Theorem grpplusgg 13541

Description: The operation of a constructed group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpfn.g	|- G = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. }

Assertion

Ref	Expression
grpplusgg	|- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> .+ = ( +g ` G ) )

Proof of Theorem grpplusgg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpfn.g	. 2 |- G = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. }
2		df-plusg 13503	. 2 |- +g = Slot 2
3		1lt2 9485	. 2 |- 1 < 2
4		2nn 9477	. 2 |- 2 e. NN
5	1, 2, 3, 4	2stropg 13534	1 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> .+ = ( +g ` G ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cpr 3710   <.cop 3712   ` cfv 5380   2c2 9364   ndxcnx 13407   Basecbs 13410   +g cplusg 13490

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-ov 6091  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-2 9372  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503

This theorem is used by:  mgm1  13749  sgrp1  13785  mnd1  13821  mnd1id  13822  grppropstrg  13883  grp1  13970  ring1  14471