Theorem mulgdir 13020

Description: Sum of group multiples, generalized to ZZ. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnndir.b	|- B = ( Base ` G )
mulgnndir.t	|- .x. = (.g ` G )
mulgnndir.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgdir	|- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )

Proof of Theorem mulgdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnndir.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
2		mulgnndir.t	. . . 4 |- .x. = (.g ` G )
3		mulgnndir.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
4	1, 2, 3	mulgdirlem 13019	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
5	4	3expa 1203	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
6		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> G e. Grp )
7		simpr2 1004	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) -> N e. ZZ )
8	7	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> N e. ZZ )
9	8	znegcld 9379	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> -u N e. ZZ )
10		simpr1 1003	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) -> M e. ZZ )
11	10	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> M e. ZZ )
12	11	znegcld 9379	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> -u M e. ZZ )
13		simplr3 1041	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> X e. B )
14	11	zcnd 9378	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> M e. CC )
15	14	negcld 8257	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> -u M e. CC )
16	8	zcnd 9378	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> N e. CC )
17	16	negcld 8257	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> -u N e. CC )
18	14, 16	negdid 8283	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> -u ( M + N ) = ( -u M + -u N ) )
19	15, 17, 18	comraddd 8116	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> -u ( M + N ) = ( -u N + -u M ) )
20		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> -u ( M + N ) e. NN0 )
21	19, 20	eqeltrrd 2255	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( -u N + -u M ) e. NN0 )
22	1, 2, 3	mulgdirlem 13019	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( -u N e. ZZ /\ -u M e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( -u N + -u M ) e. NN0 ) -> ( ( -u N + -u M ) .x. X ) = ( ( -u N .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) )
23	6, 9, 12, 13, 21, 22	syl131anc 1251	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( -u N + -u M ) .x. X ) = ( ( -u N .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) )
24	19	oveq1d 5892	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( -u ( M + N ) .x. X ) = ( ( -u N + -u M ) .x. X ) )
25	10, 7	zaddcld 9381	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) -> ( M + N ) e. ZZ )
26	25	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( M + N ) e. ZZ )
27		eqid 2177	. . . . . . . 8 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
28	1, 2, 27	mulgneg 13006	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( M + N ) e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u ( M + N ) .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( ( M + N ) .x. X ) ) )
29	6, 26, 13, 28	syl3anc 1238	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( -u ( M + N ) .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( ( M + N ) .x. X ) ) )
30	24, 29	eqtr3d 2212	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( -u N + -u M ) .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( ( M + N ) .x. X ) ) )
31	1, 2, 27	mulgneg 13006	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u N .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) )
32	6, 8, 13, 31	syl3anc 1238	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( -u N .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) )
33	1, 2, 27	mulgneg 13006	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ M e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u M .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) )
34	6, 11, 13, 33	syl3anc 1238	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( -u M .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) )
35	32, 34	oveq12d 5895	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( -u N .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) ) )
36	1, 2	mulgcl 13005	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ M e. ZZ /\ X e. B ) -> ( M .x. X ) e. B )
37	6, 11, 13, 36	syl3anc 1238	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( M .x. X ) e. B )
38	1, 2	mulgcl 13005	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) e. B )
39	6, 8, 13, 38	syl3anc 1238	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( N .x. X ) e. B )
40	1, 3, 27	grpinvadd 12953	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( M .x. X ) e. B /\ ( N .x. X ) e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) ) )
41	6, 37, 39, 40	syl3anc 1238	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) ) )
42	35, 41	eqtr4d 2213	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( -u N .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) = ( ( invg ` G ) ` ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) )
43	23, 30, 42	3eqtr3d 2218	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( M + N ) .x. X ) ) = ( ( invg ` G ) ` ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) )
44	43	fveq2d 5521	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` ( ( M + N ) .x. X ) ) ) = ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) ) )
45	1, 2	mulgcl 13005	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( M + N ) e. ZZ /\ X e. B ) -> ( ( M + N ) .x. X ) e. B )
46	6, 26, 13, 45	syl3anc 1238	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) e. B )
47	1, 27	grpinvinv 12942	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( M + N ) .x. X ) e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` ( ( M + N ) .x. X ) ) ) = ( ( M + N ) .x. X ) )
48	6, 46, 47	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` ( ( M + N ) .x. X ) ) ) = ( ( M + N ) .x. X ) )
49	1, 3	grpcl 12890	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( M .x. X ) e. B /\ ( N .x. X ) e. B ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) e. B )
50	6, 37, 39, 49	syl3anc 1238	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) e. B )
51	1, 27	grpinvinv 12942	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
52	6, 50, 51	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
53	44, 48, 52	3eqtr3d 2218	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
54		elznn0 9270	. . . 4 |- ( ( M + N ) e. ZZ <-> ( ( M + N ) e. RR /\ ( ( M + N ) e. NN0 \/ -u ( M + N ) e. NN0 ) ) )
55	54	simprbi 275	. . 3 |- ( ( M + N ) e. ZZ -> ( ( M + N ) e. NN0 \/ -u ( M + N ) e. NN0 ) )
56	25, 55	syl 14	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) e. NN0 \/ -u ( M + N ) e. NN0 ) )
57	5, 53, 56	mpjaodan 798	1 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   RRcr 7812   + caddc 7816   -ucneg 8131   NN0cn0 9178   ZZcz 9255   Basecbs 12464   +g cplusg 12538   Grpcgrp 12882   invgcminusg 12883  ._gcmg 12988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-2 8980  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011  df-seqfrec 10448  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-mulg 12989

This theorem is referenced by:  mulgp1  13021  mulgneg2  13022  mulgmodid  13027  mulgsubdir  13028