Theorem zndvds0 14785

Description: Special case of zndvds 14784 when one argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zncyg.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
zndvds.2	|- L = ( ZRHom ` Y )
zndvds0.3	|- .0. = ( 0g ` Y )

Assertion

Ref	Expression
zndvds0	|- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) = .0. <-> N || A ) )

Proof of Theorem zndvds0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9584	. . 3 |- 0 e. ZZ
2		zncyg.y	. . . 4 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
3		zndvds.2	. . . 4 |- L = ( ZRHom ` Y )
4	2, 3	zndvds 14784	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) = ( L ` 0 ) <-> N || ( A - 0 ) ) )
5	1, 4	mp3an3 1363	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) = ( L ` 0 ) <-> N || ( A - 0 ) ) )
6	2	zncrng 14780	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> Y e. CRing )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> Y e. CRing )
8		crngring 14141	. . . . 5 |- ( Y e. CRing -> Y e. Ring )
9	3	zrhrhm 14758	. . . . 5 |- ( Y e. Ring -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
10	7, 8, 9	3syl 17	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
11		rhmghm 14296	. . . 4 |- ( L e. (ℤring RingHom Y ) -> L e. (ℤring GrpHom Y ) )
12		zring0 14735	. . . . 5 |- 0 = ( 0g ` ℤring )
13		zndvds0.3	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` Y )
14	12, 13	ghmid 13955	. . . 4 |- ( L e. (ℤring GrpHom Y ) -> ( L ` 0 ) = .0. )
15	10, 11, 14	3syl 17	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( L ` 0 ) = .0. )
16	15	eqeq2d 2244	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) = ( L ` 0 ) <-> ( L ` A ) = .0. ) )
17		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> A e. ZZ )
18	17	zcnd 9697	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> A e. CC )
19	18	subid1d 8569	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( A - 0 ) = A )
20	19	breq2d 4120	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( N || ( A - 0 ) <-> N || A ) )
21	5, 16, 20	3bitr3d 218	1 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) = .0. <-> N || A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   class class class wbr 4108   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   0cc0 8123   - cmin 8440   NN0cn0 9492   ZZcz 9573   || cdvds 12466   0gc0g 13458   GrpHom cghm 13946   Ringcrg 14129   CRingccrg 14130   RingHom crh 14284  ℤ_ringczring 14725   ZRHomczrh 14746  ℤ/nℤczn 14748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-addf 8245  ax-mulf 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-tpos 6475  df-recs 6535  df-frec 6621  df-er 6766  df-ec 6768  df-qs 6772  df-map 6883  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-z 9574  df-dec 9706  df-uz 9850  df-rp 9983  df-fz 10339  df-fzo 10473  df-seqfrec 10806  df-cj 11520  df-abs 11677  df-dvds 12467  df-struct 13203  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-sets 13208  df-iress 13209  df-plusg 13292  df-mulr 13293  df-starv 13294  df-sca 13295  df-vsca 13296  df-ip 13297  df-tset 13298  df-ple 13299  df-ds 13301  df-unif 13302  df-0g 13460  df-topgen 13462  df-iimas 13504  df-qus 13505  df-mgm 13558  df-sgrp 13604  df-mnd 13619  df-mhm 13661  df-grp 13705  df-minusg 13706  df-sbg 13707  df-mulg 13826  df-subg 13876  df-nsg 13877  df-eqg 13878  df-ghm 13947  df-cmn 13992  df-abl 13993  df-mgp 14054  df-rng 14066  df-ur 14093  df-srg 14097  df-ring 14131  df-cring 14132  df-oppr 14201  df-dvdsr 14222  df-rhm 14286  df-subrg 14353  df-lmod 14424  df-lssm 14488  df-lsp 14522  df-sra 14570  df-rgmod 14571  df-lidl 14604  df-rsp 14605  df-2idl 14635  df-bl 14681  df-mopn 14682  df-fg 14684  df-metu 14685  df-cnfld 14692  df-zring 14726  df-zrh 14749  df-zn 14751

This theorem is referenced by:  znidom  14792  znidomb  14793  znrrg  14795