ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzo0sn0fzo1 Unicode version

Theorem fzo0sn0fzo1 10164
Description: A half-open range of nonnegative integers is the union of the singleton set containing 0 and a half-open range of positive integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzo0sn0fzo1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0..^ N )  =  ( { 0 }  u.  ( 1..^ N ) ) )

Proof of Theorem fzo0sn0fzo1
StepHypRef Expression
1 1nn0 9138 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
21a1i 9 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  NN0 )
3 nnnn0 9129 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
4 nnge1 8888 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
5 elfz2nn0 10055 . . . 4  |-  ( 1  e.  ( 0 ... N )  <->  ( 1  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  1  <_  N ) )
62, 3, 4, 5syl3anbrc 1176 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  ( 0 ... N
) )
7 fzosplit 10120 . . 3  |-  ( 1  e.  ( 0 ... N )  ->  (
0..^ N )  =  ( ( 0..^ 1 )  u.  ( 1..^ N ) ) )
86, 7syl 14 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0..^ N )  =  ( ( 0..^ 1 )  u.  ( 1..^ N ) ) )
9 fzo01 10159 . . . 4  |-  ( 0..^ 1 )  =  {
0 }
109a1i 9 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0..^ 1 )  =  { 0 } )
1110uneq1d 3280 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 0..^ 1 )  u.  ( 1..^ N ) )  =  ( { 0 }  u.  ( 1..^ N ) ) )
128, 11eqtrd 2203 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0..^ N )  =  ( { 0 }  u.  ( 1..^ N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1348    e. wcel 2141    u. cun 3119   {csn 3581   class class class wbr 3987  (class class class)co 5850   0cc0 7761   1c1 7762    <_ cle 7942   NNcn 8865   NN0cn0 9122   ...cfz 9952  ..^cfzo 10085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-fz 9953  df-fzo 10086
This theorem is referenced by:  nnnn0modprm0  12196
  Copyright terms: Public domain W3C validator