Theorem prodrbdclem 12077

Description: Lemma for prodrbdc 12080. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodmo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
prodmo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
prodrbdc.dc	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
prodrb.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
prodrbdclem	|- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( x. , F ) |` ( ZZ>= ` N ) ) = seq N ( x. , F ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   ph, k   k, M   k, N

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem prodrbdclem

Dummy variables n z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mullid 8140	. . 3 |- ( n e. CC -> ( 1 x. n ) = n )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. CC ) -> ( 1 x. n ) = n )
3		1cnd 8158	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> 1 e. CC )
4		prodrb.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5	4	adantr 276	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
6		eluzelz 9727	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ZZ )
8		prodrbdc.dc	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
9		exmiddc 841	. . . . . . . . 9 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
11		iftrue 3607	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) = B )
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) = B )
13		prodmo.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
14	12, 13	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
15	14	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC ) )
16		iffalse 3610	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) = 1 )
17		ax-1cn 8088	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
18	16, 17	eqeltrdi 2320	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC ) )
20	15, 19	jaod 722	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( k e. A \/ -. k e. A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC ) )
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. A \/ -. k e. A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC ) )
22	10, 21	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
23	22	ralrimiva 2603	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
24		nfcv 2372	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k N
25	24	nfel1 2383	. . . . . . . . 9 |- F/ k N e. A
26		nfcsb1v 3157	. . . . . . . . 9 |- F/_ k [_ N / k ]_ B
27		nfcv 2372	. . . . . . . . 9 |- F/_ k 1
28	25, 26, 27	nfif 3631	. . . . . . . 8 |- F/_ k if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 )
29	28	nfel1 2383	. . . . . . 7 |- F/ k if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) e. CC
30		eleq1 2292	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> ( k e. A <-> N e. A ) )
31		csbeq1a 3133	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> B = [_ N / k ]_ B )
32	30, 31	ifbieq1d 3625	. . . . . . . 8 |- ( k = N -> if ( k e. A , B , 1 ) = if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) )
33	32	eleq1d 2298	. . . . . . 7 |- ( k = N -> ( if ( k e. A , B , 1 ) e. CC <-> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) e. CC ) )
34	29, 33	rspc 2901	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 1 ) e. CC -> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) e. CC ) )
35	4, 23, 34	sylc 62	. . . . 5 |- ( ph -> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) e. CC )
36	35	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) e. CC )
37		prodmo.1	. . . . 5 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
38	24, 28, 32, 37	fvmptf 5726	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) e. CC ) -> ( F ` N ) = if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) )
39	7, 36, 38	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` N ) = if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) )
40	39, 36	eqeltrd 2306	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` N ) e. CC )
41		elfzelz 10217	. . . 4 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> n e. ZZ )
42		elfzuz 10213	. . . . . 6 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
43	42	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
44	23	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
45		nfv 1574	. . . . . . . 8 |- F/ k n e. A
46		nfcsb1v 3157	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ n / k ]_ B
47	45, 46, 27	nfif 3631	. . . . . . 7 |- F/_ k if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 )
48	47	nfel1 2383	. . . . . 6 |- F/ k if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) e. CC
49		eleq1w 2290	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( k e. A <-> n e. A ) )
50		csbeq1a 3133	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> B = [_ n / k ]_ B )
51	49, 50	ifbieq1d 3625	. . . . . . 7 |- ( k = n -> if ( k e. A , B , 1 ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) )
52	51	eleq1d 2298	. . . . . 6 |- ( k = n -> ( if ( k e. A , B , 1 ) e. CC <-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) e. CC ) )
53	48, 52	rspc 2901	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 1 ) e. CC -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) e. CC ) )
54	43, 44, 53	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) e. CC )
55		nfcv 2372	. . . . 5 |- F/_ k n
56	55, 47, 51, 37	fvmptf 5726	. . . 4 |- ( ( n e. ZZ /\ if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) e. CC ) -> ( F ` n ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) )
57	41, 54, 56	syl2an2 596	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` n ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) )
58		uznfz 10295	. . . . . . 7 |- ( n e. ( ZZ>= ` N ) -> -. n e. ( M ... ( N - 1 ) ) )
59	58	con2i 630	. . . . . 6 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> -. n e. ( ZZ>= ` N ) )
60	59	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> -. n e. ( ZZ>= ` N ) )
61		ssel 3218	. . . . . 6 |- ( A C_ ( ZZ>= ` N ) -> ( n e. A -> n e. ( ZZ>= ` N ) ) )
62	61	ad2antlr 489	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( n e. A -> n e. ( ZZ>= ` N ) ) )
63	60, 62	mtod 667	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> -. n e. A )
64	63	iffalsed 3612	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) = 1 )
65	57, 64	eqtrd 2262	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` n ) = 1 )
66		eluzelz 9727	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
67		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
68	23	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
69	67, 68, 53	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) e. CC )
70	66, 69, 56	syl2an2 596	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` n ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) )
71	70, 69	eqeltrd 2306	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` n ) e. CC )
72		mulcl 8122	. . 3 |- ( ( n e. CC /\ z e. CC ) -> ( n x. z ) e. CC )
73	72	adantl 277	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( n e. CC /\ z e. CC ) ) -> ( n x. z ) e. CC )
74	2, 3, 5, 40, 65, 71, 73	seq3id 10742	1 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( x. , F ) |` ( ZZ>= ` N ) ) = seq N ( x. , F ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   [_csb 3124   C_ wss 3197   ifcif 3602   |-> cmpt 4144   |` cres 4720   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   CCcc 7993   1c1 7996   x. cmul 8000   - cmin 8313   ZZcz 9442   ZZ>=cuz 9718   ...cfz 10200   seqcseq 10664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-seqfrec 10665

This theorem is referenced by:  prodrbdclem2  12079