ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzin Unicode version
Theorem uzin 9716
Description: Intersection of two upper intervals of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
uzin |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ N , N , M ) ) )
Proof of Theorem uzin
StepHypRef Expression
1 uztric 9705 . 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) \/ M e. ( ZZ>= ` N ) ) )
2 uzss 9704 . . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` N ) C_ ( ZZ>= ` M ) )
3 sseqin2 3400 . . . . 5 |- ( ( ZZ>= ` N ) C_ ( ZZ>= ` M ) <-> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` N ) )
42, 3sylib 122 . . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` N ) )
5 eluzle 9695 . . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )
6 iftrue 3584 . . . . . 6 |- ( M <_ N -> if ( M <_ N , N , M ) = N )
75, 6syl 14 . . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> if ( M <_ N , N , M ) = N )
87fveq2d 5603 . . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` if ( M <_ N , N , M ) ) = ( ZZ>= ` N ) )
94, 8eqtr4d 2243 . . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ N , N , M ) ) )
10 uzss 9704 . . . . 5 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ZZ>= ` M ) C_ ( ZZ>= ` N ) )
11 df-ss 3187 . . . . 5 |- ( ( ZZ>= ` M ) C_ ( ZZ>= ` N ) <-> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
1210, 11sylib 122 . . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
13 eluzel2 9688 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> N e. ZZ )
14 eluzelz 9692 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> M e. ZZ )
15 zre 9411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
16 zre 9411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
17 letri3 8188 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ M e. RR ) -> ( N = M <-> ( N <_ M /\ M <_ N ) ) )
1815, 16, 17syl2an 289 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N = M <-> ( N <_ M /\ M <_ N ) ) )
1913, 14, 18syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( N = M <-> ( N <_ M /\ M <_ N ) ) )
20 eluzle 9695 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> N <_ M )
2120biantrurd 305 . . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( M <_ N <-> ( N <_ M /\ M <_ N ) ) )
2219, 21bitr4d 191 . . . . . . . . 9 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( N = M <-> M <_ N ) )
2322biimprcd 160 . . . . . . . 8 |- ( M <_ N -> ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> N = M ) )
246eqeq1d 2216 . . . . . . . 8 |- ( M <_ N -> ( if ( M <_ N , N , M ) = M <-> N = M ) )
2523, 24sylibrd 169 . . . . . . 7 |- ( M <_ N -> ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> if ( M <_ N , N , M ) = M ) )
2625com12 30 . . . . . 6 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( M <_ N -> if ( M <_ N , N , M ) = M ) )
27 iffalse 3587 . . . . . . 7 |- ( -. M <_ N -> if ( M <_ N , N , M ) = M )
2827a1i 9 . . . . . 6 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( -. M <_ N -> if ( M <_ N , N , M ) = M ) )
29 zdcle 9484 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID M <_ N )
3014, 13, 29syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> DECID M <_ N )
31 df-dc 837 . . . . . . 7 |- (DECID M <_ N <-> ( M <_ N \/ -. M <_ N ) )
3230, 31sylib 122 . . . . . 6 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( M <_ N \/ -. M <_ N ) )
3326, 28, 32mpjaod 720 . . . . 5 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> if ( M <_ N , N , M ) = M )
3433fveq2d 5603 . . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ZZ>= ` if ( M <_ N , N , M ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
3512, 34eqtr4d 2243 . . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ N , N , M ) ) )
369, 35jaoi 718 . 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) \/ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ N , N , M ) ) )
371, 36syl 14 1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ N , N , M ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2178   i^i cin 3173   C_ wss 3174   ifcif 3579   class class class wbr 4059   ` cfv 5290   RRcr 7959   <_ cle 8143   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684
This theorem is referenced by:  uzin2  11413  explecnv  11931
  Copyright terms: Public domain W3C validator