Theorem fnmap 6810

Description: Set exponentiation has a universal domain. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fnmap	⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)

Proof of Theorem fnmap

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-map 6805	. 2 ⊢ ↑𝑚 = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥})
2		vex 2802	. . 3 ⊢ 𝑦 ∈ V
3		vex 2802	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
4		mapex 6809	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥} ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 426	. 2 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥} ∈ V
6	1, 5	fnmpoi 6355	1 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  {cab 2215  Vcvv 2799   × cxp 4717   Fn wfn 5313  ⟶wf 5314   ↑_𝑚 cmap 6803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-map 6805

This theorem is referenced by:  mapsnen  6972  map1  6973  mapen  7015  mapdom1g  7016  mapxpen  7017  xpmapenlem  7018  hashfacen  11066  wrdexg  11090  omctfn  13022  prdsvallem  13313  prdsval  13314  ismhm  13502  mhmex  13503  rhmex  14129  fnpsr  14639  psrelbas  14647  psrplusgg  14650  psraddcl  14652  psr0cl  14653  psr0lid  14654  psrnegcl  14655  psrlinv  14656  psrgrp  14657  psr1clfi  14660  mplsubgfilemcl  14671  cnfval  14876  cnpfval  14877  cnpval  14880  ismet  15026  isxmet  15027  xmetunirn  15040  plyval  15414  2omapen  16389  pw1mapen  16391