Theorem eqgcpbl 14008

Description: The subgroup coset equivalence relation is compatible with addition when the subgroup is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqger.x	|- X = ( Base ` G )
eqger.r	|- .~ = ( G ~QG Y )
eqgcpbl.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
eqgcpbl	|- ( Y e. (NrmSGrp ` G ) -> ( ( A .~ C /\ B .~ D ) -> ( A .+ B ) .~ ( C .+ D ) ) )

Proof of Theorem eqgcpbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 13985	. . . . . 6 |- ( Y e. (NrmSGrp ` G ) -> Y e. (SubGrp ` G ) )
2	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> Y e. (SubGrp ` G ) )
3		subgrcl 13959	. . . . 5 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> G e. Grp )
5		simprl 535	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> A .~ C )
6		eqger.x	. . . . . . . . 9 |- X = ( Base ` G )
7	6	subgss 13954	. . . . . . . 8 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> Y C_ X )
8	2, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> Y C_ X )
9		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
10		eqgcpbl.p	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` G )
11		eqger.r	. . . . . . . 8 |- .~ = ( G ~QG Y )
12	6, 9, 10, 11	eqgval 14003	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ Y C_ X ) -> ( A .~ C <-> ( A e. X /\ C e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) e. Y ) ) )
13	4, 8, 12	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( A .~ C <-> ( A e. X /\ C e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) e. Y ) ) )
14	5, 13	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( A e. X /\ C e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) e. Y ) )
15	14	simp1d 1040	. . . 4 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> A e. X )
16		simprr 537	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> B .~ D )
17	6, 9, 10, 11	eqgval 14003	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ Y C_ X ) -> ( B .~ D <-> ( B e. X /\ D e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ D ) e. Y ) ) )
18	4, 8, 17	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( B .~ D <-> ( B e. X /\ D e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ D ) e. Y ) ) )
19	16, 18	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( B e. X /\ D e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ D ) e. Y ) )
20	19	simp1d 1040	. . . 4 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> B e. X )
21	6, 10	grpcl 13790	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A .+ B ) e. X )
22	4, 15, 20, 21	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( A .+ B ) e. X )
23	14	simp2d 1041	. . . 4 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> C e. X )
24	19	simp2d 1041	. . . 4 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> D e. X )
25	6, 10	grpcl 13790	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ C e. X /\ D e. X ) -> ( C .+ D ) e. X )
26	4, 23, 24, 25	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( C .+ D ) e. X )
27	6, 10, 9	grpinvadd 13860	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` ( A .+ B ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( invg ` G ) ` A ) ) )
28	4, 15, 20, 27	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( A .+ B ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( invg ` G ) ` A ) ) )
29	28	oveq1d 6090	. . . . 5 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( A .+ B ) ) .+ ( C .+ D ) ) = ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( invg ` G ) ` A ) ) .+ ( C .+ D ) ) )
30	6, 9	grpinvcl 13830	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ B e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` B ) e. X )
31	4, 20, 30	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( invg ` G ) ` B ) e. X )
32	6, 9	grpinvcl 13830	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` A ) e. X )
33	4, 15, 32	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( invg ` G ) ` A ) e. X )
34	6, 10	grpass 13791	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( invg ` G ) ` B ) e. X /\ ( ( invg ` G ) ` A ) e. X /\ ( C .+ D ) e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( invg ` G ) ` A ) ) .+ ( C .+ D ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) ) )
35	4, 31, 33, 26, 34	syl13anc 1280	. . . . 5 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( invg ` G ) ` A ) ) .+ ( C .+ D ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) ) )
36	29, 35	eqtrd 2271	. . . 4 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( A .+ B ) ) .+ ( C .+ D ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) ) )
37	6, 10	grpass 13791	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) e. X /\ C e. X /\ D e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ D ) = ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) )
38	4, 33, 23, 24, 37	syl13anc 1280	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ D ) = ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) )
39	38	oveq1d 6090	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ D ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) = ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) )
40	6, 10	grpcl 13790	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( invg ` G ) ` A ) e. X /\ C e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) e. X )
41	4, 33, 23, 40	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) e. X )
42	6, 10	grpass 13791	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) e. X /\ D e. X /\ ( ( invg ` G ) ` B ) e. X ) ) -> ( ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ D ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) = ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) ) )
43	4, 41, 24, 31, 42	syl13anc 1280	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ D ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) = ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) ) )
44	39, 43	eqtr3d 2273	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) = ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) ) )
45	14	simp3d 1042	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) e. Y )
46	19	simp3d 1042	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ D ) e. Y )
47		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> Y e. (NrmSGrp ` G ) )
48	6, 10	nsgbi 13984	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( ( invg ` G ) ` B ) e. X /\ D e. X ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ D ) e. Y <-> ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) e. Y ) )
49	47, 31, 24, 48	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ D ) e. Y <-> ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) e. Y ) )
50	46, 49	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) e. Y )
51	10	subgcl 13964	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) e. Y /\ ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) e. Y ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) ) e. Y )
52	2, 45, 50, 51	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ C ) .+ ( D .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) ) e. Y )
53	44, 52	eqeltrd 2315	. . . . 5 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) e. Y )
54	6, 10	grpcl 13790	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( invg ` G ) ` A ) e. X /\ ( C .+ D ) e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) e. X )
55	4, 33, 26, 54	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) e. X )
56	6, 10	nsgbi 13984	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) e. X /\ ( ( invg ` G ) ` B ) e. X ) -> ( ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) e. Y <-> ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) ) e. Y ) )
57	47, 55, 31, 56	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) e. Y <-> ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) ) e. Y ) )
58	53, 57	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` B ) .+ ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( C .+ D ) ) ) e. Y )
59	36, 58	eqeltrd 2315	. . 3 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( A .+ B ) ) .+ ( C .+ D ) ) e. Y )
60	6, 9, 10, 11	eqgval 14003	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Y C_ X ) -> ( ( A .+ B ) .~ ( C .+ D ) <-> ( ( A .+ B ) e. X /\ ( C .+ D ) e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` ( A .+ B ) ) .+ ( C .+ D ) ) e. Y ) ) )
61	4, 8, 60	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( ( A .+ B ) .~ ( C .+ D ) <-> ( ( A .+ B ) e. X /\ ( C .+ D ) e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` ( A .+ B ) ) .+ ( C .+ D ) ) e. Y ) ) )
62	22, 26, 59, 61	mpbir3and 1211	. 2 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( A .~ C /\ B .~ D ) ) -> ( A .+ B ) .~ ( C .+ D ) )
63	62	ex 115	1 |- ( Y e. (NrmSGrp ` G ) -> ( ( A .~ C /\ B .~ D ) -> ( A .+ B ) .~ ( C .+ D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   C_ wss 3220   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Basecbs 13330   +g cplusg 13408   Grpcgrp 13782   invgcminusg 13783  SubGrpcsubg 13947  NrmSGrpcnsg 13948   ~_QG cqg 13949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-iress 13338  df-plusg 13421  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-minusg 13786  df-subg 13950  df-nsg 13951  df-eqg 13952

This theorem is referenced by:  qusgrp  14012  qusadd  14014  qus2idrng  14834  qus1  14835