Theorem grpinvadd 13663

Description: The inverse of the group operation reverses the arguments. Lemma 2.2.1(d) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 27-Oct-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpinvadd.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvadd	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)))

Proof of Theorem grpinvadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1023	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
2		simp2 1024	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simp3 1025	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		grpinvadd.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpinvadd.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
6	4, 5	grpinvcl 13633	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
7	6	3adant2 1042	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
8	4, 5	grpinvcl 13633	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
9	8	3adant3 1043	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
10		grpinvadd.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
11	4, 10	grpcl 13593	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵)
12	1, 7, 9, 11	syl3anc 1273	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵)
13	4, 10	grpass 13594	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))) = (𝑋 + (𝑌 + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)))))
14	1, 2, 3, 12, 13	syl13anc 1275	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))) = (𝑋 + (𝑌 + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)))))
15		eqid 2231	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
16	4, 10, 15, 5	grprinv 13636	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 + (𝑁‘𝑌)) = (0g‘𝐺))
17	16	3adant2 1042	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 + (𝑁‘𝑌)) = (0g‘𝐺))
18	17	oveq1d 6033	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑌 + (𝑁‘𝑌)) + (𝑁‘𝑋)) = ((0g‘𝐺) + (𝑁‘𝑋)))
19	4, 10	grpass 13594	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)) → ((𝑌 + (𝑁‘𝑌)) + (𝑁‘𝑋)) = (𝑌 + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))))
20	1, 3, 7, 9, 19	syl13anc 1275	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑌 + (𝑁‘𝑌)) + (𝑁‘𝑋)) = (𝑌 + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))))
21	4, 10, 15	grplid 13616	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
22	1, 9, 21	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
23	18, 20, 22	3eqtr3d 2272	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))) = (𝑁‘𝑋))
24	23	oveq2d 6034	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑌 + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)))) = (𝑋 + (𝑁‘𝑋)))
25	4, 10, 15, 5	grprinv 13636	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑁‘𝑋)) = (0g‘𝐺))
26	25	3adant3 1043	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑁‘𝑋)) = (0g‘𝐺))
27	14, 24, 26	3eqtrd 2268	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))) = (0g‘𝐺))
28	4, 10	grpcl 13593	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
29	4, 10, 15, 5	grpinvid1 13637	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)) ↔ ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))) = (0g‘𝐺)))
30	1, 28, 12, 29	syl3anc 1273	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)) ↔ ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))) = (0g‘𝐺)))
31	27, 30	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  Basecbs 13084  +_gcplusg 13162  0_gc0g 13341  Grpcgrp 13585  inv_gcminusg 13586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-inn 9144  df-2 9202  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-plusg 13175  df-0g 13343  df-mgm 13441  df-sgrp 13487  df-mnd 13502  df-grp 13588  df-minusg 13589

This theorem is referenced by:  grpinvsub  13667  mulgaddcomlem  13734  mulginvcom  13736  mulgdir  13743  eqger  13813  eqgcpbl  13817  ablinvadd  13899  ablsub2inv  13900  invghm  13918  rdivmuldivd  14161