Theorem pcprod 12298

Description: The product of the primes taken to their respective powers reconstructs the original number. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
pcprod.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
pcprod	|- ( N e. NN -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) = N )

Distinct variable group:   n, N

Allowed substitution hint:   F( n)

Proof of Theorem pcprod

Dummy variable p is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcprod.1	. . . . . 6 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
2		pccl 12253	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. Prime /\ N e. NN ) -> ( n pCnt N ) e. NN0 )
3	2	ancoms 266	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ n e. Prime ) -> ( n pCnt N ) e. NN0 )
4	3	ralrimiva 2543	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> A. n e. Prime ( n pCnt N ) e. NN0 )
5	4	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> A. n e. Prime ( n pCnt N ) e. NN0 )
6		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> N e. NN )
7		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> p e. Prime )
8		oveq1 5860	. . . . . 6 |- ( n = p -> ( n pCnt N ) = ( p pCnt N ) )
9	1, 5, 6, 7, 8	pcmpt 12295	. . . . 5 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> ( p pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = if ( p <_ N , ( p pCnt N ) , 0 ) )
10		iftrue 3531	. . . . . . 7 |- ( p <_ N -> if ( p <_ N , ( p pCnt N ) , 0 ) = ( p pCnt N ) )
11	10	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) /\ p <_ N ) -> if ( p <_ N , ( p pCnt N ) , 0 ) = ( p pCnt N ) )
12		iffalse 3534	. . . . . . . 8 |- ( -. p <_ N -> if ( p <_ N , ( p pCnt N ) , 0 ) = 0 )
13	12	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) /\ -. p <_ N ) -> if ( p <_ N , ( p pCnt N ) , 0 ) = 0 )
14		prmz 12065	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. Prime -> p e. ZZ )
15		dvdsle 11804	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( p || N -> p <_ N ) )
16	14, 15	sylan 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> ( p || N -> p <_ N ) )
17	16	con3dimp 630	. . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) /\ -. p <_ N ) -> -. p || N )
18		pceq0 12275	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> ( ( p pCnt N ) = 0 <-> -. p || N ) )
19	18	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) /\ -. p <_ N ) -> ( ( p pCnt N ) = 0 <-> -. p || N ) )
20	17, 19	mpbird 166	. . . . . . 7 |- ( ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) /\ -. p <_ N ) -> ( p pCnt N ) = 0 )
21	13, 20	eqtr4d 2206	. . . . . 6 |- ( ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) /\ -. p <_ N ) -> if ( p <_ N , ( p pCnt N ) , 0 ) = ( p pCnt N ) )
22	14	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> p e. ZZ )
23	6	nnzd 9333	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
24		zdcle 9288	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID p <_ N )
25	22, 23, 24	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> DECID p <_ N )
26		exmiddc 831	. . . . . . 7 |- (DECID p <_ N -> ( p <_ N \/ -. p <_ N ) )
27	25, 26	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> ( p <_ N \/ -. p <_ N ) )
28	11, 21, 27	mpjaodan 793	. . . . 5 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> if ( p <_ N , ( p pCnt N ) , 0 ) = ( p pCnt N ) )
29	9, 28	eqtrd 2203	. . . 4 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> ( p pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = ( p pCnt N ) )
30	29	ancoms 266	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = ( p pCnt N ) )
31	30	ralrimiva 2543	. 2 |- ( N e. NN -> A. p e. Prime ( p pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = ( p pCnt N ) )
32	1, 4	pcmptcl 12294	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( F : NN --> NN /\ seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN ) )
33	32	simprd 113	. . . . 5 |- ( N e. NN -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN )
34		ffvelrn 5629	. . . . 5 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN /\ N e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) e. NN )
35	33, 34	mpancom 420	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) e. NN )
36	35	nnnn0d 9188	. . 3 |- ( N e. NN -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) e. NN0 )
37		nnnn0 9142	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
38		pc11 12284	. . 3 |- ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) = N <-> A. p e. Prime ( p pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = ( p pCnt N ) ) )
39	36, 37, 38	syl2anc 409	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) = N <-> A. p e. Prime ( p pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = ( p pCnt N ) ) )
40	31, 39	mpbird 166	1 |- ( N e. NN -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) = N )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   ifcif 3526   class class class wbr 3989   |-> cmpt 4050   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   0cc0 7774   1c1 7775   x. cmul 7779   <_ cle 7955   NNcn 8878   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   seqcseq 10401   ^cexp 10475   || cdvds 11749   Primecprime 12061   pCnt cpc 12238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-1o 6395  df-2o 6396  df-er 6513  df-en 6719  df-fin 6721  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-xnn0 9199  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-dvds 11750  df-gcd 11898  df-prm 12062  df-pc 12239

This theorem is referenced by: (None)