Theorem eqgcpbl 13018

Description: The subgroup coset equivalence relation is compatible with addition when the subgroup is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqger.x	|- X = ( Base ` G )
eqger.r	|- .~ = ( G ~QG Y )
eqgcpbl.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
eqgcpbl	|- ( Y e. (NrmSGrp ` G ) -> ( ( A .~ C /\ B .~ D ) -> ( A .+ B ) .~ ( C .+ D ) ) )

Proof of Theorem eqgcpbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 12996	. . . . . 6 |- ( Y e. (NrmSGrp ` G ) -> Y e. (SubGrp ` G ) )
2	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> Y e. (SubGrp ` G ) )
3		subgrcl 12970	. . . . 5 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> G e. Grp )
5		simprl 529	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> A .~ C )
6		eqger.x	. . . . . . . . 9 |- X = ( Base ` G )
7	6	subgss 12965	. . . . . . . 8 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> Y C_ X )
8	2, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> Y C_ X )
9		eqid 2177	. . . . . . . 8 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
10		eqgcpbl.p	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` G )
11		eqger.r	. . . . . . . 8 |- .~ = ( G ~QG Y )
12	6, 9, 10, 11	eqgval 13013	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ Y C_ X ) -> ( A .~ C <-> ( A e. X /\ C e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) e. Y ) ) )
13	4, 8, 12	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( A .~ C <-> ( A e. X /\ C e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) e. Y ) ) )
14	5, 13	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( A e. X /\ C e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) e. Y ) )
15	14	simp1d 1009	. . . 4 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> A e. X )
16		simprr 531	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> B .~ D )
17	6, 9, 10, 11	eqgval 13013	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ Y C_ X ) -> ( B .~ D <-> ( B e. X /\ D e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ D ) e. Y ) ) )
18	4, 8, 17	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( B .~ D <-> ( B e. X /\ D e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ D ) e. Y ) ) )
19	16, 18	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( B e. X /\ D e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ D ) e. Y ) )
20	19	simp1d 1009	. . . 4 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> B e. X )
21	6, 10	grpcl 12817	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A .+ B ) e. X )
22	4, 15, 20, 21	syl3anc 1238	. . 3 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( A .+ B ) e. X )
23	14	simp2d 1010	. . . 4 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> C e. X )
24	19	simp2d 1010	. . . 4 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> D e. X )
25	6, 10	grpcl 12817	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ C e. X /\ D e. X ) -> ( C .+ D ) e. X )
26	4, 23, 24, 25	syl3anc 1238	. . 3 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( C .+ D ) e. X )
27	6, 10, 9	grpinvadd 12880	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` ( A .+ B ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( invg ` G ) ` A ) ) )
28	4, 15, 20, 27	syl3anc 1238	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( A .+ B ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( invg ` G ) ` A ) ) )
29	28	oveq1d 5887	. . . . 5 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( A .+ B ) ) .+ ( C .+ D ) ) = ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( invg ` G ) ` A ) ) .+ ( C .+ D ) ) )
30	6, 9	grpinvcl 12853	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ B e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` B ) e. X )
31	4, 20, 30	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( invg ` G ) ` B ) e. X )
32	6, 9	grpinvcl 12853	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` A ) e. X )
33	4, 15, 32	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( invg ` G ) ` A ) e. X )
34	6, 10	grpass 12818	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) e. X /\ ( ( invg ` G ) ` A ) e. X /\ ( C .+ D ) e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( invg ` G ) ` A ) ) .+ ( C .+ D ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) ) )
35	4, 31, 33, 26, 34	syl13anc 1240	. . . . 5 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( invg ` G ) ` A ) ) .+ ( C .+ D ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) ) )
36	29, 35	eqtrd 2210	. . . 4 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( A .+ B ) ) .+ ( C .+ D ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) ) )
37	6, 10	grpass 12818	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) e. X /\ C e. X /\ D e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ D ) = ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) )
38	4, 33, 23, 24, 37	syl13anc 1240	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ D ) = ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) )
39	38	oveq1d 5887	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ D ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) = ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) )
40	6, 10	grpcl 12817	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( invg ` G ) ` A ) e. X /\ C e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) e. X )
41	4, 33, 23, 40	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) e. X )
42	6, 10	grpass 12818	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) e. X /\ D e. X /\ ( ( invg ` G ) ` B ) e. X ) ) -> ( ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ D ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) = ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) ) )
43	4, 41, 24, 31, 42	syl13anc 1240	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ D ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) = ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) ) )
44	39, 43	eqtr3d 2212	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) = ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) ) )
45	14	simp3d 1011	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) e. Y )
46	19	simp3d 1011	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ D ) e. Y )
47		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> Y e. (NrmSGrp ` G ) )
48	6, 10	nsgbi 12995	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( ( invg ` G ) ` B ) e. X /\ D e. X ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ D ) e. Y <-> ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) e. Y ) )
49	47, 31, 24, 48	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ D ) e. Y <-> ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) e. Y ) )
50	46, 49	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) e. Y )
51	10	subgcl 12975	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) e. Y /\ ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) e. Y ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) ) e. Y )
52	2, 45, 50, 51	syl3anc 1238	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) ) e. Y )
53	44, 52	eqeltrd 2254	. . . . 5 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) e. Y )
54	6, 10	grpcl 12817	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( invg ` G ) ` A ) e. X /\ ( C .+ D ) e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) e. X )
55	4, 33, 26, 54	syl3anc 1238	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) e. X )
56	6, 10	nsgbi 12995	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) e. X /\ ( ( invg ` G ) ` B ) e. X ) -> ( ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) e. Y <-> ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) ) e. Y ) )
57	47, 55, 31, 56	syl3anc 1238	. . . . 5 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) e. Y <-> ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) ) e. Y ) )
58	53, 57	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) ) e. Y )
59	36, 58	eqeltrd 2254	. . 3 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( A .+ B ) ) .+ ( C .+ D ) ) e. Y )
60	6, 9, 10, 11	eqgval 13013	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Y C_ X ) -> ( ( A .+ B ) .~ ( C .+ D ) <-> ( ( A .+ B ) e. X /\ ( C .+ D ) e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` ( A .+ B ) ) .+ ( C .+ D ) ) e. Y ) ) )
61	4, 8, 60	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( A .+ B ) .~ ( C .+ D ) <-> ( ( A .+ B ) e. X /\ ( C .+ D ) e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` ( A .+ B ) ) .+ ( C .+ D ) ) e. Y ) ) )
62	22, 26, 59, 61	mpbir3and 1180	. 2 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( A .+ B ) .~ ( C .+ D ) )
63	62	ex 115	1 |- ( Y e. (NrmSGrp ` G ) -> ( ( A .~ C /\ B .~ D ) -> ( A .+ B ) .~ ( C .+ D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   C_ wss 3129   class class class wbr 4002   ` cfv 5215  (class class class)co 5872   Basecbs 12454   +g cplusg 12528   Grpcgrp 12809   invgcminusg 12810  SubGrpcsubg 12958  NrmSGrpcnsg 12959   ~_QG cqg 12960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltadd 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-ltxr 7993  df-inn 8916  df-2 8974  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-sets 12461  df-iress 12462  df-plusg 12541  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-grp 12812  df-minusg 12813  df-subg 12961  df-nsg 12962  df-eqg 12963

This theorem is referenced by: (None)