Theorem pcprod 12276

Description: The product of the primes taken to their respective powers reconstructs the original number. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
pcprod.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
pcprod	|- ( N e. NN -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) = N )

Distinct variable group:   n, N

Allowed substitution hint:   F( n)

Proof of Theorem pcprod

Dummy variable p is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcprod.1	. . . . . 6 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
2		pccl 12231	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. Prime /\ N e. NN ) -> ( n pCnt N ) e. NN0 )
3	2	ancoms 266	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ n e. Prime ) -> ( n pCnt N ) e. NN0 )
4	3	ralrimiva 2539	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> A. n e. Prime ( n pCnt N ) e. NN0 )
5	4	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> A. n e. Prime ( n pCnt N ) e. NN0 )
6		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> N e. NN )
7		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> p e. Prime )
8		oveq1 5849	. . . . . 6 |- ( n = p -> ( n pCnt N ) = ( p pCnt N ) )
9	1, 5, 6, 7, 8	pcmpt 12273	. . . . 5 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> ( p pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = if ( p <_ N , ( p pCnt N ) , 0 ) )
10		iftrue 3525	. . . . . . 7 |- ( p <_ N -> if ( p <_ N , ( p pCnt N ) , 0 ) = ( p pCnt N ) )
11	10	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) /\ p <_ N ) -> if ( p <_ N , ( p pCnt N ) , 0 ) = ( p pCnt N ) )
12		iffalse 3528	. . . . . . . 8 |- ( -. p <_ N -> if ( p <_ N , ( p pCnt N ) , 0 ) = 0 )
13	12	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) /\ -. p <_ N ) -> if ( p <_ N , ( p pCnt N ) , 0 ) = 0 )
14		prmz 12043	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. Prime -> p e. ZZ )
15		dvdsle 11782	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( p || N -> p <_ N ) )
16	14, 15	sylan 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> ( p || N -> p <_ N ) )
17	16	con3dimp 625	. . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) /\ -. p <_ N ) -> -. p || N )
18		pceq0 12253	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> ( ( p pCnt N ) = 0 <-> -. p || N ) )
19	18	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) /\ -. p <_ N ) -> ( ( p pCnt N ) = 0 <-> -. p || N ) )
20	17, 19	mpbird 166	. . . . . . 7 |- ( ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) /\ -. p <_ N ) -> ( p pCnt N ) = 0 )
21	13, 20	eqtr4d 2201	. . . . . 6 |- ( ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) /\ -. p <_ N ) -> if ( p <_ N , ( p pCnt N ) , 0 ) = ( p pCnt N ) )
22	14	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> p e. ZZ )
23	6	nnzd 9312	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
24		zdcle 9267	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID p <_ N )
25	22, 23, 24	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> DECID p <_ N )
26		exmiddc 826	. . . . . . 7 |- (DECID p <_ N -> ( p <_ N \/ -. p <_ N ) )
27	25, 26	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> ( p <_ N \/ -. p <_ N ) )
28	11, 21, 27	mpjaodan 788	. . . . 5 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> if ( p <_ N , ( p pCnt N ) , 0 ) = ( p pCnt N ) )
29	9, 28	eqtrd 2198	. . . 4 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN ) -> ( p pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = ( p pCnt N ) )
30	29	ancoms 266	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = ( p pCnt N ) )
31	30	ralrimiva 2539	. 2 |- ( N e. NN -> A. p e. Prime ( p pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = ( p pCnt N ) )
32	1, 4	pcmptcl 12272	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( F : NN --> NN /\ seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN ) )
33	32	simprd 113	. . . . 5 |- ( N e. NN -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN )
34		ffvelrn 5618	. . . . 5 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN /\ N e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) e. NN )
35	33, 34	mpancom 419	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) e. NN )
36	35	nnnn0d 9167	. . 3 |- ( N e. NN -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) e. NN0 )
37		nnnn0 9121	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
38		pc11 12262	. . 3 |- ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) = N <-> A. p e. Prime ( p pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = ( p pCnt N ) ) )
39	36, 37, 38	syl2anc 409	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) = N <-> A. p e. Prime ( p pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = ( p pCnt N ) ) )
40	31, 39	mpbird 166	1 |- ( N e. NN -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) = N )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 824   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   ifcif 3520   class class class wbr 3982   |-> cmpt 4043   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   0cc0 7753   1c1 7754   x. cmul 7758   <_ cle 7934   NNcn 8857   NN0cn0 9114   ZZcz 9191   seqcseq 10380   ^cexp 10454   || cdvds 11727   Primecprime 12039   pCnt cpc 12216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-1o 6384  df-2o 6385  df-er 6501  df-en 6707  df-fin 6709  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-xnn0 9178  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-fl 10205  df-mod 10258  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-dvds 11728  df-gcd 11876  df-prm 12040  df-pc 12217

This theorem is referenced by: (None)