Theorem pcmpt2 12523

Description: Dividing two prime count maps yields a number with all dividing primes confined to an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcmpt.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) )
pcmpt.2	|- ( ph -> A. n e. Prime A e. NN0 )
pcmpt.3	|- ( ph -> N e. NN )
pcmpt.4	|- ( ph -> P e. Prime )
pcmpt.5	|- ( n = P -> A = B )
pcmpt2.6	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` N ) )

Assertion

Ref	Expression
pcmpt2	|- ( ph -> ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )

Distinct variable groups:   B, n   P, n

Allowed substitution hints:   ph( n)   A( n)   F( n)   M( n)   N( n)

Proof of Theorem pcmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcmpt.4	. . 3 |- ( ph -> P e. Prime )
2		pcmpt.1	. . . . . . 7 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) )
3		pcmpt.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. Prime A e. NN0 )
4	2, 3	pcmptcl 12521	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F : NN --> NN /\ seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN ) )
5	4	simprd 114	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN )
6		pcmpt.3	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
7		pcmpt2.6	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` N ) )
8		eluznn 9676	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. NN )
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> M e. NN )
10	5, 9	ffvelcdmd 5699	. . . 4 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. NN )
11	10	nnzd 9449	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. ZZ )
12	10	nnne0d 9037	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) =/= 0 )
13	5, 6	ffvelcdmd 5699	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) e. NN )
14		pcdiv 12481	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. ZZ /\ ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) =/= 0 ) /\ ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) e. NN ) -> ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) - ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) )
15	1, 11, 12, 13, 14	syl121anc 1254	. 2 |- ( ph -> ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) - ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) )
16		pcmpt.5	. . . 4 |- ( n = P -> A = B )
17	2, 3, 9, 1, 16	pcmpt 12522	. . 3 |- ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) = if ( P <_ M , B , 0 ) )
18	2, 3, 6, 1, 16	pcmpt 12522	. . 3 |- ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = if ( P <_ N , B , 0 ) )
19	17, 18	oveq12d 5941	. 2 |- ( ph -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) - ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) = ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) )
20	16	eleq1d 2265	. . . . . . . 8 |- ( n = P -> ( A e. NN0 <-> B e. NN0 ) )
21	20, 3, 1	rspcdva 2873	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. NN0 )
22	21	nn0cnd 9306	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. CC )
23	22	subidd 8327	. . . . 5 |- ( ph -> ( B - B ) = 0 )
24	23	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> ( B - B ) = 0 )
25		prmnn 12288	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
26	1, 25	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. NN )
27	26	nnred 9005	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. RR )
28	27	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> P e. RR )
29	6	nnred 9005	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. RR )
30	29	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> N e. RR )
31	9	nnred 9005	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. RR )
32	31	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> M e. RR )
33		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> P <_ N )
34		eluzle 9615	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> N <_ M )
35	7, 34	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N <_ M )
36	35	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> N <_ M )
37	28, 30, 32, 33, 36	letrd 8152	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> P <_ M )
38	37	iftrued 3569	. . . . 5 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> if ( P <_ M , B , 0 ) = B )
39		iftrue 3567	. . . . . 6 |- ( P <_ N -> if ( P <_ N , B , 0 ) = B )
40	39	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> if ( P <_ N , B , 0 ) = B )
41	38, 40	oveq12d 5941	. . . 4 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = ( B - B ) )
42		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) -> -. P <_ N )
43	42, 33	nsyl3 627	. . . . 5 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> -. ( P <_ M /\ -. P <_ N ) )
44	43	iffalsed 3572	. . . 4 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) = 0 )
45	24, 41, 44	3eqtr4d 2239	. . 3 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )
46		iffalse 3570	. . . . . 6 |- ( -. P <_ N -> if ( P <_ N , B , 0 ) = 0 )
47	46	oveq2d 5939	. . . . 5 |- ( -. P <_ N -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = ( if ( P <_ M , B , 0 ) - 0 ) )
48		0cnd 8021	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. CC )
49	26	nnzd 9449	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. ZZ )
50	9	nnzd 9449	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
51		zdcle 9404	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID P <_ M )
52	49, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> DECID P <_ M )
53	22, 48, 52	ifcldcd 3598	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( P <_ M , B , 0 ) e. CC )
54	53	subid1d 8328	. . . . 5 |- ( ph -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - 0 ) = if ( P <_ M , B , 0 ) )
55	47, 54	sylan9eqr 2251	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. P <_ N ) -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = if ( P <_ M , B , 0 ) )
56		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. P <_ N ) -> -. P <_ N )
57	56	biantrud 304	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. P <_ N ) -> ( P <_ M <-> ( P <_ M /\ -. P <_ N ) ) )
58	57	ifbid 3583	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. P <_ N ) -> if ( P <_ M , B , 0 ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )
59	55, 58	eqtrd 2229	. . 3 |- ( ( ph /\ -. P <_ N ) -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )
60	6	nnzd 9449	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ZZ )
61		zdcle 9404	. . . . 5 |- ( ( P e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID P <_ N )
62	49, 60, 61	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> DECID P <_ N )
63		exmiddc 837	. . . 4 |- (DECID P <_ N -> ( P <_ N \/ -. P <_ N ) )
64	62, 63	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( P <_ N \/ -. P <_ N ) )
65	45, 59, 64	mpjaodan 799	. 2 |- ( ph -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )
66	15, 19, 65	3eqtrd 2233	1 |- ( ph -> ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   A.wral 2475   ifcif 3562   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   CCcc 7879   RRcr 7880   0cc0 7881   1c1 7882   x. cmul 7886   <_ cle 8064   - cmin 8199   / cdiv 8701   NNcn 8992   NN0cn0 9251   ZZcz 9328   ZZ>=cuz 9603   seqcseq 10541   ^cexp 10632   Primecprime 12285   pCnt cpc 12463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999  ax-arch 8000  ax-caucvg 8001

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-frec 6450  df-1o 6475  df-2o 6476  df-er 6593  df-en 6801  df-fin 6803  df-sup 7051  df-inf 7052  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-4 9053  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-q 9696  df-rp 9731  df-fz 10086  df-fzo 10220  df-fl 10362  df-mod 10417  df-seqfrec 10542  df-exp 10633  df-cj 11009  df-re 11010  df-im 11011  df-rsqrt 11165  df-abs 11166  df-dvds 11955  df-gcd 12131  df-prm 12286  df-pc 12464

This theorem is referenced by:  pcmptdvds  12524