Theorem pcmptcl 12607

Description: Closure for the prime power map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcmpt.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) )
pcmpt.2	|- ( ph -> A. n e. Prime A e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
pcmptcl	|- ( ph -> ( F : NN --> NN /\ seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN ) )

Proof of Theorem pcmptcl

Dummy variables k p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcmpt.2	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. Prime A e. NN0 )
2		pm2.27 40	. . . . . . . 8 |- ( n e. Prime -> ( ( n e. Prime -> A e. NN0 ) -> A e. NN0 ) )
3		iftrue 3575	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. Prime -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) = ( n ^ A ) )
4	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. Prime /\ A e. NN0 ) -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) = ( n ^ A ) )
5		prmnn 12374	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. Prime -> n e. NN )
6		nnexpcl 10695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ A e. NN0 ) -> ( n ^ A ) e. NN )
7	5, 6	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( n ^ A ) e. NN )
8	4, 7	eqeltrd 2281	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. Prime /\ A e. NN0 ) -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN )
9	8	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( n e. Prime -> ( A e. NN0 -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN ) )
10	2, 9	syld 45	. . . . . . 7 |- ( n e. Prime -> ( ( n e. Prime -> A e. NN0 ) -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN ) )
11		iffalse 3578	. . . . . . . . 9 |- ( -. n e. Prime -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) = 1 )
12		1nn 9046	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
13	11, 12	eqeltrdi 2295	. . . . . . . 8 |- ( -. n e. Prime -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN )
14	13	a1d 22	. . . . . . 7 |- ( -. n e. Prime -> ( ( n e. Prime -> A e. NN0 ) -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN ) )
15	10, 14	jaoi 717	. . . . . 6 |- ( ( n e. Prime \/ -. n e. Prime ) -> ( ( n e. Prime -> A e. NN0 ) -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN ) )
16		prmdc 12394	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> DECID n e. Prime )
17		exmiddc 837	. . . . . . 7 |- (DECID n e. Prime -> ( n e. Prime \/ -. n e. Prime ) )
18	16, 17	syl 14	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> ( n e. Prime \/ -. n e. Prime ) )
19	15, 18	syl11 31	. . . . 5 |- ( ( n e. Prime -> A e. NN0 ) -> ( n e. NN -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN ) )
20	19	ralimi2 2565	. . . 4 |- ( A. n e. Prime A e. NN0 -> A. n e. NN if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN )
21	1, 20	syl 14	. . 3 |- ( ph -> A. n e. NN if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN )
22		pcmpt.1	. . . 4 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) )
23	22	fmpt 5729	. . 3 |- ( A. n e. NN if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN <-> F : NN --> NN )
24	21, 23	sylib 122	. 2 |- ( ph -> F : NN --> NN )
25		nnuz 9683	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
26		1zzd 9398	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
27	24	ffvelcdmda 5714	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. NN )
28		nnmulcl 9056	. . . 4 |- ( ( k e. NN /\ p e. NN ) -> ( k x. p ) e. NN )
29	28	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ p e. NN ) ) -> ( k x. p ) e. NN )
30	25, 26, 27, 29	seqf 10607	. 2 |- ( ph -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN )
31	24, 30	jca 306	1 |- ( ph -> ( F : NN --> NN /\ seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1372   e. wcel 2175   A.wral 2483   ifcif 3570   |-> cmpt 4104   -->wf 5266  (class class class)co 5943   1c1 7925   x. cmul 7929   NNcn 9035   NN0cn0 9294   seqcseq 10590   ^cexp 10681   Primecprime 12371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043  ax-caucvg 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-frec 6476  df-1o 6501  df-2o 6502  df-er 6619  df-en 6827  df-fin 6829  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-rp 9775  df-fz 10130  df-fl 10411  df-mod 10466  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-cj 11095  df-re 11096  df-im 11097  df-rsqrt 11251  df-abs 11252  df-dvds 12041  df-prm 12372

This theorem is referenced by:  pcmpt  12608  pcmpt2  12609  pcmptdvds  12610  pcprod  12611  1arithlem4  12631