Theorem prodssdc 11596

Description: Change the index set to a subset in an upper integer product. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodss.1	|- ( ph -> A C_ B )
prodss.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
prodssdc.3	|- ( ph -> E. n e. ( ZZ>= ` M ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) )
prodssdc.a	|- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
prodssdc.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
prodss.4	|- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 1 )
prodss.5	|- ( ph -> B C_ ( ZZ>= ` M ) )
prodssdc.b	|- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B )

Assertion

Ref	Expression
prodssdc	|- ( ph -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, j, k, n, y   B, j, k, n, y   C, j, n, y   j, M, k, n, y   ph, j, k, n, y

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem prodssdc

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2177	. . . 4 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2		prodssdc.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		prodssdc.3	. . . 4 |- ( ph -> E. n e. ( ZZ>= ` M ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) )
4		prodss.1	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ B )
5		prodss.5	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ ( ZZ>= ` M ) )
6	4, 5	sstrd 3165	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
7		prodssdc.a	. . . 4 |- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
8		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> m e. ( ZZ>= ` M ) )
9		eleq1w 2238	. . . . . . . . . 10 |- ( j = m -> ( j e. B <-> m e. B ) )
10	9	dcbid 838	. . . . . . . . 9 |- ( j = m -> (DECID j e. B <-> DECID m e. B ) )
11		prodssdc.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B )
12	11	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B )
13	10, 12, 8	rspcdva 2846	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID m e. B )
14		exmiddc 836	. . . . . . . 8 |- (DECID m e. B -> ( m e. B \/ -. m e. B ) )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( m e. B \/ -. m e. B ) )
16		iftrue 3539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. B -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) = [_ m / k ]_ C )
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) = [_ m / k ]_ C )
18		prodss.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
19	18	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( k e. A -> C e. CC ) )
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( k e. A -> C e. CC ) )
21		eldif 3138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( B \ A ) <-> ( k e. B /\ -. k e. A ) )
22		prodss.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 1 )
23		ax-1cn 7903	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. CC
24	22, 23	eqeltrdi 2268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C e. CC )
25	21, 24	sylan2br 288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( k e. B /\ -. k e. A ) ) -> C e. CC )
26	25	expr 375	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( -. k e. A -> C e. CC ) )
27		eleq1w 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
28	27	dcbid 838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = k -> (DECID j e. A <-> DECID k e. A ) )
29	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
30	5	sselda 3155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
31	28, 29, 30	rspcdva 2846	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> DECID k e. A )
32		exmiddc 836	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
33	31, 32	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
34	20, 26, 33	mpjaod 718	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
35	34	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. k e. B C e. CC )
36		nfcsb1v 3090	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ m / k ]_ C
37	36	nfel1 2330	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k [_ m / k ]_ C e. CC
38		csbeq1a 3066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = m -> C = [_ m / k ]_ C )
39	38	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = m -> ( C e. CC <-> [_ m / k ]_ C e. CC ) )
40	37, 39	rspc 2835	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. B -> ( A. k e. B C e. CC -> [_ m / k ]_ C e. CC ) )
41	35, 40	mpan9 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> [_ m / k ]_ C e. CC )
42	17, 41	eqeltrd 2254	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC )
43	42	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( m e. B -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC ) )
44		iffalse 3542	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. m e. B -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) = 1 )
45	44, 23	eqeltrdi 2268	. . . . . . . . . 10 |- ( -. m e. B -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC )
46	45	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( -. m e. B -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC ) )
47	43, 46	jaod 717	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( m e. B \/ -. m e. B ) -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC ) )
48	47	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( m e. B \/ -. m e. B ) -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC ) )
49	15, 48	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC )
50		nfcv 2319	. . . . . . 7 |- F/_ k m
51		nfv 1528	. . . . . . . 8 |- F/ k m e. B
52		nfcv 2319	. . . . . . . 8 |- F/_ k 1
53	51, 36, 52	nfif 3562	. . . . . . 7 |- F/_ k if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 )
54		eleq1w 2238	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> ( k e. B <-> m e. B ) )
55	54, 38	ifbieq1d 3556	. . . . . . 7 |- ( k = m -> if ( k e. B , C , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
56		eqid 2177	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) = ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) )
57	50, 53, 55, 56	fvmptf 5608	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( ZZ>= ` M ) /\ if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ` m ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
58	8, 49, 57	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ` m ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
59		iftrue 3539	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. A -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = ( ( k e. A |-> C ) ` m ) )
60	59	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = ( ( k e. A |-> C ) ` m ) )
61		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> m e. A )
62	4	sselda 3155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> m e. B )
63	62, 41	syldan 282	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> [_ m / k ]_ C e. CC )
64		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. A |-> C ) = ( k e. A |-> C )
65	64	fvmpts 5594	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. A /\ [_ m / k ]_ C e. CC ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
66	61, 63, 65	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
67	60, 66	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = [_ m / k ]_ C )
68	67	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( m e. A -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = [_ m / k ]_ C ) )
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> ( m e. A -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = [_ m / k ]_ C ) )
70		iffalse 3542	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. m e. A -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = 1 )
71	70	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. B /\ -. m e. A ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = 1 )
72	71	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. B /\ -. m e. A ) ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = 1 )
73		eldif 3138	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( B \ A ) <-> ( m e. B /\ -. m e. A ) )
74	22	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. k e. ( B \ A ) C = 1 )
75	36	nfeq1 2329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k [_ m / k ]_ C = 1
76	38	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = m -> ( C = 1 <-> [_ m / k ]_ C = 1 ) )
77	75, 76	rspc 2835	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( B \ A ) -> ( A. k e. ( B \ A ) C = 1 -> [_ m / k ]_ C = 1 ) )
78	74, 77	mpan9 281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( B \ A ) ) -> [_ m / k ]_ C = 1 )
79	73, 78	sylan2br 288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. B /\ -. m e. A ) ) -> [_ m / k ]_ C = 1 )
80	72, 79	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. B /\ -. m e. A ) ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = [_ m / k ]_ C )
81	80	expr 375	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> ( -. m e. A -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = [_ m / k ]_ C ) )
82		eleq1w 2238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = m -> ( j e. A <-> m e. A ) )
83	82	dcbid 838	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = m -> (DECID j e. A <-> DECID m e. A ) )
84	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
85	5	sselda 3155	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> m e. ( ZZ>= ` M ) )
86	83, 84, 85	rspcdva 2846	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> DECID m e. A )
87		exmiddc 836	. . . . . . . . . . . 12 |- (DECID m e. A -> ( m e. A \/ -. m e. A ) )
88	86, 87	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> ( m e. A \/ -. m e. A ) )
89	69, 81, 88	mpjaod 718	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = [_ m / k ]_ C )
90	89, 17	eqtr4d 2213	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
91	90	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( m e. B -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) ) )
92	4	ssneld 3157	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( -. m e. B -> -. m e. A ) )
93	92	imp 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. m e. B ) -> -. m e. A )
94	93, 70	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. m e. B ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = 1 )
95	44	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. m e. B ) -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) = 1 )
96	94, 95	eqtr4d 2213	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. m e. B ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
97	96	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -. m e. B -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) ) )
98	91, 97	jaod 717	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( m e. B \/ -. m e. B ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) ) )
99	98	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( m e. B \/ -. m e. B ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) ) )
100	15, 99	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
101	58, 100	eqtr4d 2213	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ` m ) = if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) )
102	18	fmpttd 5671	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. A |-> C ) : A --> CC )
103	102	ffvelcdmda 5651	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) e. CC )
104	1, 2, 3, 6, 7, 101, 103	zproddc 11586	. . 3 |- ( ph -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( ~~> ` seq M ( x. , ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ) )
105		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> m e. B )
106		eqid 2177	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. B |-> C ) = ( k e. B |-> C )
107	106	fvmpts 5594	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. B /\ [_ m / k ]_ C e. CC ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
108	105, 41, 107	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
109	108	ifeq1d 3551	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
110	109	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( m e. B -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) ) )
111		iffalse 3542	. . . . . . . . . 10 |- ( -. m e. B -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = 1 )
112	111, 44	eqtr4d 2213	. . . . . . . . 9 |- ( -. m e. B -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
113	112	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -. m e. B -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) ) )
114	110, 113	jaod 717	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( m e. B \/ -. m e. B ) -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) ) )
115	114	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( m e. B \/ -. m e. B ) -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) ) )
116	15, 115	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
117	58, 116	eqtr4d 2213	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ` m ) = if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) )
118	34	fmpttd 5671	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. B |-> C ) : B --> CC )
119	118	ffvelcdmda 5651	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) e. CC )
120	1, 2, 3, 5, 11, 117, 119	zproddc 11586	. . 3 |- ( ph -> prod_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = ( ~~> ` seq M ( x. , ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ) )
121	104, 120	eqtr4d 2213	. 2 |- ( ph -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
122	18	ralrimiva 2550	. . 3 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
123		prodfct 11594	. . 3 |- ( A. k e. A C e. CC -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ k e. A C )
124	122, 123	syl 14	. 2 |- ( ph -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ k e. A C )
125		prodfct 11594	. . 3 |- ( A. k e. B C e. CC -> prod_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = prod_ k e. B C )
126	35, 125	syl 14	. 2 |- ( ph -> prod_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = prod_ k e. B C )
127	121, 124, 126	3eqtr3d 2218	1 |- ( ph -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   [_csb 3057   \ cdif 3126   C_ wss 3129   ifcif 3534   class class class wbr 4003   |-> cmpt 4064   ` cfv 5216   CCcc 7808   0cc0 7810   1c1 7811   x. cmul 7815   # cap 8537   ZZcz 9252   ZZ>=cuz 9527   seqcseq 10444   ~~> cli 11285   prod_cprod 11557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-ihash 10755  df-cj 10850  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286  df-proddc 11558

This theorem is referenced by:  fprodssdc  11597