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Theorem sumrbdclem 11153
Description: Lemma for sumrbdc 11155. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
isummo.1  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
isummo.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
isummo.dc  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  k  e.  A
)
isumrb.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
Assertion
Ref Expression
sumrbdclem  |-  ( (
ph  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  N ) )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
)  |`  ( ZZ>= `  N
) )  =  seq N (  +  ,  F ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, N    ph, k    k, M
Allowed substitution hints:    B( k)    F( k)

Proof of Theorem sumrbdclem
Dummy variables  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addid2 7908 . . 3  |-  ( n  e.  CC  ->  (
0  +  n )  =  n )
21adantl 275 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  CC )  ->  ( 0  +  n )  =  n )
3 0cnd 7766 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  N ) )  ->  0  e.  CC )
4 isumrb.3 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
54adantr 274 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  N ) )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  M ) )
6 eluzelz 9342 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
75, 6syl 14 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  N ) )  ->  N  e.  ZZ )
8 isummo.dc . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  k  e.  A
)
9 exmiddc 821 . . . . . . . . 9  |-  (DECID  k  e.  A  ->  ( k  e.  A  \/  -.  k  e.  A )
)
108, 9syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( k  e.  A  \/  -.  k  e.  A )
)
11 iftrue 3479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
1211adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
13 isummo.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1412, 13eqeltrd 2216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
1514ex 114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
0 )  e.  CC ) )
16 iffalse 3482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
17 0cn 7765 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  CC
1816, 17eqeltrdi 2230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
1918a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -.  k  e.  A  ->  if (
k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC ) )
2015, 19jaod 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  A  \/  -.  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC ) )
2120adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  A  \/  -.  k  e.  A
)  ->  if (
k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC ) )
2210, 21mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
2322ralrimiva 2505 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
24 nfv 1508 . . . . . . . . 9  |-  F/ k  N  e.  A
25 nfcsb1v 3035 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k [_ N  /  k ]_ B
26 nfcv 2281 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
0
2724, 25, 26nfif 3500 . . . . . . . 8  |-  F/_ k if ( N  e.  A ,  [_ N  /  k ]_ B ,  0 )
2827nfel1 2292 . . . . . . 7  |-  F/ k if ( N  e.  A ,  [_ N  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC
29 eleq1 2202 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  N  ->  (
k  e.  A  <->  N  e.  A ) )
30 csbeq1a 3012 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  N  ->  B  =  [_ N  /  k ]_ B )
3129, 30ifbieq1d 3494 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  N  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( N  e.  A ,  [_ N  /  k ]_ B ,  0 ) )
3231eleq1d 2208 . . . . . . 7  |-  ( k  =  N  ->  ( if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC  <->  if ( N  e.  A ,  [_ N  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC ) )
3328, 32rspc 2783 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC  ->  if ( N  e.  A ,  [_ N  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC ) )
344, 23, 33sylc 62 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  A ,  [_ N  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
3534adantr 274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  N ) )  ->  if ( N  e.  A ,  [_ N  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
36 nfcv 2281 . . . . 5  |-  F/_ k N
37 isummo.1 . . . . 5  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
3836, 27, 31, 37fvmptf 5513 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  if ( N  e.  A ,  [_ N  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )  -> 
( F `  N
)  =  if ( N  e.  A ,  [_ N  /  k ]_ B ,  0 ) )
397, 35, 38syl2anc 408 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  N ) )  ->  ( F `  N )  =  if ( N  e.  A ,  [_ N  /  k ]_ B ,  0 ) )
4039, 35eqeltrd 2216 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  N ) )  ->  ( F `  N )  e.  CC )
41 elfzelz 9813 . . . 4  |-  ( n  e.  ( M ... ( N  -  1
) )  ->  n  e.  ZZ )
42 elfzuz 9809 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( M ... ( N  -  1
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4342adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4423ad2antrr 479 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
45 nfv 1508 . . . . . . . 8  |-  F/ k  n  e.  A
46 nfcsb1v 3035 . . . . . . . 8  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ B
4745, 46, 26nfif 3500 . . . . . . 7  |-  F/_ k if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )
4847nfel1 2292 . . . . . 6  |-  F/ k if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC
49 eleq1 2202 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
k  e.  A  <->  n  e.  A ) )
50 csbeq1a 3012 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  B  =  [_ n  /  k ]_ B )
5149, 50ifbieq1d 3494 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
5251eleq1d 2208 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  ( if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC  <->  if (
n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC ) )
5348, 52rspc 2783 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC  ->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC ) )
5443, 44, 53sylc 62 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  if (
n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
55 nfcv 2281 . . . . 5  |-  F/_ k
n
5655, 47, 51, 37fvmptf 5513 . . . 4  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )  -> 
( F `  n
)  =  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
5741, 54, 56syl2an2 583 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( F `  n )  =  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
58 uznfz 9890 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  -.  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
5958con2i 616 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( M ... ( N  -  1
) )  ->  -.  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )
6059adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  -.  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)
61 ssel 3091 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( n  e.  A  ->  n  e.  ( ZZ>= `  N )
) )
6261ad2antlr 480 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( n  e.  A  ->  n  e.  ( ZZ>= `  N )
) )
6360, 62mtod 652 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  -.  n  e.  A )
6463iffalsed 3484 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  if (
n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  =  0 )
6557, 64eqtrd 2172 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( F `  n )  =  0 )
66 eluzelz 9342 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  n  e.  ZZ )
67 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6823ad2antrr 479 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
6967, 68, 53sylc 62 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
7066, 69, 56syl2an2 583 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  n )  =  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
7170, 69eqeltrd 2216 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  n )  e.  CC )
72 addcl 7752 . . 3  |-  ( ( n  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( n  +  z )  e.  CC )
7372adantl 275 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  ( ZZ>= `  N )
)  /\  ( n  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )  -> 
( n  +  z )  e.  CC )
742, 3, 5, 40, 65, 71, 73seq3id 10288 1  |-  ( (
ph  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  N ) )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
)  |`  ( ZZ>= `  N
) )  =  seq N (  +  ,  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 697  DECID wdc 819    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   [_csb 3003    C_ wss 3071   ifcif 3474    |-> cmpt 3989    |` cres 4541   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7625   0cc0 7627   1c1 7628    + caddc 7630    - cmin 7940   ZZcz 9061   ZZ>=cuz 9333   ...cfz 9797    seqcseq 10225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226
This theorem is referenced by:  sumrbdc  11155
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