Theorem ghmid 14105

Description: A homomorphism of groups preserves the identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmid.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑆)
ghmid.z	⊢ 0 = (0g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ghmid	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘𝑌) = 0 )

Proof of Theorem ghmid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmgrp1 14101	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)
2		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		ghmid.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑆)
4	2, 3	grpidcl 13887	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Grp → 𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
5	1, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
6		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
7		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
8	2, 6, 7	ghmlin 14104	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝐹‘(𝑌(+g‘𝑆)𝑌)) = ((𝐹‘𝑌)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑌)))
9	5, 5, 8	mpd3an23 1380	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘(𝑌(+g‘𝑆)𝑌)) = ((𝐹‘𝑌)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑌)))
10	2, 6, 3	grplid 13889	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑌(+g‘𝑆)𝑌) = 𝑌)
11	1, 5, 10	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝑌(+g‘𝑆)𝑌) = 𝑌)
12	11	fveq2d 5699	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘(𝑌(+g‘𝑆)𝑌)) = (𝐹‘𝑌))
13	9, 12	eqtr3d 2273	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → ((𝐹‘𝑌)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘𝑌))
14		ghmgrp2 14102	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑇 ∈ Grp)
15		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
16	2, 15	ghmf 14103	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
17	16, 5	ffvelcdmd 5844	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘𝑌) ∈ (Base‘𝑇))
18		ghmid.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
19	15, 7, 18	grpid 13897	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ (Base‘𝑇)) → (((𝐹‘𝑌)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘𝑌) ↔ 0 = (𝐹‘𝑌)))
20	14, 17, 19	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (((𝐹‘𝑌)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘𝑌) ↔ 0 = (𝐹‘𝑌)))
21	13, 20	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 0 = (𝐹‘𝑌))
22	21	eqcomd 2244	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘𝑌) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Basecbs 13404  +_gcplusg 13484  0_gc0g 13663  Grpcgrp 13858   GrpHom cghm 14096

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-inn 9308  df-2 9366  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-plusg 13497  df-0g 13665  df-mgm 13729  df-sgrp 13770  df-mnd 13783  df-grp 13861  df-ghm 14097

This theorem is used by:  ghminv  14106  ghmmhm  14109  ghmpreima  14122  f1ghm0to0  14128  kerf1ghm  14130  zrh0  15044  zndvds0  15069