Theorem fnmap 6815

Description: Set exponentiation has a universal domain. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fnmap	⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)

Proof of Theorem fnmap

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-map 6810	. 2 ⊢ ↑𝑚 = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥})
2		vex 2802	. . 3 ⊢ 𝑦 ∈ V
3		vex 2802	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
4		mapex 6814	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥} ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 426	. 2 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥} ∈ V
6	1, 5	fnmpoi 6360	1 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  {cab 2215  Vcvv 2799   × cxp 4718   Fn wfn 5316  ⟶wf 5317   ↑_𝑚 cmap 6808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-fv 5329  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-map 6810

This theorem is referenced by:  mapsnen  6977  map1  6978  mapen  7020  mapdom1g  7021  mapxpen  7022  xpmapenlem  7023  hashfacen  11076  wrdexg  11100  omctfn  13035  prdsvallem  13326  prdsval  13327  ismhm  13515  mhmex  13516  rhmex  14142  fnpsr  14652  psrelbas  14660  psrplusgg  14663  psraddcl  14665  psr0cl  14666  psr0lid  14667  psrnegcl  14668  psrlinv  14669  psrgrp  14670  psr1clfi  14673  mplsubgfilemcl  14684  cnfval  14889  cnpfval  14890  cnpval  14893  ismet  15039  isxmet  15040  xmetunirn  15053  plyval  15427  2omapen  16473  pw1mapen  16475