Theorem fzo0sn0fzo1 10216

Description: A half-open range of nonnegative integers is the union of the singleton set containing 0 and a half-open range of positive integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0sn0fzo1	|- ( N e. NN -> ( 0..^ N ) = ( { 0 } u. ( 1..^ N ) ) )

Proof of Theorem fzo0sn0fzo1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9188	. . . . 5 |- 1 e. NN0
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN -> 1 e. NN0 )
3		nnnn0 9179	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
4		nnge1 8938	. . . 4 |- ( N e. NN -> 1 <_ N )
5		elfz2nn0 10107	. . . 4 |- ( 1 e. ( 0 ... N ) <-> ( 1 e. NN0 /\ N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )
6	2, 3, 4, 5	syl3anbrc 1181	. . 3 |- ( N e. NN -> 1 e. ( 0 ... N ) )
7		fzosplit 10172	. . 3 |- ( 1 e. ( 0 ... N ) -> ( 0..^ N ) = ( ( 0..^ 1 ) u. ( 1..^ N ) ) )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( N e. NN -> ( 0..^ N ) = ( ( 0..^ 1 ) u. ( 1..^ N ) ) )
9		fzo01 10211	. . . 4 |- ( 0..^ 1 ) = { 0 }
10	9	a1i 9	. . 3 |- ( N e. NN -> ( 0..^ 1 ) = { 0 } )
11	10	uneq1d 3288	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( 0..^ 1 ) u. ( 1..^ N ) ) = ( { 0 } u. ( 1..^ N ) ) )
12	8, 11	eqtrd 2210	1 |- ( N e. NN -> ( 0..^ N ) = ( { 0 } u. ( 1..^ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   u. cun 3127   {csn 3592   class class class wbr 4002  (class class class)co 5872   0cc0 7808   1c1 7809   <_ cle 7989   NNcn 8915   NN0cn0 9172   ...cfz 10004  ..^cfzo 10137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-inn 8916  df-n0 9173  df-z 9250  df-uz 9525  df-fz 10005  df-fzo 10138

This theorem is referenced by:  nnnn0modprm0  12247