Theorem grpinvadd 13619

Description: The inverse of the group operation reverses the arguments. Lemma 2.2.1(d) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 27-Oct-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpinvadd.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvadd	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)))

Proof of Theorem grpinvadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1021	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
2		simp2 1022	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simp3 1023	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		grpinvadd.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpinvadd.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
6	4, 5	grpinvcl 13589	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
7	6	3adant2 1040	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
8	4, 5	grpinvcl 13589	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
9	8	3adant3 1041	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
10		grpinvadd.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
11	4, 10	grpcl 13549	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵)
12	1, 7, 9, 11	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵)
13	4, 10	grpass 13550	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))) = (𝑋 + (𝑌 + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)))))
14	1, 2, 3, 12, 13	syl13anc 1273	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))) = (𝑋 + (𝑌 + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)))))
15		eqid 2229	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
16	4, 10, 15, 5	grprinv 13592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 + (𝑁‘𝑌)) = (0g‘𝐺))
17	16	3adant2 1040	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 + (𝑁‘𝑌)) = (0g‘𝐺))
18	17	oveq1d 6022	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑌 + (𝑁‘𝑌)) + (𝑁‘𝑋)) = ((0g‘𝐺) + (𝑁‘𝑋)))
19	4, 10	grpass 13550	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)) → ((𝑌 + (𝑁‘𝑌)) + (𝑁‘𝑋)) = (𝑌 + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))))
20	1, 3, 7, 9, 19	syl13anc 1273	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑌 + (𝑁‘𝑌)) + (𝑁‘𝑋)) = (𝑌 + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))))
21	4, 10, 15	grplid 13572	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
22	1, 9, 21	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
23	18, 20, 22	3eqtr3d 2270	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))) = (𝑁‘𝑋))
24	23	oveq2d 6023	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑌 + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)))) = (𝑋 + (𝑁‘𝑋)))
25	4, 10, 15, 5	grprinv 13592	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑁‘𝑋)) = (0g‘𝐺))
26	25	3adant3 1041	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑁‘𝑋)) = (0g‘𝐺))
27	14, 24, 26	3eqtrd 2266	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))) = (0g‘𝐺))
28	4, 10	grpcl 13549	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
29	4, 10, 15, 5	grpinvid1 13593	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)) ↔ ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))) = (0g‘𝐺)))
30	1, 28, 12, 29	syl3anc 1271	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)) ↔ ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))) = (0g‘𝐺)))
31	27, 30	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Basecbs 13040  +_gcplusg 13118  0_gc0g 13297  Grpcgrp 13541  inv_gcminusg 13542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1re 8101  ax-addrcl 8104

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-inn 9119  df-2 9177  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-plusg 13131  df-0g 13299  df-mgm 13397  df-sgrp 13443  df-mnd 13458  df-grp 13544  df-minusg 13545

This theorem is referenced by:  grpinvsub  13623  mulgaddcomlem  13690  mulginvcom  13692  mulgdir  13699  eqger  13769  eqgcpbl  13773  ablinvadd  13855  ablsub2inv  13856  invghm  13874  rdivmuldivd  14116