ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gcdmndc Unicode version

Theorem gcdmndc 11939
Description: Decidablity lemma used in various proofs related to  gcd. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
gcdmndc  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )

Proof of Theorem gcdmndc
StepHypRef Expression
1 0z 9262 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
2 zdceq 9326 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  M  =  0 )
31, 2mpan2 425 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  -> DECID  M  =  0
)
43adantr 276 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  M  =  0 )
5 zdceq 9326 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  N  =  0 )
61, 5mpan2 425 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  -> DECID  N  =  0
)
76adantl 277 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  N  =  0 )
8 dcan2 934 . 2  |-  (DECID  M  =  0  ->  (DECID  N  = 
0  -> DECID  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ) )
94, 7, 8sylc 62 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104  DECID wdc 834    = wceq 1353    e. wcel 2148   0cc0 7810   ZZcz 9251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-n0 9175  df-z 9252
This theorem is referenced by:  gcdval  11954  gcddvds  11958  gcdcl  11961  gcdeq0  11972  gcdneg  11977  dfgcd3  12005  dfgcd2  12009  rpexp  12147
  Copyright terms: Public domain W3C validator