Theorem 0zd 9384

Description: Zero is an integer, deductive form (common case). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0zd	|- ( ph -> 0 e. ZZ )

Proof of Theorem 0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9383	. 2 |- 0 e. ZZ
2	1	a1i 9	1 |- ( ph -> 0 e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   0cc0 7925   ZZcz 9372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022  ax-rnegex 8034

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-un 3170  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-iota 5232  df-fv 5279  df-ov 5947  df-neg 8246  df-z 9373

This theorem is referenced by:  fzctr  10255  fzosubel3  10325  frecfzennn  10571  frechashgf1o  10573  0tonninf  10585  1tonninf  10586  exp3val  10686  exp0  10688  bcval  10894  bccmpl  10899  bcval5  10908  bcpasc  10911  bccl  10912  hashcl  10926  hashfiv01gt1  10927  hashfz1  10928  hashen  10929  fihashneq0  10939  omgadd  10947  fihashdom  10948  fiubz  10974  fnfz0hash  10977  ffzo0hash  10979  wrdval  10997  snopiswrd  11004  wrdsymb0  11026  ccatfvalfi  11048  ccatcl  11049  ccatlen  11051  ccatsymb  11058  fzowrddc  11100  swrdval  11101  swrdspsleq  11120  fzomaxdiflem  11423  fsumzcl  11713  fisum0diag  11752  fisum0diag2  11758  binomlem  11794  binom1dif  11798  isumnn0nn  11804  expcnvre  11814  explecnv  11816  pwm1geoserap1  11819  geolim  11822  geolim2  11823  geo2sum  11825  geoisum  11828  geoisumr  11829  mertenslemub  11845  mertenslemi1  11846  mertenslem2  11847  mertensabs  11848  fprod0diagfz  11939  eftcl  11965  efval  11972  eff  11974  efcvg  11977  efcvgfsum  11978  reefcl  11979  ege2le3  11982  efcj  11984  efaddlem  11985  eftlub  12001  effsumlt  12003  efgt1p2  12006  efgt1p  12007  eflegeo  12012  eirraplem  12088  dvdsmodexp  12106  dvdsmod  12173  3dvds  12175  bitsfzolem  12265  bitsfi  12268  bitsinv1lem  12272  bitsinv1  12273  gcdn0gt0  12299  gcdaddm  12305  gcdmultipled  12314  bezoutlemle  12329  nninfctlemfo  12361  nn0seqcvgd  12363  alginv  12369  algcvg  12370  algcvga  12373  algfx  12374  eucalgval2  12375  eucalgcvga  12380  eucalg  12381  lcmcllem  12389  lcmid  12402  mulgcddvds  12416  divgcdcoprmex  12424  cncongr1  12425  cncongr2  12426  phiprmpw  12544  modprm0  12577  pcpremul  12616  pceu  12618  pcmul  12624  pcqmul  12626  pcge0  12636  pcdvdsb  12643  pcneg  12648  pcgcd1  12651  pc2dvds  12653  pcz  12655  dvdsprmpweqle  12660  qexpz  12675  4sqlemafi  12718  4sqlem11  12724  ennnfonelemjn  12773  ennnfonelemh  12775  ennnfonelem0  12776  ennnfonelem1  12778  ennnfonelemom  12779  ennnfonelemkh  12783  ennnfonelemhf1o  12784  ennnfonelemex  12785  ennnfonelemrn  12790  ennnfonelemnn0  12793  ctinfomlemom  12798  mulgval  13458  mulgfng  13460  subgmulg  13524  elply2  15207  plyf  15209  elplyd  15213  ply1termlem  15214  plyaddlem1  15219  plymullem1  15220  plymullem  15222  plycoeid3  15229  plycolemc  15230  plycjlemc  15232  plycn  15234  plyrecj  15235  dvply1  15237  sgmppw  15464  0sgmppw  15465  mersenne  15469  lgsval  15481  lgsfvalg  15482  lgscllem  15484  lgsval2lem  15487  lgsneg1  15502  lgsne0  15515  lgsquad3  15561  012of  15930  2o01f  15931  isomninnlem  15969  iswomninnlem  15988  ismkvnnlem  15991  dceqnconst  15999  dcapnconst  16000