Theorem mulgdir 13845

Description: Sum of group multiples, generalized to ZZ. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnndir.b	|- B = ( Base ` G )
mulgnndir.t	|- .x. = (.g ` G )
mulgnndir.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgdir	|- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )

Proof of Theorem mulgdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnndir.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
2		mulgnndir.t	. . . 4 |- .x. = (.g ` G )
3		mulgnndir.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
4	1, 2, 3	mulgdirlem 13844	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
5	4	3expa 1230	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
6		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> G e. Grp )
7		simpr2 1031	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) -> N e. ZZ )
8	7	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> N e. ZZ )
9	8	znegcld 9688	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> -u N e. ZZ )
10		simpr1 1030	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) -> M e. ZZ )
11	10	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> M e. ZZ )
12	11	znegcld 9688	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> -u M e. ZZ )
13		simplr3 1068	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> X e. B )
14	11	zcnd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> M e. CC )
15	14	negcld 8559	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> -u M e. CC )
16	8	zcnd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> N e. CC )
17	16	negcld 8559	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> -u N e. CC )
18	14, 16	negdid 8585	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> -u ( M + N ) = ( -u M + -u N ) )
19	15, 17, 18	comraddd 8418	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> -u ( M + N ) = ( -u N + -u M ) )
20		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> -u ( M + N ) e. NN0 )
21	19, 20	eqeltrrd 2310	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( -u N + -u M ) e. NN0 )
22	1, 2, 3	mulgdirlem 13844	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( -u N e. ZZ /\ -u M e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( -u N + -u M ) e. NN0 ) -> ( ( -u N + -u M ) .x. X ) = ( ( -u N .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) )
23	6, 9, 12, 13, 21, 22	syl131anc 1287	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( -u N + -u M ) .x. X ) = ( ( -u N .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) )
24	19	oveq1d 6056	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( -u ( M + N ) .x. X ) = ( ( -u N + -u M ) .x. X ) )
25	10, 7	zaddcld 9690	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) -> ( M + N ) e. ZZ )
26	25	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( M + N ) e. ZZ )
27		eqid 2232	. . . . . . . 8 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
28	1, 2, 27	mulgneg 13831	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( M + N ) e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u ( M + N ) .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( ( M + N ) .x. X ) ) )
29	6, 26, 13, 28	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( -u ( M + N ) .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( ( M + N ) .x. X ) ) )
30	24, 29	eqtr3d 2267	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( -u N + -u M ) .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( ( M + N ) .x. X ) ) )
31	1, 2, 27	mulgneg 13831	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u N .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) )
32	6, 8, 13, 31	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( -u N .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) )
33	1, 2, 27	mulgneg 13831	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ M e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u M .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) )
34	6, 11, 13, 33	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( -u M .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) )
35	32, 34	oveq12d 6059	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( -u N .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) ) )
36	1, 2	mulgcl 13830	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ M e. ZZ /\ X e. B ) -> ( M .x. X ) e. B )
37	6, 11, 13, 36	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( M .x. X ) e. B )
38	1, 2	mulgcl 13830	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) e. B )
39	6, 8, 13, 38	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( N .x. X ) e. B )
40	1, 3, 27	grpinvadd 13765	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( M .x. X ) e. B /\ ( N .x. X ) e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) ) )
41	6, 37, 39, 40	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) ) )
42	35, 41	eqtr4d 2268	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( -u N .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) = ( ( invg ` G ) ` ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) )
43	23, 30, 42	3eqtr3d 2273	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( M + N ) .x. X ) ) = ( ( invg ` G ) ` ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) )
44	43	fveq2d 5665	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` ( ( M + N ) .x. X ) ) ) = ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) ) )
45	1, 2	mulgcl 13830	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( M + N ) e. ZZ /\ X e. B ) -> ( ( M + N ) .x. X ) e. B )
46	6, 26, 13, 45	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) e. B )
47	1, 27	grpinvinv 13754	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( M + N ) .x. X ) e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` ( ( M + N ) .x. X ) ) ) = ( ( M + N ) .x. X ) )
48	6, 46, 47	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` ( ( M + N ) .x. X ) ) ) = ( ( M + N ) .x. X ) )
49	1, 3	grpcl 13695	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( M .x. X ) e. B /\ ( N .x. X ) e. B ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) e. B )
50	6, 37, 39, 49	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) e. B )
51	1, 27	grpinvinv 13754	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
52	6, 50, 51	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
53	44, 48, 52	3eqtr3d 2273	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
54		elznn0 9578	. . . 4 |- ( ( M + N ) e. ZZ <-> ( ( M + N ) e. RR /\ ( ( M + N ) e. NN0 \/ -u ( M + N ) e. NN0 ) ) )
55	54	simprbi 275	. . 3 |- ( ( M + N ) e. ZZ -> ( ( M + N ) e. NN0 \/ -u ( M + N ) e. NN0 ) )
56	25, 55	syl 14	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) e. NN0 \/ -u ( M + N ) e. NN0 ) )
57	5, 53, 56	mpjaodan 806	1 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   ` cfv 5343  (class class class)co 6041   RRcr 8114   + caddc 8118   -ucneg 8433   NN0cn0 9484   ZZcz 9563   Basecbs 13186   +g cplusg 13264   Grpcgrp 13687   invgcminusg 13688  ._gcmg 13810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4218  ax-sep 4221  ax-nul 4229  ax-pow 4279  ax-pr 4314  ax-un 4545  ax-setind 4650  ax-iinf 4701  ax-cnex 8206  ax-resscn 8207  ax-1cn 8208  ax-1re 8209  ax-icn 8210  ax-addcl 8211  ax-addrcl 8212  ax-mulcl 8213  ax-addcom 8215  ax-addass 8217  ax-distr 8219  ax-i2m1 8220  ax-0lt1 8221  ax-0id 8223  ax-rnegex 8224  ax-cnre 8226  ax-pre-ltirr 8227  ax-pre-ltwlin 8228  ax-pre-lttrn 8229  ax-pre-ltadd 8231

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3506  df-if 3617  df-pw 3667  df-sn 3688  df-pr 3689  df-op 3691  df-uni 3908  df-int 3943  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4165  df-mpt 4166  df-tr 4202  df-id 4405  df-iord 4478  df-on 4480  df-ilim 4481  df-suc 4483  df-iom 4704  df-xp 4746  df-rel 4747  df-cnv 4748  df-co 4749  df-dm 4750  df-rn 4751  df-res 4752  df-ima 4753  df-iota 5303  df-fun 5345  df-fn 5346  df-f 5347  df-f1 5348  df-fo 5349  df-f1o 5350  df-fv 5351  df-riota 5994  df-ov 6044  df-oprab 6045  df-mpo 6046  df-1st 6325  df-2nd 6326  df-recs 6527  df-frec 6613  df-pnf 8298  df-mnf 8299  df-xr 8300  df-ltxr 8301  df-le 8302  df-sub 8434  df-neg 8435  df-inn 9226  df-2 9284  df-n0 9485  df-z 9564  df-uz 9840  df-fz 10329  df-seqfrec 10796  df-ndx 13189  df-slot 13190  df-base 13192  df-plusg 13277  df-0g 13445  df-mgm 13543  df-sgrp 13589  df-mnd 13604  df-grp 13690  df-minusg 13691  df-mulg 13811

This theorem is referenced by:  mulgp1  13846  mulgneg2  13847  mulgmodid  13852  mulgsubdir  13853  mulgghm2  14728