Theorem prodrbdclem 11545

Description: Lemma for prodrbdc 11548. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodmo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
prodmo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
prodrbdc.dc	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
prodrb.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
prodrbdclem	|- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( x. , F ) |` ( ZZ>= ` N ) ) = seq N ( x. , F ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   ph, k   k, M   k, N

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem prodrbdclem

Dummy variables n z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulid2 7930	. . 3 |- ( n e. CC -> ( 1 x. n ) = n )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. CC ) -> ( 1 x. n ) = n )
3		1cnd 7948	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> 1 e. CC )
4		prodrb.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5	4	adantr 276	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
6		eluzelz 9508	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ZZ )
8		prodrbdc.dc	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
9		exmiddc 836	. . . . . . . . 9 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
11		iftrue 3537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) = B )
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) = B )
13		prodmo.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
14	12, 13	eqeltrd 2252	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
15	14	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC ) )
16		iffalse 3540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) = 1 )
17		ax-1cn 7879	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
18	16, 17	eqeltrdi 2266	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC ) )
20	15, 19	jaod 717	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( k e. A \/ -. k e. A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC ) )
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. A \/ -. k e. A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC ) )
22	10, 21	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
23	22	ralrimiva 2548	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
24		nfcv 2317	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k N
25	24	nfel1 2328	. . . . . . . . 9 |- F/ k N e. A
26		nfcsb1v 3088	. . . . . . . . 9 |- F/_ k [_ N / k ]_ B
27		nfcv 2317	. . . . . . . . 9 |- F/_ k 1
28	25, 26, 27	nfif 3560	. . . . . . . 8 |- F/_ k if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 )
29	28	nfel1 2328	. . . . . . 7 |- F/ k if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) e. CC
30		eleq1 2238	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> ( k e. A <-> N e. A ) )
31		csbeq1a 3064	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> B = [_ N / k ]_ B )
32	30, 31	ifbieq1d 3554	. . . . . . . 8 |- ( k = N -> if ( k e. A , B , 1 ) = if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) )
33	32	eleq1d 2244	. . . . . . 7 |- ( k = N -> ( if ( k e. A , B , 1 ) e. CC <-> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) e. CC ) )
34	29, 33	rspc 2833	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 1 ) e. CC -> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) e. CC ) )
35	4, 23, 34	sylc 62	. . . . 5 |- ( ph -> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) e. CC )
36	35	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) e. CC )
37		prodmo.1	. . . . 5 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
38	24, 28, 32, 37	fvmptf 5600	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) e. CC ) -> ( F ` N ) = if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) )
39	7, 36, 38	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` N ) = if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) )
40	39, 36	eqeltrd 2252	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` N ) e. CC )
41		elfzelz 9993	. . . 4 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> n e. ZZ )
42		elfzuz 9989	. . . . . 6 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
43	42	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
44	23	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
45		nfv 1526	. . . . . . . 8 |- F/ k n e. A
46		nfcsb1v 3088	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ n / k ]_ B
47	45, 46, 27	nfif 3560	. . . . . . 7 |- F/_ k if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 )
48	47	nfel1 2328	. . . . . 6 |- F/ k if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) e. CC
49		eleq1w 2236	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( k e. A <-> n e. A ) )
50		csbeq1a 3064	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> B = [_ n / k ]_ B )
51	49, 50	ifbieq1d 3554	. . . . . . 7 |- ( k = n -> if ( k e. A , B , 1 ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) )
52	51	eleq1d 2244	. . . . . 6 |- ( k = n -> ( if ( k e. A , B , 1 ) e. CC <-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) e. CC ) )
53	48, 52	rspc 2833	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 1 ) e. CC -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) e. CC ) )
54	43, 44, 53	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) e. CC )
55		nfcv 2317	. . . . 5 |- F/_ k n
56	55, 47, 51, 37	fvmptf 5600	. . . 4 |- ( ( n e. ZZ /\ if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) e. CC ) -> ( F ` n ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) )
57	41, 54, 56	syl2an2 594	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` n ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) )
58		uznfz 10071	. . . . . . 7 |- ( n e. ( ZZ>= ` N ) -> -. n e. ( M ... ( N - 1 ) ) )
59	58	con2i 627	. . . . . 6 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> -. n e. ( ZZ>= ` N ) )
60	59	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> -. n e. ( ZZ>= ` N ) )
61		ssel 3147	. . . . . 6 |- ( A C_ ( ZZ>= ` N ) -> ( n e. A -> n e. ( ZZ>= ` N ) ) )
62	61	ad2antlr 489	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( n e. A -> n e. ( ZZ>= ` N ) ) )
63	60, 62	mtod 663	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> -. n e. A )
64	63	iffalsed 3542	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) = 1 )
65	57, 64	eqtrd 2208	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` n ) = 1 )
66		eluzelz 9508	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
67		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
68	23	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
69	67, 68, 53	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) e. CC )
70	66, 69, 56	syl2an2 594	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` n ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) )
71	70, 69	eqeltrd 2252	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` n ) e. CC )
72		mulcl 7913	. . 3 |- ( ( n e. CC /\ z e. CC ) -> ( n x. z ) e. CC )
73	72	adantl 277	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( n e. CC /\ z e. CC ) ) -> ( n x. z ) e. CC )
74	2, 3, 5, 40, 65, 71, 73	seq3id 10476	1 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( x. , F ) |` ( ZZ>= ` N ) ) = seq N ( x. , F ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2146   A.wral 2453   [_csb 3055   C_ wss 3127   ifcif 3532   |-> cmpt 4059   |` cres 4622   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   CCcc 7784   1c1 7787   x. cmul 7791   - cmin 8102   ZZcz 9224   ZZ>=cuz 9499   ...cfz 9977   seqcseq 10413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8891  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-fz 9978  df-fzo 10111  df-seqfrec 10414

This theorem is referenced by:  prodrbdclem2  11547