Theorem zndvds0 14968

Description: Special case of zndvds 14967 when one argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zncyg.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
zndvds.2	|- L = ( ZRHom ` Y )
zndvds0.3	|- .0. = ( 0g ` Y )

Assertion

Ref	Expression
zndvds0	|- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) = .0. <-> N || A ) )

Proof of Theorem zndvds0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9638	. . 3 |- 0 e. ZZ
2		zncyg.y	. . . 4 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
3		zndvds.2	. . . 4 |- L = ( ZRHom ` Y )
4	2, 3	zndvds 14967	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) = ( L ` 0 ) <-> N || ( A - 0 ) ) )
5	1, 4	mp3an3 1367	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) = ( L ` 0 ) <-> N || ( A - 0 ) ) )
6	2	zncrng 14963	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> Y e. CRing )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> Y e. CRing )
8		crngring 14295	. . . . 5 |- ( Y e. CRing -> Y e. Ring )
9	3	zrhrhm 14941	. . . . 5 |- ( Y e. Ring -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
10	7, 8, 9	3syl 17	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
11		rhmghm 14452	. . . 4 |- ( L e. (ℤring RingHom Y ) -> L e. (ℤring GrpHom Y ) )
12		zring0 14918	. . . . 5 |- 0 = ( 0g ` ℤring )
13		zndvds0.3	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` Y )
14	12, 13	ghmid 14035	. . . 4 |- ( L e. (ℤring GrpHom Y ) -> ( L ` 0 ) = .0. )
15	10, 11, 14	3syl 17	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( L ` 0 ) = .0. )
16	15	eqeq2d 2250	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) = ( L ` 0 ) <-> ( L ` A ) = .0. ) )
17		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> A e. ZZ )
18	17	zcnd 9752	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> A e. CC )
19	18	subid1d 8620	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( A - 0 ) = A )
20	19	breq2d 4140	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( N || ( A - 0 ) <-> N || A ) )
21	5, 16, 20	3bitr3d 218	1 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) = .0. <-> N || A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4128   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   0cc0 8173   - cmin 8491   NN0cn0 9546   ZZcz 9627   || cdvds 12537   0gc0g 13593   GrpHom cghm 14026   Ringcrg 14283   CRingccrg 14284   RingHom crh 14440  ℤ_ringczring 14908   ZRHomczrh 14929  ℤ/nℤczn 14931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-addf 8295  ax-mulf 8296

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-tp 3716  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-tpos 6510  df-recs 6570  df-frec 6656  df-er 6801  df-ec 6803  df-qs 6807  df-map 6918  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-dec 9761  df-uz 9905  df-rp 10038  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-seqfrec 10868  df-cj 11590  df-abs 11748  df-dvds 12538  df-struct 13337  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-iress 13343  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-starv 13429  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-ip 13432  df-tset 13433  df-ple 13434  df-ds 13436  df-unif 13437  df-0g 13595  df-topgen 13597  df-iimas 13607  df-qus 13608  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-mhm 13749  df-grp 13791  df-minusg 13792  df-sbg 13793  df-mulg 13906  df-subg 13956  df-nsg 13957  df-eqg 13958  df-ghm 14027  df-cmn 14072  df-abl 14073  df-mgp 14201  df-rng 14215  df-ur 14246  df-srg 14251  df-ring 14285  df-cring 14286  df-oppr 14356  df-dvdsr 14378  df-rhm 14442  df-subrg 14510  df-lmod 14608  df-lssm 14673  df-lsp 14707  df-sra 14755  df-rgmod 14756  df-lidl 14789  df-rsp 14790  df-2idl 14820  df-bl 14866  df-mopn 14867  df-fg 14869  df-metu 14870  df-cnfld 14877  df-zring 14909  df-zrh 14932  df-zn 14934

This theorem is referenced by:  znidom  14975  znidomb  14976  znrrg  14978