Theorem grpbaseg 13340

Description: The base set of a constructed group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpfn.g	|- G = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. }

Assertion

Ref	Expression
grpbaseg	|- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> B = ( Base ` G ) )

Proof of Theorem grpbaseg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpfn.g	. 2 |- G = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. }
2		df-plusg 13303	. 2 |- +g = Slot 2
3		1lt2 9407	. 2 |- 1 < 2
4		2nn 9399	. 2 |- 2 e. NN
5	1, 2, 3, 4	2strbasg 13333	1 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> B = ( Base ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   {cpr 3690   <.cop 3692   ` cfv 5352   2c2 9288   ndxcnx 13209   Basecbs 13212   +g cplusg 13290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-ov 6053  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-plusg 13303

This theorem is referenced by:  mgm1  13583  sgrp1  13624  mnd1  13668  mnd1id  13669  grppropstrg  13732  grp1  13819  grp1inv  13820  ring1  14203