Theorem pcmpt2 12978

Description: Dividing two prime count maps yields a number with all dividing primes confined to an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcmpt.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) )
pcmpt.2	|- ( ph -> A. n e. Prime A e. NN0 )
pcmpt.3	|- ( ph -> N e. NN )
pcmpt.4	|- ( ph -> P e. Prime )
pcmpt.5	|- ( n = P -> A = B )
pcmpt2.6	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` N ) )

Assertion

Ref	Expression
pcmpt2	|- ( ph -> ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )

Distinct variable groups:   B, n   P, n

Allowed substitution hints:   ph( n)   A( n)   F( n)   M( n)   N( n)

Proof of Theorem pcmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcmpt.4	. . 3 |- ( ph -> P e. Prime )
2		pcmpt.1	. . . . . . 7 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) )
3		pcmpt.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. Prime A e. NN0 )
4	2, 3	pcmptcl 12976	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F : NN --> NN /\ seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN ) )
5	4	simprd 114	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN )
6		pcmpt.3	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
7		pcmpt2.6	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` N ) )
8		eluznn 9877	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. NN )
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> M e. NN )
10	5, 9	ffvelcdmd 5791	. . . 4 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. NN )
11	10	nnzd 9644	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. ZZ )
12	10	nnne0d 9231	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) =/= 0 )
13	5, 6	ffvelcdmd 5791	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) e. NN )
14		pcdiv 12936	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. ZZ /\ ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) =/= 0 ) /\ ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) e. NN ) -> ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) - ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) )
15	1, 11, 12, 13, 14	syl121anc 1279	. 2 |- ( ph -> ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) - ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) )
16		pcmpt.5	. . . 4 |- ( n = P -> A = B )
17	2, 3, 9, 1, 16	pcmpt 12977	. . 3 |- ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) = if ( P <_ M , B , 0 ) )
18	2, 3, 6, 1, 16	pcmpt 12977	. . 3 |- ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = if ( P <_ N , B , 0 ) )
19	17, 18	oveq12d 6046	. 2 |- ( ph -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) - ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) = ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) )
20	16	eleq1d 2300	. . . . . . . 8 |- ( n = P -> ( A e. NN0 <-> B e. NN0 ) )
21	20, 3, 1	rspcdva 2916	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. NN0 )
22	21	nn0cnd 9500	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. CC )
23	22	subidd 8521	. . . . 5 |- ( ph -> ( B - B ) = 0 )
24	23	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> ( B - B ) = 0 )
25		prmnn 12743	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
26	1, 25	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. NN )
27	26	nnred 9199	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. RR )
28	27	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> P e. RR )
29	6	nnred 9199	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. RR )
30	29	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> N e. RR )
31	9	nnred 9199	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. RR )
32	31	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> M e. RR )
33		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> P <_ N )
34		eluzle 9811	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> N <_ M )
35	7, 34	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N <_ M )
36	35	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> N <_ M )
37	28, 30, 32, 33, 36	letrd 8346	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> P <_ M )
38	37	iftrued 3616	. . . . 5 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> if ( P <_ M , B , 0 ) = B )
39		iftrue 3614	. . . . . 6 |- ( P <_ N -> if ( P <_ N , B , 0 ) = B )
40	39	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> if ( P <_ N , B , 0 ) = B )
41	38, 40	oveq12d 6046	. . . 4 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = ( B - B ) )
42		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) -> -. P <_ N )
43	42, 33	nsyl3 631	. . . . 5 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> -. ( P <_ M /\ -. P <_ N ) )
44	43	iffalsed 3619	. . . 4 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) = 0 )
45	24, 41, 44	3eqtr4d 2274	. . 3 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )
46		iffalse 3617	. . . . . 6 |- ( -. P <_ N -> if ( P <_ N , B , 0 ) = 0 )
47	46	oveq2d 6044	. . . . 5 |- ( -. P <_ N -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = ( if ( P <_ M , B , 0 ) - 0 ) )
48		0cnd 8215	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. CC )
49	26	nnzd 9644	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. ZZ )
50	9	nnzd 9644	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
51		zdcle 9599	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID P <_ M )
52	49, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> DECID P <_ M )
53	22, 48, 52	ifcldcd 3647	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( P <_ M , B , 0 ) e. CC )
54	53	subid1d 8522	. . . . 5 |- ( ph -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - 0 ) = if ( P <_ M , B , 0 ) )
55	47, 54	sylan9eqr 2286	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. P <_ N ) -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = if ( P <_ M , B , 0 ) )
56		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. P <_ N ) -> -. P <_ N )
57	56	biantrud 304	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. P <_ N ) -> ( P <_ M <-> ( P <_ M /\ -. P <_ N ) ) )
58	57	ifbid 3631	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. P <_ N ) -> if ( P <_ M , B , 0 ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )
59	55, 58	eqtrd 2264	. . 3 |- ( ( ph /\ -. P <_ N ) -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )
60	6	nnzd 9644	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ZZ )
61		zdcle 9599	. . . . 5 |- ( ( P e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID P <_ N )
62	49, 60, 61	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> DECID P <_ N )
63		exmiddc 844	. . . 4 |- (DECID P <_ N -> ( P <_ N \/ -. P <_ N ) )
64	62, 63	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( P <_ N \/ -. P <_ N ) )
65	45, 59, 64	mpjaodan 806	. 2 |- ( ph -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )
66	15, 19, 65	3eqtrd 2268	1 |- ( ph -> ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   A.wral 2511   ifcif 3607   class class class wbr 4093   |-> cmpt 4155   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8073   RRcr 8074   0cc0 8075   1c1 8076   x. cmul 8080   <_ cle 8258   - cmin 8393   / cdiv 8895   NNcn 9186   NN0cn0 9445   ZZcz 9522   ZZ>=cuz 9798   seqcseq 10753   ^cexp 10844   Primecprime 12740   pCnt cpc 12918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955  df-sup 7226  df-inf 7227  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-fl 10574  df-mod 10629  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-dvds 12410  df-gcd 12586  df-prm 12741  df-pc 12919

This theorem is referenced by:  pcmptdvds  12979