Theorem fnmap 6923

Description: Set exponentiation has a universal domain. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fnmap	⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)

Proof of Theorem fnmap

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-map 6918	. 2 ⊢ ↑𝑚 = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥})
2		vex 2824	. . 3 ⊢ 𝑦 ∈ V
3		vex 2824	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
4		mapex 6922	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥} ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 430	. 2 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥} ∈ V
6	1, 5	fnmpoi 6433	1 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)

Syntax hints:   ∈ wcel 2209  {cab 2224  Vcvv 2821   × cxp 4770   Fn wfn 5370  ⟶wf 5371   ↑_𝑚 cmap 6916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-map 6918

This theorem is referenced by:  mapsnend  7093  mapsnen  7094  map1  7095  mapen  7140  mapdom1g  7141  mapxpen  7142  xpmapenlem  7143  mapunen  7145  2omapen  7313  hashfacen  11267  wrdexg  11298  omctfn  13317  prdsvallem  13604  ismhm  13751  mhmex  13752  prdsval  14156  rhmex  14447  fnpsr  15034  psrelbas  15049  psrplusgg  15052  psraddcl  15054  psr0cl  15055  psr0lid  15056  psrnegcl  15057  psrlinv  15058  psrgrp  15059  psr1clfi  15062  mplsubgfilemcl  15073  cnfval  15278  cnpfval  15279  cnpval  15282  ismet  15428  isxmet  15429  xmetunirn  15442  plyval  15816  pw1mapen  17009