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Theorem eqgcpbl 13018
Description: The subgroup coset equivalence relation is compatible with addition when the subgroup is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqger.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
eqger.r  |-  .~  =  ( G ~QG  Y )
eqgcpbl.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
eqgcpbl  |-  ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  ( ( A  .~  C  /\  B  .~  D )  ->  ( A  .+  B )  .~  ( C  .+  D ) ) )

Proof of Theorem eqgcpbl
StepHypRef Expression
1 nsgsubg 12996 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  Y  e.  (SubGrp `  G ) )
21adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  Y  e.  (SubGrp `  G
) )
3 subgrcl 12970 . . . . 5  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
42, 3syl 14 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  G  e.  Grp )
5 simprl 529 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  A  .~  C )
6 eqger.x . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( Base `  G
)
76subgss 12965 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  Y  C_  X
)
82, 7syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  Y  C_  X )
9 eqid 2177 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
10 eqgcpbl.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  G )
11 eqger.r . . . . . . . 8  |-  .~  =  ( G ~QG  Y )
126, 9, 10, 11eqgval 13013 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( A  .~  C  <->  ( A  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  Y
) ) )
134, 8, 12syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( A  .~  C  <->  ( A  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  Y
) ) )
145, 13mpbid 147 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( A  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  Y
) )
1514simp1d 1009 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  A  e.  X )
16 simprr 531 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  B  .~  D )
176, 9, 10, 11eqgval 13013 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( B  .~  D  <->  ( B  e.  X  /\  D  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 B )  .+  D )  e.  Y
) ) )
184, 8, 17syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( B  .~  D  <->  ( B  e.  X  /\  D  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 B )  .+  D )  e.  Y
) ) )
1916, 18mpbid 147 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( B  e.  X  /\  D  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 B )  .+  D )  e.  Y
) )
2019simp1d 1009 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  B  e.  X )
216, 10grpcl 12817 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A  .+  B
)  e.  X )
224, 15, 20, 21syl3anc 1238 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( A  .+  B
)  e.  X )
2314simp2d 1010 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  C  e.  X )
2419simp2d 1010 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  D  e.  X )
256, 10grpcl 12817 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  C  e.  X  /\  D  e.  X )  ->  ( C  .+  D
)  e.  X )
264, 23, 24, 25syl3anc 1238 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( C  .+  D
)  e.  X )
276, 10, 9grpinvadd 12880 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  ( A  .+  B ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  B )  .+  ( ( invg `  G ) `  A
) ) )
284, 15, 20, 27syl3anc 1238 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  ( A  .+  B ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  B )  .+  ( ( invg `  G ) `  A
) ) )
2928oveq1d 5887 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 ( A  .+  B ) )  .+  ( C  .+  D ) )  =  ( ( ( ( invg `  G ) `  B
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 A ) ) 
.+  ( C  .+  D ) ) )
306, 9grpinvcl 12853 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  B
)  e.  X )
314, 20, 30syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  B
)  e.  X )
326, 9grpinvcl 12853 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  A
)  e.  X )
334, 15, 32syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  A
)  e.  X )
346, 10grpass 12818 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 B )  e.  X  /\  ( ( invg `  G
) `  A )  e.  X  /\  ( C  .+  D )  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( invg `  G
) `  B )  .+  ( ( invg `  G ) `  A
) )  .+  ( C  .+  D ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  B )  .+  ( ( ( invg `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) ) ) )
354, 31, 33, 26, 34syl13anc 1240 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( invg `  G
) `  B )  .+  ( ( invg `  G ) `  A
) )  .+  ( C  .+  D ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  B )  .+  ( ( ( invg `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) ) ) )
3629, 35eqtrd 2210 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 ( A  .+  B ) )  .+  ( C  .+  D ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `  B
)  .+  ( (
( invg `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) ) ) )
376, 10grpass 12818 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 A )  e.  X  /\  C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( invg `  G
) `  A )  .+  C )  .+  D
)  =  ( ( ( invg `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) ) )
384, 33, 23, 24, 37syl13anc 1240 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( invg `  G
) `  A )  .+  C )  .+  D
)  =  ( ( ( invg `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) ) )
3938oveq1d 5887 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( ( invg `  G ) `  A
)  .+  C )  .+  D )  .+  (
( invg `  G ) `  B
) )  =  ( ( ( ( invg `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) )  .+  ( ( invg `  G
) `  B )
) )
406, 10grpcl 12817 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( invg `  G ) `  A
)  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( ( ( invg `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  X
)
414, 33, 23, 40syl3anc 1238 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  X
)
426, 10grpass 12818 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( ( invg `  G
) `  A )  .+  C )  e.  X  /\  D  e.  X  /\  ( ( invg `  G ) `  B
)  e.  X ) )  ->  ( (
( ( ( invg `  G ) `
 A )  .+  C )  .+  D
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 B ) )  =  ( ( ( ( invg `  G ) `  A
)  .+  C )  .+  ( D  .+  (
( invg `  G ) `  B
) ) ) )
434, 41, 24, 31, 42syl13anc 1240 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( ( invg `  G ) `  A
)  .+  C )  .+  D )  .+  (
( invg `  G ) `  B
) )  =  ( ( ( ( invg `  G ) `
 A )  .+  C )  .+  ( D  .+  ( ( invg `  G ) `
 B ) ) ) )
4439, 43eqtr3d 2212 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( invg `  G
) `  A )  .+  ( C  .+  D
) )  .+  (
( invg `  G ) `  B
) )  =  ( ( ( ( invg `  G ) `
 A )  .+  C )  .+  ( D  .+  ( ( invg `  G ) `
 B ) ) ) )
4514simp3d 1011 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  Y
)
4619simp3d 1011 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 B )  .+  D )  e.  Y
)
47 simpl 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )
486, 10nsgbi 12995 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( ( invg `  G ) `
 B )  e.  X  /\  D  e.  X )  ->  (
( ( ( invg `  G ) `
 B )  .+  D )  e.  Y  <->  ( D  .+  ( ( invg `  G
) `  B )
)  e.  Y ) )
4947, 31, 24, 48syl3anc 1238 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( invg `  G
) `  B )  .+  D )  e.  Y  <->  ( D  .+  ( ( invg `  G
) `  B )
)  e.  Y ) )
5046, 49mpbid 147 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( D  .+  (
( invg `  G ) `  B
) )  e.  Y
)
5110subgcl 12975 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
( ( invg `  G ) `  A
)  .+  C )  e.  Y  /\  ( D  .+  ( ( invg `  G ) `
 B ) )  e.  Y )  -> 
( ( ( ( invg `  G
) `  A )  .+  C )  .+  ( D  .+  ( ( invg `  G ) `
 B ) ) )  e.  Y )
522, 45, 50, 51syl3anc 1238 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( invg `  G
) `  A )  .+  C )  .+  ( D  .+  ( ( invg `  G ) `
 B ) ) )  e.  Y )
5344, 52eqeltrd 2254 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( invg `  G
) `  A )  .+  ( C  .+  D
) )  .+  (
( invg `  G ) `  B
) )  e.  Y
)
546, 10grpcl 12817 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( invg `  G ) `  A
)  e.  X  /\  ( C  .+  D )  e.  X )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) )  e.  X )
554, 33, 26, 54syl3anc 1238 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) )  e.  X )
566, 10nsgbi 12995 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( (
( invg `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) )  e.  X  /\  ( ( invg `  G
) `  B )  e.  X )  ->  (
( ( ( ( invg `  G
) `  A )  .+  ( C  .+  D
) )  .+  (
( invg `  G ) `  B
) )  e.  Y  <->  ( ( ( invg `  G ) `  B
)  .+  ( (
( invg `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) ) )  e.  Y ) )
5747, 55, 31, 56syl3anc 1238 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( ( invg `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) )  .+  ( ( invg `  G ) `  B
) )  e.  Y  <->  ( ( ( invg `  G ) `  B
)  .+  ( (
( invg `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) ) )  e.  Y ) )
5853, 57mpbid 147 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 B )  .+  ( ( ( invg `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) ) )  e.  Y
)
5936, 58eqeltrd 2254 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 ( A  .+  B ) )  .+  ( C  .+  D ) )  e.  Y )
606, 9, 10, 11eqgval 13013 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( ( A  .+  B )  .~  ( C  .+  D )  <->  ( ( A  .+  B )  e.  X  /\  ( C 
.+  D )  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  ( A  .+  B ) ) 
.+  ( C  .+  D ) )  e.  Y ) ) )
614, 8, 60syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( A  .+  B )  .~  ( C  .+  D )  <->  ( ( A  .+  B )  e.  X  /\  ( C 
.+  D )  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  ( A  .+  B ) ) 
.+  ( C  .+  D ) )  e.  Y ) ) )
6222, 26, 59, 61mpbir3and 1180 . 2  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( A  .+  B
)  .~  ( C  .+  D ) )
6362ex 115 1  |-  ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  ( ( A  .~  C  /\  B  .~  D )  ->  ( A  .+  B )  .~  ( C  .+  D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148    C_ wss 3129   class class class wbr 4002   ` cfv 5215  (class class class)co 5872   Basecbs 12454   +g cplusg 12528   Grpcgrp 12809   invgcminusg 12810  SubGrpcsubg 12958  NrmSGrpcnsg 12959   ~QG cqg 12960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltadd 7924
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-ltxr 7993  df-inn 8916  df-2 8974  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-sets 12461  df-iress 12462  df-plusg 12541  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-grp 12812  df-minusg 12813  df-subg 12961  df-nsg 12962  df-eqg 12963
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