ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzin Unicode version
Theorem uzin 9556
Description: Intersection of two upper intervals of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
uzin |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ N , N , M ) ) )
Proof of Theorem uzin
StepHypRef Expression
1 uztric 9545 . 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) \/ M e. ( ZZ>= ` N ) ) )
2 uzss 9544 . . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` N ) C_ ( ZZ>= ` M ) )
3 sseqin2 3354 . . . . 5 |- ( ( ZZ>= ` N ) C_ ( ZZ>= ` M ) <-> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` N ) )
42, 3sylib 122 . . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` N ) )
5 eluzle 9536 . . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )
6 iftrue 3539 . . . . . 6 |- ( M <_ N -> if ( M <_ N , N , M ) = N )
75, 6syl 14 . . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> if ( M <_ N , N , M ) = N )
87fveq2d 5518 . . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` if ( M <_ N , N , M ) ) = ( ZZ>= ` N ) )
94, 8eqtr4d 2213 . . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ N , N , M ) ) )
10 uzss 9544 . . . . 5 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ZZ>= ` M ) C_ ( ZZ>= ` N ) )
11 df-ss 3142 . . . . 5 |- ( ( ZZ>= ` M ) C_ ( ZZ>= ` N ) <-> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
1210, 11sylib 122 . . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
13 eluzel2 9529 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> N e. ZZ )
14 eluzelz 9533 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> M e. ZZ )
15 zre 9253 . . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
16 zre 9253 . . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
17 letri3 8034 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ M e. RR ) -> ( N = M <-> ( N <_ M /\ M <_ N ) ) )
1815, 16, 17syl2an 289 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N = M <-> ( N <_ M /\ M <_ N ) ) )
1913, 14, 18syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( N = M <-> ( N <_ M /\ M <_ N ) ) )
20 eluzle 9536 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> N <_ M )
2120biantrurd 305 . . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( M <_ N <-> ( N <_ M /\ M <_ N ) ) )
2219, 21bitr4d 191 . . . . . . . . 9 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( N = M <-> M <_ N ) )
2322biimprcd 160 . . . . . . . 8 |- ( M <_ N -> ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> N = M ) )
246eqeq1d 2186 . . . . . . . 8 |- ( M <_ N -> ( if ( M <_ N , N , M ) = M <-> N = M ) )
2523, 24sylibrd 169 . . . . . . 7 |- ( M <_ N -> ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> if ( M <_ N , N , M ) = M ) )
2625com12 30 . . . . . 6 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( M <_ N -> if ( M <_ N , N , M ) = M ) )
27 iffalse 3542 . . . . . . 7 |- ( -. M <_ N -> if ( M <_ N , N , M ) = M )
2827a1i 9 . . . . . 6 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( -. M <_ N -> if ( M <_ N , N , M ) = M ) )
29 zdcle 9325 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID M <_ N )
3014, 13, 29syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> DECID M <_ N )
31 df-dc 835 . . . . . . 7 |- (DECID M <_ N <-> ( M <_ N \/ -. M <_ N ) )
3230, 31sylib 122 . . . . . 6 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( M <_ N \/ -. M <_ N ) )
3326, 28, 32mpjaod 718 . . . . 5 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> if ( M <_ N , N , M ) = M )
3433fveq2d 5518 . . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ZZ>= ` if ( M <_ N , N , M ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
3512, 34eqtr4d 2213 . . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ N , N , M ) ) )
369, 35jaoi 716 . 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) \/ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ N , N , M ) ) )
371, 36syl 14 1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ N , N , M ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   i^i cin 3128   C_ wss 3129   ifcif 3534   class class class wbr 4002   ` cfv 5215   RRcr 7807   <_ cle 7989   ZZcz 9249   ZZ>=cuz 9524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-inn 8916  df-n0 9173  df-z 9250  df-uz 9525
This theorem is referenced by:  uzin2  10989  explecnv  11506
  Copyright terms: Public domain W3C validator