  <  ( m  +  K
) )
32 breq1 3898 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  m  ->  (
j  <_  A  <->  m  <_  A ) )
33 oveq1 5735 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  m  ->  (
j  +  K )  =  ( m  +  K ) )
3433breq2d 3907 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  m  ->  ( A  <  ( j  +  K )  <->  A  <  ( m  +  K ) ) )
3532, 34anbi12d 462 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  m  ->  (
( j  <_  A  /\  A  <  ( j  +  K ) )  <-> 
( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  K ) ) ) )
3635rspcev 2760 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  K ) ) )  ->  E. j  e.  ZZ  ( j  <_  A  /\  A  <  ( j  +  K ) ) )
3729, 30, 31, 36syl12anc 1197 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  /\  A  < 
( m  +  K
) )  ->  E. j  e.  ZZ  ( j  <_  A  /\  A  <  (
j  +  K ) ) )
38 breq1 3898 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( m  +  K )  ->  (
n  <_  A  <->  ( m  +  K )  <_  A
) )
39 breq2 3899 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( m  +  K )  ->  ( A  <  n  <->  A  <  ( m  +  K ) ) )
4038, 39orbi12d 765 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( m  +  K )  ->  (
( n  <_  A  \/  A  <  n )  <-> 
( ( m  +  K )  <_  A  \/  A  <  ( m  +  K ) ) ) )
41 exbtwnzlemstep.tri . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  <_  A  \/  A  <  n ) )
4241ralrimiva 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  ZZ  ( n  <_  A  \/  A  <  n ) )
4342ad2antrr 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  +  1
) ) ) )  ->  A. n  e.  ZZ  ( n  <_  A  \/  A  <  n ) )
44 simplr 502 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  +  1
) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
452ad2antrr 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  +  1
) ) ) )  ->  K  e.  NN )
4645nnzd 9076 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  +  1
) ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
4744, 46zaddcld 9081 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  +  1
) ) ) )  ->  ( m  +  K )  e.  ZZ )
4840, 43, 47rspcdva 2765 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  +  1
) ) ) )  ->  ( ( m  +  K )  <_  A  \/  A  <  ( m  +  K ) ) )
4928, 37, 48mpjaodan 770 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  +  1
) ) ) )  ->  E. j  e.  ZZ  ( j  <_  A  /\  A  <  ( j  +  K ) ) )
5049ex 114 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( K  +  1
) ) )  ->  E. j  e.  ZZ  ( j  <_  A  /\  A  <  ( j  +  K ) ) ) )
5150rexlimdva 2523 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  ( K  +  1 ) ) )  ->  E. j  e.  ZZ  ( j  <_  A  /\  A  <  (
j  +  K ) ) ) )
5251imp 123 . 2  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  ( K  +  1 ) ) ) )  ->  E. j  e.  ZZ  ( j  <_  A  /\  A  <  (
j  +  K ) ) )
53 breq1 3898 . . . 4  |-  ( m  =  j  ->  (
m  <_  A  <->  j  <_  A ) )
54 oveq1 5735 . . . . 5  |-  ( m  =  j  ->  (
m  +  K )  =  ( j  +  K ) )
5554breq2d 3907 . . . 4  |-  ( m  =  j  ->  ( A  <  ( m  +  K )  <->  A  <  ( j  +  K ) ) )
5653, 55anbi12d 462 . . 3  |-  ( m  =  j  ->  (
( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  K ) )  <-> 
( j  <_  A  /\  A  <  ( j  +  K ) ) ) )
5756cbvrexv 2629 . 2  |-  ( E. m  e.  ZZ  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  K ) )  <->  E. j  e.  ZZ  ( j  <_  A  /\  A  <  (
j  +  K ) ) )
5852, 57sylibr 133 1  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  ( K  +  1 ) ) ) )  ->  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 680    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2390   E.wrex 2391   class class class wbr 3895  (class class class)co 5728   RRcr 7546   1c1 7548    + caddc 7550    < clt 7724    <_ cle 7725   NNcn 8630   ZZcz 8958
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-ltadd 7661
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-br 3896  df-opab 3950  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-inn 8631  df-n0 8882  df-z 8959
This theorem is referenced by:  exbtwnzlemshrink  9919
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