Theorem fnmap 6772

Description: Set exponentiation has a universal domain. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fnmap	⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)

Proof of Theorem fnmap

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-map 6767	. 2 ⊢ ↑𝑚 = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥})
2		vex 2782	. . 3 ⊢ 𝑦 ∈ V
3		vex 2782	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
4		mapex 6771	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥} ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 426	. 2 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦⟶𝑥} ∈ V
6	1, 5	fnmpoi 6319	1 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)

Syntax hints:   ∈ wcel 2180  {cab 2195  Vcvv 2779   × cxp 4694   Fn wfn 5289  ⟶wf 5290   ↑_𝑚 cmap 6765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ral 2493  df-rex 2494  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-fv 5302  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-map 6767

This theorem is referenced by:  mapsnen  6934  map1  6935  mapen  6975  mapdom1g  6976  mapxpen  6977  xpmapenlem  6978  hashfacen  11025  wrdexg  11049  omctfn  12980  prdsvallem  13271  prdsval  13272  ismhm  13460  mhmex  13461  rhmex  14086  fnpsr  14596  psrelbas  14604  psrplusgg  14607  psraddcl  14609  psr0cl  14610  psr0lid  14611  psrnegcl  14612  psrlinv  14613  psrgrp  14614  psr1clfi  14617  mplsubgfilemcl  14628  cnfval  14833  cnpfval  14834  cnpval  14837  ismet  14983  isxmet  14984  xmetunirn  14997  plyval  15371  2omapen  16271  pw1mapen  16273