Theorem eqgcpbl 13564

Description: The subgroup coset equivalence relation is compatible with addition when the subgroup is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqger.x	|- X = ( Base ` G )
eqger.r	|- .~ = ( G ~QG Y )
eqgcpbl.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
eqgcpbl	|- ( Y e. (NrmSGrp ` G ) -> ( ( A .~ C /\ B .~ D ) -> ( A .+ B ) .~ ( C .+ D ) ) )

Proof of Theorem eqgcpbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 13541	. . . . . 6 |- ( Y e. (NrmSGrp ` G ) -> Y e. (SubGrp ` G ) )
2	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> Y e. (SubGrp ` G ) )
3		subgrcl 13515	. . . . 5 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> G e. Grp )
5		simprl 529	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> A .~ C )
6		eqger.x	. . . . . . . . 9 |- X = ( Base ` G )
7	6	subgss 13510	. . . . . . . 8 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> Y C_ X )
8	2, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> Y C_ X )
9		eqid 2205	. . . . . . . 8 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
10		eqgcpbl.p	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` G )
11		eqger.r	. . . . . . . 8 |- .~ = ( G ~QG Y )
12	6, 9, 10, 11	eqgval 13559	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ Y C_ X ) -> ( A .~ C <-> ( A e. X /\ C e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) e. Y ) ) )
13	4, 8, 12	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( A .~ C <-> ( A e. X /\ C e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) e. Y ) ) )
14	5, 13	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( A e. X /\ C e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) e. Y ) )
15	14	simp1d 1012	. . . 4 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> A e. X )
16		simprr 531	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> B .~ D )
17	6, 9, 10, 11	eqgval 13559	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ Y C_ X ) -> ( B .~ D <-> ( B e. X /\ D e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ D ) e. Y ) ) )
18	4, 8, 17	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( B .~ D <-> ( B e. X /\ D e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ D ) e. Y ) ) )
19	16, 18	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( B e. X /\ D e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ D ) e. Y ) )
20	19	simp1d 1012	. . . 4 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> B e. X )
21	6, 10	grpcl 13340	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A .+ B ) e. X )
22	4, 15, 20, 21	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( A .+ B ) e. X )
23	14	simp2d 1013	. . . 4 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> C e. X )
24	19	simp2d 1013	. . . 4 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> D e. X )
25	6, 10	grpcl 13340	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ C e. X /\ D e. X ) -> ( C .+ D ) e. X )
26	4, 23, 24, 25	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( C .+ D ) e. X )
27	6, 10, 9	grpinvadd 13410	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` ( A .+ B ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( invg ` G ) ` A ) ) )
28	4, 15, 20, 27	syl3anc 1250	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( A .+ B ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( invg ` G ) ` A ) ) )
29	28	oveq1d 5959	. . . . 5 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( A .+ B ) ) .+ ( C .+ D ) ) = ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( invg ` G ) ` A ) ) .+ ( C .+ D ) ) )
30	6, 9	grpinvcl 13380	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ B e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` B ) e. X )
31	4, 20, 30	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( invg ` G ) ` B ) e. X )
32	6, 9	grpinvcl 13380	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` A ) e. X )
33	4, 15, 32	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( invg ` G ) ` A ) e. X )
34	6, 10	grpass 13341	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) e. X /\ ( ( invg ` G ) ` A ) e. X /\ ( C .+ D ) e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( invg ` G ) ` A ) ) .+ ( C .+ D ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) ) )
35	4, 31, 33, 26, 34	syl13anc 1252	. . . . 5 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( invg ` G ) ` A ) ) .+ ( C .+ D ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) ) )
36	29, 35	eqtrd 2238	. . . 4 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( A .+ B ) ) .+ ( C .+ D ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) ) )
37	6, 10	grpass 13341	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) e. X /\ C e. X /\ D e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ D ) = ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) )
38	4, 33, 23, 24, 37	syl13anc 1252	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ D ) = ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) )
39	38	oveq1d 5959	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ D ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) = ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) )
40	6, 10	grpcl 13340	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( invg ` G ) ` A ) e. X /\ C e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) e. X )
41	4, 33, 23, 40	syl3anc 1250	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) e. X )
42	6, 10	grpass 13341	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) e. X /\ D e. X /\ ( ( invg ` G ) ` B ) e. X ) ) -> ( ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ D ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) = ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) ) )
43	4, 41, 24, 31, 42	syl13anc 1252	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ D ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) = ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) ) )
44	39, 43	eqtr3d 2240	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) = ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) ) )
45	14	simp3d 1014	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) e. Y )
46	19	simp3d 1014	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ D ) e. Y )
47		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> Y e. (NrmSGrp ` G ) )
48	6, 10	nsgbi 13540	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( ( invg ` G ) ` B ) e. X /\ D e. X ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ D ) e. Y <-> ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) e. Y ) )
49	47, 31, 24, 48	syl3anc 1250	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ D ) e. Y <-> ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) e. Y ) )
50	46, 49	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) e. Y )
51	10	subgcl 13520	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) e. Y /\ ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) e. Y ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) ) e. Y )
52	2, 45, 50, 51	syl3anc 1250	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) ) e. Y )
53	44, 52	eqeltrd 2282	. . . . 5 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) e. Y )
54	6, 10	grpcl 13340	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( invg ` G ) ` A ) e. X /\ ( C .+ D ) e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) e. X )
55	4, 33, 26, 54	syl3anc 1250	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) e. X )
56	6, 10	nsgbi 13540	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) e. X /\ ( ( invg ` G ) ` B ) e. X ) -> ( ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) e. Y <-> ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) ) e. Y ) )
57	47, 55, 31, 56	syl3anc 1250	. . . . 5 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) e. Y <-> ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) ) e. Y ) )
58	53, 57	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) ) e. Y )
59	36, 58	eqeltrd 2282	. . 3 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( A .+ B ) ) .+ ( C .+ D ) ) e. Y )
60	6, 9, 10, 11	eqgval 13559	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Y C_ X ) -> ( ( A .+ B ) .~ ( C .+ D ) <-> ( ( A .+ B ) e. X /\ ( C .+ D ) e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` ( A .+ B ) ) .+ ( C .+ D ) ) e. Y ) ) )
61	4, 8, 60	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( A .+ B ) .~ ( C .+ D ) <-> ( ( A .+ B ) e. X /\ ( C .+ D ) e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` ( A .+ B ) ) .+ ( C .+ D ) ) e. Y ) ) )
62	22, 26, 59, 61	mpbir3and 1183	. 2 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( A .+ B ) .~ ( C .+ D ) )
63	62	ex 115	1 |- ( Y e. (NrmSGrp ` G ) -> ( ( A .~ C /\ B .~ D ) -> ( A .+ B ) .~ ( C .+ D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   C_ wss 3166   class class class wbr 4044   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832   +g cplusg 12909   Grpcgrp 13332   invgcminusg 13333  SubGrpcsubg 13503  NrmSGrpcnsg 13504   ~_QG cqg 13505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-inn 9037  df-2 9095  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-iress 12840  df-plusg 12922  df-0g 13090  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-grp 13335  df-minusg 13336  df-subg 13506  df-nsg 13507  df-eqg 13508

This theorem is referenced by:  qusgrp  13568  qusadd  13570  qus2idrng  14287  qus1  14288