Theorem gcdmndc 11939

Description: Decidablity lemma used in various proofs related to gcd. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
gcdmndc	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID ( M = 0 /\ N = 0 ) )

Proof of Theorem gcdmndc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9262	. . . 4 |- 0 e. ZZ
2		zdceq 9326	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID M = 0 )
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 |- ( M e. ZZ -> DECID M = 0 )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID M = 0 )
5		zdceq 9326	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
6	1, 5	mpan2 425	. . 3 |- ( N e. ZZ -> DECID N = 0 )
7	6	adantl 277	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
8		dcan2 934	. 2 |- (DECID M = 0 -> (DECID N = 0 -> DECID ( M = 0 /\ N = 0 ) ) )
9	4, 7, 8	sylc 62	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID ( M = 0 /\ N = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   0cc0 7810   ZZcz 9251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-n0 9175  df-z 9252

This theorem is referenced by:  gcdval  11954  gcddvds  11958  gcdcl  11961  gcdeq0  11972  gcdneg  11977  dfgcd3  12005  dfgcd2  12009  rpexp  12147