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Theorem sumrbdclem 11327
Description: Lemma for sumrbdc 11329. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
isummo.1  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
isummo.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
isummo.dc  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  k  e.  A
)
isumrb.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
Assertion
Ref Expression
sumrbdclem  |-  ( (
ph  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  N ) )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
)  |`  ( ZZ>= `  N
) )  =  seq N (  +  ,  F ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, N    ph, k    k, M
Allowed substitution hints:    B( k)    F( k)

Proof of Theorem sumrbdclem
Dummy variables  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addid2 8045 . . 3  |-  ( n  e.  CC  ->  (
0  +  n )  =  n )
21adantl 275 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  CC )  ->  ( 0  +  n )  =  n )
3 0cnd 7900 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  N ) )  ->  0  e.  CC )
4 isumrb.3 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
54adantr 274 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  N ) )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  M ) )
6 eluzelz 9483 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
75, 6syl 14 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  N ) )  ->  N  e.  ZZ )
8 isummo.dc . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  k  e.  A
)
9 exmiddc 831 . . . . . . . . 9  |-  (DECID  k  e.  A  ->  ( k  e.  A  \/  -.  k  e.  A )
)
108, 9syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( k  e.  A  \/  -.  k  e.  A )
)
11 iftrue 3530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
1211adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
13 isummo.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1412, 13eqeltrd 2247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
1514ex 114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
0 )  e.  CC ) )
16 iffalse 3533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
17 0cn 7899 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  CC
1816, 17eqeltrdi 2261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
1918a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -.  k  e.  A  ->  if (
k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC ) )
2015, 19jaod 712 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  A  \/  -.  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC ) )
2120adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  A  \/  -.  k  e.  A
)  ->  if (
k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC ) )
2210, 21mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
2322ralrimiva 2543 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
24 nfv 1521 . . . . . . . . 9  |-  F/ k  N  e.  A
25 nfcsb1v 3082 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k [_ N  /  k ]_ B
26 nfcv 2312 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
0
2724, 25, 26nfif 3553 . . . . . . . 8  |-  F/_ k if ( N  e.  A ,  [_ N  /  k ]_ B ,  0 )
2827nfel1 2323 . . . . . . 7  |-  F/ k if ( N  e.  A ,  [_ N  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC
29 eleq1 2233 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  N  ->  (
k  e.  A  <->  N  e.  A ) )
30 csbeq1a 3058 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  N  ->  B  =  [_ N  /  k ]_ B )
3129, 30ifbieq1d 3547 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  N  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( N  e.  A ,  [_ N  /  k ]_ B ,  0 ) )
3231eleq1d 2239 . . . . . . 7  |-  ( k  =  N  ->  ( if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC  <->  if ( N  e.  A ,  [_ N  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC ) )
3328, 32rspc 2828 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC  ->  if ( N  e.  A ,  [_ N  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC ) )
344, 23, 33sylc 62 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  A ,  [_ N  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
3534adantr 274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  N ) )  ->  if ( N  e.  A ,  [_ N  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
36 nfcv 2312 . . . . 5  |-  F/_ k N
37 isummo.1 . . . . 5  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
3836, 27, 31, 37fvmptf 5586 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  if ( N  e.  A ,  [_ N  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )  -> 
( F `  N
)  =  if ( N  e.  A ,  [_ N  /  k ]_ B ,  0 ) )
397, 35, 38syl2anc 409 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  N ) )  ->  ( F `  N )  =  if ( N  e.  A ,  [_ N  /  k ]_ B ,  0 ) )
4039, 35eqeltrd 2247 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  N ) )  ->  ( F `  N )  e.  CC )
41 elfzelz 9968 . . . 4  |-  ( n  e.  ( M ... ( N  -  1
) )  ->  n  e.  ZZ )
42 elfzuz 9964 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( M ... ( N  -  1
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4342adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4423ad2antrr 485 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
45 nfv 1521 . . . . . . . 8  |-  F/ k  n  e.  A
46 nfcsb1v 3082 . . . . . . . 8  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ B
4745, 46, 26nfif 3553 . . . . . . 7  |-  F/_ k if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )
4847nfel1 2323 . . . . . 6  |-  F/ k if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC
49 eleq1 2233 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
k  e.  A  <->  n  e.  A ) )
50 csbeq1a 3058 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  B  =  [_ n  /  k ]_ B )
5149, 50ifbieq1d 3547 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
5251eleq1d 2239 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  ( if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC  <->  if (
n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC ) )
5348, 52rspc 2828 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC  ->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC ) )
5443, 44, 53sylc 62 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  if (
n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
55 nfcv 2312 . . . . 5  |-  F/_ k
n
5655, 47, 51, 37fvmptf 5586 . . . 4  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )  -> 
( F `  n
)  =  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
5741, 54, 56syl2an2 589 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( F `  n )  =  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
58 uznfz 10046 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  -.  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
5958con2i 622 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( M ... ( N  -  1
) )  ->  -.  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )
6059adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  -.  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)
61 ssel 3141 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( n  e.  A  ->  n  e.  ( ZZ>= `  N )
) )
6261ad2antlr 486 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( n  e.  A  ->  n  e.  ( ZZ>= `  N )
) )
6360, 62mtod 658 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  -.  n  e.  A )
6463iffalsed 3535 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  if (
n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  =  0 )
6557, 64eqtrd 2203 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( F `  n )  =  0 )
66 eluzelz 9483 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  n  e.  ZZ )
67 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6823ad2antrr 485 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
6967, 68, 53sylc 62 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
7066, 69, 56syl2an2 589 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  n )  =  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
7170, 69eqeltrd 2247 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  n )  e.  CC )
72 addcl 7886 . . 3  |-  ( ( n  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( n  +  z )  e.  CC )
7372adantl 275 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  ( n  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )  -> 
( n  +  z )  e.  CC )
742, 3, 5, 40, 65, 71, 73seq3id 10451 1  |-  ( (
ph  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  N ) )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
)  |`  ( ZZ>= `  N
) )  =  seq N (  +  ,  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 703  DECID wdc 829    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   [_csb 3049    C_ wss 3121   ifcif 3525    |-> cmpt 4048    |` cres 4611   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   CCcc 7759   0cc0 7761   1c1 7762    + caddc 7764    - cmin 8077   ZZcz 9199   ZZ>=cuz 9474   ...cfz 9952    seqcseq 10388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-ltadd 7877
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-frec 6367  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-fz 9953  df-fzo 10086  df-seqfrec 10389
This theorem is referenced by:  sumrbdc  11329
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