Theorem zndvds0 14688

Description: Special case of zndvds 14687 when one argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zncyg.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
zndvds.2	|- L = ( ZRHom ` Y )
zndvds0.3	|- .0. = ( 0g ` Y )

Assertion

Ref	Expression
zndvds0	|- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) = .0. <-> N || A ) )

Proof of Theorem zndvds0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9495	. . 3 |- 0 e. ZZ
2		zncyg.y	. . . 4 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
3		zndvds.2	. . . 4 |- L = ( ZRHom ` Y )
4	2, 3	zndvds 14687	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) = ( L ` 0 ) <-> N || ( A - 0 ) ) )
5	1, 4	mp3an3 1362	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) = ( L ` 0 ) <-> N || ( A - 0 ) ) )
6	2	zncrng 14683	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> Y e. CRing )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> Y e. CRing )
8		crngring 14045	. . . . 5 |- ( Y e. CRing -> Y e. Ring )
9	3	zrhrhm 14661	. . . . 5 |- ( Y e. Ring -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
10	7, 8, 9	3syl 17	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
11		rhmghm 14200	. . . 4 |- ( L e. (ℤring RingHom Y ) -> L e. (ℤring GrpHom Y ) )
12		zring0 14638	. . . . 5 |- 0 = ( 0g ` ℤring )
13		zndvds0.3	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` Y )
14	12, 13	ghmid 13859	. . . 4 |- ( L e. (ℤring GrpHom Y ) -> ( L ` 0 ) = .0. )
15	10, 11, 14	3syl 17	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( L ` 0 ) = .0. )
16	15	eqeq2d 2242	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) = ( L ` 0 ) <-> ( L ` A ) = .0. ) )
17		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> A e. ZZ )
18	17	zcnd 9608	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> A e. CC )
19	18	subid1d 8484	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( A - 0 ) = A )
20	19	breq2d 4101	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( N || ( A - 0 ) <-> N || A ) )
21	5, 16, 20	3bitr3d 218	1 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) = .0. <-> N || A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2201   class class class wbr 4089   ` cfv 5328  (class class class)co 6023   0cc0 8037   - cmin 8355   NN0cn0 9407   ZZcz 9484   || cdvds 12371   0gc0g 13362   GrpHom cghm 13850   Ringcrg 14033   CRingccrg 14034   RingHom crh 14188  ℤ_ringczring 14628   ZRHomczrh 14649  ℤ/nℤczn 14651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-addf 8159  ax-mulf 8160

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-tp 3678  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6416  df-recs 6476  df-frec 6562  df-er 6707  df-ec 6709  df-qs 6713  df-map 6824  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-n0 9408  df-z 9485  df-dec 9617  df-uz 9761  df-rp 9894  df-fz 10249  df-fzo 10383  df-seqfrec 10716  df-cj 11425  df-abs 11582  df-dvds 12372  df-struct 13107  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-sets 13112  df-iress 13113  df-plusg 13196  df-mulr 13197  df-starv 13198  df-sca 13199  df-vsca 13200  df-ip 13201  df-tset 13202  df-ple 13203  df-ds 13205  df-unif 13206  df-0g 13364  df-topgen 13366  df-iimas 13408  df-qus 13409  df-mgm 13462  df-sgrp 13508  df-mnd 13523  df-mhm 13565  df-grp 13609  df-minusg 13610  df-sbg 13611  df-mulg 13730  df-subg 13780  df-nsg 13781  df-eqg 13782  df-ghm 13851  df-cmn 13896  df-abl 13897  df-mgp 13958  df-rng 13970  df-ur 13997  df-srg 14001  df-ring 14035  df-cring 14036  df-oppr 14105  df-dvdsr 14126  df-rhm 14190  df-subrg 14257  df-lmod 14327  df-lssm 14391  df-lsp 14425  df-sra 14473  df-rgmod 14474  df-lidl 14507  df-rsp 14508  df-2idl 14538  df-bl 14584  df-mopn 14585  df-fg 14587  df-metu 14588  df-cnfld 14595  df-zring 14629  df-zrh 14652  df-zn 14654

This theorem is referenced by:  znidom  14695  znidomb  14696  znrrg  14698