Theorem fnmap 6902

Description: Set exponentiation has a universal domain. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fnmap	⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)

Proof of Theorem fnmap

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-map 6897	. 2 ⊢ ↑𝑚 = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥})
2		vex 2818	. . 3 ⊢ 𝑦 ∈ V
3		vex 2818	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
4		mapex 6901	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥} ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 426	. 2 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥} ∈ V
6	1, 5	fnmpoi 6412	1 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)

Syntax hints:   ∈ wcel 2205  {cab 2220  Vcvv 2815   × cxp 4752   Fn wfn 5352  ⟶wf 5353   ↑_𝑚 cmap 6895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-map 6897

This theorem is referenced by:  mapsnend  7065  mapsnen  7066  map1  7067  mapen  7112  mapdom1g  7113  mapxpen  7114  xpmapenlem  7115  mapunen  7117  2omapen  7283  hashfacen  11236  wrdexg  11263  omctfn  13281  prdsvallem  13567  ismhm  13719  mhmex  13720  prdsval  14118  rhmex  14405  fnpsr  14944  psrelbas  14959  psrplusgg  14962  psraddcl  14964  psr0cl  14965  psr0lid  14966  psrnegcl  14967  psrlinv  14968  psrgrp  14969  psr1clfi  14972  mplsubgfilemcl  14983  cnfval  15188  cnpfval  15189  cnpval  15192  ismet  15338  isxmet  15339  xmetunirn  15352  plyval  15726  pw1mapen  16909