Theorem prodssdc 12095

Description: Change the index set to a subset in an upper integer product. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodss.1	|- ( ph -> A C_ B )
prodss.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
prodssdc.3	|- ( ph -> E. n e. ( ZZ>= ` M ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) )
prodssdc.a	|- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
prodssdc.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
prodss.4	|- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 1 )
prodss.5	|- ( ph -> B C_ ( ZZ>= ` M ) )
prodssdc.b	|- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B )

Assertion

Ref	Expression
prodssdc	|- ( ph -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, j, k, n, y   B, j, k, n, y   C, j, n, y   j, M, k, n, y   ph, j, k, n, y

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem prodssdc

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . . 4 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2		prodssdc.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		prodssdc.3	. . . 4 |- ( ph -> E. n e. ( ZZ>= ` M ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) )
4		prodss.1	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ B )
5		prodss.5	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ ( ZZ>= ` M ) )
6	4, 5	sstrd 3234	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
7		prodssdc.a	. . . 4 |- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
8		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> m e. ( ZZ>= ` M ) )
9		eleq1w 2290	. . . . . . . . . 10 |- ( j = m -> ( j e. B <-> m e. B ) )
10	9	dcbid 843	. . . . . . . . 9 |- ( j = m -> (DECID j e. B <-> DECID m e. B ) )
11		prodssdc.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B )
12	11	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B )
13	10, 12, 8	rspcdva 2912	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID m e. B )
14		exmiddc 841	. . . . . . . 8 |- (DECID m e. B -> ( m e. B \/ -. m e. B ) )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( m e. B \/ -. m e. B ) )
16		iftrue 3607	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. B -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) = [_ m / k ]_ C )
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) = [_ m / k ]_ C )
18		prodss.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
19	18	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( k e. A -> C e. CC ) )
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( k e. A -> C e. CC ) )
21		eldif 3206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( B \ A ) <-> ( k e. B /\ -. k e. A ) )
22		prodss.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 1 )
23		ax-1cn 8088	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. CC
24	22, 23	eqeltrdi 2320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C e. CC )
25	21, 24	sylan2br 288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( k e. B /\ -. k e. A ) ) -> C e. CC )
26	25	expr 375	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( -. k e. A -> C e. CC ) )
27		eleq1w 2290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
28	27	dcbid 843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = k -> (DECID j e. A <-> DECID k e. A ) )
29	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
30	5	sselda 3224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
31	28, 29, 30	rspcdva 2912	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> DECID k e. A )
32		exmiddc 841	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
33	31, 32	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
34	20, 26, 33	mpjaod 723	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
35	34	ralrimiva 2603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. k e. B C e. CC )
36		nfcsb1v 3157	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ m / k ]_ C
37	36	nfel1 2383	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k [_ m / k ]_ C e. CC
38		csbeq1a 3133	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = m -> C = [_ m / k ]_ C )
39	38	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = m -> ( C e. CC <-> [_ m / k ]_ C e. CC ) )
40	37, 39	rspc 2901	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. B -> ( A. k e. B C e. CC -> [_ m / k ]_ C e. CC ) )
41	35, 40	mpan9 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> [_ m / k ]_ C e. CC )
42	17, 41	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC )
43	42	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( m e. B -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC ) )
44		iffalse 3610	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. m e. B -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) = 1 )
45	44, 23	eqeltrdi 2320	. . . . . . . . . 10 |- ( -. m e. B -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC )
46	45	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( -. m e. B -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC ) )
47	43, 46	jaod 722	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( m e. B \/ -. m e. B ) -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC ) )
48	47	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( m e. B \/ -. m e. B ) -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC ) )
49	15, 48	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC )
50		nfcv 2372	. . . . . . 7 |- F/_ k m
51		nfv 1574	. . . . . . . 8 |- F/ k m e. B
52		nfcv 2372	. . . . . . . 8 |- F/_ k 1
53	51, 36, 52	nfif 3631	. . . . . . 7 |- F/_ k if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 )
54		eleq1w 2290	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> ( k e. B <-> m e. B ) )
55	54, 38	ifbieq1d 3625	. . . . . . 7 |- ( k = m -> if ( k e. B , C , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
56		eqid 2229	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) = ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) )
57	50, 53, 55, 56	fvmptf 5726	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( ZZ>= ` M ) /\ if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ` m ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
58	8, 49, 57	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ` m ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
59		iftrue 3607	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. A -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = ( ( k e. A |-> C ) ` m ) )
60	59	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = ( ( k e. A |-> C ) ` m ) )
61		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> m e. A )
62	4	sselda 3224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> m e. B )
63	62, 41	syldan 282	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> [_ m / k ]_ C e. CC )
64		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. A |-> C ) = ( k e. A |-> C )
65	64	fvmpts 5711	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. A /\ [_ m / k ]_ C e. CC ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
66	61, 63, 65	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
67	60, 66	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = [_ m / k ]_ C )
68	67	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( m e. A -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = [_ m / k ]_ C ) )
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> ( m e. A -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = [_ m / k ]_ C ) )
70		iffalse 3610	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. m e. A -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = 1 )
71	70	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. B /\ -. m e. A ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = 1 )
72	71	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. B /\ -. m e. A ) ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = 1 )
73		eldif 3206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( B \ A ) <-> ( m e. B /\ -. m e. A ) )
74	22	ralrimiva 2603	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. k e. ( B \ A ) C = 1 )
75	36	nfeq1 2382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k [_ m / k ]_ C = 1
76	38	eqeq1d 2238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = m -> ( C = 1 <-> [_ m / k ]_ C = 1 ) )
77	75, 76	rspc 2901	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( B \ A ) -> ( A. k e. ( B \ A ) C = 1 -> [_ m / k ]_ C = 1 ) )
78	74, 77	mpan9 281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( B \ A ) ) -> [_ m / k ]_ C = 1 )
79	73, 78	sylan2br 288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. B /\ -. m e. A ) ) -> [_ m / k ]_ C = 1 )
80	72, 79	eqtr4d 2265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. B /\ -. m e. A ) ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = [_ m / k ]_ C )
81	80	expr 375	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> ( -. m e. A -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = [_ m / k ]_ C ) )
82		eleq1w 2290	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = m -> ( j e. A <-> m e. A ) )
83	82	dcbid 843	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = m -> (DECID j e. A <-> DECID m e. A ) )
84	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
85	5	sselda 3224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> m e. ( ZZ>= ` M ) )
86	83, 84, 85	rspcdva 2912	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> DECID m e. A )
87		exmiddc 841	. . . . . . . . . . . 12 |- (DECID m e. A -> ( m e. A \/ -. m e. A ) )
88	86, 87	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> ( m e. A \/ -. m e. A ) )
89	69, 81, 88	mpjaod 723	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = [_ m / k ]_ C )
90	89, 17	eqtr4d 2265	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
91	90	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( m e. B -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) ) )
92	4	ssneld 3226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( -. m e. B -> -. m e. A ) )
93	92	imp 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. m e. B ) -> -. m e. A )
94	93, 70	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. m e. B ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = 1 )
95	44	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. m e. B ) -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) = 1 )
96	94, 95	eqtr4d 2265	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. m e. B ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
97	96	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -. m e. B -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) ) )
98	91, 97	jaod 722	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( m e. B \/ -. m e. B ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) ) )
99	98	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( m e. B \/ -. m e. B ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) ) )
100	15, 99	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
101	58, 100	eqtr4d 2265	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ` m ) = if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) )
102	18	fmpttd 5789	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. A |-> C ) : A --> CC )
103	102	ffvelcdmda 5769	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) e. CC )
104	1, 2, 3, 6, 7, 101, 103	zproddc 12085	. . 3 |- ( ph -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( ~~> ` seq M ( x. , ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ) )
105		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> m e. B )
106		eqid 2229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. B |-> C ) = ( k e. B |-> C )
107	106	fvmpts 5711	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. B /\ [_ m / k ]_ C e. CC ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
108	105, 41, 107	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
109	108	ifeq1d 3620	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
110	109	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( m e. B -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) ) )
111		iffalse 3610	. . . . . . . . . 10 |- ( -. m e. B -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = 1 )
112	111, 44	eqtr4d 2265	. . . . . . . . 9 |- ( -. m e. B -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
113	112	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -. m e. B -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) ) )
114	110, 113	jaod 722	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( m e. B \/ -. m e. B ) -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) ) )
115	114	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( m e. B \/ -. m e. B ) -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) ) )
116	15, 115	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
117	58, 116	eqtr4d 2265	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ` m ) = if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) )
118	34	fmpttd 5789	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. B |-> C ) : B --> CC )
119	118	ffvelcdmda 5769	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) e. CC )
120	1, 2, 3, 5, 11, 117, 119	zproddc 12085	. . 3 |- ( ph -> prod_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = ( ~~> ` seq M ( x. , ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ) )
121	104, 120	eqtr4d 2265	. 2 |- ( ph -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
122	18	ralrimiva 2603	. . 3 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
123		prodfct 12093	. . 3 |- ( A. k e. A C e. CC -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ k e. A C )
124	122, 123	syl 14	. 2 |- ( ph -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ k e. A C )
125		prodfct 12093	. . 3 |- ( A. k e. B C e. CC -> prod_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = prod_ k e. B C )
126	35, 125	syl 14	. 2 |- ( ph -> prod_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = prod_ k e. B C )
127	121, 124, 126	3eqtr3d 2270	1 |- ( ph -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   [_csb 3124   \ cdif 3194   C_ wss 3197   ifcif 3602   class class class wbr 4082   |-> cmpt 4144   ` cfv 5317   CCcc 7993   0cc0 7995   1c1 7996   x. cmul 8000   # cap 8724   ZZcz 9442   ZZ>=cuz 9718   seqcseq 10664   ~~> cli 11784   prod_cprod 12056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-isom 5326  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-frec 6535  df-1o 6560  df-oadd 6564  df-er 6678  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-ihash 10993  df-cj 11348  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-clim 11785  df-proddc 12057

This theorem is referenced by:  fprodssdc  12096