Theorem ghmf 13914

Description: A group homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmf.x	|- X = ( Base ` S )
ghmf.y	|- Y = ( Base ` T )

Assertion

Ref	Expression
ghmf	|- ( F e. ( S GrpHom T ) -> F : X --> Y )

Proof of Theorem ghmf

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmf.x	. . . 4 |- X = ( Base ` S )
2		ghmf.y	. . . 4 |- Y = ( Base ` T )
3		eqid 2231	. . . 4 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
4		eqid 2231	. . . 4 |- ( +g ` T ) = ( +g ` T )
5	1, 2, 3, 4	isghm 13910	. . 3 |- ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. X A. x e. X ( F ` ( y ( +g ` S ) x ) ) = ( ( F ` y ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ) ) )
6	5	simprbi 275	. 2 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( F : X --> Y /\ A. y e. X A. x e. X ( F ` ( y ( +g ` S ) x ) ) = ( ( F ` y ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ) )
7	6	simpld 112	1 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> F : X --> Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13162   +g cplusg 13240   Grpcgrp 13663   GrpHom cghm 13907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1re 8186  ax-addrcl 8189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-inn 9203  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-ghm 13908

This theorem is referenced by:  ghmid  13916  ghminv  13917  ghmsub  13918  ghmmhm  13920  ghmmulg  13923  ghmrn  13924  resghm  13927  ghmpreima  13933  ghmeql  13934  ghmnsgima  13935  ghmnsgpreima  13936  ghmeqker  13938  ghmf1  13940  kerf1ghm  13941  ghmf1o  13942  rhmf  14258  isrhm2d  14260