Theorem pcmpt2 12345

Description: Dividing two prime count maps yields a number with all dividing primes confined to an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcmpt.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) )
pcmpt.2	|- ( ph -> A. n e. Prime A e. NN0 )
pcmpt.3	|- ( ph -> N e. NN )
pcmpt.4	|- ( ph -> P e. Prime )
pcmpt.5	|- ( n = P -> A = B )
pcmpt2.6	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` N ) )

Assertion

Ref	Expression
pcmpt2	|- ( ph -> ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )

Distinct variable groups:   B, n   P, n

Allowed substitution hints:   ph( n)   A( n)   F( n)   M( n)   N( n)

Proof of Theorem pcmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcmpt.4	. . 3 |- ( ph -> P e. Prime )
2		pcmpt.1	. . . . . . 7 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) )
3		pcmpt.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. Prime A e. NN0 )
4	2, 3	pcmptcl 12343	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F : NN --> NN /\ seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN ) )
5	4	simprd 114	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN )
6		pcmpt.3	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
7		pcmpt2.6	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` N ) )
8		eluznn 9603	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. NN )
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> M e. NN )
10	5, 9	ffvelcdmd 5655	. . . 4 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. NN )
11	10	nnzd 9377	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. ZZ )
12	10	nnne0d 8967	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) =/= 0 )
13	5, 6	ffvelcdmd 5655	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) e. NN )
14		pcdiv 12305	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. ZZ /\ ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) =/= 0 ) /\ ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) e. NN ) -> ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) - ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) )
15	1, 11, 12, 13, 14	syl121anc 1243	. 2 |- ( ph -> ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) - ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) )
16		pcmpt.5	. . . 4 |- ( n = P -> A = B )
17	2, 3, 9, 1, 16	pcmpt 12344	. . 3 |- ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) = if ( P <_ M , B , 0 ) )
18	2, 3, 6, 1, 16	pcmpt 12344	. . 3 |- ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = if ( P <_ N , B , 0 ) )
19	17, 18	oveq12d 5896	. 2 |- ( ph -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) - ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) = ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) )
20	16	eleq1d 2246	. . . . . . . 8 |- ( n = P -> ( A e. NN0 <-> B e. NN0 ) )
21	20, 3, 1	rspcdva 2848	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. NN0 )
22	21	nn0cnd 9234	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. CC )
23	22	subidd 8259	. . . . 5 |- ( ph -> ( B - B ) = 0 )
24	23	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> ( B - B ) = 0 )
25		prmnn 12113	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
26	1, 25	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. NN )
27	26	nnred 8935	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. RR )
28	27	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> P e. RR )
29	6	nnred 8935	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. RR )
30	29	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> N e. RR )
31	9	nnred 8935	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. RR )
32	31	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> M e. RR )
33		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> P <_ N )
34		eluzle 9543	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> N <_ M )
35	7, 34	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N <_ M )
36	35	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> N <_ M )
37	28, 30, 32, 33, 36	letrd 8084	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> P <_ M )
38	37	iftrued 3543	. . . . 5 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> if ( P <_ M , B , 0 ) = B )
39		iftrue 3541	. . . . . 6 |- ( P <_ N -> if ( P <_ N , B , 0 ) = B )
40	39	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> if ( P <_ N , B , 0 ) = B )
41	38, 40	oveq12d 5896	. . . 4 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = ( B - B ) )
42		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) -> -. P <_ N )
43	42, 33	nsyl3 626	. . . . 5 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> -. ( P <_ M /\ -. P <_ N ) )
44	43	iffalsed 3546	. . . 4 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) = 0 )
45	24, 41, 44	3eqtr4d 2220	. . 3 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )
46		iffalse 3544	. . . . . 6 |- ( -. P <_ N -> if ( P <_ N , B , 0 ) = 0 )
47	46	oveq2d 5894	. . . . 5 |- ( -. P <_ N -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = ( if ( P <_ M , B , 0 ) - 0 ) )
48		0cnd 7953	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. CC )
49	26	nnzd 9377	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. ZZ )
50	9	nnzd 9377	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
51		zdcle 9332	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID P <_ M )
52	49, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> DECID P <_ M )
53	22, 48, 52	ifcldcd 3572	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( P <_ M , B , 0 ) e. CC )
54	53	subid1d 8260	. . . . 5 |- ( ph -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - 0 ) = if ( P <_ M , B , 0 ) )
55	47, 54	sylan9eqr 2232	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. P <_ N ) -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = if ( P <_ M , B , 0 ) )
56		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. P <_ N ) -> -. P <_ N )
57	56	biantrud 304	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. P <_ N ) -> ( P <_ M <-> ( P <_ M /\ -. P <_ N ) ) )
58	57	ifbid 3557	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. P <_ N ) -> if ( P <_ M , B , 0 ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )
59	55, 58	eqtrd 2210	. . 3 |- ( ( ph /\ -. P <_ N ) -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )
60	6	nnzd 9377	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ZZ )
61		zdcle 9332	. . . . 5 |- ( ( P e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID P <_ N )
62	49, 60, 61	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> DECID P <_ N )
63		exmiddc 836	. . . 4 |- (DECID P <_ N -> ( P <_ N \/ -. P <_ N ) )
64	62, 63	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( P <_ N \/ -. P <_ N ) )
65	45, 59, 64	mpjaodan 798	. 2 |- ( ph -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )
66	15, 19, 65	3eqtrd 2214	1 |- ( ph -> ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   A.wral 2455   ifcif 3536   class class class wbr 4005   |-> cmpt 4066   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5878   CCcc 7812   RRcr 7813   0cc0 7814   1c1 7815   x. cmul 7819   <_ cle 7996   - cmin 8131   / cdiv 8632   NNcn 8922   NN0cn0 9179   ZZcz 9256   ZZ>=cuz 9531   seqcseq 10448   ^cexp 10522   Primecprime 12110   pCnt cpc 12287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-1o 6420  df-2o 6421  df-er 6538  df-en 6744  df-fin 6746  df-sup 6986  df-inf 6987  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-fl 10273  df-mod 10326  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-dvds 11798  df-gcd 11947  df-prm 12111  df-pc 12288

This theorem is referenced by:  pcmptdvds  12346