Theorem mulgdir 14016

Description: Sum of group multiples, generalized to ZZ. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnndir.b	|- B = ( Base ` G )
mulgnndir.t	|- .x. = (.g ` G )
mulgnndir.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgdir	|- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )

Proof of Theorem mulgdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnndir.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
2		mulgnndir.t	. . . 4 |- .x. = (.g ` G )
3		mulgnndir.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
4	1, 2, 3	mulgdirlem 14015	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
5	4	3expa 1234	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
6		simpll 531	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> G e. Grp )
7		simpr2 1035	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) -> N e. ZZ )
8	7	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> N e. ZZ )
9	8	znegcld 9781	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> -u N e. ZZ )
10		simpr1 1034	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) -> M e. ZZ )
11	10	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> M e. ZZ )
12	11	znegcld 9781	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> -u M e. ZZ )
13		simplr3 1072	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> X e. B )
14	11	zcnd 9780	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> M e. CC )
15	14	negcld 8631	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> -u M e. CC )
16	8	zcnd 9780	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> N e. CC )
17	16	negcld 8631	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> -u N e. CC )
18	14, 16	negdid 8657	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> -u ( M + N ) = ( -u M + -u N ) )
19	15, 17, 18	comraddd 8490	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> -u ( M + N ) = ( -u N + -u M ) )
20		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> -u ( M + N ) e. NN0 )
21	19, 20	eqeltrrd 2316	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( -u N + -u M ) e. NN0 )
22	1, 2, 3	mulgdirlem 14015	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( -u N e. ZZ /\ -u M e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( -u N + -u M ) e. NN0 ) -> ( ( -u N + -u M ) .x. X ) = ( ( -u N .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) )
23	6, 9, 12, 13, 21, 22	syl131anc 1291	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( -u N + -u M ) .x. X ) = ( ( -u N .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) )
24	19	oveq1d 6103	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( -u ( M + N ) .x. X ) = ( ( -u N + -u M ) .x. X ) )
25	10, 7	zaddcld 9783	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) -> ( M + N ) e. ZZ )
26	25	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( M + N ) e. ZZ )
27		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
28	1, 2, 27	mulgneg 14002	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( M + N ) e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u ( M + N ) .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( ( M + N ) .x. X ) ) )
29	6, 26, 13, 28	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( -u ( M + N ) .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( ( M + N ) .x. X ) ) )
30	24, 29	eqtr3d 2273	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( -u N + -u M ) .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( ( M + N ) .x. X ) ) )
31	1, 2, 27	mulgneg 14002	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u N .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) )
32	6, 8, 13, 31	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( -u N .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) )
33	1, 2, 27	mulgneg 14002	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ M e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u M .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) )
34	6, 11, 13, 33	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( -u M .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) )
35	32, 34	oveq12d 6106	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( -u N .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) ) )
36	1, 2	mulgcl 14001	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ M e. ZZ /\ X e. B ) -> ( M .x. X ) e. B )
37	6, 11, 13, 36	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( M .x. X ) e. B )
38	1, 2	mulgcl 14001	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) e. B )
39	6, 8, 13, 38	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( N .x. X ) e. B )
40	1, 3, 27	grpinvadd 13942	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( M .x. X ) e. B /\ ( N .x. X ) e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) ) )
41	6, 37, 39, 40	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) ) )
42	35, 41	eqtr4d 2274	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( -u N .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) = ( ( invg ` G ) ` ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) )
43	23, 30, 42	3eqtr3d 2279	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( M + N ) .x. X ) ) = ( ( invg ` G ) ` ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) )
44	43	fveq2d 5702	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` ( ( M + N ) .x. X ) ) ) = ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) ) )
45	1, 2	mulgcl 14001	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( M + N ) e. ZZ /\ X e. B ) -> ( ( M + N ) .x. X ) e. B )
46	6, 26, 13, 45	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) e. B )
47	1, 27	grpinvinv 13931	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( M + N ) .x. X ) e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` ( ( M + N ) .x. X ) ) ) = ( ( M + N ) .x. X ) )
48	6, 46, 47	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` ( ( M + N ) .x. X ) ) ) = ( ( M + N ) .x. X ) )
49	1, 3	grpcl 13872	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( M .x. X ) e. B /\ ( N .x. X ) e. B ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) e. B )
50	6, 37, 39, 49	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) e. B )
51	1, 27	grpinvinv 13931	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
52	6, 50, 51	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
53	44, 48, 52	3eqtr3d 2279	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) /\ -u ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
54		elznn0 9670	. . . 4 |- ( ( M + N ) e. ZZ <-> ( ( M + N ) e. RR /\ ( ( M + N ) e. NN0 \/ -u ( M + N ) e. NN0 ) ) )
55	54	simprbi 275	. . 3 |- ( ( M + N ) e. ZZ -> ( ( M + N ) e. NN0 \/ -u ( M + N ) e. NN0 ) )
56	25, 55	syl 14	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) e. NN0 \/ -u ( M + N ) e. NN0 ) )
57	5, 53, 56	mpjaodan 810	1 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   RRcr 8184   + caddc 8188   -ucneg 8505   NN0cn0 9574   ZZcz 9655   Basecbs 13410   +g cplusg 13490   Grpcgrp 13864   invgcminusg 13865  ._gcmg 13981

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-2 9372  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-seqfrec 10906  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-mulg 13982

This theorem is used by:  mulgp1  14017  mulgneg2  14018  mulgmodid  14023  mulgsubdir  14024  mulgghm2  15052