Theorem fnmap 6929

Description: Set exponentiation has a universal domain. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fnmap	⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)

Proof of Theorem fnmap

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-map 6924	. 2 ⊢ ↑𝑚 = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥})
2		vex 2824	. . 3 ⊢ 𝑦 ∈ V
3		vex 2824	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
4		mapex 6928	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥} ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 430	. 2 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥} ∈ V
6	1, 5	fnmpoi 6439	1 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  {cab 2224  Vcvv 2821   × cxp 4772   Fn wfn 5372  ⟶wf 5373   ↑_𝑚 cmap 6922

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-map 6924

This theorem is used by:  mapsnend  7099  mapsnen  7100  map1  7101  mapen  7146  mapdom1g  7147  mapxpen  7148  xpmapenlem  7149  mapunen  7151  2omapen  7319  hashfacen  11298  wrdexg  11329  omctfn  13383  prdsvallem  13670  ismhm  13817  mhmex  13818  prdsval  14222  rhmex  14513  fnpsr  15100  psrelbas  15115  psrplusgg  15118  psraddcl  15120  psr0cl  15121  psr0lid  15122  psrnegcl  15123  psrlinv  15124  psrgrp  15125  psr1clfi  15128  mplsubgfilemcl  15139  cnfval  15344  cnpfval  15345  cnpval  15348  ismet  15494  isxmet  15495  xmetunirn  15508  plyval  15882  pw1mapen  17145