Theorem prodrbdclem 11967

Description: Lemma for prodrbdc 11970. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodmo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
prodmo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
prodrbdc.dc	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
prodrb.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
prodrbdclem	|- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( x. , F ) |` ( ZZ>= ` N ) ) = seq N ( x. , F ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   ph, k   k, M   k, N

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem prodrbdclem

Dummy variables n z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mullid 8100	. . 3 |- ( n e. CC -> ( 1 x. n ) = n )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. CC ) -> ( 1 x. n ) = n )
3		1cnd 8118	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> 1 e. CC )
4		prodrb.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5	4	adantr 276	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
6		eluzelz 9687	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ZZ )
8		prodrbdc.dc	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
9		exmiddc 838	. . . . . . . . 9 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
11		iftrue 3580	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) = B )
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) = B )
13		prodmo.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
14	12, 13	eqeltrd 2283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
15	14	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC ) )
16		iffalse 3583	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) = 1 )
17		ax-1cn 8048	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
18	16, 17	eqeltrdi 2297	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC ) )
20	15, 19	jaod 719	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( k e. A \/ -. k e. A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC ) )
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. A \/ -. k e. A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC ) )
22	10, 21	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
23	22	ralrimiva 2580	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
24		nfcv 2349	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k N
25	24	nfel1 2360	. . . . . . . . 9 |- F/ k N e. A
26		nfcsb1v 3130	. . . . . . . . 9 |- F/_ k [_ N / k ]_ B
27		nfcv 2349	. . . . . . . . 9 |- F/_ k 1
28	25, 26, 27	nfif 3604	. . . . . . . 8 |- F/_ k if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 )
29	28	nfel1 2360	. . . . . . 7 |- F/ k if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) e. CC
30		eleq1 2269	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> ( k e. A <-> N e. A ) )
31		csbeq1a 3106	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> B = [_ N / k ]_ B )
32	30, 31	ifbieq1d 3598	. . . . . . . 8 |- ( k = N -> if ( k e. A , B , 1 ) = if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) )
33	32	eleq1d 2275	. . . . . . 7 |- ( k = N -> ( if ( k e. A , B , 1 ) e. CC <-> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) e. CC ) )
34	29, 33	rspc 2875	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 1 ) e. CC -> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) e. CC ) )
35	4, 23, 34	sylc 62	. . . . 5 |- ( ph -> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) e. CC )
36	35	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) e. CC )
37		prodmo.1	. . . . 5 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
38	24, 28, 32, 37	fvmptf 5690	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) e. CC ) -> ( F ` N ) = if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) )
39	7, 36, 38	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` N ) = if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) )
40	39, 36	eqeltrd 2283	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` N ) e. CC )
41		elfzelz 10177	. . . 4 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> n e. ZZ )
42		elfzuz 10173	. . . . . 6 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
43	42	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
44	23	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
45		nfv 1552	. . . . . . . 8 |- F/ k n e. A
46		nfcsb1v 3130	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ n / k ]_ B
47	45, 46, 27	nfif 3604	. . . . . . 7 |- F/_ k if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 )
48	47	nfel1 2360	. . . . . 6 |- F/ k if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) e. CC
49		eleq1w 2267	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( k e. A <-> n e. A ) )
50		csbeq1a 3106	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> B = [_ n / k ]_ B )
51	49, 50	ifbieq1d 3598	. . . . . . 7 |- ( k = n -> if ( k e. A , B , 1 ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) )
52	51	eleq1d 2275	. . . . . 6 |- ( k = n -> ( if ( k e. A , B , 1 ) e. CC <-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) e. CC ) )
53	48, 52	rspc 2875	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 1 ) e. CC -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) e. CC ) )
54	43, 44, 53	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) e. CC )
55		nfcv 2349	. . . . 5 |- F/_ k n
56	55, 47, 51, 37	fvmptf 5690	. . . 4 |- ( ( n e. ZZ /\ if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) e. CC ) -> ( F ` n ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) )
57	41, 54, 56	syl2an2 594	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` n ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) )
58		uznfz 10255	. . . . . . 7 |- ( n e. ( ZZ>= ` N ) -> -. n e. ( M ... ( N - 1 ) ) )
59	58	con2i 628	. . . . . 6 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> -. n e. ( ZZ>= ` N ) )
60	59	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> -. n e. ( ZZ>= ` N ) )
61		ssel 3191	. . . . . 6 |- ( A C_ ( ZZ>= ` N ) -> ( n e. A -> n e. ( ZZ>= ` N ) ) )
62	61	ad2antlr 489	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( n e. A -> n e. ( ZZ>= ` N ) ) )
63	60, 62	mtod 665	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> -. n e. A )
64	63	iffalsed 3585	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) = 1 )
65	57, 64	eqtrd 2239	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` n ) = 1 )
66		eluzelz 9687	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
67		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
68	23	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
69	67, 68, 53	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) e. CC )
70	66, 69, 56	syl2an2 594	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` n ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) )
71	70, 69	eqeltrd 2283	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` n ) e. CC )
72		mulcl 8082	. . 3 |- ( ( n e. CC /\ z e. CC ) -> ( n x. z ) e. CC )
73	72	adantl 277	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( n e. CC /\ z e. CC ) ) -> ( n x. z ) e. CC )
74	2, 3, 5, 40, 65, 71, 73	seq3id 10702	1 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( x. , F ) |` ( ZZ>= ` N ) ) = seq N ( x. , F ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2177   A.wral 2485   [_csb 3097   C_ wss 3170   ifcif 3575   |-> cmpt 4116   |` cres 4690   ` cfv 5285  (class class class)co 5962   CCcc 7953   1c1 7956   x. cmul 7960   - cmin 8273   ZZcz 9402   ZZ>=cuz 9678   ...cfz 10160   seqcseq 10624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-iinf 4649  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-addcom 8055  ax-mulcom 8056  ax-addass 8057  ax-mulass 8058  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-1rid 8062  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-ltadd 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-tr 4154  df-id 4353  df-iord 4426  df-on 4428  df-ilim 4429  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-recs 6409  df-frec 6495  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-inn 9067  df-n0 9326  df-z 9403  df-uz 9679  df-fz 10161  df-fzo 10295  df-seqfrec 10625

This theorem is referenced by:  prodrbdclem2  11969