Theorem fnmap 6933

Description: Set exponentiation has a universal domain. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fnmap	⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)

Proof of Theorem fnmap

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-map 6928	. 2 ⊢ ↑𝑚 = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥})
2		vex 2824	. . 3 ⊢ 𝑦 ∈ V
3		vex 2824	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
4		mapex 6932	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥} ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 430	. 2 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥} ∈ V
6	1, 5	fnmpoi 6443	1 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  {cab 2224  Vcvv 2821   × cxp 4774   Fn wfn 5375  ⟶wf 5376   ↑_𝑚 cmap 6926

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-map 6928

This theorem is used by:  mapsnend  7104  mapsnen  7105  map1  7106  mapen  7151  mapdom1g  7152  mapxpen  7153  xpmapenlem  7154  mapunen  7156  2omapen  7326  hashfacen  11307  wrdexg  11338  omctfn  13393  prdsvallem  13681  ismhm  13828  mhmex  13829  prdsval  14281  rhmex  14574  fnpsr  15163  psrelbas  15184  psrplusgg  15187  psraddcl  15189  psrmulrg  15191  psrmulfval  15192  psrmulclfilem  15194  psr0cl  15196  psr0lid  15197  psrnegcl  15198  psrlinv  15199  psrgrp  15200  psr1clfi  15203  psrdifi  15207  psrdirfi  15208  mvrval  15211  mvrffi  15214  mplsubgfilemcl  15227  cnfval  15432  cnpfval  15433  cnpval  15436  ismet  15582  isxmet  15583  xmetunirn  15596  plyval  15970  pw1mapen  17243