Theorem fnmap 6824

Description: Set exponentiation has a universal domain. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fnmap	⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)

Proof of Theorem fnmap

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-map 6819	. 2 ⊢ ↑𝑚 = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥})
2		vex 2805	. . 3 ⊢ 𝑦 ∈ V
3		vex 2805	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
4		mapex 6823	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥} ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 426	. 2 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥} ∈ V
6	1, 5	fnmpoi 6368	1 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)

Syntax hints:   ∈ wcel 2202  {cab 2217  Vcvv 2802   × cxp 4723   Fn wfn 5321  ⟶wf 5322   ↑_𝑚 cmap 6817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-map 6819

This theorem is referenced by:  mapsnen  6986  map1  6987  mapen  7032  mapdom1g  7033  mapxpen  7034  xpmapenlem  7035  hashfacen  11100  wrdexg  11124  omctfn  13065  prdsvallem  13356  prdsval  13357  ismhm  13545  mhmex  13546  rhmex  14173  fnpsr  14683  psrelbas  14691  psrplusgg  14694  psraddcl  14696  psr0cl  14697  psr0lid  14698  psrnegcl  14699  psrlinv  14700  psrgrp  14701  psr1clfi  14704  mplsubgfilemcl  14715  cnfval  14920  cnpfval  14921  cnpval  14924  ismet  15070  isxmet  15071  xmetunirn  15084  plyval  15458  2omapen  16598  pw1mapen  16600