Theorem fihashss 10789

Description: The size of a subset is less than or equal to the size of its superset. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fihashss	|- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> (♯ ` B ) <_ (♯ ` A ) )

Proof of Theorem fihashss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 997	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> A e. Fin )
2		simp3 999	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> B C_ A )
3		ssdomg 6775	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( B C_ A -> B ~<_ A ) )
4	1, 2, 3	sylc 62	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> B ~<_ A )
5		simp2 998	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> B e. Fin )
6		fihashdom 10776	. . 3 |- ( ( B e. Fin /\ A e. Fin ) -> ( (♯ ` B ) <_ (♯ ` A ) <-> B ~<_ A ) )
7	5, 1, 6	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> ( (♯ ` B ) <_ (♯ ` A ) <-> B ~<_ A ) )
8	4, 7	mpbird 167	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> (♯ ` B ) <_ (♯ ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 978   e. wcel 2148   C_ wss 3129   class class class wbr 4002   ` cfv 5215   ~<_ cdom 6736   Fincfn 6737   <_ cle 7989  ♯chash 10748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-ltadd 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-recs 6303  df-frec 6389  df-er 6532  df-en 6738  df-dom 6739  df-fin 6740  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-inn 8916  df-n0 9173  df-z 9250  df-uz 9525  df-ihash 10749

This theorem is referenced by:  fiprsshashgt1  10790