Theorem fnmap 6891

Description: Set exponentiation has a universal domain. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fnmap	⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)

Proof of Theorem fnmap

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-map 6886	. 2 ⊢ ↑𝑚 = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥})
2		vex 2818	. . 3 ⊢ 𝑦 ∈ V
3		vex 2818	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
4		mapex 6890	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥} ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 426	. 2 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥} ∈ V
6	1, 5	fnmpoi 6401	1 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)

Syntax hints:   ∈ wcel 2205  {cab 2220  Vcvv 2815   × cxp 4749   Fn wfn 5349  ⟶wf 5350   ↑_𝑚 cmap 6884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-map 6886

This theorem is referenced by:  mapsnend  7054  mapsnen  7055  map1  7056  mapen  7101  mapdom1g  7102  mapxpen  7103  xpmapenlem  7104  mapunen  7106  2omapen  7272  hashfacen  11216  wrdexg  11243  omctfn  13215  prdsvallem  13506  prdsval  13507  ismhm  13695  mhmex  13696  rhmex  14324  fnpsr  14864  psrelbas  14879  psrplusgg  14882  psraddcl  14884  psr0cl  14885  psr0lid  14886  psrnegcl  14887  psrlinv  14888  psrgrp  14889  psr1clfi  14892  mplsubgfilemcl  14903  cnfval  15108  cnpfval  15109  cnpval  15112  ismet  15258  isxmet  15259  xmetunirn  15272  plyval  15646  pw1mapen  16819