ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzin Unicode version
Theorem uzin 9519
Description: Intersection of two upper intervals of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
uzin |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ N , N , M ) ) )
Proof of Theorem uzin
StepHypRef Expression
1 uztric 9508 . 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) \/ M e. ( ZZ>= ` N ) ) )
2 uzss 9507 . . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` N ) C_ ( ZZ>= ` M ) )
3 sseqin2 3346 . . . . 5 |- ( ( ZZ>= ` N ) C_ ( ZZ>= ` M ) <-> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` N ) )
42, 3sylib 121 . . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` N ) )
5 eluzle 9499 . . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )
6 iftrue 3531 . . . . . 6 |- ( M <_ N -> if ( M <_ N , N , M ) = N )
75, 6syl 14 . . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> if ( M <_ N , N , M ) = N )
87fveq2d 5500 . . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` if ( M <_ N , N , M ) ) = ( ZZ>= ` N ) )
94, 8eqtr4d 2206 . . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ N , N , M ) ) )
10 uzss 9507 . . . . 5 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ZZ>= ` M ) C_ ( ZZ>= ` N ) )
11 df-ss 3134 . . . . 5 |- ( ( ZZ>= ` M ) C_ ( ZZ>= ` N ) <-> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
1210, 11sylib 121 . . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
13 eluzel2 9492 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> N e. ZZ )
14 eluzelz 9496 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> M e. ZZ )
15 zre 9216 . . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
16 zre 9216 . . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
17 letri3 8000 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ M e. RR ) -> ( N = M <-> ( N <_ M /\ M <_ N ) ) )
1815, 16, 17syl2an 287 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N = M <-> ( N <_ M /\ M <_ N ) ) )
1913, 14, 18syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( N = M <-> ( N <_ M /\ M <_ N ) ) )
20 eluzle 9499 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> N <_ M )
2120biantrurd 303 . . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( M <_ N <-> ( N <_ M /\ M <_ N ) ) )
2219, 21bitr4d 190 . . . . . . . . 9 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( N = M <-> M <_ N ) )
2322biimprcd 159 . . . . . . . 8 |- ( M <_ N -> ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> N = M ) )
246eqeq1d 2179 . . . . . . . 8 |- ( M <_ N -> ( if ( M <_ N , N , M ) = M <-> N = M ) )
2523, 24sylibrd 168 . . . . . . 7 |- ( M <_ N -> ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> if ( M <_ N , N , M ) = M ) )
2625com12 30 . . . . . 6 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( M <_ N -> if ( M <_ N , N , M ) = M ) )
27 iffalse 3534 . . . . . . 7 |- ( -. M <_ N -> if ( M <_ N , N , M ) = M )
2827a1i 9 . . . . . 6 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( -. M <_ N -> if ( M <_ N , N , M ) = M ) )
29 zdcle 9288 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID M <_ N )
3014, 13, 29syl2anc 409 . . . . . . 7 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> DECID M <_ N )
31 df-dc 830 . . . . . . 7 |- (DECID M <_ N <-> ( M <_ N \/ -. M <_ N ) )
3230, 31sylib 121 . . . . . 6 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( M <_ N \/ -. M <_ N ) )
3326, 28, 32mpjaod 713 . . . . 5 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> if ( M <_ N , N , M ) = M )
3433fveq2d 5500 . . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ZZ>= ` if ( M <_ N , N , M ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
3512, 34eqtr4d 2206 . . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ N , N , M ) ) )
369, 35jaoi 711 . 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) \/ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ N , N , M ) ) )
371, 36syl 14 1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ N , N , M ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348   e. wcel 2141   i^i cin 3120   C_ wss 3121   ifcif 3526   class class class wbr 3989   ` cfv 5198   RRcr 7773   <_ cle 7955   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488
This theorem is referenced by:  uzin2  10951  explecnv  11468
  Copyright terms: Public domain W3C validator