Theorem fzoaddel2 10326

Description: Translate membership in a shifted-down half-open integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoaddel2	⊢ ((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ (𝐶..^𝐵))

Proof of Theorem fzoaddel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoaddel 10323	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ((0 + 𝐶)..^((𝐵 − 𝐶) + 𝐶)))
2	1	3adant2 1019	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ((0 + 𝐶)..^((𝐵 − 𝐶) + 𝐶)))
3		zcn 9384	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
4		zcn 9384	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
5		addlid 8218	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (0 + 𝐶) = 𝐶)
6	5	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (0 + 𝐶) = 𝐶)
7		npcan 8288	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐶) + 𝐶) = 𝐵)
8	6, 7	oveq12d 5969	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((0 + 𝐶)..^((𝐵 − 𝐶) + 𝐶)) = (𝐶..^𝐵))
9	3, 4, 8	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((0 + 𝐶)..^((𝐵 − 𝐶) + 𝐶)) = (𝐶..^𝐵))
10	9	3adant1 1018	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((0 + 𝐶)..^((𝐵 − 𝐶) + 𝐶)) = (𝐶..^𝐵))
11	2, 10	eleqtrd 2285	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ (𝐶..^𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  (class class class)co 5951  ℂcc 7930  0cc0 7932   + caddc 7935   − cmin 8250  ℤcz 9379  ..^cfzo 10271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-inn 9044  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-fz 10138  df-fzo 10272

This theorem is referenced by:  swrdclg  11111  swrdwrdsymbg  11125