Theorem sumrbdclem 12122

Description: Lemma for sumrbdc 12124. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
isummo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
isummo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
isummo.dc	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
isumrb.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
sumrbdclem	|- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( + , F ) |` ( ZZ>= ` N ) ) = seq N ( + , F ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, N   ph, k   k, M

Allowed substitution hints:   B( k)   F( k)

Proof of Theorem sumrbdclem

Dummy variables n z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addlid 8455	. . 3 |- ( n e. CC -> ( 0 + n ) = n )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. CC ) -> ( 0 + n ) = n )
3		0cnd 8309	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 e. CC )
4		isumrb.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5	4	adantr 276	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
6		eluzelz 9910	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ZZ )
8		isummo.dc	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
9		exmiddc 848	. . . . . . . . 9 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
11		iftrue 3642	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) = B )
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) = B )
13		isummo.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
14	12, 13	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
15	14	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) )
16		iffalse 3645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) = 0 )
17		0cn 8308	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. CC
18	16, 17	eqeltrdi 2329	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) )
20	15, 19	jaod 729	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( k e. A \/ -. k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) )
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. A \/ -. k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) )
22	10, 21	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
23	22	ralrimiva 2623	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
24		nfv 1581	. . . . . . . . 9 |- F/ k N e. A
25		nfcsb1v 3180	. . . . . . . . 9 |- F/_ k [_ N / k ]_ B
26		nfcv 2392	. . . . . . . . 9 |- F/_ k 0
27	24, 25, 26	nfif 3666	. . . . . . . 8 |- F/_ k if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 )
28	27	nfel1 2403	. . . . . . 7 |- F/ k if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) e. CC
29		eleq1 2301	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> ( k e. A <-> N e. A ) )
30		csbeq1a 3156	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> B = [_ N / k ]_ B )
31	29, 30	ifbieq1d 3660	. . . . . . . 8 |- ( k = N -> if ( k e. A , B , 0 ) = if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) )
32	31	eleq1d 2307	. . . . . . 7 |- ( k = N -> ( if ( k e. A , B , 0 ) e. CC <-> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) e. CC ) )
33	28, 32	rspc 2923	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 0 ) e. CC -> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) e. CC ) )
34	4, 23, 33	sylc 62	. . . . 5 |- ( ph -> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) e. CC )
35	34	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) e. CC )
36		nfcv 2392	. . . . 5 |- F/_ k N
37		isummo.1	. . . . 5 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
38	36, 27, 31, 37	fvmptf 5792	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) e. CC ) -> ( F ` N ) = if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) )
39	7, 35, 38	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` N ) = if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) )
40	39, 35	eqeltrd 2315	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` N ) e. CC )
41		elfzelz 10407	. . . 4 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> n e. ZZ )
42		elfzuz 10403	. . . . . 6 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
43	42	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
44	23	ad2antrr 492	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
45		nfv 1581	. . . . . . . 8 |- F/ k n e. A
46		nfcsb1v 3180	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ n / k ]_ B
47	45, 46, 26	nfif 3666	. . . . . . 7 |- F/_ k if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 )
48	47	nfel1 2403	. . . . . 6 |- F/ k if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) e. CC
49		eleq1 2301	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( k e. A <-> n e. A ) )
50		csbeq1a 3156	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> B = [_ n / k ]_ B )
51	49, 50	ifbieq1d 3660	. . . . . . 7 |- ( k = n -> if ( k e. A , B , 0 ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
52	51	eleq1d 2307	. . . . . 6 |- ( k = n -> ( if ( k e. A , B , 0 ) e. CC <-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) e. CC ) )
53	48, 52	rspc 2923	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 0 ) e. CC -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) e. CC ) )
54	43, 44, 53	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) e. CC )
55		nfcv 2392	. . . . 5 |- F/_ k n
56	55, 47, 51, 37	fvmptf 5792	. . . 4 |- ( ( n e. ZZ /\ if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) e. CC ) -> ( F ` n ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
57	41, 54, 56	syl2an2 602	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` n ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
58		uznfz 10488	. . . . . . 7 |- ( n e. ( ZZ>= ` N ) -> -. n e. ( M ... ( N - 1 ) ) )
59	58	con2i 636	. . . . . 6 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> -. n e. ( ZZ>= ` N ) )
60	59	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> -. n e. ( ZZ>= ` N ) )
61		ssel 3242	. . . . . 6 |- ( A C_ ( ZZ>= ` N ) -> ( n e. A -> n e. ( ZZ>= ` N ) ) )
62	61	ad2antlr 493	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( n e. A -> n e. ( ZZ>= ` N ) ) )
63	60, 62	mtod 673	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> -. n e. A )
64	63	iffalsed 3647	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) = 0 )
65	57, 64	eqtrd 2271	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` n ) = 0 )
66		eluzelz 9910	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
67		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
68	23	ad2antrr 492	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
69	67, 68, 53	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) e. CC )
70	66, 69, 56	syl2an2 602	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` n ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
71	70, 69	eqeltrd 2315	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` n ) e. CC )
72		addcl 8294	. . 3 |- ( ( n e. CC /\ z e. CC ) -> ( n + z ) e. CC )
73	72	adantl 277	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( n e. CC /\ z e. CC ) ) -> ( n + z ) e. CC )
74	2, 3, 5, 40, 65, 71, 73	seq3id 10940	1 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( + , F ) |` ( ZZ>= ` N ) ) = seq N ( + , F ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   [_csb 3147   C_ wss 3220   ifcif 3635   |-> cmpt 4187   |` cres 4771   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   - cmin 8487   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   ...cfz 10390   seqcseq 10862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863

This theorem is referenced by:  sumrbdc  12124