Theorem ressplusgd 13178

Description: +g is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressplusgd.1	|- ( ph -> H = ( G ↾s A ) )
ressplusgd.2	|- ( ph -> .+ = ( +g ` G ) )
ressplusgd.a	|- ( ph -> A e. V )
ressplusgd.g	|- ( ph -> G e. W )

Assertion

Ref	Expression
ressplusgd	|- ( ph -> .+ = ( +g ` H ) )

Proof of Theorem ressplusgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 |- ( G ↾s A ) = ( G ↾s A )
2		eqid 2229	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		plusgslid 13161	. . 3 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
4		basendxnplusgndx 13174	. . . 4 |- ( Base ` ndx ) =/= ( +g ` ndx )
5	4	necomi 2485	. . 3 |- ( +g ` ndx ) =/= ( Base ` ndx )
6		ressplusgd.g	. . 3 |- ( ph -> G e. W )
7		ressplusgd.a	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
8	1, 2, 3, 5, 6, 7	resseqnbasd 13122	. 2 |- ( ph -> ( +g ` G ) = ( +g ` ( G ↾s A ) ) )
9		ressplusgd.2	. 2 |- ( ph -> .+ = ( +g ` G ) )
10		ressplusgd.1	. . 3 |- ( ph -> H = ( G ↾s A ) )
11	10	fveq2d 5633	. 2 |- ( ph -> ( +g ` H ) = ( +g ` ( G ↾s A ) ) )
12	8, 9, 11	3eqtr4d 2272	1 |- ( ph -> .+ = ( +g ` H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   ndxcnx 13045   Basecbs 13048   ↾_s cress 13049   +g cplusg 13126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-ltxr 8197  df-inn 9122  df-2 9180  df-ndx 13051  df-slot 13052  df-base 13054  df-sets 13055  df-iress 13056  df-plusg 13139

This theorem is referenced by:  gsumress  13444  issubmnd  13491  ress0g  13492  resmhm  13536  resmhm2  13537  resmhm2b  13538  grpressid  13610  submmulg  13719  subg0  13733  subginv  13734  subgcl  13737  subgsub  13739  subgmulg  13741  issubg2m  13742  nmznsg  13766  resghm  13813  subgabl  13885  subcmnd  13886  ablressid  13888  rngressid  13933  ringidss  14008  ringressid  14042  opprsubgg  14063  unitgrp  14096  unitlinv  14106  unitrinv  14107  invrpropdg  14129  rhmunitinv  14158  issubrng2  14190  subrngpropd  14196  subrgugrp  14220  issubrg2  14221  subrgpropd  14233  islss3  14359  sralmod  14430  rnglidlrng  14478  zringplusg  14577  expghmap  14587  mplplusgg  14683