ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzocatel Unicode version
Theorem fzocatel 10548
Description: Translate membership in a half-open integer range. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzocatel |- ( ( ( A e. ( 0..^ ( B + C ) ) /\ -. A e. ( 0..^ B ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) ) -> ( A - B ) e. ( 0..^ C ) )
Proof of Theorem fzocatel
StepHypRef Expression
1 simplr 529 . . . 4 |- ( ( ( A e. ( 0..^ ( B + C ) ) /\ -. A e. ( 0..^ B ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) ) -> -. A e. ( 0..^ B ) )
2 fzospliti 10516 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( 0..^ ( B + C ) ) /\ B e. ZZ ) -> ( A e. ( 0..^ B ) \/ A e. ( B..^ ( B + C ) ) ) )
32ad2ant2r 509 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ( 0..^ ( B + C ) ) /\ -. A e. ( 0..^ B ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) ) -> ( A e. ( 0..^ B ) \/ A e. ( B..^ ( B + C ) ) ) )
43ord 732 . . . 4 |- ( ( ( A e. ( 0..^ ( B + C ) ) /\ -. A e. ( 0..^ B ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) ) -> ( -. A e. ( 0..^ B ) -> A e. ( B..^ ( B + C ) ) ) )
51, 4mpd 13 . . 3 |- ( ( ( A e. ( 0..^ ( B + C ) ) /\ -. A e. ( 0..^ B ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) ) -> A e. ( B..^ ( B + C ) ) )
6 simprl 531 . . 3 |- ( ( ( A e. ( 0..^ ( B + C ) ) /\ -. A e. ( 0..^ B ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) ) -> B e. ZZ )
7 fzosubel 10543 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ ( B + C ) ) /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. ( ( B - B )..^ ( ( B + C ) - B ) ) )
85, 6, 7syl2anc 411 . 2 |- ( ( ( A e. ( 0..^ ( B + C ) ) /\ -. A e. ( 0..^ B ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) ) -> ( A - B ) e. ( ( B - B )..^ ( ( B + C ) - B ) ) )
9 zcn 9584 . . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
109subidd 8574 . . . 4 |- ( B e. ZZ -> ( B - B ) = 0 )
116, 10syl 14 . . 3 |- ( ( ( A e. ( 0..^ ( B + C ) ) /\ -. A e. ( 0..^ B ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) ) -> ( B - B ) = 0 )
126zcnd 9704 . . . 4 |- ( ( ( A e. ( 0..^ ( B + C ) ) /\ -. A e. ( 0..^ B ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) ) -> B e. CC )
13 simprr 533 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ( 0..^ ( B + C ) ) /\ -. A e. ( 0..^ B ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) ) -> C e. ZZ )
1413zcnd 9704 . . . 4 |- ( ( ( A e. ( 0..^ ( B + C ) ) /\ -. A e. ( 0..^ B ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) ) -> C e. CC )
1512, 14pncan2d 8588 . . 3 |- ( ( ( A e. ( 0..^ ( B + C ) ) /\ -. A e. ( 0..^ B ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) ) -> ( ( B + C ) - B ) = C )
1611, 15oveq12d 6070 . 2 |- ( ( ( A e. ( 0..^ ( B + C ) ) /\ -. A e. ( 0..^ B ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) ) -> ( ( B - B )..^ ( ( B + C ) - B ) ) = ( 0..^ C ) )
178, 16eleqtrd 2313 1 |- ( ( ( A e. ( 0..^ ( B + C ) ) /\ -. A e. ( 0..^ B ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) ) -> ( A - B ) e. ( 0..^ C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2205  (class class class)co 6052   0cc0 8129   + caddc 8132   - cmin 8446   ZZcz 9579  ..^cfzo 10480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-ltadd 8245
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346  df-fzo 10481
This theorem is referenced by:  ccatcl  11285
  Copyright terms: Public domain W3C validator