Theorem fzosubel3 10190

Description: Membership in a translated half-open integer range when the original range is zero-based. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzosubel3	⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ (0..^𝐷))

Proof of Theorem fzosubel3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)))
2		elfzoel1 10139	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℤ)
3	2	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 9371	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	addid1d 8101	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
6	5	oveq1d 5886	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐵 + 0)..^(𝐵 + 𝐷)) = (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)))
7	1, 6	eleqtrrd 2257	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ((𝐵 + 0)..^(𝐵 + 𝐷)))
8		0zd 9260	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
9		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
10		fzosubel2 10189	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ((𝐵 + 0)..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ (0..^𝐷))
11	7, 3, 8, 9, 10	syl13anc 1240	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ (0..^𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2148  (class class class)co 5871  0cc0 7807   + caddc 7810   − cmin 8123  ℤcz 9248  ..^cfzo 10136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-addcom 7907  ax-addass 7909  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0lt1 7913  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-cnre 7918  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-ltwlin 7920  ax-pre-lttrn 7921  ax-pre-ltadd 7923

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-fv 5222  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-1st 6137  df-2nd 6138  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-sub 8125  df-neg 8126  df-inn 8915  df-n0 9172  df-z 9249  df-uz 9524  df-fz 10004  df-fzo 10137

This theorem is referenced by:  eluzgtdifelfzo  10191