ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzin Unicode version
Theorem uzin 9788
Description: Intersection of two upper intervals of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
uzin |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ N , N , M ) ) )
Proof of Theorem uzin
StepHypRef Expression
1 uztric 9777 . 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) \/ M e. ( ZZ>= ` N ) ) )
2 uzss 9776 . . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` N ) C_ ( ZZ>= ` M ) )
3 sseqin2 3426 . . . . 5 |- ( ( ZZ>= ` N ) C_ ( ZZ>= ` M ) <-> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` N ) )
42, 3sylib 122 . . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` N ) )
5 eluzle 9767 . . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )
6 iftrue 3610 . . . . . 6 |- ( M <_ N -> if ( M <_ N , N , M ) = N )
75, 6syl 14 . . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> if ( M <_ N , N , M ) = N )
87fveq2d 5643 . . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` if ( M <_ N , N , M ) ) = ( ZZ>= ` N ) )
94, 8eqtr4d 2267 . . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ N , N , M ) ) )
10 uzss 9776 . . . . 5 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ZZ>= ` M ) C_ ( ZZ>= ` N ) )
11 df-ss 3213 . . . . 5 |- ( ( ZZ>= ` M ) C_ ( ZZ>= ` N ) <-> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
1210, 11sylib 122 . . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
13 eluzel2 9759 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> N e. ZZ )
14 eluzelz 9764 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> M e. ZZ )
15 zre 9482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
16 zre 9482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
17 letri3 8259 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ M e. RR ) -> ( N = M <-> ( N <_ M /\ M <_ N ) ) )
1815, 16, 17syl2an 289 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N = M <-> ( N <_ M /\ M <_ N ) ) )
1913, 14, 18syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( N = M <-> ( N <_ M /\ M <_ N ) ) )
20 eluzle 9767 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> N <_ M )
2120biantrurd 305 . . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( M <_ N <-> ( N <_ M /\ M <_ N ) ) )
2219, 21bitr4d 191 . . . . . . . . 9 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( N = M <-> M <_ N ) )
2322biimprcd 160 . . . . . . . 8 |- ( M <_ N -> ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> N = M ) )
246eqeq1d 2240 . . . . . . . 8 |- ( M <_ N -> ( if ( M <_ N , N , M ) = M <-> N = M ) )
2523, 24sylibrd 169 . . . . . . 7 |- ( M <_ N -> ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> if ( M <_ N , N , M ) = M ) )
2625com12 30 . . . . . 6 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( M <_ N -> if ( M <_ N , N , M ) = M ) )
27 iffalse 3613 . . . . . . 7 |- ( -. M <_ N -> if ( M <_ N , N , M ) = M )
2827a1i 9 . . . . . 6 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( -. M <_ N -> if ( M <_ N , N , M ) = M ) )
29 zdcle 9555 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID M <_ N )
3014, 13, 29syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> DECID M <_ N )
31 df-dc 842 . . . . . . 7 |- (DECID M <_ N <-> ( M <_ N \/ -. M <_ N ) )
3230, 31sylib 122 . . . . . 6 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( M <_ N \/ -. M <_ N ) )
3326, 28, 32mpjaod 725 . . . . 5 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> if ( M <_ N , N , M ) = M )
3433fveq2d 5643 . . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ZZ>= ` if ( M <_ N , N , M ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
3512, 34eqtr4d 2267 . . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ N , N , M ) ) )
369, 35jaoi 723 . 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) \/ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ N , N , M ) ) )
371, 36syl 14 1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ N , N , M ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   e. wcel 2202   i^i cin 3199   C_ wss 3200   ifcif 3605   class class class wbr 4088   ` cfv 5326   RRcr 8030   <_ cle 8214   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755
This theorem is referenced by:  uzin2  11547  explecnv  12065
  Copyright terms: Public domain W3C validator