ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzin Unicode version
Theorem uzin 9955
Description: Intersection of two upper intervals of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
uzin |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ N , N , M ) ) )
Proof of Theorem uzin
StepHypRef Expression
1 uztric 9944 . 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) \/ M e. ( ZZ>= ` N ) ) )
2 uzss 9943 . . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` N ) C_ ( ZZ>= ` M ) )
3 sseqin2 3450 . . . . 5 |- ( ( ZZ>= ` N ) C_ ( ZZ>= ` M ) <-> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` N ) )
42, 3sylib 122 . . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` N ) )
5 eluzle 9934 . . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )
6 iftrue 3645 . . . . . 6 |- ( M <_ N -> if ( M <_ N , N , M ) = N )
75, 6syl 14 . . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> if ( M <_ N , N , M ) = N )
87fveq2d 5699 . . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` if ( M <_ N , N , M ) ) = ( ZZ>= ` N ) )
94, 8eqtr4d 2274 . . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ N , N , M ) ) )
10 uzss 9943 . . . . 5 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ZZ>= ` M ) C_ ( ZZ>= ` N ) )
11 df-ss 3233 . . . . 5 |- ( ( ZZ>= ` M ) C_ ( ZZ>= ` N ) <-> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
1210, 11sylib 122 . . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
13 eluzel2 9926 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> N e. ZZ )
14 eluzelz 9931 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> M e. ZZ )
15 zre 9648 . . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
16 zre 9648 . . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
17 letri3 8406 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ M e. RR ) -> ( N = M <-> ( N <_ M /\ M <_ N ) ) )
1815, 16, 17syl2an 289 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N = M <-> ( N <_ M /\ M <_ N ) ) )
1913, 14, 18syl2anc 415 . . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( N = M <-> ( N <_ M /\ M <_ N ) ) )
20 eluzle 9934 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> N <_ M )
2120biantrurd 305 . . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( M <_ N <-> ( N <_ M /\ M <_ N ) ) )
2219, 21bitr4d 191 . . . . . . . . 9 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( N = M <-> M <_ N ) )
2322biimprcd 160 . . . . . . . 8 |- ( M <_ N -> ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> N = M ) )
246eqeq1d 2247 . . . . . . . 8 |- ( M <_ N -> ( if ( M <_ N , N , M ) = M <-> N = M ) )
2523, 24sylibrd 169 . . . . . . 7 |- ( M <_ N -> ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> if ( M <_ N , N , M ) = M ) )
2625com12 30 . . . . . 6 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( M <_ N -> if ( M <_ N , N , M ) = M ) )
27 iffalse 3648 . . . . . . 7 |- ( -. M <_ N -> if ( M <_ N , N , M ) = M )
2827a1i 9 . . . . . 6 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( -. M <_ N -> if ( M <_ N , N , M ) = M ) )
29 zdcle 9721 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID M <_ N )
3014, 13, 29syl2anc 415 . . . . . . 7 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> DECID M <_ N )
31 df-dc 847 . . . . . . 7 |- (DECID M <_ N <-> ( M <_ N \/ -. M <_ N ) )
3230, 31sylib 122 . . . . . 6 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( M <_ N \/ -. M <_ N ) )
3326, 28, 32mpjaod 730 . . . . 5 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> if ( M <_ N , N , M ) = M )
3433fveq2d 5699 . . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ZZ>= ` if ( M <_ N , N , M ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
3512, 34eqtr4d 2274 . . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ N , N , M ) ) )
369, 35jaoi 728 . 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) \/ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ N , N , M ) ) )
371, 36syl 14 1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ N , N , M ) ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   i^i cin 3219   C_ wss 3220   ifcif 3638   class class class wbr 4130   ` cfv 5377   RRcr 8178   <_ cle 8361   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922
This theorem is used by:  uzin2  11753  explecnv  12272
  Copyright terms: Public domain W3C validator