Theorem eqgcpbl 13301

Description: The subgroup coset equivalence relation is compatible with addition when the subgroup is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqger.x	|- X = ( Base ` G )
eqger.r	|- .~ = ( G ~QG Y )
eqgcpbl.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
eqgcpbl	|- ( Y e. (NrmSGrp ` G ) -> ( ( A .~ C /\ B .~ D ) -> ( A .+ B ) .~ ( C .+ D ) ) )

Proof of Theorem eqgcpbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 13278	. . . . . 6 |- ( Y e. (NrmSGrp ` G ) -> Y e. (SubGrp ` G ) )
2	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> Y e. (SubGrp ` G ) )
3		subgrcl 13252	. . . . 5 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> G e. Grp )
5		simprl 529	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> A .~ C )
6		eqger.x	. . . . . . . . 9 |- X = ( Base ` G )
7	6	subgss 13247	. . . . . . . 8 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> Y C_ X )
8	2, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> Y C_ X )
9		eqid 2193	. . . . . . . 8 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
10		eqgcpbl.p	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` G )
11		eqger.r	. . . . . . . 8 |- .~ = ( G ~QG Y )
12	6, 9, 10, 11	eqgval 13296	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ Y C_ X ) -> ( A .~ C <-> ( A e. X /\ C e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) e. Y ) ) )
13	4, 8, 12	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( A .~ C <-> ( A e. X /\ C e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) e. Y ) ) )
14	5, 13	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( A e. X /\ C e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) e. Y ) )
15	14	simp1d 1011	. . . 4 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> A e. X )
16		simprr 531	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> B .~ D )
17	6, 9, 10, 11	eqgval 13296	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ Y C_ X ) -> ( B .~ D <-> ( B e. X /\ D e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ D ) e. Y ) ) )
18	4, 8, 17	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( B .~ D <-> ( B e. X /\ D e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ D ) e. Y ) ) )
19	16, 18	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( B e. X /\ D e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ D ) e. Y ) )
20	19	simp1d 1011	. . . 4 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> B e. X )
21	6, 10	grpcl 13083	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A .+ B ) e. X )
22	4, 15, 20, 21	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( A .+ B ) e. X )
23	14	simp2d 1012	. . . 4 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> C e. X )
24	19	simp2d 1012	. . . 4 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> D e. X )
25	6, 10	grpcl 13083	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ C e. X /\ D e. X ) -> ( C .+ D ) e. X )
26	4, 23, 24, 25	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( C .+ D ) e. X )
27	6, 10, 9	grpinvadd 13153	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` ( A .+ B ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( invg ` G ) ` A ) ) )
28	4, 15, 20, 27	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( A .+ B ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( invg ` G ) ` A ) ) )
29	28	oveq1d 5934	. . . . 5 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( A .+ B ) ) .+ ( C .+ D ) ) = ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( invg ` G ) ` A ) ) .+ ( C .+ D ) ) )
30	6, 9	grpinvcl 13123	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ B e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` B ) e. X )
31	4, 20, 30	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( invg ` G ) ` B ) e. X )
32	6, 9	grpinvcl 13123	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` A ) e. X )
33	4, 15, 32	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( invg ` G ) ` A ) e. X )
34	6, 10	grpass 13084	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) e. X /\ ( ( invg ` G ) ` A ) e. X /\ ( C .+ D ) e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( invg ` G ) ` A ) ) .+ ( C .+ D ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) ) )
35	4, 31, 33, 26, 34	syl13anc 1251	. . . . 5 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( invg ` G ) ` A ) ) .+ ( C .+ D ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) ) )
36	29, 35	eqtrd 2226	. . . 4 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( A .+ B ) ) .+ ( C .+ D ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) ) )
37	6, 10	grpass 13084	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) e. X /\ C e. X /\ D e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ D ) = ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) )
38	4, 33, 23, 24, 37	syl13anc 1251	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ D ) = ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) )
39	38	oveq1d 5934	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ D ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) = ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) )
40	6, 10	grpcl 13083	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( invg ` G ) ` A ) e. X /\ C e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) e. X )
41	4, 33, 23, 40	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) e. X )
42	6, 10	grpass 13084	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) e. X /\ D e. X /\ ( ( invg ` G ) ` B ) e. X ) ) -> ( ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ D ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) = ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) ) )
43	4, 41, 24, 31, 42	syl13anc 1251	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ D ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) = ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) ) )
44	39, 43	eqtr3d 2228	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) = ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) ) )
45	14	simp3d 1013	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) e. Y )
46	19	simp3d 1013	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ D ) e. Y )
47		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> Y e. (NrmSGrp ` G ) )
48	6, 10	nsgbi 13277	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( ( invg ` G ) ` B ) e. X /\ D e. X ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ D ) e. Y <-> ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) e. Y ) )
49	47, 31, 24, 48	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ D ) e. Y <-> ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) e. Y ) )
50	46, 49	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) e. Y )
51	10	subgcl 13257	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) e. Y /\ ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) e. Y ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) ) e. Y )
52	2, 45, 50, 51	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) ) e. Y )
53	44, 52	eqeltrd 2270	. . . . 5 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) e. Y )
54	6, 10	grpcl 13083	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( invg ` G ) ` A ) e. X /\ ( C .+ D ) e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) e. X )
55	4, 33, 26, 54	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) e. X )
56	6, 10	nsgbi 13277	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) e. X /\ ( ( invg ` G ) ` B ) e. X ) -> ( ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) e. Y <-> ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) ) e. Y ) )
57	47, 55, 31, 56	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) e. Y <-> ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) ) e. Y ) )
58	53, 57	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) ) e. Y )
59	36, 58	eqeltrd 2270	. . 3 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( A .+ B ) ) .+ ( C .+ D ) ) e. Y )
60	6, 9, 10, 11	eqgval 13296	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Y C_ X ) -> ( ( A .+ B ) .~ ( C .+ D ) <-> ( ( A .+ B ) e. X /\ ( C .+ D ) e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` ( A .+ B ) ) .+ ( C .+ D ) ) e. Y ) ) )
61	4, 8, 60	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( A .+ B ) .~ ( C .+ D ) <-> ( ( A .+ B ) e. X /\ ( C .+ D ) e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` ( A .+ B ) ) .+ ( C .+ D ) ) e. Y ) ) )
62	22, 26, 59, 61	mpbir3and 1182	. 2 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( A .+ B ) .~ ( C .+ D ) )
63	62	ex 115	1 |- ( Y e. (NrmSGrp ` G ) -> ( ( A .~ C /\ B .~ D ) -> ( A .+ B ) .~ ( C .+ D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   C_ wss 3154   class class class wbr 4030   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Basecbs 12621   +g cplusg 12698   Grpcgrp 13075   invgcminusg 13076  SubGrpcsubg 13240  NrmSGrpcnsg 13241   ~_QG cqg 13242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-iress 12629  df-plusg 12711  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079  df-subg 13243  df-nsg 13244  df-eqg 13245

This theorem is referenced by:  qusgrp  13305  qusadd  13307  qus2idrng  14024  qus1  14025