Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bcval Unicode version

Theorem bcval 10220
 Description: Value of the binomial coefficient, choose . Definition of binomial coefficient in [Gleason] p. 295. As suggested by Gleason, we define it to be 0 when does not hold. See bcval2 10221 for the value in the standard domain. (Contributed by NM, 10-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bcval

Proof of Theorem bcval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iftrue 3404 . . . . 5
21adantl 272 . . . 4
3 simpll 497 . . . . . . 7
43faccld 10207 . . . . . 6
54nnzd 8930 . . . . 5
6 fznn0sub 9534 . . . . . . . 8
76adantl 272 . . . . . . 7
87faccld 10207 . . . . . 6
9 elfznn0 9591 . . . . . . . 8
109adantl 272 . . . . . . 7
1110faccld 10207 . . . . . 6
128, 11nnmulcld 8534 . . . . 5
13 znq 9172 . . . . 5
145, 12, 13syl2anc 404 . . . 4
152, 14eqeltrd 2165 . . 3
16 iffalse 3407 . . . . 5
17 0z 8824 . . . . . 6
18 zq 9174 . . . . . 6
1917, 18ax-mp 7 . . . . 5
2016, 19syl6eqel 2179 . . . 4
22 simpr 109 . . . . 5
23 0zd 8825 . . . . 5
24 simpl 108 . . . . . 6
2524nn0zd 8929 . . . . 5
26 fzdcel 9517 . . . . 5 DECID
2722, 23, 25, 26syl3anc 1175 . . . 4 DECID
28 exmiddc 783 . . . 4 DECID
2927, 28syl 14 . . 3
3015, 21, 29mpjaodan 748 . 2
31 oveq2 5676 . . . . 5
3231eleq2d 2158 . . . 4
33 fveq2 5320 . . . . 5
34 oveq1 5675 . . . . . . 7
3534fveq2d 5324 . . . . . 6
3635oveq1d 5683 . . . . 5
3733, 36oveq12d 5686 . . . 4
3832, 37ifbieq1d 3419 . . 3
39 eleq1 2151 . . . 4
40 oveq2 5676 . . . . . . 7
4140fveq2d 5324 . . . . . 6
42 fveq2 5320 . . . . . 6
4341, 42oveq12d 5686 . . . . 5
4443oveq2d 5684 . . . 4
4539, 44ifbieq1d 3419 . . 3
46 df-bc 10219 . . 3
4738, 45, 46ovmpt2g 5795 . 2
4830, 47mpd3an3 1275 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wo 665  DECID wdc 781   wceq 1290   wcel 1439  cif 3399  cfv 5030  (class class class)co 5668  cc0 7413   cmul 7418   cmin 7716   cdiv 8202  cn 8485  cn0 8736  cz 8813  cq 9167  cfz 9487  cfa 10196   cbc 10218 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-frec 6172  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-q 9168  df-fz 9488  df-iseq 9916  df-fac 10197  df-bc 10219 This theorem is referenced by:  bcval2  10221  bcval3  10222
 Copyright terms: Public domain W3C validator