Theorem zndvds0 14232

Description: Special case of zndvds 14231 when one argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zncyg.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
zndvds.2	|- L = ( ZRHom ` Y )
zndvds0.3	|- .0. = ( 0g ` Y )

Assertion

Ref	Expression
zndvds0	|- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) = .0. <-> N || A ) )

Proof of Theorem zndvds0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9340	. . 3 |- 0 e. ZZ
2		zncyg.y	. . . 4 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
3		zndvds.2	. . . 4 |- L = ( ZRHom ` Y )
4	2, 3	zndvds 14231	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) = ( L ` 0 ) <-> N || ( A - 0 ) ) )
5	1, 4	mp3an3 1337	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) = ( L ` 0 ) <-> N || ( A - 0 ) ) )
6	2	zncrng 14227	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> Y e. CRing )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> Y e. CRing )
8		crngring 13590	. . . . 5 |- ( Y e. CRing -> Y e. Ring )
9	3	zrhrhm 14205	. . . . 5 |- ( Y e. Ring -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
10	7, 8, 9	3syl 17	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
11		rhmghm 13744	. . . 4 |- ( L e. (ℤring RingHom Y ) -> L e. (ℤring GrpHom Y ) )
12		zring0 14182	. . . . 5 |- 0 = ( 0g ` ℤring )
13		zndvds0.3	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` Y )
14	12, 13	ghmid 13405	. . . 4 |- ( L e. (ℤring GrpHom Y ) -> ( L ` 0 ) = .0. )
15	10, 11, 14	3syl 17	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( L ` 0 ) = .0. )
16	15	eqeq2d 2208	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) = ( L ` 0 ) <-> ( L ` A ) = .0. ) )
17		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> A e. ZZ )
18	17	zcnd 9452	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> A e. CC )
19	18	subid1d 8329	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( A - 0 ) = A )
20	19	breq2d 4046	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( N || ( A - 0 ) <-> N || A ) )
21	5, 16, 20	3bitr3d 218	1 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) = .0. <-> N || A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   0cc0 7882   - cmin 8200   NN0cn0 9252   ZZcz 9329   || cdvds 11955   0gc0g 12944   GrpHom cghm 13396   Ringcrg 13578   CRingccrg 13579   RingHom crh 13732  ℤ_ringczring 14172   ZRHomczrh 14193  ℤ/nℤczn 14195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-mulrcl 7981  ax-addcom 7982  ax-mulcom 7983  ax-addass 7984  ax-mulass 7985  ax-distr 7986  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-1rid 7989  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-precex 7992  ax-cnre 7993  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-ltwlin 7995  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-apti 7997  ax-pre-ltadd 7998  ax-pre-mulgt0 7999  ax-addf 8004  ax-mulf 8005

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6200  df-2nd 6201  df-tpos 6305  df-recs 6365  df-frec 6451  df-er 6594  df-ec 6596  df-qs 6600  df-map 6711  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-xr 8068  df-ltxr 8069  df-le 8070  df-sub 8202  df-neg 8203  df-reap 8605  df-inn 8994  df-2 9052  df-3 9053  df-4 9054  df-5 9055  df-6 9056  df-7 9057  df-8 9058  df-9 9059  df-n0 9253  df-z 9330  df-dec 9461  df-uz 9605  df-rp 9732  df-fz 10087  df-fzo 10221  df-seqfrec 10543  df-cj 11010  df-abs 11167  df-dvds 11956  df-struct 12691  df-ndx 12692  df-slot 12693  df-base 12695  df-sets 12696  df-iress 12697  df-plusg 12779  df-mulr 12780  df-starv 12781  df-sca 12782  df-vsca 12783  df-ip 12784  df-tset 12785  df-ple 12786  df-ds 12788  df-unif 12789  df-0g 12946  df-topgen 12948  df-iimas 12971  df-qus 12972  df-mgm 13025  df-sgrp 13071  df-mnd 13084  df-mhm 13117  df-grp 13161  df-minusg 13162  df-sbg 13163  df-mulg 13276  df-subg 13326  df-nsg 13327  df-eqg 13328  df-ghm 13397  df-cmn 13442  df-abl 13443  df-mgp 13503  df-rng 13515  df-ur 13542  df-srg 13546  df-ring 13580  df-cring 13581  df-oppr 13650  df-dvdsr 13671  df-rhm 13734  df-subrg 13801  df-lmod 13871  df-lssm 13935  df-lsp 13969  df-sra 14017  df-rgmod 14018  df-lidl 14051  df-rsp 14052  df-2idl 14082  df-bl 14128  df-mopn 14129  df-fg 14131  df-metu 14132  df-cnfld 14139  df-zring 14173  df-zrh 14196  df-zn 14198

This theorem is referenced by:  znidom  14239  znidomb  14240  znrrg  14242