Theorem ressplusgd 12590

Description: +g is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressplusgd.1	|- ( ph -> H = ( G ↾s A ) )
ressplusgd.2	|- ( ph -> .+ = ( +g ` G ) )
ressplusgd.a	|- ( ph -> A e. V )
ressplusgd.g	|- ( ph -> G e. W )

Assertion

Ref	Expression
ressplusgd	|- ( ph -> .+ = ( +g ` H ) )

Proof of Theorem ressplusgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2177	. . 3 |- ( G ↾s A ) = ( G ↾s A )
2		eqid 2177	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		plusgslid 12574	. . 3 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
4		basendxnplusgndx 12586	. . . 4 |- ( Base ` ndx ) =/= ( +g ` ndx )
5	4	necomi 2432	. . 3 |- ( +g ` ndx ) =/= ( Base ` ndx )
6		ressplusgd.g	. . 3 |- ( ph -> G e. W )
7		ressplusgd.a	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
8	1, 2, 3, 5, 6, 7	resseqnbasd 12535	. 2 |- ( ph -> ( +g ` G ) = ( +g ` ( G ↾s A ) ) )
9		ressplusgd.2	. 2 |- ( ph -> .+ = ( +g ` G ) )
10		ressplusgd.1	. . 3 |- ( ph -> H = ( G ↾s A ) )
11	10	fveq2d 5521	. 2 |- ( ph -> ( +g ` H ) = ( +g ` ( G ↾s A ) ) )
12	8, 9, 11	3eqtr4d 2220	1 |- ( ph -> .+ = ( +g ` H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5218  (class class class)co 5878   ndxcnx 12462   Basecbs 12465   ↾_s cress 12466   +g cplusg 12539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltadd 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-ltxr 8000  df-inn 8923  df-2 8981  df-ndx 12468  df-slot 12469  df-base 12471  df-sets 12472  df-iress 12473  df-plusg 12552

This theorem is referenced by:  issubmnd  12849  ress0g  12850  grpressid  12937  subg0  13046  subginv  13047  subgcl  13050  subgsub  13052  subgmulg  13054  issubg2m  13055  nmznsg  13079  subcmnd  13135  ringidss  13218  ringressid  13244  unitgrp  13291  unitlinv  13301  unitrinv  13302  invrpropdg  13324  subrgugrp  13367  issubrg2  13368  subrgpropd  13375  islss3  13472  sralmod  13542  zringplusg  13627