Theorem sumrbdclem 11416

Description: Lemma for sumrbdc 11418. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
isummo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
isummo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
isummo.dc	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
isumrb.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
sumrbdclem	|- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( + , F ) |` ( ZZ>= ` N ) ) = seq N ( + , F ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, N   ph, k   k, M

Allowed substitution hints:   B( k)   F( k)

Proof of Theorem sumrbdclem

Dummy variables n z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addlid 8125	. . 3 |- ( n e. CC -> ( 0 + n ) = n )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. CC ) -> ( 0 + n ) = n )
3		0cnd 7979	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 e. CC )
4		isumrb.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5	4	adantr 276	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
6		eluzelz 9566	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ZZ )
8		isummo.dc	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
9		exmiddc 837	. . . . . . . . 9 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
11		iftrue 3554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) = B )
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) = B )
13		isummo.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
14	12, 13	eqeltrd 2266	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
15	14	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) )
16		iffalse 3557	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) = 0 )
17		0cn 7978	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. CC
18	16, 17	eqeltrdi 2280	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) )
20	15, 19	jaod 718	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( k e. A \/ -. k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) )
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. A \/ -. k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) )
22	10, 21	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
23	22	ralrimiva 2563	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
24		nfv 1539	. . . . . . . . 9 |- F/ k N e. A
25		nfcsb1v 3105	. . . . . . . . 9 |- F/_ k [_ N / k ]_ B
26		nfcv 2332	. . . . . . . . 9 |- F/_ k 0
27	24, 25, 26	nfif 3577	. . . . . . . 8 |- F/_ k if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 )
28	27	nfel1 2343	. . . . . . 7 |- F/ k if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) e. CC
29		eleq1 2252	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> ( k e. A <-> N e. A ) )
30		csbeq1a 3081	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> B = [_ N / k ]_ B )
31	29, 30	ifbieq1d 3571	. . . . . . . 8 |- ( k = N -> if ( k e. A , B , 0 ) = if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) )
32	31	eleq1d 2258	. . . . . . 7 |- ( k = N -> ( if ( k e. A , B , 0 ) e. CC <-> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) e. CC ) )
33	28, 32	rspc 2850	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 0 ) e. CC -> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) e. CC ) )
34	4, 23, 33	sylc 62	. . . . 5 |- ( ph -> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) e. CC )
35	34	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) e. CC )
36		nfcv 2332	. . . . 5 |- F/_ k N
37		isummo.1	. . . . 5 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
38	36, 27, 31, 37	fvmptf 5628	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) e. CC ) -> ( F ` N ) = if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) )
39	7, 35, 38	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` N ) = if ( N e. A , [_ N / k ]_ B , 0 ) )
40	39, 35	eqeltrd 2266	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` N ) e. CC )
41		elfzelz 10054	. . . 4 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> n e. ZZ )
42		elfzuz 10050	. . . . . 6 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
43	42	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
44	23	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
45		nfv 1539	. . . . . . . 8 |- F/ k n e. A
46		nfcsb1v 3105	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ n / k ]_ B
47	45, 46, 26	nfif 3577	. . . . . . 7 |- F/_ k if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 )
48	47	nfel1 2343	. . . . . 6 |- F/ k if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) e. CC
49		eleq1 2252	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( k e. A <-> n e. A ) )
50		csbeq1a 3081	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> B = [_ n / k ]_ B )
51	49, 50	ifbieq1d 3571	. . . . . . 7 |- ( k = n -> if ( k e. A , B , 0 ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
52	51	eleq1d 2258	. . . . . 6 |- ( k = n -> ( if ( k e. A , B , 0 ) e. CC <-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) e. CC ) )
53	48, 52	rspc 2850	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 0 ) e. CC -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) e. CC ) )
54	43, 44, 53	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) e. CC )
55		nfcv 2332	. . . . 5 |- F/_ k n
56	55, 47, 51, 37	fvmptf 5628	. . . 4 |- ( ( n e. ZZ /\ if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) e. CC ) -> ( F ` n ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
57	41, 54, 56	syl2an2 594	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` n ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
58		uznfz 10132	. . . . . . 7 |- ( n e. ( ZZ>= ` N ) -> -. n e. ( M ... ( N - 1 ) ) )
59	58	con2i 628	. . . . . 6 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> -. n e. ( ZZ>= ` N ) )
60	59	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> -. n e. ( ZZ>= ` N ) )
61		ssel 3164	. . . . . 6 |- ( A C_ ( ZZ>= ` N ) -> ( n e. A -> n e. ( ZZ>= ` N ) ) )
62	61	ad2antlr 489	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( n e. A -> n e. ( ZZ>= ` N ) ) )
63	60, 62	mtod 664	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> -. n e. A )
64	63	iffalsed 3559	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) = 0 )
65	57, 64	eqtrd 2222	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` n ) = 0 )
66		eluzelz 9566	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
67		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
68	23	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
69	67, 68, 53	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) e. CC )
70	66, 69, 56	syl2an2 594	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` n ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
71	70, 69	eqeltrd 2266	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` n ) e. CC )
72		addcl 7965	. . 3 |- ( ( n e. CC /\ z e. CC ) -> ( n + z ) e. CC )
73	72	adantl 277	. 2 |- ( ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( n e. CC /\ z e. CC ) ) -> ( n + z ) e. CC )
74	2, 3, 5, 40, 65, 71, 73	seq3id 10538	1 |- ( ( ph /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( + , F ) |` ( ZZ>= ` N ) ) = seq N ( + , F ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   [_csb 3072   C_ wss 3144   ifcif 3549   |-> cmpt 4079   |` cres 4646   ` cfv 5235  (class class class)co 5895   CCcc 7838   0cc0 7840   1c1 7841   + caddc 7843   - cmin 8157   ZZcz 9282   ZZ>=cuz 9557   ...cfz 10037   seqcseq 10475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-addcom 7940  ax-addass 7942  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-ltadd 7956

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-recs 6329  df-frec 6415  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-inn 8949  df-n0 9206  df-z 9283  df-uz 9558  df-fz 10038  df-fzo 10172  df-seqfrec 10476

This theorem is referenced by:  sumrbdc  11418