ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  swrdclg Unicode version
Theorem swrdclg 11400
Description: Closure of the subword extractor. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
swrdclg |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( S substr <. F , L >. ) e. Word A )
Proof of Theorem swrdclg
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 swrdval 11398 . 2 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( S substr <. F , L >. ) = if ( ( F..^ L ) C_ dom S , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( S ` ( x + F ) ) ) , (/) ) )
2 wrdf 11288 . . . . . . . 8 |- ( S e. Word A -> S : ( 0..^ (♯ ` S ) ) --> A )
323ad2ant1 1049 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> S : ( 0..^ (♯ ` S ) ) --> A )
43ad2antrr 492 . . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) /\ x e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> S : ( 0..^ (♯ ` S ) ) --> A )
5 simplr 533 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) /\ x e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> ( F..^ L ) C_ dom S )
6 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) /\ x e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> x e. ( 0..^ ( L - F ) ) )
7 simpll3 1069 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) /\ x e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> L e. ZZ )
8 simpll2 1068 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) /\ x e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> F e. ZZ )
9 fzoaddel2 10586 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) /\ L e. ZZ /\ F e. ZZ ) -> ( x + F ) e. ( F..^ L ) )
106, 7, 8, 9syl3anc 1278 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) /\ x e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> ( x + F ) e. ( F..^ L ) )
115, 10sseldd 3249 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) /\ x e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> ( x + F ) e. dom S )
124fdmd 5535 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) /\ x e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> dom S = ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
1311, 12eleqtrd 2317 . . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) /\ x e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> ( x + F ) e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
144, 13ffvelcdmd 5835 . . . . 5 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) /\ x e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> ( S ` ( x + F ) ) e. A )
1514fmpttd 5854 . . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( S ` ( x + F ) ) ) : ( 0..^ ( L - F ) ) --> A )
16 simpl3 1033 . . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) -> L e. ZZ )
17 simpl2 1032 . . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) -> F e. ZZ )
1816, 17zsubcld 9752 . . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) -> ( L - F ) e. ZZ )
19 iswrdiz 11289 . . . 4 |- ( ( ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( S ` ( x + F ) ) ) : ( 0..^ ( L - F ) ) --> A /\ ( L - F ) e. ZZ ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( S ` ( x + F ) ) ) e. Word A )
2015, 18, 19syl2anc 415 . . 3 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( S ` ( x + F ) ) ) e. Word A )
21 wrd0 11307 . . . 4 |- (/) e. Word A
2221a1i 9 . . 3 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ -. ( F..^ L ) C_ dom S ) -> (/) e. Word A )
23 fzowrddc 11397 . . 3 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID ( F..^ L ) C_ dom S )
2420, 22, 23ifcldadc 3667 . 2 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom S , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( S ` ( x + F ) ) ) , (/) ) e. Word A )
251, 24eqeltrd 2315 1 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( S substr <. F , L >. ) e. Word A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ifcif 3635   <.cop 3708   |-> cmpt 4187   dom cdm 4769   -->wf 5368   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   0cc0 8169   + caddc 8172   - cmin 8487   ZZcz 9623  ..^cfzo 10527  ♯chash 11192  Word cword 11282   substr csubstr 11395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-ihash 11193  df-word 11283  df-substr 11396
This theorem is referenced by:  swrdf  11405  swrdspsleq  11417  swrds1  11418  ccatswrd  11420  swrdccat2  11421  pfxclg  11428  ccatpfx  11451  swrdswrd  11455  pfxswrd  11456  lenrevpfxcctswrd  11462  pfxccatin12  11483  swrdccat  11485  swrdccat3blem  11489
  Copyright terms: Public domain W3C validator