Theorem fzocatel 10229

Description: Translate membership in a half-open integer range. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzocatel	⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ (0..^𝐶))

Proof of Theorem fzocatel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 528	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵))
2		fzospliti 10206	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐶))))
3	2	ad2ant2r 509	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐶))))
4	3	ord 725	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐶))))
5	1, 4	mpd 13	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐶)))
6		simprl 529	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
7		fzosubel 10224	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ((𝐵 − 𝐵)..^((𝐵 + 𝐶) − 𝐵)))
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ((𝐵 − 𝐵)..^((𝐵 + 𝐶) − 𝐵)))
9		zcn 9288	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
10	9	subidd 8286	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 𝐵) = 0)
11	6, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (𝐵 − 𝐵) = 0)
12	6	zcnd 9406	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
13		simprr 531	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℤ)
14	13	zcnd 9406	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
15	12, 14	pncan2d 8300	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐵) = 𝐶)
16	11, 15	oveq12d 5914	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → ((𝐵 − 𝐵)..^((𝐵 + 𝐶) − 𝐵)) = (0..^𝐶))
17	8, 16	eleqtrd 2268	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ (0..^𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  (class class class)co 5896  0cc0 7841   + caddc 7844   − cmin 8158  ℤcz 9283  ..^cfzo 10172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-addcom 7941  ax-addass 7943  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-ltadd 7957

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-inn 8950  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-fz 10039  df-fzo 10173

This theorem is referenced by: (None)