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Theorem rpexp 12909

Description: If two numbers

and

are relatively prime, then they are still relatively prime if raised to a power. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
rpexp	$/\$ $/\$

Proof of Theorem rpexp Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0exp 10989	. . . . . 6
2	1	oveq1d 6090	. . . . 5
3	2	eqeq1d 2247	. . . 4
4		oveq1 6082	. . . . . . 7
5		oveq12 6084	. . . . . . 7 $/\$
6	4, 5	sylan 283	. . . . . 6 $/\$
7	6	eqeq1d 2247	. . . . 5 $/\$
8		oveq12 6084	. . . . . 6 $/\$
9	8	eqeq1d 2247	. . . . 5 $/\$
10	7, 9	bibi12d 235	. . . 4 $/\$
11	3, 10	syl5ibrcom 157	. . 3 $/\$
12	11	3ad2ant3 1051	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
13		exprmfct 12894	. . . . . . 7
14		simpl1 1031	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15		simpl3 1033	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16	15	nnnn0d 9599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
17		zexpcl 10969	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
18	14, 16, 17	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
19	18	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		simpl2 1032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21	20	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22		gcddvds 12718	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
23	19, 21, 22	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
24	23	simpld 112	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
25		prmz 12867	. . . . . . . . . . . . . . 15
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28	14	zcnd 9748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29		expeq0 10985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
30	28, 15, 29	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31	30	anbi1d 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32	27, 31	mtbird 684	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33		gcdn0cl 12717	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
34	18, 20, 32, 33	syl21anc 1277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	34	nnzd 9746	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37		dvdstr 12573	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
38	26, 36, 19, 37	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39	24, 38	mpan2d 432	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41		simpll1 1067	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43		prmdvdsexp 12904	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
44	40, 41, 42, 43	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45	39, 44	sylibd 149	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46	23	simprd 114	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47		dvdstr 12573	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
48	26, 36, 21, 47	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	46, 48	mpan2d 432	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	45, 49	jcad 307	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51		dvdsgcd 12767	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
52	26, 41, 21, 51	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53		nprmdvds1 12896	. . . . . . . . . . . . 13
54		breq2 4129	. . . . . . . . . . . . . 14
55	54	notbid 677	. . . . . . . . . . . . 13
56	53, 55	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . 12
57	56	necon2ad 2477	. . . . . . . . . . 11
58	57	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	50, 52, 58	3syld 57	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	59	rexlimdva 2668	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61		gcdn0cl 12717	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
62	61	3adantl3 1186	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		eluz2b3 9983	. . . . . . . . . 10 $/\$
64	63	baib 931	. . . . . . . . 9
65	62, 64	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	60, 65	sylibrd 169	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	13, 66	syl5 32	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68		exprmfct 12894	. . . . . . 7
69		gcddvds 12718	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
70	41, 21, 69	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	70	simpld 112	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72		iddvdsexp 12560	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
73	41, 42, 72	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	62	nnzd 9746	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76		dvdstr 12573	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
77	75, 41, 19, 76	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	71, 73, 77	mp2and 437	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79		dvdstr 12573	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
80	26, 75, 19, 79	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81	78, 80	mpan2d 432	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	70	simprd 114	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83		dvdstr 12573	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
84	26, 75, 21, 83	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	82, 84	mpan2d 432	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	81, 85	jcad 307	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87		dvdsgcd 12767	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
88	26, 19, 21, 87	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89		breq2 4129	. . . . . . . . . . . . . 14
90	89	notbid 677	. . . . . . . . . . . . 13
91	53, 90	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . 12
92	91	necon2ad 2477	. . . . . . . . . . 11
93	92	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	86, 88, 93	3syld 57	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	94	rexlimdva 2668	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96		eluz2b3 9983	. . . . . . . . . 10 $/\$
97	96	baib 931	. . . . . . . . 9
98	34, 97	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	95, 98	sylibrd 169	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	68, 99	syl5 32	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	67, 100	impbid 129	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	101, 98, 65	3bitr3d 218	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103		simp1 1028	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
104		simp3 1030	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
105	104	nnnn0d 9599	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
106	103, 105, 17	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
107		simp2 1029	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
108	106, 107	gcdcld 12723	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
109	108	nn0zd 9745	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
110		1zzd 9650	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
111		zdceq 9699	. . . . . . 7 $/\$ DECID
112	109, 110, 111	syl2anc 415	. . . . . 6 $/\$ $/\$ DECID
113	103, 107	gcdcld 12723	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
114	113	nn0zd 9745	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
115		zdceq 9699	. . . . . . 7 $/\$ DECID
116	114, 110, 115	syl2anc 415	. . . . . 6 $/\$ $/\$ DECID
117		nebidc 2500	. . . . . 6 DECID DECID
118	112, 116, 117	sylc 62	. . . . 5 $/\$ $/\$
119	118	adantr 276	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	102, 119	mpbird 167	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	120	ex 115	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
122		gcdmndc 12710	. . . 4 $/\$ DECID $/\$
123		exmiddc 848	. . . 4 DECID $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
124	122, 123	syl 14	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
125	124	3adant3 1048	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
126	12, 121, 125	mpjaod 730	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 720 DECID wdc 846 $/\$ w3a 1009

wceq 1402

wcel 2209

wne 2420

wrex 2529 class class class wbr 4125

cfv 5372 (class class class)co 6075

cc 8167

cc0 8169

c1 8170

cn 9283

c2 9334

cn0 9542

cz 9623

cuz 9900

cexp 10953

cdvds 12532

cgcd 12708

cprime 12863

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4241 ax-sep 4244 ax-nul 4254 ax-pow 4306 ax-pr 4341 ax-un 4573 ax-setind 4679 ax-iinf 4730 ax-cnex 8260 ax-resscn 8261 ax-1cn 8262 ax-1re 8263 ax-icn 8264 ax-addcl 8265 ax-addrcl 8266 ax-mulcl 8267 ax-mulrcl 8268 ax-addcom 8269 ax-mulcom 8270 ax-addass 8271 ax-mulass 8272 ax-distr 8273 ax-i2m1 8274 ax-0lt1 8275 ax-1rid 8276 ax-0id 8277 ax-rnegex 8278 ax-precex 8279 ax-cnre 8280 ax-pre-ltirr 8281 ax-pre-ltwlin 8282 ax-pre-lttrn 8283 ax-pre-apti 8284 ax-pre-ltadd 8285 ax-pre-mulgt0 8286 ax-pre-mulext 8287 ax-arch 8288 ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 843 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3636 df-pw 3687 df-sn 3711 df-pr 3712 df-op 3714 df-uni 3931 df-int 3966 df-iun 4009 df-br 4126 df-opab 4188 df-mpt 4189 df-tr 4225 df-id 4433 df-po 4436 df-iso 4437 df-iord 4506 df-on 4508 df-ilim 4509 df-suc 4511 df-iom 4733 df-xp 4775 df-rel 4776 df-cnv 4777 df-co 4778 df-dm 4779 df-rn 4780 df-res 4781 df-ima 4782 df-iota 5332 df-fun 5374 df-fn 5375 df-f 5376 df-f1 5377 df-fo 5378 df-f1o 5379 df-fv 5380 df-riota 6028 df-ov 6078 df-oprab 6079 df-mpo 6080 df-1st 6364 df-2nd 6365 df-recs 6566 df-frec 6652 df-1o 6677 df-2o 6678 df-er 6797 df-en 7013 df-sup 7314 df-pnf 8352 df-mnf 8353 df-xr 8354 df-ltxr 8355 df-le 8356 df-sub 8489 df-neg 8490 df-reap 8893 df-ap 8900 df-div 8993 df-inn 9284 df-2 9342 df-3 9343 df-4 9344 df-n0 9543 df-z 9624 df-uz 9901 df-q 9999 df-rp 10034 df-fz 10391 df-fzo 10528 df-fl 10683 df-mod 10738 df-seqfrec 10863 df-exp 10954 df-cj 11585 df-re 11586 df-im 11587 df-rsqrt 11742 df-abs 11743 df-dvds 12533 df-gcd 12709 df-prm 12864

This theorem is referenced by: rpexp1i 12910 phiprmpw 12978 pockthlem 13113 logbgcd1irr 15992 logbgcd1irraplemexp 15993

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