Theorem pcprod 13103

Description: The product of the primes taken to their respective powers reconstructs the original number. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
pcprod.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
pcprod	|- ( N e. NN -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) = N )

Distinct variable group:   n, N

Allowed substitution hint:   F( n)

Proof of Theorem pcprod

Dummy variable p is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcprod.1	. . . . . 6 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
2		pccl 13056	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. Prime /\ N e. NN ) -> ( n pCnt N ) e. NN0 )
3	2	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ n e. Prime ) -> ( n pCnt N ) e. NN0 )
4	3	ralrimiva 2623	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> A. n e. Prime ( n pCnt N ) e. NN0 )
5	4	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> A. n e. Prime ( n pCnt N ) e. NN0 )
6		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> N e. NN )
7		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> p e. Prime )
8		oveq1 6082	. . . . . 6 |- ( n = p -> ( n pCnt N ) = ( p pCnt N ) )
9	1, 5, 6, 7, 8	pcmpt 13100	. . . . 5 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> ( p pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = if ( p <_ N , ( p pCnt N ) , 0 ) )
10		iftrue 3642	. . . . . . 7 |- ( p <_ N -> if ( p <_ N , ( p pCnt N ) , 0 ) = ( p pCnt N ) )
11	10	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) /\ p <_ N ) -> if ( p <_ N , ( p pCnt N ) , 0 ) = ( p pCnt N ) )
12		iffalse 3645	. . . . . . . 8 |- ( -. p <_ N -> if ( p <_ N , ( p pCnt N ) , 0 ) = 0 )
13	12	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) /\ -. p <_ N ) -> if ( p <_ N , ( p pCnt N ) , 0 ) = 0 )
14		prmz 12867	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. Prime -> p e. ZZ )
15		dvdsle 12589	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( p || N -> p <_ N ) )
16	14, 15	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> ( p || N -> p <_ N ) )
17	16	con3dimp 644	. . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) /\ -. p <_ N ) -> -. p || N )
18		pceq0 13079	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> ( ( p pCnt N ) = 0 <-> -. p || N ) )
19	18	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) /\ -. p <_ N ) -> ( ( p pCnt N ) = 0 <-> -. p || N ) )
20	17, 19	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) /\ -. p <_ N ) -> ( p pCnt N ) = 0 )
21	13, 20	eqtr4d 2274	. . . . . 6 |- ( ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) /\ -. p <_ N ) -> if ( p <_ N , ( p pCnt N ) , 0 ) = ( p pCnt N ) )
22	14	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> p e. ZZ )
23	6	nnzd 9746	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
24		zdcle 9700	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID p <_ N )
25	22, 23, 24	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> DECID p <_ N )
26		exmiddc 848	. . . . . . 7 |- (DECID p <_ N -> ( p <_ N \/ -. p <_ N ) )
27	25, 26	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> ( p <_ N \/ -. p <_ N ) )
28	11, 21, 27	mpjaodan 810	. . . . 5 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> if ( p <_ N , ( p pCnt N ) , 0 ) = ( p pCnt N ) )
29	9, 28	eqtrd 2271	. . . 4 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> ( p pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = ( p pCnt N ) )
30	29	ancoms 268	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = ( p pCnt N ) )
31	30	ralrimiva 2623	. 2 |- ( N e. NN -> A. p e. Prime ( p pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = ( p pCnt N ) )
32	1, 4	pcmptcl 13099	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( F : NN --> NN /\ seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN ) )
33	32	simprd 114	. . . . 5 |- ( N e. NN -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN )
34		ffvelcdm 5832	. . . . 5 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN /\ N e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) e. NN )
35	33, 34	mpancom 426	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) e. NN )
36	35	nnnn0d 9599	. . 3 |- ( N e. NN -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) e. NN0 )
37		nnnn0 9549	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
38		pc11 13088	. . 3 |- ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) = N <-> A. p e. Prime ( p pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = ( p pCnt N ) ) )
39	36, 37, 38	syl2anc 415	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) = N <-> A. p e. Prime ( p pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = ( p pCnt N ) ) )
40	31, 39	mpbird 167	1 |- ( N e. NN -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) = N )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   ifcif 3635   class class class wbr 4125   |-> cmpt 4187   -->wf 5368   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   0cc0 8169   1c1 8170   x. cmul 8174   <_ cle 8351   NNcn 9283   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   seqcseq 10862   ^cexp 10953   || cdvds 12532   Primecprime 12863   pCnt cpc 13041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-2o 6678  df-er 6797  df-en 7013  df-fin 7015  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-xnn0 9610  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-fl 10683  df-mod 10738  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-dvds 12533  df-gcd 12709  df-prm 12864  df-pc 13042

This theorem is referenced by: (None)