Theorem fzocatel 10330

Description: Translate membership in a half-open integer range. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzocatel	⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ (0..^𝐶))

Proof of Theorem fzocatel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 528	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵))
2		fzospliti 10302	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐶))))
3	2	ad2ant2r 509	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐶))))
4	3	ord 726	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐶))))
5	1, 4	mpd 13	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐶)))
6		simprl 529	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
7		fzosubel 10325	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ((𝐵 − 𝐵)..^((𝐵 + 𝐶) − 𝐵)))
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ((𝐵 − 𝐵)..^((𝐵 + 𝐶) − 𝐵)))
9		zcn 9379	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
10	9	subidd 8373	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 𝐵) = 0)
11	6, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (𝐵 − 𝐵) = 0)
12	6	zcnd 9498	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
13		simprr 531	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℤ)
14	13	zcnd 9498	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
15	12, 14	pncan2d 8387	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐵) = 𝐶)
16	11, 15	oveq12d 5964	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → ((𝐵 − 𝐵)..^((𝐵 + 𝐶) − 𝐵)) = (0..^𝐶))
17	8, 16	eleqtrd 2284	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ (0..^𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 710   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  (class class class)co 5946  0cc0 7927   + caddc 7930   − cmin 8245  ℤcz 9374  ..^cfzo 10266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-fz 10133  df-fzo 10267

This theorem is referenced by:  ccatcl  11052