Theorem ghmf 13377

Description: A group homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmf.x	|- X = ( Base ` S )
ghmf.y	|- Y = ( Base ` T )

Assertion

Ref	Expression
ghmf	|- ( F e. ( S GrpHom T ) -> F : X --> Y )

Proof of Theorem ghmf

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmf.x	. . . 4 |- X = ( Base ` S )
2		ghmf.y	. . . 4 |- Y = ( Base ` T )
3		eqid 2196	. . . 4 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
4		eqid 2196	. . . 4 |- ( +g ` T ) = ( +g ` T )
5	1, 2, 3, 4	isghm 13373	. . 3 |- ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. X A. x e. X ( F ` ( y ( +g ` S ) x ) ) = ( ( F ` y ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ) ) )
6	5	simprbi 275	. 2 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( F : X --> Y /\ A. y e. X A. x e. X ( F ` ( y ( +g ` S ) x ) ) = ( ( F ` y ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ) )
7	6	simpld 112	1 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> F : X --> Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   Grpcgrp 13132   GrpHom cghm 13370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-inn 8991  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-ghm 13371

This theorem is referenced by:  ghmid  13379  ghminv  13380  ghmsub  13381  ghmmhm  13383  ghmmulg  13386  ghmrn  13387  resghm  13390  ghmpreima  13396  ghmeql  13397  ghmnsgima  13398  ghmnsgpreima  13399  ghmeqker  13401  ghmf1  13403  kerf1ghm  13404  ghmf1o  13405  rhmf  13719  isrhm2d  13721