Theorem prodssdc 12149

Description: Change the index set to a subset in an upper integer product. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodss.1	|- ( ph -> A C_ B )
prodss.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
prodssdc.3	|- ( ph -> E. n e. ( ZZ>= ` M ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) )
prodssdc.a	|- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
prodssdc.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
prodss.4	|- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 1 )
prodss.5	|- ( ph -> B C_ ( ZZ>= ` M ) )
prodssdc.b	|- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B )

Assertion

Ref	Expression
prodssdc	|- ( ph -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, j, k, n, y   B, j, k, n, y   C, j, n, y   j, M, k, n, y   ph, j, k, n, y

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem prodssdc

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . . 4 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2		prodssdc.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		prodssdc.3	. . . 4 |- ( ph -> E. n e. ( ZZ>= ` M ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) )
4		prodss.1	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ B )
5		prodss.5	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ ( ZZ>= ` M ) )
6	4, 5	sstrd 3237	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
7		prodssdc.a	. . . 4 |- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
8		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> m e. ( ZZ>= ` M ) )
9		eleq1w 2292	. . . . . . . . . 10 |- ( j = m -> ( j e. B <-> m e. B ) )
10	9	dcbid 845	. . . . . . . . 9 |- ( j = m -> (DECID j e. B <-> DECID m e. B ) )
11		prodssdc.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B )
12	11	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B )
13	10, 12, 8	rspcdva 2915	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID m e. B )
14		exmiddc 843	. . . . . . . 8 |- (DECID m e. B -> ( m e. B \/ -. m e. B ) )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( m e. B \/ -. m e. B ) )
16		iftrue 3610	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. B -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) = [_ m / k ]_ C )
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) = [_ m / k ]_ C )
18		prodss.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
19	18	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( k e. A -> C e. CC ) )
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( k e. A -> C e. CC ) )
21		eldif 3209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( B \ A ) <-> ( k e. B /\ -. k e. A ) )
22		prodss.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 1 )
23		ax-1cn 8124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. CC
24	22, 23	eqeltrdi 2322	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C e. CC )
25	21, 24	sylan2br 288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( k e. B /\ -. k e. A ) ) -> C e. CC )
26	25	expr 375	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( -. k e. A -> C e. CC ) )
27		eleq1w 2292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
28	27	dcbid 845	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = k -> (DECID j e. A <-> DECID k e. A ) )
29	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
30	5	sselda 3227	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
31	28, 29, 30	rspcdva 2915	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> DECID k e. A )
32		exmiddc 843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
33	31, 32	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
34	20, 26, 33	mpjaod 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
35	34	ralrimiva 2605	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. k e. B C e. CC )
36		nfcsb1v 3160	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ m / k ]_ C
37	36	nfel1 2385	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k [_ m / k ]_ C e. CC
38		csbeq1a 3136	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = m -> C = [_ m / k ]_ C )
39	38	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = m -> ( C e. CC <-> [_ m / k ]_ C e. CC ) )
40	37, 39	rspc 2904	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. B -> ( A. k e. B C e. CC -> [_ m / k ]_ C e. CC ) )
41	35, 40	mpan9 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> [_ m / k ]_ C e. CC )
42	17, 41	eqeltrd 2308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC )
43	42	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( m e. B -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC ) )
44		iffalse 3613	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. m e. B -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) = 1 )
45	44, 23	eqeltrdi 2322	. . . . . . . . . 10 |- ( -. m e. B -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC )
46	45	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( -. m e. B -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC ) )
47	43, 46	jaod 724	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( m e. B \/ -. m e. B ) -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC ) )
48	47	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( m e. B \/ -. m e. B ) -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC ) )
49	15, 48	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC )
50		nfcv 2374	. . . . . . 7 |- F/_ k m
51		nfv 1576	. . . . . . . 8 |- F/ k m e. B
52		nfcv 2374	. . . . . . . 8 |- F/_ k 1
53	51, 36, 52	nfif 3634	. . . . . . 7 |- F/_ k if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 )
54		eleq1w 2292	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> ( k e. B <-> m e. B ) )
55	54, 38	ifbieq1d 3628	. . . . . . 7 |- ( k = m -> if ( k e. B , C , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
56		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) = ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) )
57	50, 53, 55, 56	fvmptf 5739	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( ZZ>= ` M ) /\ if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ` m ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
58	8, 49, 57	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ` m ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
59		iftrue 3610	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. A -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = ( ( k e. A |-> C ) ` m ) )
60	59	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = ( ( k e. A |-> C ) ` m ) )
61		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> m e. A )
62	4	sselda 3227	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> m e. B )
63	62, 41	syldan 282	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> [_ m / k ]_ C e. CC )
64		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. A |-> C ) = ( k e. A |-> C )
65	64	fvmpts 5724	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. A /\ [_ m / k ]_ C e. CC ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
66	61, 63, 65	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
67	60, 66	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = [_ m / k ]_ C )
68	67	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( m e. A -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = [_ m / k ]_ C ) )
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> ( m e. A -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = [_ m / k ]_ C ) )
70		iffalse 3613	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. m e. A -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = 1 )
71	70	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. B /\ -. m e. A ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = 1 )
72	71	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. B /\ -. m e. A ) ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = 1 )
73		eldif 3209	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( B \ A ) <-> ( m e. B /\ -. m e. A ) )
74	22	ralrimiva 2605	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. k e. ( B \ A ) C = 1 )
75	36	nfeq1 2384	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k [_ m / k ]_ C = 1
76	38	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = m -> ( C = 1 <-> [_ m / k ]_ C = 1 ) )
77	75, 76	rspc 2904	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( B \ A ) -> ( A. k e. ( B \ A ) C = 1 -> [_ m / k ]_ C = 1 ) )
78	74, 77	mpan9 281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( B \ A ) ) -> [_ m / k ]_ C = 1 )
79	73, 78	sylan2br 288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. B /\ -. m e. A ) ) -> [_ m / k ]_ C = 1 )
80	72, 79	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. B /\ -. m e. A ) ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = [_ m / k ]_ C )
81	80	expr 375	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> ( -. m e. A -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = [_ m / k ]_ C ) )
82		eleq1w 2292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = m -> ( j e. A <-> m e. A ) )
83	82	dcbid 845	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = m -> (DECID j e. A <-> DECID m e. A ) )
84	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
85	5	sselda 3227	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> m e. ( ZZ>= ` M ) )
86	83, 84, 85	rspcdva 2915	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> DECID m e. A )
87		exmiddc 843	. . . . . . . . . . . 12 |- (DECID m e. A -> ( m e. A \/ -. m e. A ) )
88	86, 87	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> ( m e. A \/ -. m e. A ) )
89	69, 81, 88	mpjaod 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = [_ m / k ]_ C )
90	89, 17	eqtr4d 2267	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
91	90	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( m e. B -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) ) )
92	4	ssneld 3229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( -. m e. B -> -. m e. A ) )
93	92	imp 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. m e. B ) -> -. m e. A )
94	93, 70	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. m e. B ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = 1 )
95	44	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. m e. B ) -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) = 1 )
96	94, 95	eqtr4d 2267	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. m e. B ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
97	96	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -. m e. B -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) ) )
98	91, 97	jaod 724	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( m e. B \/ -. m e. B ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) ) )
99	98	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( m e. B \/ -. m e. B ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) ) )
100	15, 99	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
101	58, 100	eqtr4d 2267	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ` m ) = if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) )
102	18	fmpttd 5802	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. A |-> C ) : A --> CC )
103	102	ffvelcdmda 5782	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) e. CC )
104	1, 2, 3, 6, 7, 101, 103	zproddc 12139	. . 3 |- ( ph -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( ~~> ` seq M ( x. , ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ) )
105		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> m e. B )
106		eqid 2231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. B |-> C ) = ( k e. B |-> C )
107	106	fvmpts 5724	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. B /\ [_ m / k ]_ C e. CC ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
108	105, 41, 107	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
109	108	ifeq1d 3623	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
110	109	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( m e. B -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) ) )
111		iffalse 3613	. . . . . . . . . 10 |- ( -. m e. B -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = 1 )
112	111, 44	eqtr4d 2267	. . . . . . . . 9 |- ( -. m e. B -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
113	112	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -. m e. B -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) ) )
114	110, 113	jaod 724	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( m e. B \/ -. m e. B ) -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) ) )
115	114	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( m e. B \/ -. m e. B ) -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) ) )
116	15, 115	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
117	58, 116	eqtr4d 2267	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ` m ) = if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) )
118	34	fmpttd 5802	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. B |-> C ) : B --> CC )
119	118	ffvelcdmda 5782	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) e. CC )
120	1, 2, 3, 5, 11, 117, 119	zproddc 12139	. . 3 |- ( ph -> prod_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = ( ~~> ` seq M ( x. , ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ) )
121	104, 120	eqtr4d 2267	. 2 |- ( ph -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
122	18	ralrimiva 2605	. . 3 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
123		prodfct 12147	. . 3 |- ( A. k e. A C e. CC -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ k e. A C )
124	122, 123	syl 14	. 2 |- ( ph -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ k e. A C )
125		prodfct 12147	. . 3 |- ( A. k e. B C e. CC -> prod_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = prod_ k e. B C )
126	35, 125	syl 14	. 2 |- ( ph -> prod_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = prod_ k e. B C )
127	121, 124, 126	3eqtr3d 2272	1 |- ( ph -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   [_csb 3127   \ cdif 3197   C_ wss 3200   ifcif 3605   class class class wbr 4088   |-> cmpt 4150   ` cfv 5326   CCcc 8029   0cc0 8031   1c1 8032   x. cmul 8036   # cap 8760   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754   seqcseq 10708   ~~> cli 11838   prod_cprod 12110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-frec 6556  df-1o 6581  df-oadd 6585  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-ihash 11037  df-cj 11402  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-clim 11839  df-proddc 12111

This theorem is referenced by:  fprodssdc  12150