Theorem ghmf 14108

Description: A group homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmf.x	|- X = ( Base ` S )
ghmf.y	|- Y = ( Base ` T )

Assertion

Ref	Expression
ghmf	|- ( F e. ( S GrpHom T ) -> F : X --> Y )

Proof of Theorem ghmf

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmf.x	. . . 4 |- X = ( Base ` S )
2		ghmf.y	. . . 4 |- Y = ( Base ` T )
3		eqid 2238	. . . 4 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
4		eqid 2238	. . . 4 |- ( +g ` T ) = ( +g ` T )
5	1, 2, 3, 4	isghm 14104	. . 3 |- ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. X A. x e. X ( F ` ( y ( +g ` S ) x ) ) = ( ( F ` y ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ) ) )
6	5	simprbi 275	. 2 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( F : X --> Y /\ A. y e. X A. x e. X ( F ` ( y ( +g ` S ) x ) ) = ( ( F ` y ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ) )
7	6	simpld 112	1 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> F : X --> Y )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13409   +g cplusg 13489   Grpcgrp 13863   GrpHom cghm 14101

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-inn 9314  df-ndx 13412  df-slot 13413  df-base 13415  df-ghm 14102

This theorem is used by:  ghmid  14110  ghminv  14111  ghmsub  14112  ghmmhm  14114  ghmmulg  14117  ghmrn  14118  resghm  14121  ghmpreima  14127  ghmeql  14128  ghmnsgima  14129  ghmnsgpreima  14130  ghmeqker  14132  ghmf1  14134  kerf1ghm  14135  ghmf1o  14136  rhmf  14578  isrhm2d  14580