Theorem fnmap 6829

Description: Set exponentiation has a universal domain. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fnmap	⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)

Proof of Theorem fnmap

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-map 6824	. 2 ⊢ ↑𝑚 = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥})
2		vex 2804	. . 3 ⊢ 𝑦 ∈ V
3		vex 2804	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
4		mapex 6828	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥} ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 426	. 2 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥} ∈ V
6	1, 5	fnmpoi 6373	1 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)

Syntax hints:   ∈ wcel 2201  {cab 2216  Vcvv 2801   × cxp 4725   Fn wfn 5323  ⟶wf 5324   ↑_𝑚 cmap 6822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-fv 5336  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-map 6824

This theorem is referenced by:  mapsnen  6991  map1  6992  mapen  7037  mapdom1g  7038  mapxpen  7039  xpmapenlem  7040  hashfacen  11106  wrdexg  11133  omctfn  13087  prdsvallem  13378  prdsval  13379  ismhm  13567  mhmex  13568  rhmex  14195  fnpsr  14705  psrelbas  14718  psrplusgg  14721  psraddcl  14723  psr0cl  14724  psr0lid  14725  psrnegcl  14726  psrlinv  14727  psrgrp  14728  psr1clfi  14731  mplsubgfilemcl  14742  cnfval  14947  cnpfval  14948  cnpval  14951  ismet  15097  isxmet  15098  xmetunirn  15111  plyval  15485  2omapen  16655  pw1mapen  16657