ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzocatel Unicode version
Theorem fzocatel 9976
Description: Translate membership in a half-open integer range. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzocatel |- ( ( ( A e. ( 0..^ ( B + C ) ) /\ -. A e. ( 0..^ B ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) ) -> ( A - B ) e. ( 0..^ C ) )
Proof of Theorem fzocatel
StepHypRef Expression
1 simplr 519 . . . 4 |- ( ( ( A e. ( 0..^ ( B + C ) ) /\ -. A e. ( 0..^ B ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) ) -> -. A e. ( 0..^ B ) )
2 fzospliti 9953 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( 0..^ ( B + C ) ) /\ B e. ZZ ) -> ( A e. ( 0..^ B ) \/ A e. ( B..^ ( B + C ) ) ) )
32ad2ant2r 500 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ( 0..^ ( B + C ) ) /\ -. A e. ( 0..^ B ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) ) -> ( A e. ( 0..^ B ) \/ A e. ( B..^ ( B + C ) ) ) )
43ord 713 . . . 4 |- ( ( ( A e. ( 0..^ ( B + C ) ) /\ -. A e. ( 0..^ B ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) ) -> ( -. A e. ( 0..^ B ) -> A e. ( B..^ ( B + C ) ) ) )
51, 4mpd 13 . . 3 |- ( ( ( A e. ( 0..^ ( B + C ) ) /\ -. A e. ( 0..^ B ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) ) -> A e. ( B..^ ( B + C ) ) )
6 simprl 520 . . 3 |- ( ( ( A e. ( 0..^ ( B + C ) ) /\ -. A e. ( 0..^ B ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) ) -> B e. ZZ )
7 fzosubel 9971 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ ( B + C ) ) /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. ( ( B - B )..^ ( ( B + C ) - B ) ) )
85, 6, 7syl2anc 408 . 2 |- ( ( ( A e. ( 0..^ ( B + C ) ) /\ -. A e. ( 0..^ B ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) ) -> ( A - B ) e. ( ( B - B )..^ ( ( B + C ) - B ) ) )
9 zcn 9059 . . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
109subidd 8061 . . . 4 |- ( B e. ZZ -> ( B - B ) = 0 )
116, 10syl 14 . . 3 |- ( ( ( A e. ( 0..^ ( B + C ) ) /\ -. A e. ( 0..^ B ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) ) -> ( B - B ) = 0 )
126zcnd 9174 . . . 4 |- ( ( ( A e. ( 0..^ ( B + C ) ) /\ -. A e. ( 0..^ B ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) ) -> B e. CC )
13 simprr 521 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ( 0..^ ( B + C ) ) /\ -. A e. ( 0..^ B ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) ) -> C e. ZZ )
1413zcnd 9174 . . . 4 |- ( ( ( A e. ( 0..^ ( B + C ) ) /\ -. A e. ( 0..^ B ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) ) -> C e. CC )
1512, 14pncan2d 8075 . . 3 |- ( ( ( A e. ( 0..^ ( B + C ) ) /\ -. A e. ( 0..^ B ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) ) -> ( ( B + C ) - B ) = C )
1611, 15oveq12d 5792 . 2 |- ( ( ( A e. ( 0..^ ( B + C ) ) /\ -. A e. ( 0..^ B ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) ) -> ( ( B - B )..^ ( ( B + C ) - B ) ) = ( 0..^ C ) )
178, 16eleqtrd 2218 1 |- ( ( ( A e. ( 0..^ ( B + C ) ) /\ -. A e. ( 0..^ B ) ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) ) -> ( A - B ) e. ( 0..^ C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480  (class class class)co 5774   0cc0 7620   + caddc 7623   - cmin 7933   ZZcz 9054  ..^cfzo 9919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791  df-fzo 9920
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator