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Theorem pcmpt2 12285
Description: Dividing two prime count maps yields a number with all dividing primes confined to an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 ) )
pcmpt.2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  A  e.  NN0 )
pcmpt.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
pcmpt.4  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
pcmpt.5  |-  ( n  =  P  ->  A  =  B )
pcmpt2.6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )
Assertion
Ref Expression
pcmpt2  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  M )  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N
) ) )  =  if ( ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N ) ,  B ,  0 ) )
Distinct variable groups:    B, n    P, n
Allowed substitution hints:    ph( n)    A( n)    F( n)    M( n)    N( n)

Proof of Theorem pcmpt2
StepHypRef Expression
1 pcmpt.4 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
2 pcmpt.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 ) )
3 pcmpt.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  A  e.  NN0 )
42, 3pcmptcl 12283 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F : NN --> NN  /\  seq 1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN ) )
54simprd 113 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq 1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN )
6 pcmpt.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
7 pcmpt2.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )
8 eluznn 9548 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  M  e.  NN )
96, 7, 8syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
105, 9ffvelrnd 5630 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  NN )
1110nnzd 9322 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  ZZ )
1210nnne0d 8912 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 M )  =/=  0 )
135, 6ffvelrnd 5630 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 N )  e.  NN )
14 pcdiv 12245 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  M )  e.  ZZ  /\  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 M )  =/=  0 )  /\  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N
)  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 M )  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N ) ) )  =  ( ( P 
pCnt  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  -  ( P 
pCnt  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  N )
) ) )
151, 11, 12, 13, 14syl121anc 1238 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  M )  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N
) ) )  =  ( ( P  pCnt  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  M ) )  -  ( P  pCnt  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N
) ) ) )
16 pcmpt.5 . . . 4  |-  ( n  =  P  ->  A  =  B )
172, 3, 9, 1, 16pcmpt 12284 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  =  if ( P  <_  M ,  B ,  0 ) )
182, 3, 6, 1, 16pcmpt 12284 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N
) )  =  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )
1917, 18oveq12d 5869 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  M ) )  -  ( P  pCnt  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N
) ) )  =  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  -  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) ) )
2016eleq1d 2239 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  P  ->  ( A  e.  NN0  <->  B  e.  NN0 ) )
2120, 3, 1rspcdva 2839 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
2221nn0cnd 9179 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
2322subidd 8207 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  -  B
)  =  0 )
2423adantr 274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  ( B  -  B )  =  0 )
25 prmnn 12053 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
261, 25syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
2726nnred 8880 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
2827adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  P  e.  RR )
296nnred 8880 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
3029adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  N  e.  RR )
319nnred 8880 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
3231adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  M  e.  RR )
33 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  P  <_  N )
34 eluzle 9488 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  M )
357, 34syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  <_  M )
3635adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  N  <_  M )
3728, 30, 32, 33, 36letrd 8032 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  P  <_  M )
3837iftrued 3532 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  =  B )
39 iftrue 3530 . . . . . 6  |-  ( P  <_  N  ->  if ( P  <_  N ,  B ,  0 )  =  B )
4039adantl 275 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  if ( P  <_  N ,  B ,  0 )  =  B )
4138, 40oveq12d 5869 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  -  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )  =  ( B  -  B ) )
42 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N )  ->  -.  P  <_  N )
4342, 33nsyl3 621 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  -.  ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N ) )
4443iffalsed 3535 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  if (
( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N
) ,  B , 
0 )  =  0 )
4524, 41, 443eqtr4d 2213 . . 3  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  -  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )  =  if ( ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N ) ,  B ,  0 ) )
46 iffalse 3533 . . . . . 6  |-  ( -.  P  <_  N  ->  if ( P  <_  N ,  B ,  0 )  =  0 )
4746oveq2d 5867 . . . . 5  |-  ( -.  P  <_  N  ->  ( if ( P  <_  M ,  B , 
0 )  -  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )  =  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  -  0 ) )
48 0cnd 7902 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
4926nnzd 9322 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
509nnzd 9322 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
51 zdcle 9277 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  -> DECID  P  <_  M )
5249, 50, 51syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> DECID  P  <_  M )
5322, 48, 52ifcldcd 3560 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( P  <_  M ,  B , 
0 )  e.  CC )
5453subid1d 8208 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  - 
0 )  =  if ( P  <_  M ,  B ,  0 ) )
5547, 54sylan9eqr 2225 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  P  <_  N )  ->  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  -  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )  =  if ( P  <_  M ,  B ,  0 ) )
56 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  P  <_  N )  ->  -.  P  <_  N )
5756biantrud 302 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  P  <_  N )  ->  ( P  <_  M  <->  ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N ) ) )
5857ifbid 3546 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  P  <_  N )  ->  if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  =  if ( ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N ) ,  B ,  0 ) )
5955, 58eqtrd 2203 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  P  <_  N )  ->  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  -  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )  =  if ( ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N ) ,  B ,  0 ) )
606nnzd 9322 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
61 zdcle 9277 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  P  <_  N )
6249, 60, 61syl2anc 409 . . . 4  |-  ( ph  -> DECID  P  <_  N )
63 exmiddc 831 . . . 4  |-  (DECID  P  <_  N  ->  ( P  <_  N  \/  -.  P  <_  N ) )
6462, 63syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  <_  N  \/  -.  P  <_  N
) )
6545, 59, 64mpjaodan 793 . 2  |-  ( ph  ->  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  -  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )  =  if ( ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N
) ,  B , 
0 ) )
6615, 19, 653eqtrd 2207 1  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  M )  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N
) ) )  =  if ( ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N ) ,  B ,  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 703  DECID wdc 829    = wceq 1348    e. wcel 2141    =/= wne 2340   A.wral 2448   ifcif 3525   class class class wbr 3987    |-> cmpt 4048   -->wf 5192   ` cfv 5196  (class class class)co 5851   CCcc 7761   RRcr 7762   0cc0 7763   1c1 7764    x. cmul 7768    <_ cle 7944    - cmin 8079    / cdiv 8578   NNcn 8867   NN0cn0 9124   ZZcz 9201   ZZ>=cuz 9476    seqcseq 10390   ^cexp 10464   Primecprime 12050    pCnt cpc 12227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-mulrcl 7862  ax-addcom 7863  ax-mulcom 7864  ax-addass 7865  ax-mulass 7866  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-1rid 7870  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-precex 7873  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-apti 7878  ax-pre-ltadd 7879  ax-pre-mulgt0 7880  ax-pre-mulext 7881  ax-arch 7882  ax-caucvg 7883
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-1o 6393  df-2o 6394  df-er 6510  df-en 6716  df-fin 6718  df-sup 6958  df-inf 6959  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-sub 8081  df-neg 8082  df-reap 8483  df-ap 8490  df-div 8579  df-inn 8868  df-2 8926  df-3 8927  df-4 8928  df-n0 9125  df-z 9202  df-uz 9477  df-q 9568  df-rp 9600  df-fz 9955  df-fzo 10088  df-fl 10215  df-mod 10268  df-seqfrec 10391  df-exp 10465  df-cj 10795  df-re 10796  df-im 10797  df-rsqrt 10951  df-abs 10952  df-dvds 11739  df-gcd 11887  df-prm 12051  df-pc 12228
This theorem is referenced by:  pcmptdvds  12286
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