Theorem prodrbdclem 11372

Description: Lemma for prodrbdc 11375. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodmo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
prodmo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
prodrbdc.dc	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
prodrb.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
prodrbdclem	|- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( x. , F ) |` ( ZZ>= ` N ) ) = seq N ( x. , F ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   ph, k   k, M   k, N

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem prodrbdclem

Dummy variables n z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulid2 7788	. . 3 |- ( n e. CC -> ( 1 x. n ) = n )
2	1	adantl 275	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. CC ) -> ( 1 x. n ) = n )
3		1cnd 7806	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> 1 e. CC )
4		prodrb.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5	4	adantr 274	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
6		eluzelz 9359	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ZZ )
8		prodrbdc.dc	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
9		exmiddc 822	. . . . . . . . 9 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
11		iftrue 3484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) = B )
12	11	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) = B )
13		prodmo.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
14	12, 13	eqeltrd 2217	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
15	14	ex 114	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC ) )
16		iffalse 3487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) = 1 )
17		ax-1cn 7737	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
18	16, 17	eqeltrdi 2231	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC ) )
20	15, 19	jaod 707	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( k e. A \/ -. k e. A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC ) )
21	20	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. A \/ -. k e. A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC ) )
22	10, 21	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
23	22	ralrimiva 2508	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
24		nfcv 2282	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k N
25	24	nfel1 2293	. . . . . . . . 9 |- F/ k N e. A
26		nfcsb1v 3040	. . . . . . . . 9 |- F/_ k [_ N / k ]_ B
27		nfcv 2282	. . . . . . . . 9 |- F/_ k 1
28	25, 26, 27	nfif 3505	. . . . . . . 8 |- F/_ k if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 )
29	28	nfel1 2293	. . . . . . 7 |- F/ k if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) e. CC
30		eleq1 2203	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> ( k e. A <-> N e. A ) )
31		csbeq1a 3016	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> B = [_ N / k ]_ B )
32	30, 31	ifbieq1d 3499	. . . . . . . 8 |- ( k = N -> if ( k e. A , B , 1 ) = if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) )
33	32	eleq1d 2209	. . . . . . 7 |- ( k = N -> ( if ( k e. A , B , 1 ) e. CC <-> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) e. CC ) )
34	29, 33	rspc 2787	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 1 ) e. CC -> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) e. CC ) )
35	4, 23, 34	sylc 62	. . . . 5 |- ( ph -> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) e. CC )
36	35	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) e. CC )
37		prodmo.1	. . . . 5 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
38	24, 28, 32, 37	fvmptf 5521	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) e. CC ) -> ( F ` N ) = if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) )
39	7, 36, 38	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` N ) = if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 1 ) )
40	39, 36	eqeltrd 2217	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` N ) e. CC )
41		elfzelz 9837	. . . 4 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> n e. ZZ )
42		elfzuz 9833	. . . . . 6 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
43	42	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
44	23	ad2antrr 480	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
45		nfv 1509	. . . . . . . 8 |- F/ k n e. A
46		nfcsb1v 3040	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ n / k ]_ B
47	45, 46, 27	nfif 3505	. . . . . . 7 |- F/_ k if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 )
48	47	nfel1 2293	. . . . . 6 |- F/ k if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) e. CC
49		eleq1w 2201	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( k e. A <-> n e. A ) )
50		csbeq1a 3016	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> B = [_ n / k ]_ B )
51	49, 50	ifbieq1d 3499	. . . . . . 7 |- ( k = n -> if ( k e. A , B , 1 ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) )
52	51	eleq1d 2209	. . . . . 6 |- ( k = n -> ( if ( k e. A , B , 1 ) e. CC <-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) e. CC ) )
53	48, 52	rspc 2787	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 1 ) e. CC -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) e. CC ) )
54	43, 44, 53	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) e. CC )
55		nfcv 2282	. . . . 5 |- F/_ k n
56	55, 47, 51, 37	fvmptf 5521	. . . 4 |- ( ( n e. ZZ /\ if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) e. CC ) -> ( F ` n ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) )
57	41, 54, 56	syl2an2 584	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` n ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) )
58		uznfz 9914	. . . . . . 7 |- ( n e. ( ZZ>= ` N ) -> -. n e. ( M ... ( N - 1 ) ) )
59	58	con2i 617	. . . . . 6 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> -. n e. ( ZZ>= ` N ) )
60	59	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> -. n e. ( ZZ>= ` N ) )
61		ssel 3096	. . . . . 6 |- ( A C_ ( ZZ>= ` N ) -> ( n e. A -> n e. ( ZZ>= ` N ) ) )
62	61	ad2antlr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( n e. A -> n e. ( ZZ>= ` N ) ) )
63	60, 62	mtod 653	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> -. n e. A )
64	63	iffalsed 3489	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) = 1 )
65	57, 64	eqtrd 2173	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` n ) = 1 )
66		eluzelz 9359	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
67		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
68	23	ad2antrr 480	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
69	67, 68, 53	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) e. CC )
70	66, 69, 56	syl2an2 584	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` n ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) )
71	70, 69	eqeltrd 2217	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` n ) e. CC )
72		mulcl 7771	. . 3 |- ( ( n e. CC /\ z e. CC ) -> ( n x. z ) e. CC )
73	72	adantl 275	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( n e. CC /\ z e. CC ) ) -> ( n x. z ) e. CC )
74	2, 3, 5, 40, 65, 71, 73	seq3id 10312	1 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( x. , F ) |` ( ZZ>= ` N ) ) = seq N ( x. , F ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   [_csb 3007   C_ wss 3076   ifcif 3479   |-> cmpt 3997   |` cres 4549   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   CCcc 7642   1c1 7645   x. cmul 7649   - cmin 7957   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350   ...cfz 9821   seqcseq 10249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-seqfrec 10250

This theorem is referenced by:  prodrbdclem2  11374