Theorem mulgdir 13937

Description: Sum of group multiples, generalized to ZZ. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnndir.b	|- B = ( Base ` G )
mulgnndir.t	|- .x. = (.g ` G )
mulgnndir.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgdir	|- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )

Proof of Theorem mulgdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnndir.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
2		mulgnndir.t	. . . 4 |- .x. = (.g ` G )
3		mulgnndir.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
4	1, 2, 3	mulgdirlem 13936	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
5	4	3expa 1234	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
6		simpll 531	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> G e. Grp )
7		simpr2 1035	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) -> N e. ZZ )
8	7	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> N e. ZZ )
9	8	znegcld 9752	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> -u N e. ZZ )
10		simpr1 1034	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) -> M e. ZZ )
11	10	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> M e. ZZ )
12	11	znegcld 9752	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> -u M e. ZZ )
13		simplr3 1072	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> X e. B )
14	11	zcnd 9751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> M e. CC )
15	14	negcld 8617	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> -u M e. CC )
16	8	zcnd 9751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> N e. CC )
17	16	negcld 8617	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> -u N e. CC )
18	14, 16	negdid 8643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> -u ( M + N ) = ( -u M + -u N ) )
19	15, 17, 18	comraddd 8476	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> -u ( M + N ) = ( -u N + -u M ) )
20		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> -u ( M + N ) e. NN0 )
21	19, 20	eqeltrrd 2316	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( -u N + -u M ) e. NN0 )
22	1, 2, 3	mulgdirlem 13936	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( -u N e. ZZ /\ -u M e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( -u N + -u M ) e. NN0 ) -> ( ( -u N + -u M ) .x. X ) = ( ( -u N .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) )
23	6, 9, 12, 13, 21, 22	syl131anc 1291	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( -u N + -u M ) .x. X ) = ( ( -u N .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) )
24	19	oveq1d 6093	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( -u ( M + N ) .x. X ) = ( ( -u N + -u M ) .x. X ) )
25	10, 7	zaddcld 9754	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) -> ( M + N ) e. ZZ )
26	25	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( M + N ) e. ZZ )
27		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
28	1, 2, 27	mulgneg 13923	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( M + N ) e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u ( M + N ) .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( ( M + N ) .x. X ) ) )
29	6, 26, 13, 28	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( -u ( M + N ) .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( ( M + N ) .x. X ) ) )
30	24, 29	eqtr3d 2273	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( -u N + -u M ) .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( ( M + N ) .x. X ) ) )
31	1, 2, 27	mulgneg 13923	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u N .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) )
32	6, 8, 13, 31	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( -u N .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) )
33	1, 2, 27	mulgneg 13923	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ M e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u M .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) )
34	6, 11, 13, 33	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( -u M .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) )
35	32, 34	oveq12d 6096	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( -u N .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) ) )
36	1, 2	mulgcl 13922	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ M e. ZZ /\ X e. B ) -> ( M .x. X ) e. B )
37	6, 11, 13, 36	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( M .x. X ) e. B )
38	1, 2	mulgcl 13922	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) e. B )
39	6, 8, 13, 38	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( N .x. X ) e. B )
40	1, 3, 27	grpinvadd 13863	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( M .x. X ) e. B /\ ( N .x. X ) e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) ) )
41	6, 37, 39, 40	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) ) )
42	35, 41	eqtr4d 2274	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( -u N .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) = ( ( invg ` G ) ` ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) )
43	23, 30, 42	3eqtr3d 2279	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( M + N ) .x. X ) ) = ( ( invg ` G ) ` ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) )
44	43	fveq2d 5697	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` ( ( M + N ) .x. X ) ) ) = ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) ) )
45	1, 2	mulgcl 13922	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( M + N ) e. ZZ /\ X e. B ) -> ( ( M + N ) .x. X ) e. B )
46	6, 26, 13, 45	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) e. B )
47	1, 27	grpinvinv 13852	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( M + N ) .x. X ) e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` ( ( M + N ) .x. X ) ) ) = ( ( M + N ) .x. X ) )
48	6, 46, 47	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` ( ( M + N ) .x. X ) ) ) = ( ( M + N ) .x. X ) )
49	1, 3	grpcl 13793	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( M .x. X ) e. B /\ ( N .x. X ) e. B ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) e. B )
50	6, 37, 39, 49	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) e. B )
51	1, 27	grpinvinv 13852	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
52	6, 50, 51	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
53	44, 48, 52	3eqtr3d 2279	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
54		elznn0 9641	. . . 4 |- ( ( M + N ) e. ZZ <-> ( ( M + N ) e. RR /\ ( ( M + N ) e. NN0 \/ -u ( M + N ) e. NN0 ) ) )
55	54	simprbi 275	. . 3 |- ( ( M + N ) e. ZZ -> ( ( M + N ) e. NN0 \/ -u ( M + N ) e. NN0 ) )
56	25, 55	syl 14	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) e. NN0 \/ -u ( M + N ) e. NN0 ) )
57	5, 53, 56	mpjaodan 810	1 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5375  (class class class)co 6078   RRcr 8171   + caddc 8175   -ucneg 8491   NN0cn0 9545   ZZcz 9626   Basecbs 13333   +g cplusg 13411   Grpcgrp 13785   invgcminusg 13786  ._gcmg 13902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-recs 6569  df-frec 6655  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-inn 9287  df-2 9345  df-n0 9546  df-z 9627  df-uz 9904  df-fz 10394  df-seqfrec 10866  df-ndx 13336  df-slot 13337  df-base 13339  df-plusg 13424  df-0g 13592  df-mgm 13656  df-sgrp 13697  df-mnd 13710  df-grp 13788  df-minusg 13789  df-mulg 13903

This theorem is referenced by:  mulgp1  13938  mulgneg2  13939  mulgmodid  13944  mulgsubdir  13945  mulgghm2  14918