Theorem swrdwrdsymbg 11150

Description: A subword is a word over the symbols it consists of. (Contributed by AV, 2-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
swrdwrdsymbg	|- ( ( S e. Word A /\ M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> ( S substr <. M , N >. ) e. Word ( S " ( M..^ N ) ) )

Proof of Theorem swrdwrdsymbg

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdval2 11137	. . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> ( S substr <. M , N >. ) = ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( S ` ( x + M ) ) ) )
2	1	3expb 1207	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) ) -> ( S substr <. M , N >. ) = ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( S ` ( x + M ) ) ) )
3		wrdf 11032	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. Word A -> S : ( 0..^ (♯ ` S ) ) --> A )
4	3	ffund 5444	. . . . . . . . 9 |- ( S e. Word A -> Fun S )
5	4	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. Word A /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) ) -> Fun S )
6	5	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. Word A /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) -> Fun S )
7		wrddm 11034	. . . . . . . . 9 |- ( S e. Word A -> dom S = ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
8		elfzodifsumelfzo 10362	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( x + M ) e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
9	8	imp 124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) -> ( x + M ) e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
10	9	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( dom S = ( 0..^ (♯ ` S ) ) /\ ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) -> ( x + M ) e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
11		eleq2 2270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( dom S = ( 0..^ (♯ ` S ) ) -> ( ( x + M ) e. dom S <-> ( x + M ) e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
12	11	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( dom S = ( 0..^ (♯ ` S ) ) /\ ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) -> ( ( x + M ) e. dom S <-> ( x + M ) e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
13	10, 12	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( dom S = ( 0..^ (♯ ` S ) ) /\ ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) ) -> ( x + M ) e. dom S )
14	13	exp32 365	. . . . . . . . 9 |- ( dom S = ( 0..^ (♯ ` S ) ) -> ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( x + M ) e. dom S ) ) )
15	7, 14	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( S e. Word A -> ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( x + M ) e. dom S ) ) )
16	15	imp31 256	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. Word A /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) -> ( x + M ) e. dom S )
17		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. Word A /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) -> x e. ( 0..^ ( N - M ) ) )
18		elfzelz 10177	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) -> N e. ZZ )
19	18	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> N e. ZZ )
20	19	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. Word A /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) ) -> N e. ZZ )
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. Word A /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) -> N e. ZZ )
22		elfzelz 10177	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> M e. ZZ )
23	22	ad2antrl 490	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. Word A /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) ) -> M e. ZZ )
24	23	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. Word A /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) -> M e. ZZ )
25		fzoaddel2 10351	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( x + M ) e. ( M..^ N ) )
26	17, 21, 24, 25	syl3anc 1250	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. Word A /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) -> ( x + M ) e. ( M..^ N ) )
27		funfvima 5834	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun S /\ ( x + M ) e. dom S ) -> ( ( x + M ) e. ( M..^ N ) -> ( S ` ( x + M ) ) e. ( S " ( M..^ N ) ) ) )
28	27	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ( Fun S /\ ( x + M ) e. dom S ) /\ ( x + M ) e. ( M..^ N ) ) -> ( S ` ( x + M ) ) e. ( S " ( M..^ N ) ) )
29	6, 16, 26, 28	syl21anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) -> ( S ` ( x + M ) ) e. ( S " ( M..^ N ) ) )
30	29	fmpttd 5753	. . . . 5 |- ( ( S e. Word A /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( S ` ( x + M ) ) ) : ( 0..^ ( N - M ) ) --> ( S " ( M..^ N ) ) )
31		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. Word A /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) -> S e. Word A )
32		elfzoelz 10299	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> x e. ZZ )
33	32	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S e. Word A /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) -> x e. ZZ )
34	33, 24	zaddcld 9529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. Word A /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) -> ( x + M ) e. ZZ )
35		fvexg 5613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. Word A /\ ( x + M ) e. ZZ ) -> ( S ` ( x + M ) ) e. _V )
36	31, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. Word A /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) -> ( S ` ( x + M ) ) e. _V )
37	36	ralrimiva 2580	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. Word A /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) ) -> A. x e. ( 0..^ ( N - M ) ) ( S ` ( x + M ) ) e. _V )
38		eqid 2206	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( S ` ( x + M ) ) ) = ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( S ` ( x + M ) ) )
39	38	fnmpt 5417	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. ( 0..^ ( N - M ) ) ( S ` ( x + M ) ) e. _V -> ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( S ` ( x + M ) ) ) Fn ( 0..^ ( N - M ) ) )
40	37, 39	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. Word A /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( S ` ( x + M ) ) ) Fn ( 0..^ ( N - M ) ) )
41		0z 9413	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. ZZ
42		elfzel2 10175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> N e. ZZ )
43	42, 22	zsubcld 9530	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( N - M ) e. ZZ )
44		fzofig 10609	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( N - M ) e. ZZ ) -> ( 0..^ ( N - M ) ) e. Fin )
45	41, 43, 44	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( 0..^ ( N - M ) ) e. Fin )
46	45	ad2antrl 490	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. Word A /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) ) -> ( 0..^ ( N - M ) ) e. Fin )
47		fihashfn 10977	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( S ` ( x + M ) ) ) Fn ( 0..^ ( N - M ) ) /\ ( 0..^ ( N - M ) ) e. Fin ) -> (♯ ` ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( S ` ( x + M ) ) ) ) = (♯ ` ( 0..^ ( N - M ) ) ) )
48	40, 46, 47	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. Word A /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) ) -> (♯ ` ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( S ` ( x + M ) ) ) ) = (♯ ` ( 0..^ ( N - M ) ) ) )
49		fznn0sub 10209	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( N - M ) e. NN0 )
50		hashfzo0 11000	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N - M ) e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ ( N - M ) ) ) = ( N - M ) )
51	49, 50	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> (♯ ` ( 0..^ ( N - M ) ) ) = ( N - M ) )
52	51	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. Word A /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) ) -> (♯ ` ( 0..^ ( N - M ) ) ) = ( N - M ) )
53	48, 52	eqtrd 2239	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Word A /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) ) -> (♯ ` ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( S ` ( x + M ) ) ) ) = ( N - M ) )
54	53	oveq2d 5978	. . . . . 6 |- ( ( S e. Word A /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) ) -> ( 0..^ (♯ ` ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( S ` ( x + M ) ) ) ) ) = ( 0..^ ( N - M ) ) )
55	54	feq2d 5428	. . . . 5 |- ( ( S e. Word A /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) ) -> ( ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( S ` ( x + M ) ) ) : ( 0..^ (♯ ` ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( S ` ( x + M ) ) ) ) ) --> ( S " ( M..^ N ) ) <-> ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( S ` ( x + M ) ) ) : ( 0..^ ( N - M ) ) --> ( S " ( M..^ N ) ) ) )
56	30, 55	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( S ` ( x + M ) ) ) : ( 0..^ (♯ ` ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( S ` ( x + M ) ) ) ) ) --> ( S " ( M..^ N ) ) )
57	49	ad2antrl 490	. . . . 5 |- ( ( S e. Word A /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) ) -> ( N - M ) e. NN0 )
58	53, 57	eqeltrd 2283	. . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) ) -> (♯ ` ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( S ` ( x + M ) ) ) ) e. NN0 )
59		iswrdinn0 11031	. . . 4 |- ( ( ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( S ` ( x + M ) ) ) : ( 0..^ (♯ ` ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( S ` ( x + M ) ) ) ) ) --> ( S " ( M..^ N ) ) /\ (♯ ` ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( S ` ( x + M ) ) ) ) e. NN0 ) -> ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( S ` ( x + M ) ) ) e. Word ( S " ( M..^ N ) ) )
60	56, 58, 59	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( S ` ( x + M ) ) ) e. Word ( S " ( M..^ N ) ) )
61	2, 60	eqeltrd 2283	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) ) -> ( S substr <. M , N >. ) e. Word ( S " ( M..^ N ) ) )
62	61	3impb 1202	1 |- ( ( S e. Word A /\ M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> ( S substr <. M , N >. ) e. Word ( S " ( M..^ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   A.wral 2485   _Vcvv 2773   <.cop 3641   |-> cmpt 4116   dom cdm 4688   "cima 4691   Fun wfun 5279   Fn wfn 5280   -->wf 5281   ` cfv 5285  (class class class)co 5962   Fincfn 6845   0cc0 7955   + caddc 7958   - cmin 8273   NN0cn0 9325   ZZcz 9402   ...cfz 10160  ..^cfzo 10294  ♯chash 10952  Word cword 11026   substr csubstr 11131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-iinf 4649  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-addcom 8055  ax-addass 8057  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-apti 8070  ax-pre-ltadd 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-tr 4154  df-id 4353  df-iord 4426  df-on 4428  df-ilim 4429  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-recs 6409  df-frec 6495  df-1o 6520  df-er 6638  df-en 6846  df-dom 6847  df-fin 6848  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-inn 9067  df-n0 9326  df-z 9403  df-uz 9679  df-fz 10161  df-fzo 10295  df-ihash 10953  df-word 11027  df-substr 11132

This theorem is referenced by:  pfxwrdsymbg  11176