Theorem fnmap 6819

Description: Set exponentiation has a universal domain. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fnmap	⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)

Proof of Theorem fnmap

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-map 6814	. 2 ⊢ ↑𝑚 = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥})
2		vex 2803	. . 3 ⊢ 𝑦 ∈ V
3		vex 2803	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
4		mapex 6818	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥} ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 426	. 2 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥} ∈ V
6	1, 5	fnmpoi 6363	1 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  {cab 2215  Vcvv 2800   × cxp 4721   Fn wfn 5319  ⟶wf 5320   ↑_𝑚 cmap 6812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-map 6814

This theorem is referenced by:  mapsnen  6981  map1  6982  mapen  7027  mapdom1g  7028  mapxpen  7029  xpmapenlem  7030  hashfacen  11093  wrdexg  11117  omctfn  13057  prdsvallem  13348  prdsval  13349  ismhm  13537  mhmex  13538  rhmex  14164  fnpsr  14674  psrelbas  14682  psrplusgg  14685  psraddcl  14687  psr0cl  14688  psr0lid  14689  psrnegcl  14690  psrlinv  14691  psrgrp  14692  psr1clfi  14695  mplsubgfilemcl  14706  cnfval  14911  cnpfval  14912  cnpval  14915  ismet  15061  isxmet  15062  xmetunirn  15075  plyval  15449  2omapen  16545  pw1mapen  16547