Theorem halfpos 9519

Description: A positive number is greater than its half. (Contributed by NM, 28-Oct-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
halfpos	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ (𝐴 / 2) < 𝐴))

Proof of Theorem halfpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfpos2 9518	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 / 2)))
2		rehalfcl 9515	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3	2, 2	ltaddposd 8851	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (𝐴 / 2) ↔ (𝐴 / 2) < ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2))))
4		recn 8306	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
5		2halves 9517	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)) = 𝐴)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)) = 𝐴)
7	6	breq2d 4140	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 / 2) < ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)) ↔ (𝐴 / 2) < 𝐴))
8	1, 3, 7	3bitrd 214	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ (𝐴 / 2) < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  (class class class)co 6079  ℂcc 8171  ℝcr 8172  0cc0 8173   + caddc 8176   < clt 8354   / cdiv 8996  2c2 9338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-2 9346

This theorem is referenced by:  nominpos  9526  rphalflt  10067  ssblex  15515