Theorem ressplusgd 13230

Description: +g is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressplusgd.1	|- ( ph -> H = ( G ↾s A ) )
ressplusgd.2	|- ( ph -> .+ = ( +g ` G ) )
ressplusgd.a	|- ( ph -> A e. V )
ressplusgd.g	|- ( ph -> G e. W )

Assertion

Ref	Expression
ressplusgd	|- ( ph -> .+ = ( +g ` H ) )

Proof of Theorem ressplusgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 |- ( G ↾s A ) = ( G ↾s A )
2		eqid 2231	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		plusgslid 13213	. . 3 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
4		basendxnplusgndx 13226	. . . 4 |- ( Base ` ndx ) =/= ( +g ` ndx )
5	4	necomi 2487	. . 3 |- ( +g ` ndx ) =/= ( Base ` ndx )
6		ressplusgd.g	. . 3 |- ( ph -> G e. W )
7		ressplusgd.a	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
8	1, 2, 3, 5, 6, 7	resseqnbasd 13174	. 2 |- ( ph -> ( +g ` G ) = ( +g ` ( G ↾s A ) ) )
9		ressplusgd.2	. 2 |- ( ph -> .+ = ( +g ` G ) )
10		ressplusgd.1	. . 3 |- ( ph -> H = ( G ↾s A ) )
11	10	fveq2d 5643	. 2 |- ( ph -> ( +g ` H ) = ( +g ` ( G ↾s A ) ) )
12	8, 9, 11	3eqtr4d 2274	1 |- ( ph -> .+ = ( +g ` H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   ndxcnx 13097   Basecbs 13100   ↾_s cress 13101   +g cplusg 13178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-sets 13107  df-iress 13108  df-plusg 13191

This theorem is referenced by:  gsumress  13496  issubmnd  13543  ress0g  13544  resmhm  13588  resmhm2  13589  resmhm2b  13590  grpressid  13662  submmulg  13771  subg0  13785  subginv  13786  subgcl  13789  subgsub  13791  subgmulg  13793  issubg2m  13794  nmznsg  13818  resghm  13865  subgabl  13937  subcmnd  13938  ablressid  13940  rngressid  13986  ringidss  14061  ringressid  14095  opprsubgg  14116  unitgrp  14149  unitlinv  14159  unitrinv  14160  invrpropdg  14182  rhmunitinv  14211  issubrng2  14243  subrngpropd  14249  subrgugrp  14273  issubrg2  14274  subrgpropd  14286  islss3  14412  sralmod  14483  rnglidlrng  14531  zringplusg  14630  expghmap  14640  mplplusgg  14736