Theorem ghmid 13829

Description: A homomorphism of groups preserves the identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmid.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑆)
ghmid.z	⊢ 0 = (0g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ghmid	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘𝑌) = 0 )

Proof of Theorem ghmid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmgrp1 13825	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)
2		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		ghmid.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑆)
4	2, 3	grpidcl 13605	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Grp → 𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
5	1, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
6		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
7		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
8	2, 6, 7	ghmlin 13828	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝐹‘(𝑌(+g‘𝑆)𝑌)) = ((𝐹‘𝑌)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑌)))
9	5, 5, 8	mpd3an23 1373	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘(𝑌(+g‘𝑆)𝑌)) = ((𝐹‘𝑌)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑌)))
10	2, 6, 3	grplid 13607	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑌(+g‘𝑆)𝑌) = 𝑌)
11	1, 5, 10	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝑌(+g‘𝑆)𝑌) = 𝑌)
12	11	fveq2d 5639	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘(𝑌(+g‘𝑆)𝑌)) = (𝐹‘𝑌))
13	9, 12	eqtr3d 2264	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → ((𝐹‘𝑌)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘𝑌))
14		ghmgrp2 13826	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑇 ∈ Grp)
15		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
16	2, 15	ghmf 13827	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
17	16, 5	ffvelcdmd 5779	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘𝑌) ∈ (Base‘𝑇))
18		ghmid.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
19	15, 7, 18	grpid 13615	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ (Base‘𝑇)) → (((𝐹‘𝑌)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘𝑌) ↔ 0 = (𝐹‘𝑌)))
20	14, 17, 19	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (((𝐹‘𝑌)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘𝑌) ↔ 0 = (𝐹‘𝑌)))
21	13, 20	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 0 = (𝐹‘𝑌))
22	21	eqcomd 2235	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘𝑌) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  Basecbs 13075  +_gcplusg 13153  0_gc0g 13332  Grpcgrp 13576   GrpHom cghm 13820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1re 8119  ax-addrcl 8122

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-inn 9137  df-2 9195  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-plusg 13166  df-0g 13334  df-mgm 13432  df-sgrp 13478  df-mnd 13493  df-grp 13579  df-ghm 13821

This theorem is referenced by:  ghminv  13830  ghmmhm  13833  ghmpreima  13846  f1ghm0to0  13852  kerf1ghm  13854  zrh0  14632  zndvds0  14657