Theorem nominpos 9441

Description: There is no smallest positive real number. (Contributed by NM, 28-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nominpos	|- -. E. x e. RR ( 0 < x /\ -. E. y e. RR ( 0 < y /\ y < x ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem nominpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcl 9430	. . . 4 |- ( x e. RR -> ( x / 2 ) e. RR )
2		2re 9272	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
3		2pos 9293	. . . . . . 7 |- 0 < 2
4		divgt0 9111	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. RR /\ 0 < x ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 < ( x / 2 ) )
5	2, 3, 4	mpanr12 439	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ 0 < x ) -> 0 < ( x / 2 ) )
6	5	ex 115	. . . . 5 |- ( x e. RR -> ( 0 < x -> 0 < ( x / 2 ) ) )
7		halfpos 9434	. . . . . 6 |- ( x e. RR -> ( 0 < x <-> ( x / 2 ) < x ) )
8	7	biimpd 144	. . . . 5 |- ( x e. RR -> ( 0 < x -> ( x / 2 ) < x ) )
9	6, 8	jcad 307	. . . 4 |- ( x e. RR -> ( 0 < x -> ( 0 < ( x / 2 ) /\ ( x / 2 ) < x ) ) )
10		breq2 4097	. . . . . 6 |- ( y = ( x / 2 ) -> ( 0 < y <-> 0 < ( x / 2 ) ) )
11		breq1 4096	. . . . . 6 |- ( y = ( x / 2 ) -> ( y < x <-> ( x / 2 ) < x ) )
12	10, 11	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( y = ( x / 2 ) -> ( ( 0 < y /\ y < x ) <-> ( 0 < ( x / 2 ) /\ ( x / 2 ) < x ) ) )
13	12	rspcev 2911	. . . 4 |- ( ( ( x / 2 ) e. RR /\ ( 0 < ( x / 2 ) /\ ( x / 2 ) < x ) ) -> E. y e. RR ( 0 < y /\ y < x ) )
14	1, 9, 13	syl6an 1479	. . 3 |- ( x e. RR -> ( 0 < x -> E. y e. RR ( 0 < y /\ y < x ) ) )
15		imanim 695	. . 3 |- ( ( 0 < x -> E. y e. RR ( 0 < y /\ y < x ) ) -> -. ( 0 < x /\ -. E. y e. RR ( 0 < y /\ y < x ) ) )
16	14, 15	syl 14	. 2 |- ( x e. RR -> -. ( 0 < x /\ -. E. y e. RR ( 0 < y /\ y < x ) ) )
17	16	nrex 2625	1 |- -. E. x e. RR ( 0 < x /\ -. E. y e. RR ( 0 < y /\ y < x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   E.wrex 2512   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   RRcr 8091   0cc0 8092   < clt 8273   / cdiv 8911   2c2 9253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-2 9261

This theorem is referenced by: (None)