Theorem sumrbdclem 12088

Description: Lemma for sumrbdc 12090. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
isummo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
isummo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
isummo.dc	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
isumrb.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
sumrbdclem	|- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( + , F ) |` ( ZZ>= ` N ) ) = seq N ( + , F ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, N   ph, k   k, M

Allowed substitution hints:   B( k)   F( k)

Proof of Theorem sumrbdclem

Dummy variables n z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addlid 8428	. . 3 |- ( n e. CC -> ( 0 + n ) = n )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. CC ) -> ( 0 + n ) = n )
3		0cnd 8283	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 e. CC )
4		isumrb.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5	4	adantr 276	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
6		eluzelz 9881	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ZZ )
8		isummo.dc	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
9		exmiddc 844	. . . . . . . . 9 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
11		iftrue 3631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) = B )
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) = B )
13		isummo.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
14	12, 13	eqeltrd 2311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
15	14	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) )
16		iffalse 3634	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) = 0 )
17		0cn 8282	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. CC
18	16, 17	eqeltrdi 2325	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) )
20	15, 19	jaod 725	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( k e. A \/ -. k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) )
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. A \/ -. k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) )
22	10, 21	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
23	22	ralrimiva 2617	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
24		nfv 1577	. . . . . . . . 9 |- F/ k N e. A
25		nfcsb1v 3174	. . . . . . . . 9 |- F/_ k [_ N / k ]_ B
26		nfcv 2386	. . . . . . . . 9 |- F/_ k 0
27	24, 25, 26	nfif 3655	. . . . . . . 8 |- F/_ k if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 )
28	27	nfel1 2397	. . . . . . 7 |- F/ k if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) e. CC
29		eleq1 2297	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> ( k e. A <-> N e. A ) )
30		csbeq1a 3150	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> B = [_ N / k ]_ B )
31	29, 30	ifbieq1d 3649	. . . . . . . 8 |- ( k = N -> if ( k e. A , B , 0 ) = if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) )
32	31	eleq1d 2303	. . . . . . 7 |- ( k = N -> ( if ( k e. A , B , 0 ) e. CC <-> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) e. CC ) )
33	28, 32	rspc 2917	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 0 ) e. CC -> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) e. CC ) )
34	4, 23, 33	sylc 62	. . . . 5 |- ( ph -> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) e. CC )
35	34	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) e. CC )
36		nfcv 2386	. . . . 5 |- F/_ k N
37		isummo.1	. . . . 5 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
38	36, 27, 31, 37	fvmptf 5775	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) e. CC ) -> ( F ` N ) = if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) )
39	7, 35, 38	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` N ) = if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) )
40	39, 35	eqeltrd 2311	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` N ) e. CC )
41		elfzelz 10378	. . . 4 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> n e. ZZ )
42		elfzuz 10374	. . . . . 6 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
43	42	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
44	23	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
45		nfv 1577	. . . . . . . 8 |- F/ k n e. A
46		nfcsb1v 3174	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ n / k ]_ B
47	45, 46, 26	nfif 3655	. . . . . . 7 |- F/_ k if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 )
48	47	nfel1 2397	. . . . . 6 |- F/ k if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) e. CC
49		eleq1 2297	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( k e. A <-> n e. A ) )
50		csbeq1a 3150	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> B = [_ n / k ]_ B )
51	49, 50	ifbieq1d 3649	. . . . . . 7 |- ( k = n -> if ( k e. A , B , 0 ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
52	51	eleq1d 2303	. . . . . 6 |- ( k = n -> ( if ( k e. A , B , 0 ) e. CC <-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) e. CC ) )
53	48, 52	rspc 2917	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 0 ) e. CC -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) e. CC ) )
54	43, 44, 53	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) e. CC )
55		nfcv 2386	. . . . 5 |- F/_ k n
56	55, 47, 51, 37	fvmptf 5775	. . . 4 |- ( ( n e. ZZ /\ if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) e. CC ) -> ( F ` n ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
57	41, 54, 56	syl2an2 598	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` n ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
58		uznfz 10459	. . . . . . 7 |- ( n e. ( ZZ>= ` N ) -> -. n e. ( M ... ( N - 1 ) ) )
59	58	con2i 632	. . . . . 6 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> -. n e. ( ZZ>= ` N ) )
60	59	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> -. n e. ( ZZ>= ` N ) )
61		ssel 3236	. . . . . 6 |- ( A C_ ( ZZ>= ` N ) -> ( n e. A -> n e. ( ZZ>= ` N ) ) )
62	61	ad2antlr 489	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( n e. A -> n e. ( ZZ>= ` N ) ) )
63	60, 62	mtod 669	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> -. n e. A )
64	63	iffalsed 3636	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) = 0 )
65	57, 64	eqtrd 2267	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` n ) = 0 )
66		eluzelz 9881	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
67		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
68	23	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
69	67, 68, 53	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) e. CC )
70	66, 69, 56	syl2an2 598	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` n ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
71	70, 69	eqeltrd 2311	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` n ) e. CC )
72		addcl 8268	. . 3 |- ( ( n e. CC /\ z e. CC ) -> ( n + z ) e. CC )
73	72	adantl 277	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( n e. CC /\ z e. CC ) ) -> ( n + z ) e. CC )
74	2, 3, 5, 40, 65, 71, 73	seq3id 10911	1 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( + , F ) |` ( ZZ>= ` N ) ) = seq N ( + , F ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   [_csb 3141   C_ wss 3214   ifcif 3624   |-> cmpt 4176   |` cres 4756   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   - cmin 8460   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   ...cfz 10361   seqcseq 10833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834

This theorem is referenced by:  sumrbdc  12090