Theorem nominpos 9115

Description: There is no smallest positive real number. (Contributed by NM, 28-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nominpos	|- -. E. x e. RR ( 0 < x /\ -. E. y e. RR ( 0 < y /\ y < x ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem nominpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcl 9105	. . . 4 |- ( x e. RR -> ( x / 2 ) e. RR )
2		2re 8948	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
3		2pos 8969	. . . . . . 7 |- 0 < 2
4		divgt0 8788	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. RR /\ 0 < x ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 < ( x / 2 ) )
5	2, 3, 4	mpanr12 437	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ 0 < x ) -> 0 < ( x / 2 ) )
6	5	ex 114	. . . . 5 |- ( x e. RR -> ( 0 < x -> 0 < ( x / 2 ) ) )
7		halfpos 9109	. . . . . 6 |- ( x e. RR -> ( 0 < x <-> ( x / 2 ) < x ) )
8	7	biimpd 143	. . . . 5 |- ( x e. RR -> ( 0 < x -> ( x / 2 ) < x ) )
9	6, 8	jcad 305	. . . 4 |- ( x e. RR -> ( 0 < x -> ( 0 < ( x / 2 ) /\ ( x / 2 ) < x ) ) )
10		breq2 3993	. . . . . 6 |- ( y = ( x / 2 ) -> ( 0 < y <-> 0 < ( x / 2 ) ) )
11		breq1 3992	. . . . . 6 |- ( y = ( x / 2 ) -> ( y < x <-> ( x / 2 ) < x ) )
12	10, 11	anbi12d 470	. . . . 5 |- ( y = ( x / 2 ) -> ( ( 0 < y /\ y < x ) <-> ( 0 < ( x / 2 ) /\ ( x / 2 ) < x ) ) )
13	12	rspcev 2834	. . . 4 |- ( ( ( x / 2 ) e. RR /\ ( 0 < ( x / 2 ) /\ ( x / 2 ) < x ) ) -> E. y e. RR ( 0 < y /\ y < x ) )
14	1, 9, 13	syl6an 1427	. . 3 |- ( x e. RR -> ( 0 < x -> E. y e. RR ( 0 < y /\ y < x ) ) )
15		imanim 683	. . 3 |- ( ( 0 < x -> E. y e. RR ( 0 < y /\ y < x ) ) -> -. ( 0 < x /\ -. E. y e. RR ( 0 < y /\ y < x ) ) )
16	14, 15	syl 14	. 2 |- ( x e. RR -> -. ( 0 < x /\ -. E. y e. RR ( 0 < y /\ y < x ) ) )
17	16	nrex 2562	1 |- -. E. x e. RR ( 0 < x /\ -. E. y e. RR ( 0 < y /\ y < x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   E.wrex 2449   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   RRcr 7773   0cc0 7774   < clt 7954   / cdiv 8589   2c2 8929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-2 8937

This theorem is referenced by: (None)