Theorem fnmap 6749

Description: Set exponentiation has a universal domain. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fnmap	⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)

Proof of Theorem fnmap

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-map 6744	. 2 ⊢ ↑𝑚 = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥})
2		vex 2776	. . 3 ⊢ 𝑦 ∈ V
3		vex 2776	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
4		mapex 6748	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥} ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 426	. 2 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥} ∈ V
6	1, 5	fnmpoi 6296	1 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)

Syntax hints:   ∈ wcel 2177  {cab 2192  Vcvv 2773   × cxp 4677   Fn wfn 5271  ⟶wf 5272   ↑_𝑚 cmap 6742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-fv 5284  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-map 6744

This theorem is referenced by:  mapsnen  6910  map1  6911  mapen  6950  mapdom1g  6951  mapxpen  6952  xpmapenlem  6953  hashfacen  10988  wrdexg  11012  omctfn  12858  prdsvallem  13148  prdsval  13149  ismhm  13337  mhmex  13338  rhmex  13963  fnpsr  14473  psrelbas  14481  psrplusgg  14484  psraddcl  14486  psr0cl  14487  psr0lid  14488  psrnegcl  14489  psrlinv  14490  psrgrp  14491  psr1clfi  14494  mplsubgfilemcl  14505  cnfval  14710  cnpfval  14711  cnpval  14714  ismet  14860  isxmet  14861  xmetunirn  14874  plyval  15248  2omapen  16007