Theorem ghmf 13981

Description: A group homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmf.x	|- X = ( Base ` S )
ghmf.y	|- Y = ( Base ` T )

Assertion

Ref	Expression
ghmf	|- ( F e. ( S GrpHom T ) -> F : X --> Y )

Proof of Theorem ghmf

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmf.x	. . . 4 |- X = ( Base ` S )
2		ghmf.y	. . . 4 |- Y = ( Base ` T )
3		eqid 2234	. . . 4 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
4		eqid 2234	. . . 4 |- ( +g ` T ) = ( +g ` T )
5	1, 2, 3, 4	isghm 13977	. . 3 |- ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. X A. x e. X ( F ` ( y ( +g ` S ) x ) ) = ( ( F ` y ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ) ) )
6	5	simprbi 275	. 2 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( F : X --> Y /\ A. y e. X A. x e. X ( F ` ( y ( +g ` S ) x ) ) = ( ( F ` y ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ) )
7	6	simpld 112	1 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> F : X --> Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   -->wf 5350   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   Basecbs 13229   +g cplusg 13307   Grpcgrp 13730   GrpHom cghm 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1re 8223  ax-addrcl 8226

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-inn 9240  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-ghm 13975

This theorem is referenced by:  ghmid  13983  ghminv  13984  ghmsub  13985  ghmmhm  13987  ghmmulg  13990  ghmrn  13991  resghm  13994  ghmpreima  14000  ghmeql  14001  ghmnsgima  14002  ghmnsgpreima  14003  ghmeqker  14005  ghmf1  14007  kerf1ghm  14008  ghmf1o  14009  rhmf  14325  isrhm2d  14327