Theorem halfpos 9180

Description: A positive number is greater than its half. (Contributed by NM, 28-Oct-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
halfpos	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ (𝐴 / 2) < 𝐴))

Proof of Theorem halfpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfpos2 9179	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 / 2)))
2		rehalfcl 9176	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3	2, 2	ltaddposd 8516	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (𝐴 / 2) ↔ (𝐴 / 2) < ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2))))
4		recn 7974	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
5		2halves 9178	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)) = 𝐴)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)) = 𝐴)
7	6	breq2d 4030	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 / 2) < ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)) ↔ (𝐴 / 2) < 𝐴))
8	1, 3, 7	3bitrd 214	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ (𝐴 / 2) < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5896  ℂcc 7839  ℝcr 7840  0cc0 7841   + caddc 7844   < clt 8022   / cdiv 8659  2c2 9000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-2 9008

This theorem is referenced by:  nominpos  9186  rphalflt  9713  ssblex  14388