Theorem pcmpt2 13038

Description: Dividing two prime count maps yields a number with all dividing primes confined to an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcmpt.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) )
pcmpt.2	|- ( ph -> A. n e. Prime A e. NN0 )
pcmpt.3	|- ( ph -> N e. NN )
pcmpt.4	|- ( ph -> P e. Prime )
pcmpt.5	|- ( n = P -> A = B )
pcmpt2.6	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` N ) )

Assertion

Ref	Expression
pcmpt2	|- ( ph -> ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )

Distinct variable groups:   B, n   P, n

Allowed substitution hints:   ph( n)   A( n)   F( n)   M( n)   N( n)

Proof of Theorem pcmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcmpt.4	. . 3 |- ( ph -> P e. Prime )
2		pcmpt.1	. . . . . . 7 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) )
3		pcmpt.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. Prime A e. NN0 )
4	2, 3	pcmptcl 13036	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F : NN --> NN /\ seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN ) )
5	4	simprd 114	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN )
6		pcmpt.3	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
7		pcmpt2.6	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` N ) )
8		eluznn 9931	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. NN )
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> M e. NN )
10	5, 9	ffvelcdmd 5812	. . . 4 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. NN )
11	10	nnzd 9698	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. ZZ )
12	10	nnne0d 9281	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) =/= 0 )
13	5, 6	ffvelcdmd 5812	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) e. NN )
14		pcdiv 12996	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. ZZ /\ ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) =/= 0 ) /\ ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) e. NN ) -> ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) - ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) )
15	1, 11, 12, 13, 14	syl121anc 1279	. 2 |- ( ph -> ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) - ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) )
16		pcmpt.5	. . . 4 |- ( n = P -> A = B )
17	2, 3, 9, 1, 16	pcmpt 13037	. . 3 |- ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) = if ( P <_ M , B , 0 ) )
18	2, 3, 6, 1, 16	pcmpt 13037	. . 3 |- ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = if ( P <_ N , B , 0 ) )
19	17, 18	oveq12d 6067	. 2 |- ( ph -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) - ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) = ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) )
20	16	eleq1d 2301	. . . . . . . 8 |- ( n = P -> ( A e. NN0 <-> B e. NN0 ) )
21	20, 3, 1	rspcdva 2925	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. NN0 )
22	21	nn0cnd 9554	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. CC )
23	22	subidd 8571	. . . . 5 |- ( ph -> ( B - B ) = 0 )
24	23	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> ( B - B ) = 0 )
25		prmnn 12803	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
26	1, 25	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. NN )
27	26	nnred 9249	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. RR )
28	27	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> P e. RR )
29	6	nnred 9249	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. RR )
30	29	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> N e. RR )
31	9	nnred 9249	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. RR )
32	31	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> M e. RR )
33		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> P <_ N )
34		eluzle 9865	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> N <_ M )
35	7, 34	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N <_ M )
36	35	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> N <_ M )
37	28, 30, 32, 33, 36	letrd 8396	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> P <_ M )
38	37	iftrued 3628	. . . . 5 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> if ( P <_ M , B , 0 ) = B )
39		iftrue 3626	. . . . . 6 |- ( P <_ N -> if ( P <_ N , B , 0 ) = B )
40	39	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> if ( P <_ N , B , 0 ) = B )
41	38, 40	oveq12d 6067	. . . 4 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = ( B - B ) )
42		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) -> -. P <_ N )
43	42, 33	nsyl3 631	. . . . 5 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> -. ( P <_ M /\ -. P <_ N ) )
44	43	iffalsed 3631	. . . 4 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) = 0 )
45	24, 41, 44	3eqtr4d 2275	. . 3 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )
46		iffalse 3629	. . . . . 6 |- ( -. P <_ N -> if ( P <_ N , B , 0 ) = 0 )
47	46	oveq2d 6065	. . . . 5 |- ( -. P <_ N -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = ( if ( P <_ M , B , 0 ) - 0 ) )
48		0cnd 8266	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. CC )
49	26	nnzd 9698	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. ZZ )
50	9	nnzd 9698	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
51		zdcle 9653	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID P <_ M )
52	49, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> DECID P <_ M )
53	22, 48, 52	ifcldcd 3659	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( P <_ M , B , 0 ) e. CC )
54	53	subid1d 8572	. . . . 5 |- ( ph -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - 0 ) = if ( P <_ M , B , 0 ) )
55	47, 54	sylan9eqr 2287	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. P <_ N ) -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = if ( P <_ M , B , 0 ) )
56		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. P <_ N ) -> -. P <_ N )
57	56	biantrud 304	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. P <_ N ) -> ( P <_ M <-> ( P <_ M /\ -. P <_ N ) ) )
58	57	ifbid 3643	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. P <_ N ) -> if ( P <_ M , B , 0 ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )
59	55, 58	eqtrd 2265	. . 3 |- ( ( ph /\ -. P <_ N ) -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )
60	6	nnzd 9698	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ZZ )
61		zdcle 9653	. . . . 5 |- ( ( P e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID P <_ N )
62	49, 60, 61	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> DECID P <_ N )
63		exmiddc 844	. . . 4 |- (DECID P <_ N -> ( P <_ N \/ -. P <_ N ) )
64	62, 63	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( P <_ N \/ -. P <_ N ) )
65	45, 59, 64	mpjaodan 806	. 2 |- ( ph -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )
66	15, 19, 65	3eqtrd 2269	1 |- ( ph -> ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   A.wral 2520   ifcif 3619   class class class wbr 4108   |-> cmpt 4170   -->wf 5347   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   CCcc 8124   RRcr 8125   0cc0 8126   1c1 8127   x. cmul 8131   <_ cle 8308   - cmin 8443   / cdiv 8945   NNcn 9236   NN0cn0 9495   ZZcz 9576   ZZ>=cuz 9852   seqcseq 10808   ^cexp 10899   Primecprime 12800   pCnt cpc 12978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245  ax-caucvg 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-1o 6646  df-2o 6647  df-er 6766  df-en 6975  df-fin 6977  df-sup 7274  df-inf 7275  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-q 9951  df-rp 9986  df-fz 10342  df-fzo 10476  df-fl 10629  df-mod 10684  df-seqfrec 10809  df-exp 10900  df-cj 11523  df-re 11524  df-im 11525  df-rsqrt 11679  df-abs 11680  df-dvds 12470  df-gcd 12646  df-prm 12801  df-pc 12979

This theorem is referenced by:  pcmptdvds  13039