Theorem pcmpt2 12296

Description: Dividing two prime count maps yields a number with all dividing primes confined to an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcmpt.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) )
pcmpt.2	|- ( ph -> A. n e. Prime A e. NN0 )
pcmpt.3	|- ( ph -> N e. NN )
pcmpt.4	|- ( ph -> P e. Prime )
pcmpt.5	|- ( n = P -> A = B )
pcmpt2.6	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` N ) )

Assertion

Ref	Expression
pcmpt2	|- ( ph -> ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )

Distinct variable groups:   B, n   P, n

Allowed substitution hints:   ph( n)   A( n)   F( n)   M( n)   N( n)

Proof of Theorem pcmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcmpt.4	. . 3 |- ( ph -> P e. Prime )
2		pcmpt.1	. . . . . . 7 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) )
3		pcmpt.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. Prime A e. NN0 )
4	2, 3	pcmptcl 12294	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F : NN --> NN /\ seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN ) )
5	4	simprd 113	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN )
6		pcmpt.3	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
7		pcmpt2.6	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` N ) )
8		eluznn 9559	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. NN )
9	6, 7, 8	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ph -> M e. NN )
10	5, 9	ffvelrnd 5632	. . . 4 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. NN )
11	10	nnzd 9333	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. ZZ )
12	10	nnne0d 8923	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) =/= 0 )
13	5, 6	ffvelrnd 5632	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) e. NN )
14		pcdiv 12256	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. ZZ /\ ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) =/= 0 ) /\ ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) e. NN ) -> ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) - ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) )
15	1, 11, 12, 13, 14	syl121anc 1238	. 2 |- ( ph -> ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) - ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) )
16		pcmpt.5	. . . 4 |- ( n = P -> A = B )
17	2, 3, 9, 1, 16	pcmpt 12295	. . 3 |- ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) = if ( P <_ M , B , 0 ) )
18	2, 3, 6, 1, 16	pcmpt 12295	. . 3 |- ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = if ( P <_ N , B , 0 ) )
19	17, 18	oveq12d 5871	. 2 |- ( ph -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) - ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) = ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) )
20	16	eleq1d 2239	. . . . . . . 8 |- ( n = P -> ( A e. NN0 <-> B e. NN0 ) )
21	20, 3, 1	rspcdva 2839	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. NN0 )
22	21	nn0cnd 9190	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. CC )
23	22	subidd 8218	. . . . 5 |- ( ph -> ( B - B ) = 0 )
24	23	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> ( B - B ) = 0 )
25		prmnn 12064	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
26	1, 25	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. NN )
27	26	nnred 8891	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. RR )
28	27	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> P e. RR )
29	6	nnred 8891	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. RR )
30	29	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> N e. RR )
31	9	nnred 8891	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. RR )
32	31	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> M e. RR )
33		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> P <_ N )
34		eluzle 9499	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> N <_ M )
35	7, 34	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N <_ M )
36	35	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> N <_ M )
37	28, 30, 32, 33, 36	letrd 8043	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> P <_ M )
38	37	iftrued 3533	. . . . 5 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> if ( P <_ M , B , 0 ) = B )
39		iftrue 3531	. . . . . 6 |- ( P <_ N -> if ( P <_ N , B , 0 ) = B )
40	39	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> if ( P <_ N , B , 0 ) = B )
41	38, 40	oveq12d 5871	. . . 4 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = ( B - B ) )
42		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) -> -. P <_ N )
43	42, 33	nsyl3 621	. . . . 5 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> -. ( P <_ M /\ -. P <_ N ) )
44	43	iffalsed 3536	. . . 4 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) = 0 )
45	24, 41, 44	3eqtr4d 2213	. . 3 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )
46		iffalse 3534	. . . . . 6 |- ( -. P <_ N -> if ( P <_ N , B , 0 ) = 0 )
47	46	oveq2d 5869	. . . . 5 |- ( -. P <_ N -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = ( if ( P <_ M , B , 0 ) - 0 ) )
48		0cnd 7913	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. CC )
49	26	nnzd 9333	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. ZZ )
50	9	nnzd 9333	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
51		zdcle 9288	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID P <_ M )
52	49, 50, 51	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ph -> DECID P <_ M )
53	22, 48, 52	ifcldcd 3561	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( P <_ M , B , 0 ) e. CC )
54	53	subid1d 8219	. . . . 5 |- ( ph -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - 0 ) = if ( P <_ M , B , 0 ) )
55	47, 54	sylan9eqr 2225	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. P <_ N ) -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = if ( P <_ M , B , 0 ) )
56		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. P <_ N ) -> -. P <_ N )
57	56	biantrud 302	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. P <_ N ) -> ( P <_ M <-> ( P <_ M /\ -. P <_ N ) ) )
58	57	ifbid 3547	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. P <_ N ) -> if ( P <_ M , B , 0 ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )
59	55, 58	eqtrd 2203	. . 3 |- ( ( ph /\ -. P <_ N ) -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )
60	6	nnzd 9333	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ZZ )
61		zdcle 9288	. . . . 5 |- ( ( P e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID P <_ N )
62	49, 60, 61	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ph -> DECID P <_ N )
63		exmiddc 831	. . . 4 |- (DECID P <_ N -> ( P <_ N \/ -. P <_ N ) )
64	62, 63	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( P <_ N \/ -. P <_ N ) )
65	45, 59, 64	mpjaodan 793	. 2 |- ( ph -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )
66	15, 19, 65	3eqtrd 2207	1 |- ( ph -> ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348   e. wcel 2141   =/= wne 2340   A.wral 2448   ifcif 3526   class class class wbr 3989   |-> cmpt 4050   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   x. cmul 7779   <_ cle 7955   - cmin 8090   / cdiv 8589   NNcn 8878   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   seqcseq 10401   ^cexp 10475   Primecprime 12061   pCnt cpc 12238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-1o 6395  df-2o 6396  df-er 6513  df-en 6719  df-fin 6721  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-dvds 11750  df-gcd 11898  df-prm 12062  df-pc 12239

This theorem is referenced by:  pcmptdvds  12297