Theorem pcmptcl 12377

Description: Closure for the prime power map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcmpt.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) )
pcmpt.2	|- ( ph -> A. n e. Prime A e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
pcmptcl	|- ( ph -> ( F : NN --> NN /\ seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN ) )

Proof of Theorem pcmptcl

Dummy variables k p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcmpt.2	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. Prime A e. NN0 )
2		pm2.27 40	. . . . . . . 8 |- ( n e. Prime -> ( ( n e. Prime -> A e. NN0 ) -> A e. NN0 ) )
3		iftrue 3554	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. Prime -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) = ( n ^ A ) )
4	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. Prime /\ A e. NN0 ) -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) = ( n ^ A ) )
5		prmnn 12145	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. Prime -> n e. NN )
6		nnexpcl 10567	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ A e. NN0 ) -> ( n ^ A ) e. NN )
7	5, 6	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( n ^ A ) e. NN )
8	4, 7	eqeltrd 2266	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. Prime /\ A e. NN0 ) -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN )
9	8	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( n e. Prime -> ( A e. NN0 -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN ) )
10	2, 9	syld 45	. . . . . . 7 |- ( n e. Prime -> ( ( n e. Prime -> A e. NN0 ) -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN ) )
11		iffalse 3557	. . . . . . . . 9 |- ( -. n e. Prime -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) = 1 )
12		1nn 8961	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
13	11, 12	eqeltrdi 2280	. . . . . . . 8 |- ( -. n e. Prime -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN )
14	13	a1d 22	. . . . . . 7 |- ( -. n e. Prime -> ( ( n e. Prime -> A e. NN0 ) -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN ) )
15	10, 14	jaoi 717	. . . . . 6 |- ( ( n e. Prime \/ -. n e. Prime ) -> ( ( n e. Prime -> A e. NN0 ) -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN ) )
16		prmdc 12165	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> DECID n e. Prime )
17		exmiddc 837	. . . . . . 7 |- (DECID n e. Prime -> ( n e. Prime \/ -. n e. Prime ) )
18	16, 17	syl 14	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> ( n e. Prime \/ -. n e. Prime ) )
19	15, 18	syl11 31	. . . . 5 |- ( ( n e. Prime -> A e. NN0 ) -> ( n e. NN -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN ) )
20	19	ralimi2 2550	. . . 4 |- ( A. n e. Prime A e. NN0 -> A. n e. NN if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN )
21	1, 20	syl 14	. . 3 |- ( ph -> A. n e. NN if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN )
22		pcmpt.1	. . . 4 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) )
23	22	fmpt 5687	. . 3 |- ( A. n e. NN if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. NN <-> F : NN --> NN )
24	21, 23	sylib 122	. 2 |- ( ph -> F : NN --> NN )
25		nnuz 9595	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
26		1zzd 9311	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
27	24	ffvelcdmda 5672	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. NN )
28		nnmulcl 8971	. . . 4 |- ( ( k e. NN /\ p e. NN ) -> ( k x. p ) e. NN )
29	28	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ p e. NN ) ) -> ( k x. p ) e. NN )
30	25, 26, 27, 29	seqf 10494	. 2 |- ( ph -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN )
31	24, 30	jca 306	1 |- ( ph -> ( F : NN --> NN /\ seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   ifcif 3549   |-> cmpt 4079   -->wf 5231  (class class class)co 5897   1c1 7843   x. cmul 7847   NNcn 8950   NN0cn0 9207   seqcseq 10478   ^cexp 10553   Primecprime 12142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-1o 6442  df-2o 6443  df-er 6560  df-en 6768  df-fin 6770  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-fz 10041  df-fl 10303  df-mod 10356  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-dvds 11830  df-prm 12143

This theorem is referenced by:  pcmpt  12378  pcmpt2  12379  pcmptdvds  12380  pcprod  12381  1arithlem4  12401