Theorem fzoaddel2 10363

Description: Translate membership in a shifted-down half-open integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoaddel2	⊢ ((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ (𝐶..^𝐵))

Proof of Theorem fzoaddel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoaddel 10360	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ((0 + 𝐶)..^((𝐵 − 𝐶) + 𝐶)))
2	1	3adant2 1021	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ((0 + 𝐶)..^((𝐵 − 𝐶) + 𝐶)))
3		zcn 9419	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
4		zcn 9419	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
5		addlid 8253	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (0 + 𝐶) = 𝐶)
6	5	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (0 + 𝐶) = 𝐶)
7		npcan 8323	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐶) + 𝐶) = 𝐵)
8	6, 7	oveq12d 5992	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((0 + 𝐶)..^((𝐵 − 𝐶) + 𝐶)) = (𝐶..^𝐵))
9	3, 4, 8	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((0 + 𝐶)..^((𝐵 − 𝐶) + 𝐶)) = (𝐶..^𝐵))
10	9	3adant1 1020	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((0 + 𝐶)..^((𝐵 − 𝐶) + 𝐶)) = (𝐶..^𝐵))
11	2, 10	eleqtrd 2288	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ (𝐶..^𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 983   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  (class class class)co 5974  ℂcc 7965  0cc0 7967   + caddc 7970   − cmin 8285  ℤcz 9414  ..^cfzo 10306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-inn 9079  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-fz 10173  df-fzo 10307

This theorem is referenced by:  swrdclg  11148  swrdwrdsymbg  11162