ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  swrdclg Unicode version
Theorem swrdclg 11367
Description: Closure of the subword extractor. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
swrdclg |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( S substr <. F , L >. ) e. Word A )
Proof of Theorem swrdclg
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 swrdval 11365 . 2 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( S substr <. F , L >. ) = if ( ( F..^ L ) C_ dom S , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( S ` ( x + F ) ) ) , (/) ) )
2 wrdf 11255 . . . . . . . 8 |- ( S e. Word A -> S : ( 0..^ (♯ ` S ) ) --> A )
323ad2ant1 1045 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> S : ( 0..^ (♯ ` S ) ) --> A )
43ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) /\ x e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> S : ( 0..^ (♯ ` S ) ) --> A )
5 simplr 529 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) /\ x e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> ( F..^ L ) C_ dom S )
6 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) /\ x e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> x e. ( 0..^ ( L - F ) ) )
7 simpll3 1065 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) /\ x e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> L e. ZZ )
8 simpll2 1064 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) /\ x e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> F e. ZZ )
9 fzoaddel2 10557 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) /\ L e. ZZ /\ F e. ZZ ) -> ( x + F ) e. ( F..^ L ) )
106, 7, 8, 9syl3anc 1274 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) /\ x e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> ( x + F ) e. ( F..^ L ) )
115, 10sseldd 3243 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) /\ x e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> ( x + F ) e. dom S )
124fdmd 5520 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) /\ x e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> dom S = ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
1311, 12eleqtrd 2313 . . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) /\ x e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> ( x + F ) e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
144, 13ffvelcdmd 5818 . . . . 5 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) /\ x e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> ( S ` ( x + F ) ) e. A )
1514fmpttd 5837 . . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( S ` ( x + F ) ) ) : ( 0..^ ( L - F ) ) --> A )
16 simpl3 1029 . . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) -> L e. ZZ )
17 simpl2 1028 . . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) -> F e. ZZ )
1816, 17zsubcld 9723 . . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) -> ( L - F ) e. ZZ )
19 iswrdiz 11256 . . . 4 |- ( ( ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( S ` ( x + F ) ) ) : ( 0..^ ( L - F ) ) --> A /\ ( L - F ) e. ZZ ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( S ` ( x + F ) ) ) e. Word A )
2015, 18, 19syl2anc 411 . . 3 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( S ` ( x + F ) ) ) e. Word A )
21 wrd0 11274 . . . 4 |- (/) e. Word A
2221a1i 9 . . 3 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ -. ( F..^ L ) C_ dom S ) -> (/) e. Word A )
23 fzowrddc 11364 . . 3 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID ( F..^ L ) C_ dom S )
2420, 22, 23ifcldadc 3656 . 2 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom S , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( S ` ( x + F ) ) ) , (/) ) e. Word A )
251, 24eqeltrd 2311 1 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( S substr <. F , L >. ) e. Word A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   e. wcel 2205   C_ wss 3214   (/)c0 3512   ifcif 3624   <.cop 3697   |-> cmpt 4176   dom cdm 4754   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   0cc0 8143   + caddc 8146   - cmin 8460   ZZcz 9594  ..^cfzo 10498  ♯chash 11163  Word cword 11249   substr csubstr 11362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-ihash 11164  df-word 11250  df-substr 11363
This theorem is referenced by:  swrdf  11372  swrdspsleq  11384  swrds1  11385  ccatswrd  11387  swrdccat2  11388  pfxclg  11395  ccatpfx  11418  swrdswrd  11422  pfxswrd  11423  lenrevpfxcctswrd  11429  pfxccatin12  11450  swrdccat  11452  swrdccat3blem  11456
  Copyright terms: Public domain W3C validator