Theorem pcmptcl 12914

Description: Closure for the prime power map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcmpt.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) )
pcmpt.2	|- ( ph -> A. n e. Prime A e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
pcmptcl	|- ( ph -> ( F : NN --> NN /\ seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN ) )

Proof of Theorem pcmptcl

Dummy variables k p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcmpt.2	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. Prime A e. NN0 )
2		pm2.27 40	. . . . . . . 8 |- ( n e. Prime -> ( ( n e. Prime -> A e. NN0 ) -> A e. NN0 ) )
3		iftrue 3610	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. Prime -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) = ( n ^ A ) )
4	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. Prime /\ A e. NN0 ) -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) = ( n ^ A ) )
5		prmnn 12681	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. Prime -> n e. NN )
6		nnexpcl 10813	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ A e. NN0 ) -> ( n ^ A ) e. NN )
7	5, 6	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( n ^ A ) e. NN )
8	4, 7	eqeltrd 2308	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. Prime /\ A e. NN0 ) -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN )
9	8	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( n e. Prime -> ( A e. NN0 -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN ) )
10	2, 9	syld 45	. . . . . . 7 |- ( n e. Prime -> ( ( n e. Prime -> A e. NN0 ) -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN ) )
11		iffalse 3613	. . . . . . . . 9 |- ( -. n e. Prime -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) = 1 )
12		1nn 9153	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
13	11, 12	eqeltrdi 2322	. . . . . . . 8 |- ( -. n e. Prime -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN )
14	13	a1d 22	. . . . . . 7 |- ( -. n e. Prime -> ( ( n e. Prime -> A e. NN0 ) -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN ) )
15	10, 14	jaoi 723	. . . . . 6 |- ( ( n e. Prime \/ -. n e. Prime ) -> ( ( n e. Prime -> A e. NN0 ) -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN ) )
16		prmdc 12701	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> DECID n e. Prime )
17		exmiddc 843	. . . . . . 7 |- (DECID n e. Prime -> ( n e. Prime \/ -. n e. Prime ) )
18	16, 17	syl 14	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> ( n e. Prime \/ -. n e. Prime ) )
19	15, 18	syl11 31	. . . . 5 |- ( ( n e. Prime -> A e. NN0 ) -> ( n e. NN -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN ) )
20	19	ralimi2 2592	. . . 4 |- ( A. n e. Prime A e. NN0 -> A. n e. NN if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN )
21	1, 20	syl 14	. . 3 |- ( ph -> A. n e. NN if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN )
22		pcmpt.1	. . . 4 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) )
23	22	fmpt 5797	. . 3 |- ( A. n e. NN if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN <-> F : NN --> NN )
24	21, 23	sylib 122	. 2 |- ( ph -> F : NN --> NN )
25		nnuz 9791	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
26		1zzd 9505	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
27	24	ffvelcdmda 5782	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. NN )
28		nnmulcl 9163	. . . 4 |- ( ( k e. NN /\ p e. NN ) -> ( k x. p ) e. NN )
29	28	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ p e. NN ) ) -> ( k x. p ) e. NN )
30	25, 26, 27, 29	seqf 10725	. 2 |- ( ph -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN )
31	24, 30	jca 306	1 |- ( ph -> ( F : NN --> NN /\ seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   ifcif 3605   |-> cmpt 4150   -->wf 5322  (class class class)co 6017   1c1 8032   x. cmul 8036   NNcn 9142   NN0cn0 9401   seqcseq 10708   ^cexp 10799   Primecprime 12678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-2o 6582  df-er 6701  df-en 6909  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-fz 10243  df-fl 10529  df-mod 10584  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-dvds 12348  df-prm 12679

This theorem is referenced by:  pcmpt  12915  pcmpt2  12916  pcmptdvds  12917  pcprod  12918  1arithlem4  12938