Theorem fzosubel3 10077

Description: Membership in a translated half-open integer range when the original range is zero-based. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzosubel3	⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ (0..^𝐷))

Proof of Theorem fzosubel3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)))
2		elfzoel1 10026	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℤ)
3	2	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 9270	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	addid1d 8007	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
6	5	oveq1d 5833	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐵 + 0)..^(𝐵 + 𝐷)) = (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)))
7	1, 6	eleqtrrd 2237	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ((𝐵 + 0)..^(𝐵 + 𝐷)))
8		0zd 9162	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
9		simpr 109	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
10		fzosubel2 10076	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ((𝐵 + 0)..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ (0..^𝐷))
11	7, 3, 8, 9, 10	syl13anc 1222	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ (0..^𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2128  (class class class)co 5818  0cc0 7715   + caddc 7718   − cmin 8029  ℤcz 9150  ..^cfzo 10023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-addcom 7815  ax-addass 7817  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-ltadd 7831

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-inn 8817  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-fz 9895  df-fzo 10024

This theorem is referenced by:  eluzgtdifelfzo  10078