Theorem prodrbdclem 11563

Description: Lemma for prodrbdc 11566. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodmo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
prodmo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
prodrbdc.dc	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
prodrb.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
prodrbdclem	|- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( x. , F ) |` ( ZZ>= ` N ) ) = seq N ( x. , F ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   ph, k   k, M   k, N

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem prodrbdclem

Dummy variables n z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulid2 7946	. . 3 |- ( n e. CC -> ( 1 x. n ) = n )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. CC ) -> ( 1 x. n ) = n )
3		1cnd 7964	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> 1 e. CC )
4		prodrb.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5	4	adantr 276	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
6		eluzelz 9526	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ZZ )
8		prodrbdc.dc	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
9		exmiddc 836	. . . . . . . . 9 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
11		iftrue 3539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) = B )
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) = B )
13		prodmo.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
14	12, 13	eqeltrd 2254	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
15	14	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC ) )
16		iffalse 3542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) = 1 )
17		ax-1cn 7895	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
18	16, 17	eqeltrdi 2268	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC ) )
20	15, 19	jaod 717	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( k e. A \/ -. k e. A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC ) )
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. A \/ -. k e. A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC ) )
22	10, 21	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
23	22	ralrimiva 2550	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
24		nfcv 2319	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k N
25	24	nfel1 2330	. . . . . . . . 9 |- F/ k N e. A
26		nfcsb1v 3090	. . . . . . . . 9 |- F/_ k [_ N / k ]_ B
27		nfcv 2319	. . . . . . . . 9 |- F/_ k 1
28	25, 26, 27	nfif 3562	. . . . . . . 8 |- F/_ k if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 )
29	28	nfel1 2330	. . . . . . 7 |- F/ k if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) e. CC
30		eleq1 2240	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> ( k e. A <-> N e. A ) )
31		csbeq1a 3066	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> B = [_ N / k ]_ B )
32	30, 31	ifbieq1d 3556	. . . . . . . 8 |- ( k = N -> if ( k e. A , B , 1 ) = if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) )
33	32	eleq1d 2246	. . . . . . 7 |- ( k = N -> ( if ( k e. A , B , 1 ) e. CC <-> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) e. CC ) )
34	29, 33	rspc 2835	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 1 ) e. CC -> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) e. CC ) )
35	4, 23, 34	sylc 62	. . . . 5 |- ( ph -> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) e. CC )
36	35	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) e. CC )
37		prodmo.1	. . . . 5 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
38	24, 28, 32, 37	fvmptf 5604	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) e. CC ) -> ( F ` N ) = if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) )
39	7, 36, 38	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` N ) = if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) )
40	39, 36	eqeltrd 2254	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` N ) e. CC )
41		elfzelz 10011	. . . 4 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> n e. ZZ )
42		elfzuz 10007	. . . . . 6 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
43	42	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
44	23	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
45		nfv 1528	. . . . . . . 8 |- F/ k n e. A
46		nfcsb1v 3090	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ n / k ]_ B
47	45, 46, 27	nfif 3562	. . . . . . 7 |- F/_ k if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 )
48	47	nfel1 2330	. . . . . 6 |- F/ k if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) e. CC
49		eleq1w 2238	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( k e. A <-> n e. A ) )
50		csbeq1a 3066	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> B = [_ n / k ]_ B )
51	49, 50	ifbieq1d 3556	. . . . . . 7 |- ( k = n -> if ( k e. A , B , 1 ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) )
52	51	eleq1d 2246	. . . . . 6 |- ( k = n -> ( if ( k e. A , B , 1 ) e. CC <-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) e. CC ) )
53	48, 52	rspc 2835	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 1 ) e. CC -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) e. CC ) )
54	43, 44, 53	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) e. CC )
55		nfcv 2319	. . . . 5 |- F/_ k n
56	55, 47, 51, 37	fvmptf 5604	. . . 4 |- ( ( n e. ZZ /\ if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) e. CC ) -> ( F ` n ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) )
57	41, 54, 56	syl2an2 594	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` n ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) )
58		uznfz 10089	. . . . . . 7 |- ( n e. ( ZZ>= ` N ) -> -. n e. ( M ... ( N - 1 ) ) )
59	58	con2i 627	. . . . . 6 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> -. n e. ( ZZ>= ` N ) )
60	59	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> -. n e. ( ZZ>= ` N ) )
61		ssel 3149	. . . . . 6 |- ( A C_ ( ZZ>= ` N ) -> ( n e. A -> n e. ( ZZ>= ` N ) ) )
62	61	ad2antlr 489	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( n e. A -> n e. ( ZZ>= ` N ) ) )
63	60, 62	mtod 663	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> -. n e. A )
64	63	iffalsed 3544	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) = 1 )
65	57, 64	eqtrd 2210	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` n ) = 1 )
66		eluzelz 9526	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
67		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
68	23	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
69	67, 68, 53	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) e. CC )
70	66, 69, 56	syl2an2 594	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` n ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) )
71	70, 69	eqeltrd 2254	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` n ) e. CC )
72		mulcl 7929	. . 3 |- ( ( n e. CC /\ z e. CC ) -> ( n x. z ) e. CC )
73	72	adantl 277	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( n e. CC /\ z e. CC ) ) -> ( n x. z ) e. CC )
74	2, 3, 5, 40, 65, 71, 73	seq3id 10494	1 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( x. , F ) |` ( ZZ>= ` N ) ) = seq N ( x. , F ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   [_csb 3057   C_ wss 3129   ifcif 3534   |-> cmpt 4061   |` cres 4625   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   CCcc 7800   1c1 7803   x. cmul 7807   - cmin 8118   ZZcz 9242   ZZ>=cuz 9517   ...cfz 9995   seqcseq 10431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-ltadd 7918

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432

This theorem is referenced by:  prodrbdclem2  11565