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Theorem sumrbdclem 11113
Description: Lemma for sumrbdc 11115. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
isummo.1  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
isummo.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
isummo.dc  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  k  e.  A
)
isumrb.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
Assertion
Ref Expression
sumrbdclem  |-  ( (
ph  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  N ) )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
)  |`  ( ZZ>= `  N
) )  =  seq N (  +  ,  F ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, N    ph, k    k, M
Allowed substitution hints:    B( k)    F( k)

Proof of Theorem sumrbdclem
Dummy variables  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addid2 7869 . . 3  |-  ( n  e.  CC  ->  (
0  +  n )  =  n )
21adantl 275 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  CC )  ->  ( 0  +  n )  =  n )
3 0cnd 7727 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  N ) )  ->  0  e.  CC )
4 isumrb.3 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
54adantr 274 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  N ) )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  M ) )
6 eluzelz 9303 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
75, 6syl 14 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  N ) )  ->  N  e.  ZZ )
8 isummo.dc . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  k  e.  A
)
9 exmiddc 806 . . . . . . . . 9  |-  (DECID  k  e.  A  ->  ( k  e.  A  \/  -.  k  e.  A )
)
108, 9syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( k  e.  A  \/  -.  k  e.  A )
)
11 iftrue 3449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
1211adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
13 isummo.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1412, 13eqeltrd 2194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
1514ex 114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
0 )  e.  CC ) )
16 iffalse 3452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
17 0cn 7726 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  CC
1816, 17syl6eqel 2208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
1918a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -.  k  e.  A  ->  if (
k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC ) )
2015, 19jaod 691 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  A  \/  -.  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC ) )
2120adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  A  \/  -.  k  e.  A
)  ->  if (
k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC ) )
2210, 21mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
2322ralrimiva 2482 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
24 nfv 1493 . . . . . . . . 9  |-  F/ k  N  e.  A
25 nfcsb1v 3005 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k [_ N  /  k ]_ B
26 nfcv 2258 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
0
2724, 25, 26nfif 3470 . . . . . . . 8  |-  F/_ k if ( N  e.  A ,  [_ N  /  k ]_ B ,  0 )
2827nfel1 2269 . . . . . . 7  |-  F/ k if ( N  e.  A ,  [_ N  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC
29 eleq1 2180 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  N  ->  (
k  e.  A  <->  N  e.  A ) )
30 csbeq1a 2983 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  N  ->  B  =  [_ N  /  k ]_ B )
3129, 30ifbieq1d 3464 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  N  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( N  e.  A ,  [_ N  /  k ]_ B ,  0 ) )
3231eleq1d 2186 . . . . . . 7  |-  ( k  =  N  ->  ( if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC  <->  if ( N  e.  A ,  [_ N  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC ) )
3328, 32rspc 2757 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC  ->  if ( N  e.  A ,  [_ N  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC ) )
344, 23, 33sylc 62 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  A ,  [_ N  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
3534adantr 274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  N ) )  ->  if ( N  e.  A ,  [_ N  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
36 nfcv 2258 . . . . 5  |-  F/_ k N
37 isummo.1 . . . . 5  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
3836, 27, 31, 37fvmptf 5481 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  if ( N  e.  A ,  [_ N  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )  -> 
( F `  N
)  =  if ( N  e.  A ,  [_ N  /  k ]_ B ,  0 ) )
397, 35, 38syl2anc 408 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  N ) )  ->  ( F `  N )  =  if ( N  e.  A ,  [_ N  /  k ]_ B ,  0 ) )
4039, 35eqeltrd 2194 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  N ) )  ->  ( F `  N )  e.  CC )
41 elfzelz 9774 . . . 4  |-  ( n  e.  ( M ... ( N  -  1
) )  ->  n  e.  ZZ )
42 elfzuz 9770 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( M ... ( N  -  1
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4342adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4423ad2antrr 479 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
45 nfv 1493 . . . . . . . 8  |-  F/ k  n  e.  A
46 nfcsb1v 3005 . . . . . . . 8  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ B
4745, 46, 26nfif 3470 . . . . . . 7  |-  F/_ k if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )
4847nfel1 2269 . . . . . 6  |-  F/ k if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC
49 eleq1 2180 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
k  e.  A  <->  n  e.  A ) )
50 csbeq1a 2983 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  B  =  [_ n  /  k ]_ B )
5149, 50ifbieq1d 3464 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
5251eleq1d 2186 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  ( if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC  <->  if (
n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC ) )
5348, 52rspc 2757 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC  ->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC ) )
5443, 44, 53sylc 62 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  if (
n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
55 nfcv 2258 . . . . 5  |-  F/_ k
n
5655, 47, 51, 37fvmptf 5481 . . . 4  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )  -> 
( F `  n
)  =  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
5741, 54, 56syl2an2 568 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( F `  n )  =  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
58 uznfz 9851 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  -.  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
5958con2i 601 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( M ... ( N  -  1
) )  ->  -.  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )
6059adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  -.  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)
61 ssel 3061 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( n  e.  A  ->  n  e.  ( ZZ>= `  N )
) )
6261ad2antlr 480 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( n  e.  A  ->  n  e.  ( ZZ>= `  N )
) )
6360, 62mtod 637 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  -.  n  e.  A )
6463iffalsed 3454 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  if (
n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  =  0 )
6557, 64eqtrd 2150 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( F `  n )  =  0 )
66 eluzelz 9303 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  n  e.  ZZ )
67 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6823ad2antrr 479 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
6967, 68, 53sylc 62 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
7066, 69, 56syl2an2 568 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  n )  =  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
7170, 69eqeltrd 2194 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  n )  e.  CC )
72 addcl 7713 . . 3  |-  ( ( n  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( n  +  z )  e.  CC )
7372adantl 275 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  ( n  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )  -> 
( n  +  z )  e.  CC )
742, 3, 5, 40, 65, 71, 73seq3id 10249 1  |-  ( (
ph  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  N ) )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
)  |`  ( ZZ>= `  N
) )  =  seq N (  +  ,  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 682  DECID wdc 804    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393   [_csb 2975    C_ wss 3041   ifcif 3444    |-> cmpt 3959    |` cres 4511   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   CCcc 7586   0cc0 7588   1c1 7589    + caddc 7591    - cmin 7901   ZZcz 9022   ZZ>=cuz 9294   ...cfz 9758    seqcseq 10186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-fz 9759  df-fzo 9888  df-seqfrec 10187
This theorem is referenced by:  sumrbdc  11115
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