Theorem pcmptcl 12294

Description: Closure for the prime power map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcmpt.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) )
pcmpt.2	|- ( ph -> A. n e. Prime A e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
pcmptcl	|- ( ph -> ( F : NN --> NN /\ seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN ) )

Proof of Theorem pcmptcl

Dummy variables k p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcmpt.2	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. Prime A e. NN0 )
2		pm2.27 40	. . . . . . . 8 |- ( n e. Prime -> ( ( n e. Prime -> A e. NN0 ) -> A e. NN0 ) )
3		iftrue 3531	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. Prime -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) = ( n ^ A ) )
4	3	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. Prime /\ A e. NN0 ) -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) = ( n ^ A ) )
5		prmnn 12064	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. Prime -> n e. NN )
6		nnexpcl 10489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ A e. NN0 ) -> ( n ^ A ) e. NN )
7	5, 6	sylan 281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( n ^ A ) e. NN )
8	4, 7	eqeltrd 2247	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. Prime /\ A e. NN0 ) -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN )
9	8	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( n e. Prime -> ( A e. NN0 -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN ) )
10	2, 9	syld 45	. . . . . . 7 |- ( n e. Prime -> ( ( n e. Prime -> A e. NN0 ) -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN ) )
11		iffalse 3534	. . . . . . . . 9 |- ( -. n e. Prime -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) = 1 )
12		1nn 8889	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
13	11, 12	eqeltrdi 2261	. . . . . . . 8 |- ( -. n e. Prime -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN )
14	13	a1d 22	. . . . . . 7 |- ( -. n e. Prime -> ( ( n e. Prime -> A e. NN0 ) -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN ) )
15	10, 14	jaoi 711	. . . . . 6 |- ( ( n e. Prime \/ -. n e. Prime ) -> ( ( n e. Prime -> A e. NN0 ) -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN ) )
16		prmdc 12084	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> DECID n e. Prime )
17		exmiddc 831	. . . . . . 7 |- (DECID n e. Prime -> ( n e. Prime \/ -. n e. Prime ) )
18	16, 17	syl 14	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> ( n e. Prime \/ -. n e. Prime ) )
19	15, 18	syl11 31	. . . . 5 |- ( ( n e. Prime -> A e. NN0 ) -> ( n e. NN -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN ) )
20	19	ralimi2 2530	. . . 4 |- ( A. n e. Prime A e. NN0 -> A. n e. NN if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN )
21	1, 20	syl 14	. . 3 |- ( ph -> A. n e. NN if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN )
22		pcmpt.1	. . . 4 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) )
23	22	fmpt 5646	. . 3 |- ( A. n e. NN if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN <-> F : NN --> NN )
24	21, 23	sylib 121	. 2 |- ( ph -> F : NN --> NN )
25		nnuz 9522	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
26		1zzd 9239	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
27	24	ffvelrnda 5631	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. NN )
28		nnmulcl 8899	. . . 4 |- ( ( k e. NN /\ p e. NN ) -> ( k x. p ) e. NN )
29	28	adantl 275	. . 3 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ p e. NN ) ) -> ( k x. p ) e. NN )
30	25, 26, 27, 29	seqf 10417	. 2 |- ( ph -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN )
31	24, 30	jca 304	1 |- ( ph -> ( F : NN --> NN /\ seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   ifcif 3526   |-> cmpt 4050   -->wf 5194  (class class class)co 5853   1c1 7775   x. cmul 7779   NNcn 8878   NN0cn0 9135   seqcseq 10401   ^cexp 10475   Primecprime 12061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-1o 6395  df-2o 6396  df-er 6513  df-en 6719  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-dvds 11750  df-prm 12062

This theorem is referenced by:  pcmpt  12295  pcmpt2  12296  pcmptdvds  12297  pcprod  12298  1arithlem4  12318