ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pcprod Unicode version

Theorem pcprod 12291
Description: The product of the primes taken to their respective powers reconstructs the original number. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
pcprod.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )
Assertion
Ref Expression
pcprod  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N
)  =  N )
Distinct variable group:    n, N
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem pcprod
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcprod.1 . . . . . 6  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )
2 pccl 12246 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  (
n  pCnt  N )  e.  NN0 )
32ancoms 266 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime )  -> 
( n  pCnt  N
)  e.  NN0 )
43ralrimiva 2543 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  A. n  e.  Prime  ( n  pCnt  N )  e.  NN0 )
54adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  A. n  e.  Prime  ( n  pCnt  N )  e.  NN0 )
6 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
7 simpl 108 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  p  e.  Prime )
8 oveq1 5858 . . . . . 6  |-  ( n  =  p  ->  (
n  pCnt  N )  =  ( p  pCnt  N ) )
91, 5, 6, 7, 8pcmpt 12288 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  (
p  pCnt  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N
) )  =  if ( p  <_  N ,  ( p  pCnt  N ) ,  0 ) )
10 iftrue 3530 . . . . . . 7  |-  ( p  <_  N  ->  if ( p  <_  N , 
( p  pCnt  N
) ,  0 )  =  ( p  pCnt  N ) )
1110adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  /\  p  <_  N
)  ->  if (
p  <_  N , 
( p  pCnt  N
) ,  0 )  =  ( p  pCnt  N ) )
12 iffalse 3533 . . . . . . . 8  |-  ( -.  p  <_  N  ->  if ( p  <_  N ,  ( p  pCnt  N ) ,  0 )  =  0 )
1312adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  /\  -.  p  <_  N )  ->  if ( p  <_  N , 
( p  pCnt  N
) ,  0 )  =  0 )
14 prmz 12058 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
15 dvdsle 11797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( p  ||  N  ->  p  <_  N )
)
1614, 15sylan 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  (
p  ||  N  ->  p  <_  N ) )
1716con3dimp 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  /\  -.  p  <_  N )  ->  -.  p  ||  N )
18 pceq0 12268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  (
( p  pCnt  N
)  =  0  <->  -.  p  ||  N ) )
1918adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  /\  -.  p  <_  N )  ->  (
( p  pCnt  N
)  =  0  <->  -.  p  ||  N ) )
2017, 19mpbird 166 . . . . . . 7  |-  ( ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  /\  -.  p  <_  N )  ->  (
p  pCnt  N )  =  0 )
2113, 20eqtr4d 2206 . . . . . 6  |-  ( ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  /\  -.  p  <_  N )  ->  if ( p  <_  N , 
( p  pCnt  N
) ,  0 )  =  ( p  pCnt  N ) )
2214adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  p  e.  ZZ )
236nnzd 9326 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
24 zdcle 9281 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  p  <_  N )
2522, 23, 24syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  -> DECID  p  <_  N )
26 exmiddc 831 . . . . . . 7  |-  (DECID  p  <_  N  ->  ( p  <_  N  \/  -.  p  <_  N ) )
2725, 26syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  (
p  <_  N  \/  -.  p  <_  N ) )
2811, 21, 27mpjaodan 793 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  if ( p  <_  N , 
( p  pCnt  N
) ,  0 )  =  ( p  pCnt  N ) )
299, 28eqtrd 2203 . . . 4  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  (
p  pCnt  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N
) )  =  ( p  pCnt  N )
)
3029ancoms 266 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N
) )  =  ( p  pCnt  N )
)
3130ralrimiva 2543 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N ) )  =  ( p  pCnt  N
) )
321, 4pcmptcl 12287 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( F : NN --> NN  /\  seq 1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN ) )
3332simprd 113 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN )
34 ffvelrn 5627 . . . . 5  |-  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN  /\  N  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N
)  e.  NN )
3533, 34mpancom 420 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N
)  e.  NN )
3635nnnn0d 9181 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N
)  e.  NN0 )
37 nnnn0 9135 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
38 pc11 12277 . . 3  |-  ( ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 N )  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N
)  =  N  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N ) )  =  ( p  pCnt  N
) ) )
3936, 37, 38syl2anc 409 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N )  =  N  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N
) )  =  ( p  pCnt  N )
) )
4031, 39mpbird 166 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N
)  =  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 703  DECID wdc 829    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   ifcif 3525   class class class wbr 3987    |-> cmpt 4048   -->wf 5192   ` cfv 5196  (class class class)co 5851   0cc0 7767   1c1 7768    x. cmul 7772    <_ cle 7948   NNcn 8871   NN0cn0 9128   ZZcz 9205    seqcseq 10394   ^cexp 10468    || cdvds 11742   Primecprime 12054    pCnt cpc 12231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884  ax-pre-mulext 7885  ax-arch 7886  ax-caucvg 7887
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-1o 6393  df-2o 6394  df-er 6511  df-en 6717  df-fin 6719  df-sup 6959  df-inf 6960  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-reap 8487  df-ap 8494  df-div 8583  df-inn 8872  df-2 8930  df-3 8931  df-4 8932  df-n0 9129  df-xnn0 9192  df-z 9206  df-uz 9481  df-q 9572  df-rp 9604  df-fz 9959  df-fzo 10092  df-fl 10219  df-mod 10272  df-seqfrec 10395  df-exp 10469  df-cj 10799  df-re 10800  df-im 10801  df-rsqrt 10955  df-abs 10956  df-dvds 11743  df-gcd 11891  df-prm 12055  df-pc 12232
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator