Theorem mulgdir 13762

Description: Sum of group multiples, generalized to ZZ. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnndir.b	|- B = ( Base ` G )
mulgnndir.t	|- .x. = (.g ` G )
mulgnndir.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgdir	|- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )

Proof of Theorem mulgdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnndir.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
2		mulgnndir.t	. . . 4 |- .x. = (.g ` G )
3		mulgnndir.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
4	1, 2, 3	mulgdirlem 13761	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
5	4	3expa 1229	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
6		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> G e. Grp )
7		simpr2 1030	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) -> N e. ZZ )
8	7	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> N e. ZZ )
9	8	znegcld 9607	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> -u N e. ZZ )
10		simpr1 1029	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) -> M e. ZZ )
11	10	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> M e. ZZ )
12	11	znegcld 9607	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> -u M e. ZZ )
13		simplr3 1067	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> X e. B )
14	11	zcnd 9606	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> M e. CC )
15	14	negcld 8480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> -u M e. CC )
16	8	zcnd 9606	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> N e. CC )
17	16	negcld 8480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> -u N e. CC )
18	14, 16	negdid 8506	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> -u ( M + N ) = ( -u M + -u N ) )
19	15, 17, 18	comraddd 8339	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> -u ( M + N ) = ( -u N + -u M ) )
20		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> -u ( M + N ) e. NN0 )
21	19, 20	eqeltrrd 2309	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( -u N + -u M ) e. NN0 )
22	1, 2, 3	mulgdirlem 13761	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( -u N e. ZZ /\ -u M e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( -u N + -u M ) e. NN0 ) -> ( ( -u N + -u M ) .x. X ) = ( ( -u N .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) )
23	6, 9, 12, 13, 21, 22	syl131anc 1286	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( -u N + -u M ) .x. X ) = ( ( -u N .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) )
24	19	oveq1d 6036	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( -u ( M + N ) .x. X ) = ( ( -u N + -u M ) .x. X ) )
25	10, 7	zaddcld 9609	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) -> ( M + N ) e. ZZ )
26	25	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( M + N ) e. ZZ )
27		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
28	1, 2, 27	mulgneg 13748	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( M + N ) e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u ( M + N ) .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( ( M + N ) .x. X ) ) )
29	6, 26, 13, 28	syl3anc 1273	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( -u ( M + N ) .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( ( M + N ) .x. X ) ) )
30	24, 29	eqtr3d 2266	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( -u N + -u M ) .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( ( M + N ) .x. X ) ) )
31	1, 2, 27	mulgneg 13748	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u N .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) )
32	6, 8, 13, 31	syl3anc 1273	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( -u N .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) )
33	1, 2, 27	mulgneg 13748	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ M e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u M .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) )
34	6, 11, 13, 33	syl3anc 1273	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( -u M .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) )
35	32, 34	oveq12d 6039	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( -u N .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) ) )
36	1, 2	mulgcl 13747	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ M e. ZZ /\ X e. B ) -> ( M .x. X ) e. B )
37	6, 11, 13, 36	syl3anc 1273	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( M .x. X ) e. B )
38	1, 2	mulgcl 13747	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) e. B )
39	6, 8, 13, 38	syl3anc 1273	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( N .x. X ) e. B )
40	1, 3, 27	grpinvadd 13682	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( M .x. X ) e. B /\ ( N .x. X ) e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) ) )
41	6, 37, 39, 40	syl3anc 1273	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) ) )
42	35, 41	eqtr4d 2267	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( -u N .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) = ( ( invg ` G ) ` ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) )
43	23, 30, 42	3eqtr3d 2272	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( M + N ) .x. X ) ) = ( ( invg ` G ) ` ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) )
44	43	fveq2d 5644	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` ( ( M + N ) .x. X ) ) ) = ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) ) )
45	1, 2	mulgcl 13747	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( M + N ) e. ZZ /\ X e. B ) -> ( ( M + N ) .x. X ) e. B )
46	6, 26, 13, 45	syl3anc 1273	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) e. B )
47	1, 27	grpinvinv 13671	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( M + N ) .x. X ) e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` ( ( M + N ) .x. X ) ) ) = ( ( M + N ) .x. X ) )
48	6, 46, 47	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` ( ( M + N ) .x. X ) ) ) = ( ( M + N ) .x. X ) )
49	1, 3	grpcl 13612	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( M .x. X ) e. B /\ ( N .x. X ) e. B ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) e. B )
50	6, 37, 39, 49	syl3anc 1273	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) e. B )
51	1, 27	grpinvinv 13671	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
52	6, 50, 51	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
53	44, 48, 52	3eqtr3d 2272	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
54		elznn0 9497	. . . 4 |- ( ( M + N ) e. ZZ <-> ( ( M + N ) e. RR /\ ( ( M + N ) e. NN0 \/ -u ( M + N ) e. NN0 ) ) )
55	54	simprbi 275	. . 3 |- ( ( M + N ) e. ZZ -> ( ( M + N ) e. NN0 \/ -u ( M + N ) e. NN0 ) )
56	25, 55	syl 14	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) e. NN0 \/ -u ( M + N ) e. NN0 ) )
57	5, 53, 56	mpjaodan 805	1 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 715   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6021   RRcr 8034   + caddc 8038   -ucneg 8354   NN0cn0 9405   ZZcz 9482   Basecbs 13103   +g cplusg 13181   Grpcgrp 13604   invgcminusg 13605  ._gcmg 13727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-addcom 8135  ax-addass 8137  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-0lt1 8141  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-cnre 8146  ax-pre-ltirr 8147  ax-pre-ltwlin 8148  ax-pre-lttrn 8149  ax-pre-ltadd 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-1st 6306  df-2nd 6307  df-recs 6474  df-frec 6560  df-pnf 8219  df-mnf 8220  df-xr 8221  df-ltxr 8222  df-le 8223  df-sub 8355  df-neg 8356  df-inn 9147  df-2 9205  df-n0 9406  df-z 9483  df-uz 9759  df-fz 10247  df-seqfrec 10714  df-ndx 13106  df-slot 13107  df-base 13109  df-plusg 13194  df-0g 13362  df-mgm 13460  df-sgrp 13506  df-mnd 13521  df-grp 13607  df-minusg 13608  df-mulg 13728

This theorem is referenced by:  mulgp1  13763  mulgneg2  13764  mulgmodid  13769  mulgsubdir  13770  mulgghm2  14644