Theorem sumrbdclem 12144

Description: Lemma for sumrbdc 12146. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
isummo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
isummo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
isummo.dc	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
isumrb.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
sumrbdclem	|- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( + , F ) |` ( ZZ>= ` N ) ) = seq N ( + , F ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, N   ph, k   k, M

Allowed substitution hints:   B( k)   F( k)

Proof of Theorem sumrbdclem

Dummy variables n z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addlid 8465	. . 3 |- ( n e. CC -> ( 0 + n ) = n )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. CC ) -> ( 0 + n ) = n )
3		0cnd 8319	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 e. CC )
4		isumrb.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5	4	adantr 276	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
6		eluzelz 9931	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ZZ )
8		isummo.dc	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
9		exmiddc 848	. . . . . . . . 9 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
11		iftrue 3645	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) = B )
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) = B )
13		isummo.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
14	12, 13	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
15	14	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) )
16		iffalse 3648	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) = 0 )
17		0cn 8318	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. CC
18	16, 17	eqeltrdi 2329	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) )
20	15, 19	jaod 729	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( k e. A \/ -. k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) )
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. A \/ -. k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) )
22	10, 21	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
23	22	ralrimiva 2623	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
24		nfv 1581	. . . . . . . . 9 |- F/ k N e. A
25		nfcsb1v 3180	. . . . . . . . 9 |- F/_ k [_ N / k ]_ B
26		nfcv 2392	. . . . . . . . 9 |- F/_ k 0
27	24, 25, 26	nfif 3669	. . . . . . . 8 |- F/_ k if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 )
28	27	nfel1 2403	. . . . . . 7 |- F/ k if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) e. CC
29		eleq1 2301	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> ( k e. A <-> N e. A ) )
30		csbeq1a 3156	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> B = [_ N / k ]_ B )
31	29, 30	ifbieq1d 3663	. . . . . . . 8 |- ( k = N -> if ( k e. A , B , 0 ) = if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) )
32	31	eleq1d 2307	. . . . . . 7 |- ( k = N -> ( if ( k e. A , B , 0 ) e. CC <-> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) e. CC ) )
33	28, 32	rspc 2923	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 0 ) e. CC -> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) e. CC ) )
34	4, 23, 33	sylc 62	. . . . 5 |- ( ph -> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) e. CC )
35	34	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) e. CC )
36		nfcv 2392	. . . . 5 |- F/_ k N
37		isummo.1	. . . . 5 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
38	36, 27, 31, 37	fvmptf 5798	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) e. CC ) -> ( F ` N ) = if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) )
39	7, 35, 38	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` N ) = if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) )
40	39, 35	eqeltrd 2315	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` N ) e. CC )
41		elfzelz 10428	. . . 4 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> n e. ZZ )
42		elfzuz 10424	. . . . . 6 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
43	42	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
44	23	ad2antrr 492	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
45		nfv 1581	. . . . . . . 8 |- F/ k n e. A
46		nfcsb1v 3180	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ n / k ]_ B
47	45, 46, 26	nfif 3669	. . . . . . 7 |- F/_ k if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 )
48	47	nfel1 2403	. . . . . 6 |- F/ k if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) e. CC
49		eleq1 2301	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( k e. A <-> n e. A ) )
50		csbeq1a 3156	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> B = [_ n / k ]_ B )
51	49, 50	ifbieq1d 3663	. . . . . . 7 |- ( k = n -> if ( k e. A , B , 0 ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
52	51	eleq1d 2307	. . . . . 6 |- ( k = n -> ( if ( k e. A , B , 0 ) e. CC <-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) e. CC ) )
53	48, 52	rspc 2923	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 0 ) e. CC -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) e. CC ) )
54	43, 44, 53	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) e. CC )
55		nfcv 2392	. . . . 5 |- F/_ k n
56	55, 47, 51, 37	fvmptf 5798	. . . 4 |- ( ( n e. ZZ /\ if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) e. CC ) -> ( F ` n ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
57	41, 54, 56	syl2an2 602	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` n ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
58		uznfz 10510	. . . . . . 7 |- ( n e. ( ZZ>= ` N ) -> -. n e. ( M ... ( N - 1 ) ) )
59	58	con2i 636	. . . . . 6 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> -. n e. ( ZZ>= ` N ) )
60	59	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> -. n e. ( ZZ>= ` N ) )
61		ssel 3242	. . . . . 6 |- ( A C_ ( ZZ>= ` N ) -> ( n e. A -> n e. ( ZZ>= ` N ) ) )
62	61	ad2antlr 493	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( n e. A -> n e. ( ZZ>= ` N ) ) )
63	60, 62	mtod 673	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> -. n e. A )
64	63	iffalsed 3650	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) = 0 )
65	57, 64	eqtrd 2271	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` n ) = 0 )
66		eluzelz 9931	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
67		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
68	23	ad2antrr 492	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
69	67, 68, 53	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) e. CC )
70	66, 69, 56	syl2an2 602	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` n ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
71	70, 69	eqeltrd 2315	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` n ) e. CC )
72		addcl 8304	. . 3 |- ( ( n e. CC /\ z e. CC ) -> ( n + z ) e. CC )
73	72	adantl 277	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( n e. CC /\ z e. CC ) ) -> ( n + z ) e. CC )
74	2, 3, 5, 40, 65, 71, 73	seq3id 10962	1 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( + , F ) |` ( ZZ>= ` N ) ) = seq N ( + , F ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   [_csb 3147   C_ wss 3220   ifcif 3638   |-> cmpt 4192   |` cres 4776   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8177   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   - cmin 8497   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   ...cfz 10411   seqcseq 10884

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885

This theorem is used by:  sumrbdc  12146