Theorem fnmap 6888

Description: Set exponentiation has a universal domain. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fnmap	⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)

Proof of Theorem fnmap

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-map 6883	. 2 ⊢ ↑𝑚 = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥})
2		vex 2815	. . 3 ⊢ 𝑦 ∈ V
3		vex 2815	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
4		mapex 6887	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥} ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 426	. 2 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥} ∈ V
6	1, 5	fnmpoi 6398	1 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)

Syntax hints:   ∈ wcel 2203  {cab 2218  Vcvv 2812   × cxp 4746   Fn wfn 5346  ⟶wf 5347   ↑_𝑚 cmap 6881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-map 6883

This theorem is referenced by:  mapsnend  7051  mapsnen  7052  map1  7053  mapen  7098  mapdom1g  7099  mapxpen  7100  xpmapenlem  7101  mapunen  7103  2omapen  7269  hashfacen  11201  wrdexg  11228  omctfn  13183  prdsvallem  13474  prdsval  13475  ismhm  13663  mhmex  13664  rhmex  14291  fnpsr  14802  psrelbas  14817  psrplusgg  14820  psraddcl  14822  psr0cl  14823  psr0lid  14824  psrnegcl  14825  psrlinv  14826  psrgrp  14827  psr1clfi  14830  mplsubgfilemcl  14841  cnfval  15046  cnpfval  15047  cnpval  15050  ismet  15196  isxmet  15197  xmetunirn  15210  plyval  15584  pw1mapen  16757