Theorem 0zd 9458

Description: Zero is an integer, deductive form (common case). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0zd	|- ( ph -> 0 e. ZZ )

Proof of Theorem 0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9457	. 2 |- 0 e. ZZ
2	1	a1i 9	1 |- ( ph -> 0 e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   0cc0 7999   ZZcz 9446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-1re 8093  ax-addrcl 8096  ax-rnegex 8108

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-un 3201  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6004  df-neg 8320  df-z 9447

This theorem is referenced by:  fzctr  10329  fzosubel3  10402  frecfzennn  10648  frechashgf1o  10650  0tonninf  10662  1tonninf  10663  exp3val  10763  exp0  10765  bcval  10971  bccmpl  10976  bcval5  10985  bcpasc  10988  bccl  10989  hashcl  11003  hashfiv01gt1  11004  hashfz1  11005  hashen  11006  fihashneq0  11016  omgadd  11024  fihashdom  11025  fiubz  11051  fnfz0hash  11054  ffzo0hash  11056  wrdval  11074  snopiswrd  11081  wrdsymb0  11104  ccatfvalfi  11127  ccatcl  11128  ccatlen  11130  ccatsymb  11137  fzowrddc  11179  swrdval  11180  swrdspsleq  11199  pfxval  11206  fnpfx  11209  pfxclg  11210  pfxnd  11221  pfxwrdsymbg  11222  pfxccatin12lem1  11260  pfxccatin12  11265  swrdccat  11267  fzomaxdiflem  11623  fsumzcl  11913  fisum0diag  11952  fisum0diag2  11958  binomlem  11994  binom1dif  11998  isumnn0nn  12004  expcnvre  12014  explecnv  12016  pwm1geoserap1  12019  geolim  12022  geolim2  12023  geo2sum  12025  geoisum  12028  geoisumr  12029  mertenslemub  12045  mertenslemi1  12046  mertenslem2  12047  mertensabs  12048  fprod0diagfz  12139  eftcl  12165  efval  12172  eff  12174  efcvg  12177  efcvgfsum  12178  reefcl  12179  ege2le3  12182  efcj  12184  efaddlem  12185  eftlub  12201  effsumlt  12203  efgt1p2  12206  efgt1p  12207  eflegeo  12212  eirraplem  12288  dvdsmodexp  12306  dvdsmod  12373  3dvds  12375  bitsfzolem  12465  bitsfi  12468  bitsinv1lem  12472  bitsinv1  12473  gcdn0gt0  12499  gcdaddm  12505  gcdmultipled  12514  bezoutlemle  12529  nninfctlemfo  12561  nn0seqcvgd  12563  alginv  12569  algcvg  12570  algcvga  12573  algfx  12574  eucalgval2  12575  eucalgcvga  12580  eucalg  12581  lcmcllem  12589  lcmid  12602  mulgcddvds  12616  divgcdcoprmex  12624  cncongr1  12625  cncongr2  12626  phiprmpw  12744  modprm0  12777  pcpremul  12816  pceu  12818  pcmul  12824  pcqmul  12826  pcge0  12836  pcdvdsb  12843  pcneg  12848  pcgcd1  12851  pc2dvds  12853  pcz  12855  dvdsprmpweqle  12860  qexpz  12875  4sqlemafi  12918  4sqlem11  12924  ennnfonelemjn  12973  ennnfonelemh  12975  ennnfonelem0  12976  ennnfonelem1  12978  ennnfonelemom  12979  ennnfonelemkh  12983  ennnfonelemhf1o  12984  ennnfonelemex  12985  ennnfonelemrn  12990  ennnfonelemnn0  12993  ctinfomlemom  12998  mulgval  13659  mulgfng  13661  subgmulg  13725  elply2  15409  plyf  15411  elplyd  15415  ply1termlem  15416  plyaddlem1  15421  plymullem1  15422  plymullem  15424  plycoeid3  15431  plycolemc  15432  plycjlemc  15434  plycn  15436  plyrecj  15437  dvply1  15439  sgmppw  15666  0sgmppw  15667  mersenne  15671  lgsval  15683  lgsfvalg  15684  lgscllem  15686  lgsval2lem  15689  lgsneg1  15704  lgsne0  15717  lgsquad3  15763  wksfval  16035  iswlkg  16041  012of  16357  2o01f  16358  isomninnlem  16398  iswomninnlem  16417  ismkvnnlem  16420  dceqnconst  16428  dcapnconst  16429