Theorem fzo0sn0fzo1 10152

Description: A half-open range of nonnegative integers is the union of the singleton set containing 0 and a half-open range of positive integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0sn0fzo1	|- ( N e. NN -> ( 0..^ N ) = ( { 0 } u. ( 1..^ N ) ) )

Proof of Theorem fzo0sn0fzo1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9126	. . . . 5 |- 1 e. NN0
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN -> 1 e. NN0 )
3		nnnn0 9117	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
4		nnge1 8876	. . . 4 |- ( N e. NN -> 1 <_ N )
5		elfz2nn0 10043	. . . 4 |- ( 1 e. ( 0 ... N ) <-> ( 1 e. NN0 /\ N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )
6	2, 3, 4, 5	syl3anbrc 1171	. . 3 |- ( N e. NN -> 1 e. ( 0 ... N ) )
7		fzosplit 10108	. . 3 |- ( 1 e. ( 0 ... N ) -> ( 0..^ N ) = ( ( 0..^ 1 ) u. ( 1..^ N ) ) )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( N e. NN -> ( 0..^ N ) = ( ( 0..^ 1 ) u. ( 1..^ N ) ) )
9		fzo01 10147	. . . 4 |- ( 0..^ 1 ) = { 0 }
10	9	a1i 9	. . 3 |- ( N e. NN -> ( 0..^ 1 ) = { 0 } )
11	10	uneq1d 3274	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( 0..^ 1 ) u. ( 1..^ N ) ) = ( { 0 } u. ( 1..^ N ) ) )
12	8, 11	eqtrd 2198	1 |- ( N e. NN -> ( 0..^ N ) = ( { 0 } u. ( 1..^ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1343   e. wcel 2136   u. cun 3113   {csn 3575   class class class wbr 3981  (class class class)co 5841   0cc0 7749   1c1 7750   <_ cle 7930   NNcn 8853   NN0cn0 9110   ...cfz 9940  ..^cfzo 10073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-inn 8854  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-fz 9941  df-fzo 10074

This theorem is referenced by:  nnnn0modprm0  12183