Theorem fihashss 10814

Description: The size of a subset is less than or equal to the size of its superset. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fihashss	|- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> (♯ ` B ) <_ (♯ ` A ) )

Proof of Theorem fihashss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 999	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> A e. Fin )
2		simp3 1001	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> B C_ A )
3		ssdomg 6796	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( B C_ A -> B ~<_ A ) )
4	1, 2, 3	sylc 62	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> B ~<_ A )
5		simp2 1000	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> B e. Fin )
6		fihashdom 10801	. . 3 |- ( ( B e. Fin /\ A e. Fin ) -> ( (♯ ` B ) <_ (♯ ` A ) <-> B ~<_ A ) )
7	5, 1, 6	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> ( (♯ ` B ) <_ (♯ ` A ) <-> B ~<_ A ) )
8	4, 7	mpbird 167	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> (♯ ` B ) <_ (♯ ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2160   C_ wss 3144   class class class wbr 4018   ` cfv 5231   ~<_ cdom 6757   Fincfn 6758   <_ cle 8011  ♯chash 10773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-addcom 7929  ax-addass 7931  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-ltadd 7945

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-recs 6324  df-frec 6410  df-er 6553  df-en 6759  df-dom 6760  df-fin 6761  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-inn 8938  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-ihash 10774

This theorem is referenced by:  fiprsshashgt1  10815