rpexp - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > rpexp		Unicode version

Theorem rpexp 12931

Description: If two numbers

and

are relatively prime, then they are still relatively prime if raised to a power. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
rpexp	$/\$ $/\$

Proof of Theorem rpexp Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0exp 11011	. . . . . 6
2	1	oveq1d 6100	. . . . 5
3	2	eqeq1d 2247	. . . 4
4		oveq1 6092	. . . . . . 7
5		oveq12 6094	. . . . . . 7 $/\$
6	4, 5	sylan 283	. . . . . 6 $/\$
7	6	eqeq1d 2247	. . . . 5 $/\$
8		oveq12 6094	. . . . . 6 $/\$
9	8	eqeq1d 2247	. . . . 5 $/\$
10	7, 9	bibi12d 235	. . . 4 $/\$
11	3, 10	syl5ibrcom 157	. . 3 $/\$
12	11	3ad2ant3 1051	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
13		exprmfct 12916	. . . . . . 7
14		simpl1 1031	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15		simpl3 1033	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16	15	nnnn0d 9620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
17		zexpcl 10991	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
18	14, 16, 17	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
19	18	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		simpl2 1032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21	20	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22		gcddvds 12740	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
23	19, 21, 22	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
24	23	simpld 112	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
25		prmz 12889	. . . . . . . . . . . . . . 15
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28	14	zcnd 9769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29		expeq0 11007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
30	28, 15, 29	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31	30	anbi1d 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32	27, 31	mtbird 684	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33		gcdn0cl 12739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
34	18, 20, 32, 33	syl21anc 1277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	34	nnzd 9767	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37		dvdstr 12595	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
38	26, 36, 19, 37	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39	24, 38	mpan2d 432	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41		simpll1 1067	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43		prmdvdsexp 12926	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
44	40, 41, 42, 43	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45	39, 44	sylibd 149	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46	23	simprd 114	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47		dvdstr 12595	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
48	26, 36, 21, 47	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	46, 48	mpan2d 432	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	45, 49	jcad 307	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51		dvdsgcd 12789	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
52	26, 41, 21, 51	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53		nprmdvds1 12918	. . . . . . . . . . . . 13
54		breq2 4134	. . . . . . . . . . . . . 14
55	54	notbid 677	. . . . . . . . . . . . 13
56	53, 55	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . 12
57	56	necon2ad 2477	. . . . . . . . . . 11
58	57	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	50, 52, 58	3syld 57	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	59	rexlimdva 2668	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61		gcdn0cl 12739	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
62	61	3adantl3 1186	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		eluz2b3 10004	. . . . . . . . . 10 $/\$
64	63	baib 931	. . . . . . . . 9
65	62, 64	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	60, 65	sylibrd 169	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	13, 66	syl5 32	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68		exprmfct 12916	. . . . . . 7
69		gcddvds 12740	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
70	41, 21, 69	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	70	simpld 112	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72		iddvdsexp 12582	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
73	41, 42, 72	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	62	nnzd 9767	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76		dvdstr 12595	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
77	75, 41, 19, 76	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	71, 73, 77	mp2and 437	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79		dvdstr 12595	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
80	26, 75, 19, 79	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81	78, 80	mpan2d 432	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	70	simprd 114	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83		dvdstr 12595	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
84	26, 75, 21, 83	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	82, 84	mpan2d 432	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	81, 85	jcad 307	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87		dvdsgcd 12789	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
88	26, 19, 21, 87	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89		breq2 4134	. . . . . . . . . . . . . 14
90	89	notbid 677	. . . . . . . . . . . . 13
91	53, 90	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . 12
92	91	necon2ad 2477	. . . . . . . . . . 11
93	92	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	86, 88, 93	3syld 57	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	94	rexlimdva 2668	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96		eluz2b3 10004	. . . . . . . . . 10 $/\$
97	96	baib 931	. . . . . . . . 9
98	34, 97	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	95, 98	sylibrd 169	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	68, 99	syl5 32	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	67, 100	impbid 129	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	101, 98, 65	3bitr3d 218	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103		simp1 1028	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
104		simp3 1030	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
105	104	nnnn0d 9620	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
106	103, 105, 17	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
107		simp2 1029	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
108	106, 107	gcdcld 12745	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
109	108	nn0zd 9766	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
110		1zzd 9671	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
111		zdceq 9720	. . . . . . 7 $/\$ DECID
112	109, 110, 111	syl2anc 415	. . . . . 6 $/\$ $/\$ DECID
113	103, 107	gcdcld 12745	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
114	113	nn0zd 9766	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
115		zdceq 9720	. . . . . . 7 $/\$ DECID
116	114, 110, 115	syl2anc 415	. . . . . 6 $/\$ $/\$ DECID
117		nebidc 2500	. . . . . 6 DECID DECID
118	112, 116, 117	sylc 62	. . . . 5 $/\$ $/\$
119	118	adantr 276	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	102, 119	mpbird 167	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	120	ex 115	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
122		gcdmndc 12732	. . . 4 $/\$ DECID $/\$
123		exmiddc 848	. . . 4 DECID $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
124	122, 123	syl 14	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
125	124	3adant3 1048	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
126	12, 121, 125	mpjaod 730	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 720 DECID wdc 846 $/\$ w3a 1009

wceq 1402

wcel 2209

wne 2420

wrex 2529 class class class wbr 4130

cfv 5377 (class class class)co 6085

cc 8177

cc0 8179

c1 8180

cn 9304

c2 9355

cn0 9563

cz 9644

cuz 9921

cexp 10975

cdvds 12554

cgcd 12730

cprime 12885

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4246 ax-sep 4249 ax-nul 4259 ax-pow 4311 ax-pr 4346 ax-un 4578 ax-setind 4684 ax-iinf 4735 ax-cnex 8270 ax-resscn 8271 ax-1cn 8272 ax-1re 8273 ax-icn 8274 ax-addcl 8275 ax-addrcl 8276 ax-mulcl 8277 ax-mulrcl 8278 ax-addcom 8279 ax-mulcom 8280 ax-addass 8281 ax-mulass 8282 ax-distr 8283 ax-i2m1 8284 ax-0lt1 8285 ax-1rid 8286 ax-0id 8287 ax-rnegex 8288 ax-precex 8289 ax-cnre 8290 ax-pre-ltirr 8291 ax-pre-ltwlin 8292 ax-pre-lttrn 8293 ax-pre-apti 8294 ax-pre-ltadd 8295 ax-pre-mulgt0 8296 ax-pre-mulext 8297 ax-arch 8298 ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-stab 843 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-br 4131 df-opab 4193 df-mpt 4194 df-tr 4230 df-id 4438 df-po 4441 df-iso 4442 df-iord 4511 df-on 4513 df-ilim 4514 df-suc 4516 df-iom 4738 df-xp 4780 df-rel 4781 df-cnv 4782 df-co 4783 df-dm 4784 df-rn 4785 df-res 4786 df-ima 4787 df-iota 5337 df-fun 5379 df-fn 5380 df-f 5381 df-f1 5382 df-fo 5383 df-f1o 5384 df-fv 5385 df-riota 6038 df-ov 6088 df-oprab 6089 df-mpo 6090 df-1st 6374 df-2nd 6375 df-recs 6576 df-frec 6662 df-1o 6687 df-2o 6688 df-er 6807 df-en 7023 df-sup 7324 df-pnf 8362 df-mnf 8363 df-xr 8364 df-ltxr 8365 df-le 8366 df-sub 8499 df-neg 8500 df-reap 8903 df-ap 8910 df-div 9003 df-inn 9305 df-2 9363 df-3 9364 df-4 9365 df-n0 9564 df-z 9645 df-uz 9922 df-q 10020 df-rp 10055 df-fz 10412 df-fzo 10550 df-fl 10705 df-mod 10760 df-seqfrec 10885 df-exp 10976 df-cj 11607 df-re 11608 df-im 11609 df-rsqrt 11764 df-abs 11765 df-dvds 12555 df-gcd 12731 df-prm 12886

This theorem is used by: rpexp1i 12932 phiprmpw 13000 pockthlem 13135 logbgcd1irr 16069 logbgcd1irraplemexp 16070

W3C validator