Theorem zndvds0 14798

Description: Special case of zndvds 14797 when one argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zncyg.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
zndvds.2	|- L = ( ZRHom ` Y )
zndvds0.3	|- .0. = ( 0g ` Y )

Assertion

Ref	Expression
zndvds0	|- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) = .0. <-> N || A ) )

Proof of Theorem zndvds0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9588	. . 3 |- 0 e. ZZ
2		zncyg.y	. . . 4 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
3		zndvds.2	. . . 4 |- L = ( ZRHom ` Y )
4	2, 3	zndvds 14797	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) = ( L ` 0 ) <-> N || ( A - 0 ) ) )
5	1, 4	mp3an3 1363	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) = ( L ` 0 ) <-> N || ( A - 0 ) ) )
6	2	zncrng 14793	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> Y e. CRing )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> Y e. CRing )
8		crngring 14152	. . . . 5 |- ( Y e. CRing -> Y e. Ring )
9	3	zrhrhm 14771	. . . . 5 |- ( Y e. Ring -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
10	7, 8, 9	3syl 17	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
11		rhmghm 14307	. . . 4 |- ( L e. (ℤring RingHom Y ) -> L e. (ℤring GrpHom Y ) )
12		zring0 14748	. . . . 5 |- 0 = ( 0g ` ℤring )
13		zndvds0.3	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` Y )
14	12, 13	ghmid 13966	. . . 4 |- ( L e. (ℤring GrpHom Y ) -> ( L ` 0 ) = .0. )
15	10, 11, 14	3syl 17	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( L ` 0 ) = .0. )
16	15	eqeq2d 2244	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) = ( L ` 0 ) <-> ( L ` A ) = .0. ) )
17		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> A e. ZZ )
18	17	zcnd 9701	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> A e. CC )
19	18	subid1d 8573	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( A - 0 ) = A )
20	19	breq2d 4121	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( N || ( A - 0 ) <-> N || A ) )
21	5, 16, 20	3bitr3d 218	1 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) = .0. <-> N || A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   class class class wbr 4109   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   0cc0 8127   - cmin 8444   NN0cn0 9496   ZZcz 9577   || cdvds 12473   0gc0g 13469   GrpHom cghm 13957   Ringcrg 14140   CRingccrg 14141   RingHom crh 14295  ℤ_ringczring 14738   ZRHomczrh 14759  ℤ/nℤczn 14761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-addf 8249  ax-mulf 8250

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-tp 3697  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-tpos 6476  df-recs 6536  df-frec 6622  df-er 6767  df-ec 6769  df-qs 6773  df-map 6884  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-z 9578  df-dec 9710  df-uz 9854  df-rp 9987  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-seqfrec 10810  df-cj 11527  df-abs 11684  df-dvds 12474  df-struct 13214  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-iress 13220  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-starv 13305  df-sca 13306  df-vsca 13307  df-ip 13308  df-tset 13309  df-ple 13310  df-ds 13312  df-unif 13313  df-0g 13471  df-topgen 13473  df-iimas 13515  df-qus 13516  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-mhm 13672  df-grp 13716  df-minusg 13717  df-sbg 13718  df-mulg 13837  df-subg 13887  df-nsg 13888  df-eqg 13889  df-ghm 13958  df-cmn 14003  df-abl 14004  df-mgp 14065  df-rng 14077  df-ur 14104  df-srg 14108  df-ring 14142  df-cring 14143  df-oppr 14212  df-dvdsr 14233  df-rhm 14297  df-subrg 14364  df-lmod 14437  df-lssm 14501  df-lsp 14535  df-sra 14583  df-rgmod 14584  df-lidl 14617  df-rsp 14618  df-2idl 14648  df-bl 14694  df-mopn 14695  df-fg 14697  df-metu 14698  df-cnfld 14705  df-zring 14739  df-zrh 14762  df-zn 14764

This theorem is referenced by:  znidom  14805  znidomb  14806  znrrg  14808