Theorem ghmid 13322

Description: A homomorphism of groups preserves the identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmid.y	|- Y = ( 0g ` S )
ghmid.z	|- .0. = ( 0g ` T )

Assertion

Ref	Expression
ghmid	|- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( F ` Y ) = .0. )

Proof of Theorem ghmid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmgrp1 13318	. . . . . 6 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> S e. Grp )
2		eqid 2193	. . . . . . 7 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
3		ghmid.y	. . . . . . 7 |- Y = ( 0g ` S )
4	2, 3	grpidcl 13104	. . . . . 6 |- ( S e. Grp -> Y e. ( Base ` S ) )
5	1, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> Y e. ( Base ` S ) )
6		eqid 2193	. . . . . 6 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
7		eqid 2193	. . . . . 6 |- ( +g ` T ) = ( +g ` T )
8	2, 6, 7	ghmlin 13321	. . . . 5 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ Y e. ( Base ` S ) /\ Y e. ( Base ` S ) ) -> ( F ` ( Y ( +g ` S ) Y ) ) = ( ( F ` Y ) ( +g ` T ) ( F ` Y ) ) )
9	5, 5, 8	mpd3an23 1350	. . . 4 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( F ` ( Y ( +g ` S ) Y ) ) = ( ( F ` Y ) ( +g ` T ) ( F ` Y ) ) )
10	2, 6, 3	grplid 13106	. . . . . 6 |- ( ( S e. Grp /\ Y e. ( Base ` S ) ) -> ( Y ( +g ` S ) Y ) = Y )
11	1, 5, 10	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( Y ( +g ` S ) Y ) = Y )
12	11	fveq2d 5559	. . . 4 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( F ` ( Y ( +g ` S ) Y ) ) = ( F ` Y ) )
13	9, 12	eqtr3d 2228	. . 3 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( ( F ` Y ) ( +g ` T ) ( F ` Y ) ) = ( F ` Y ) )
14		ghmgrp2 13319	. . . 4 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> T e. Grp )
15		eqid 2193	. . . . . 6 |- ( Base ` T ) = ( Base ` T )
16	2, 15	ghmf 13320	. . . . 5 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
17	16, 5	ffvelcdmd 5695	. . . 4 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( F ` Y ) e. ( Base ` T ) )
18		ghmid.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` T )
19	15, 7, 18	grpid 13114	. . . 4 |- ( ( T e. Grp /\ ( F ` Y ) e. ( Base ` T ) ) -> ( ( ( F ` Y ) ( +g ` T ) ( F ` Y ) ) = ( F ` Y ) <-> .0. = ( F ` Y ) ) )
20	14, 17, 19	syl2anc 411	. . 3 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( ( ( F ` Y ) ( +g ` T ) ( F ` Y ) ) = ( F ` Y ) <-> .0. = ( F ` Y ) ) )
21	13, 20	mpbid 147	. 2 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> .0. = ( F ` Y ) )
22	21	eqcomd 2199	1 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( F ` Y ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Basecbs 12621   +g cplusg 12698   0gc0g 12870   Grpcgrp 13075   GrpHom cghm 13313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-inn 8985  df-2 9043  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-ghm 13314

This theorem is referenced by:  ghminv  13323  ghmmhm  13326  ghmpreima  13339  f1ghm0to0  13345  kerf1ghm  13347  zrh0  14124  zndvds0  14149