Theorem pcmptcl 13070

Description: Closure for the prime power map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcmpt.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) )
pcmpt.2	|- ( ph -> A. n e. Prime A e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
pcmptcl	|- ( ph -> ( F : NN --> NN /\ seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN ) )

Proof of Theorem pcmptcl

Dummy variables k p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcmpt.2	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. Prime A e. NN0 )
2		pm2.27 40	. . . . . . . 8 |- ( n e. Prime -> ( ( n e. Prime -> A e. NN0 ) -> A e. NN0 ) )
3		iftrue 3632	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. Prime -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) = ( n ^ A ) )
4	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. Prime /\ A e. NN0 ) -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) = ( n ^ A ) )
5		prmnn 12837	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. Prime -> n e. NN )
6		nnexpcl 10942	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ A e. NN0 ) -> ( n ^ A ) e. NN )
7	5, 6	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( n ^ A ) e. NN )
8	4, 7	eqeltrd 2311	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. Prime /\ A e. NN0 ) -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN )
9	8	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( n e. Prime -> ( A e. NN0 -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN ) )
10	2, 9	syld 45	. . . . . . 7 |- ( n e. Prime -> ( ( n e. Prime -> A e. NN0 ) -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN ) )
11		iffalse 3635	. . . . . . . . 9 |- ( -. n e. Prime -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) = 1 )
12		1nn 9269	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
13	11, 12	eqeltrdi 2325	. . . . . . . 8 |- ( -. n e. Prime -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN )
14	13	a1d 22	. . . . . . 7 |- ( -. n e. Prime -> ( ( n e. Prime -> A e. NN0 ) -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN ) )
15	10, 14	jaoi 724	. . . . . 6 |- ( ( n e. Prime \/ -. n e. Prime ) -> ( ( n e. Prime -> A e. NN0 ) -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN ) )
16		prmdc 12857	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> DECID n e. Prime )
17		exmiddc 844	. . . . . . 7 |- (DECID n e. Prime -> ( n e. Prime \/ -. n e. Prime ) )
18	16, 17	syl 14	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> ( n e. Prime \/ -. n e. Prime ) )
19	15, 18	syl11 31	. . . . 5 |- ( ( n e. Prime -> A e. NN0 ) -> ( n e. NN -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN ) )
20	19	ralimi2 2604	. . . 4 |- ( A. n e. Prime A e. NN0 -> A. n e. NN if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN )
21	1, 20	syl 14	. . 3 |- ( ph -> A. n e. NN if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN )
22		pcmpt.1	. . . 4 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) )
23	22	fmpt 5833	. . 3 |- ( A. n e. NN if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN <-> F : NN --> NN )
24	21, 23	sylib 122	. 2 |- ( ph -> F : NN --> NN )
25		nnuz 9912	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
26		1zzd 9625	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
27	24	ffvelcdmda 5818	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. NN )
28		nnmulcl 9279	. . . 4 |- ( ( k e. NN /\ p e. NN ) -> ( k x. p ) e. NN )
29	28	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ p e. NN ) ) -> ( k x. p ) e. NN )
30	25, 26, 27, 29	seqf 10854	. 2 |- ( ph -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN )
31	24, 30	jca 306	1 |- ( ph -> ( F : NN --> NN /\ seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   ifcif 3625   |-> cmpt 4177   -->wf 5354  (class class class)co 6059   1c1 8145   x. cmul 8149   NNcn 9258   NN0cn0 9517   seqcseq 10837   ^cexp 10928   Primecprime 12834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-iinf 4716  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-mulrcl 8243  ax-addcom 8244  ax-mulcom 8245  ax-addass 8246  ax-mulass 8247  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-1rid 8251  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-precex 8254  ax-cnre 8255  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltwlin 8257  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-apti 8259  ax-pre-ltadd 8260  ax-pre-mulgt0 8261  ax-pre-mulext 8262  ax-arch 8263  ax-caucvg 8264

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4719  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-1st 6348  df-2nd 6349  df-recs 6550  df-frec 6636  df-1o 6661  df-2o 6662  df-er 6781  df-en 6990  df-fin 6992  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-sub 8464  df-neg 8465  df-reap 8868  df-ap 8875  df-div 8968  df-inn 9259  df-2 9317  df-3 9318  df-4 9319  df-n0 9518  df-z 9599  df-uz 9876  df-q 9974  df-rp 10009  df-fz 10366  df-fl 10658  df-mod 10713  df-seqfrec 10838  df-exp 10929  df-cj 11556  df-re 11557  df-im 11558  df-rsqrt 11713  df-abs 11714  df-dvds 12504  df-prm 12835

This theorem is referenced by:  pcmpt  13071  pcmpt2  13072  pcmptdvds  13073  pcprod  13074  1arithlem4  13094