Theorem fzocatel 10445

Description: Translate membership in a half-open integer range. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzocatel	⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ (0..^𝐶))

Proof of Theorem fzocatel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 529	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵))
2		fzospliti 10413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐶))))
3	2	ad2ant2r 509	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐶))))
4	3	ord 731	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐶))))
5	1, 4	mpd 13	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐶)))
6		simprl 531	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
7		fzosubel 10440	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ((𝐵 − 𝐵)..^((𝐵 + 𝐶) − 𝐵)))
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ((𝐵 − 𝐵)..^((𝐵 + 𝐶) − 𝐵)))
9		zcn 9484	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
10	9	subidd 8478	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 𝐵) = 0)
11	6, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (𝐵 − 𝐵) = 0)
12	6	zcnd 9603	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
13		simprr 533	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℤ)
14	13	zcnd 9603	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
15	12, 14	pncan2d 8492	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐵) = 𝐶)
16	11, 15	oveq12d 6036	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → ((𝐵 − 𝐵)..^((𝐵 + 𝐶) − 𝐵)) = (0..^𝐶))
17	8, 16	eleqtrd 2310	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ (0..^𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 715   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6018  0cc0 8032   + caddc 8035   − cmin 8350  ℤcz 9479  ..^cfzo 10377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378

This theorem is referenced by:  ccatcl  11174