Theorem prodssdc 12356

Description: Change the index set to a subset in an upper integer product. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodss.1	|- ( ph -> A C_ B )
prodss.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
prodssdc.3	|- ( ph -> E. n e. ( ZZ>= ` M ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) )
prodssdc.a	|- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
prodssdc.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
prodss.4	|- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 1 )
prodss.5	|- ( ph -> B C_ ( ZZ>= ` M ) )
prodssdc.b	|- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B )

Assertion

Ref	Expression
prodssdc	|- ( ph -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, j, k, n, y   B, j, k, n, y   C, j, n, y   j, M, k, n, y   ph, j, k, n, y

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem prodssdc

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . 4 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2		prodssdc.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		prodssdc.3	. . . 4 |- ( ph -> E. n e. ( ZZ>= ` M ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) )
4		prodss.1	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ B )
5		prodss.5	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ ( ZZ>= ` M ) )
6	4, 5	sstrd 3258	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
7		prodssdc.a	. . . 4 |- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
8		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> m e. ( ZZ>= ` M ) )
9		eleq1w 2299	. . . . . . . . . 10 |- ( j = m -> ( j e. B <-> m e. B ) )
10	9	dcbid 850	. . . . . . . . 9 |- ( j = m -> (DECID j e. B <-> DECID m e. B ) )
11		prodssdc.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B )
12	11	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B )
13	10, 12, 8	rspcdva 2934	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID m e. B )
14		exmiddc 848	. . . . . . . 8 |- (DECID m e. B -> ( m e. B \/ -. m e. B ) )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( m e. B \/ -. m e. B ) )
16		iftrue 3645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. B -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) = [_ m / k ]_ C )
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) = [_ m / k ]_ C )
18		prodss.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
19	18	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( k e. A -> C e. CC ) )
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( k e. A -> C e. CC ) )
21		eldif 3229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( B \ A ) <-> ( k e. B /\ -. k e. A ) )
22		prodss.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 1 )
23		ax-1cn 8272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. CC
24	22, 23	eqeltrdi 2329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C e. CC )
25	21, 24	sylan2br 288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( k e. B /\ -. k e. A ) ) -> C e. CC )
26	25	expr 375	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( -. k e. A -> C e. CC ) )
27		eleq1w 2299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
28	27	dcbid 850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = k -> (DECID j e. A <-> DECID k e. A ) )
29	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
30	5	sselda 3248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
31	28, 29, 30	rspcdva 2934	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> DECID k e. A )
32		exmiddc 848	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
33	31, 32	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
34	20, 26, 33	mpjaod 730	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
35	34	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. k e. B C e. CC )
36		nfcsb1v 3180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ m / k ]_ C
37	36	nfel1 2403	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k [_ m / k ]_ C e. CC
38		csbeq1a 3156	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = m -> C = [_ m / k ]_ C )
39	38	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = m -> ( C e. CC <-> [_ m / k ]_ C e. CC ) )
40	37, 39	rspc 2923	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. B -> ( A. k e. B C e. CC -> [_ m / k ]_ C e. CC ) )
41	35, 40	mpan9 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> [_ m / k ]_ C e. CC )
42	17, 41	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC )
43	42	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( m e. B -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC ) )
44		iffalse 3648	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. m e. B -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) = 1 )
45	44, 23	eqeltrdi 2329	. . . . . . . . . 10 |- ( -. m e. B -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC )
46	45	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( -. m e. B -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC ) )
47	43, 46	jaod 729	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( m e. B \/ -. m e. B ) -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC ) )
48	47	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( m e. B \/ -. m e. B ) -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC ) )
49	15, 48	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC )
50		nfcv 2392	. . . . . . 7 |- F/_ k m
51		nfv 1581	. . . . . . . 8 |- F/ k m e. B
52		nfcv 2392	. . . . . . . 8 |- F/_ k 1
53	51, 36, 52	nfif 3669	. . . . . . 7 |- F/_ k if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 )
54		eleq1w 2299	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> ( k e. B <-> m e. B ) )
55	54, 38	ifbieq1d 3663	. . . . . . 7 |- ( k = m -> if ( k e. B , C , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
56		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) = ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) )
57	50, 53, 55, 56	fvmptf 5798	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( ZZ>= ` M ) /\ if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ` m ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
58	8, 49, 57	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ` m ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
59		iftrue 3645	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. A -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = ( ( k e. A |-> C ) ` m ) )
60	59	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = ( ( k e. A |-> C ) ` m ) )
61		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> m e. A )
62	4	sselda 3248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> m e. B )
63	62, 41	syldan 282	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> [_ m / k ]_ C e. CC )
64		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. A |-> C ) = ( k e. A |-> C )
65	64	fvmpts 5783	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. A /\ [_ m / k ]_ C e. CC ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
66	61, 63, 65	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
67	60, 66	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = [_ m / k ]_ C )
68	67	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( m e. A -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = [_ m / k ]_ C ) )
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> ( m e. A -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = [_ m / k ]_ C ) )
70		iffalse 3648	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. m e. A -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = 1 )
71	70	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. B /\ -. m e. A ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = 1 )
72	71	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. B /\ -. m e. A ) ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = 1 )
73		eldif 3229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( B \ A ) <-> ( m e. B /\ -. m e. A ) )
74	22	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. k e. ( B \ A ) C = 1 )
75	36	nfeq1 2402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k [_ m / k ]_ C = 1
76	38	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = m -> ( C = 1 <-> [_ m / k ]_ C = 1 ) )
77	75, 76	rspc 2923	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( B \ A ) -> ( A. k e. ( B \ A ) C = 1 -> [_ m / k ]_ C = 1 ) )
78	74, 77	mpan9 281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( B \ A ) ) -> [_ m / k ]_ C = 1 )
79	73, 78	sylan2br 288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. B /\ -. m e. A ) ) -> [_ m / k ]_ C = 1 )
80	72, 79	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. B /\ -. m e. A ) ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = [_ m / k ]_ C )
81	80	expr 375	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> ( -. m e. A -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = [_ m / k ]_ C ) )
82		eleq1w 2299	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = m -> ( j e. A <-> m e. A ) )
83	82	dcbid 850	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = m -> (DECID j e. A <-> DECID m e. A ) )
84	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
85	5	sselda 3248	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> m e. ( ZZ>= ` M ) )
86	83, 84, 85	rspcdva 2934	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> DECID m e. A )
87		exmiddc 848	. . . . . . . . . . . 12 |- (DECID m e. A -> ( m e. A \/ -. m e. A ) )
88	86, 87	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> ( m e. A \/ -. m e. A ) )
89	69, 81, 88	mpjaod 730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = [_ m / k ]_ C )
90	89, 17	eqtr4d 2274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
91	90	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( m e. B -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) ) )
92	4	ssneld 3250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( -. m e. B -> -. m e. A ) )
93	92	imp 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. m e. B ) -> -. m e. A )
94	93, 70	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. m e. B ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = 1 )
95	44	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. m e. B ) -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) = 1 )
96	94, 95	eqtr4d 2274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. m e. B ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
97	96	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -. m e. B -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) ) )
98	91, 97	jaod 729	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( m e. B \/ -. m e. B ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) ) )
99	98	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( m e. B \/ -. m e. B ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) ) )
100	15, 99	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
101	58, 100	eqtr4d 2274	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ` m ) = if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) )
102	18	fmpttd 5863	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. A |-> C ) : A --> CC )
103	102	ffvelcdmda 5843	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) e. CC )
104	1, 2, 3, 6, 7, 101, 103	zproddc 12346	. . 3 |- ( ph -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( ~~> ` seq M ( x. , ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ) )
105		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> m e. B )
106		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. B |-> C ) = ( k e. B |-> C )
107	106	fvmpts 5783	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. B /\ [_ m / k ]_ C e. CC ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
108	105, 41, 107	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
109	108	ifeq1d 3658	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
110	109	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( m e. B -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) ) )
111		iffalse 3648	. . . . . . . . . 10 |- ( -. m e. B -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = 1 )
112	111, 44	eqtr4d 2274	. . . . . . . . 9 |- ( -. m e. B -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
113	112	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -. m e. B -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) ) )
114	110, 113	jaod 729	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( m e. B \/ -. m e. B ) -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) ) )
115	114	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( m e. B \/ -. m e. B ) -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) ) )
116	15, 115	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
117	58, 116	eqtr4d 2274	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ` m ) = if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) )
118	34	fmpttd 5863	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. B |-> C ) : B --> CC )
119	118	ffvelcdmda 5843	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) e. CC )
120	1, 2, 3, 5, 11, 117, 119	zproddc 12346	. . 3 |- ( ph -> prod_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = ( ~~> ` seq M ( x. , ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ) )
121	104, 120	eqtr4d 2274	. 2 |- ( ph -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
122	18	ralrimiva 2623	. . 3 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
123		prodfct 12354	. . 3 |- ( A. k e. A C e. CC -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ k e. A C )
124	122, 123	syl 14	. 2 |- ( ph -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ k e. A C )
125		prodfct 12354	. . 3 |- ( A. k e. B C e. CC -> prod_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = prod_ k e. B C )
126	35, 125	syl 14	. 2 |- ( ph -> prod_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = prod_ k e. B C )
127	121, 124, 126	3eqtr3d 2279	1 |- ( ph -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   [_csb 3147   \ cdif 3217   C_ wss 3220   ifcif 3638   class class class wbr 4130   |-> cmpt 4192   ` cfv 5377   CCcc 8177   0cc0 8179   1c1 8180   x. cmul 8184   # cap 8909   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   seqcseq 10884   ~~> cli 12044   prod_cprod 12317

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-ihash 11215  df-cj 11607  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-clim 12045  df-proddc 12318

This theorem is used by:  fprodssdc  12357