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Theorem fldivp1 13001

Description: The difference between the floors of adjacent fractions is either 1 or 0. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
fldivp1	$/\$

**Proof of Theorem fldivp1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9559	. . . . . . . . 9
2		nnne0 9230	. . . . . . . . 9
3		peano2z 9576	. . . . . . . . . 10
4	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
5		dvdsval2 12431	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
6	1, 2, 4, 5	syl2an23an 1336	. . . . . . . 8 $/\$
7	6	biimpa 296	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
8		flid 10607	. . . . . . 7
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$
10		nnm1nn0 9502	. . . . . . . . . 10
11	10	nn0red 9517	. . . . . . . . 9
12	10	nn0ge0d 9519	. . . . . . . . 9
13		nnre 9209	. . . . . . . . 9
14		nngt0 9227	. . . . . . . . 9
15		divge0 9112	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
16	11, 12, 13, 14, 15	syl22anc 1275	. . . . . . . 8
17	16	ad2antlr 489	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
18	13	ltm1d 9171	. . . . . . . . . 10
19		nncn 9210	. . . . . . . . . . 11
20	19	mulridd 8256	. . . . . . . . . 10
21	18, 20	breqtrrd 4121	. . . . . . . . 9
22		1red 8254	. . . . . . . . . 10
23		ltdivmul 9115	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
24	11, 22, 13, 14, 23	syl112anc 1278	. . . . . . . . 9
25	21, 24	mpbird 167	. . . . . . . 8
26	25	ad2antlr 489	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
27	10	nn0zd 9661	. . . . . . . . . 10
28		znq 9919	. . . . . . . . . 10 $/\$
29	27, 28	mpancom 422	. . . . . . . . 9
30	29	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
31		flqbi2 10614	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
32	7, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
33	17, 26, 32	mpbir2and 953	. . . . . 6 $/\$ $/\$
34	9, 33	eqtr4d 2267	. . . . 5 $/\$ $/\$
35		zcn 9545	. . . . . . . . . 10
36	35	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
37	19	adantl 277	. . . . . . . . 9 $/\$
38		nnap0 9231	. . . . . . . . . 10 #
39	38	adantl 277	. . . . . . . . 9 $/\$ #
40	36, 37, 37, 39	divdirapd 9068	. . . . . . . 8 $/\$
41		ax-1cn 8185	. . . . . . . . . . . 12
42	41	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$
43	36, 42, 37	ppncand 8589	. . . . . . . . . 10 $/\$
44	43	oveq1d 6043	. . . . . . . . 9 $/\$
45	4	zcnd 9664	. . . . . . . . . 10 $/\$
46		subcl 8437	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
47	19, 41, 46	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
49	45, 48, 37, 39	divdirapd 9068	. . . . . . . . 9 $/\$
50	44, 49	eqtr3d 2266	. . . . . . . 8 $/\$
51	37, 39	dividapd 9025	. . . . . . . . 9 $/\$
52	51	oveq2d 6044	. . . . . . . 8 $/\$
53	40, 50, 52	3eqtr3d 2272	. . . . . . 7 $/\$
54	53	fveq2d 5652	. . . . . 6 $/\$
55	54	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$
56		znq 9919	. . . . . . 7 $/\$
57		1z 9566	. . . . . . 7
58		flqaddz 10620	. . . . . . 7 $/\$
59	56, 57, 58	sylancl 413	. . . . . 6 $/\$
60	59	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$
61	34, 55, 60	3eqtrrd 2269	. . . 4 $/\$ $/\$
62		znq 9919	. . . . . . . . 9 $/\$
63	3, 62	sylan 283	. . . . . . . 8 $/\$
64	63	flqcld 10600	. . . . . . 7 $/\$
65	64	zcnd 9664	. . . . . 6 $/\$
66	56	flqcld 10600	. . . . . . 7 $/\$
67	66	zcnd 9664	. . . . . 6 $/\$
68	65, 67, 42	subaddd 8567	. . . . 5 $/\$
69	68	adantr 276	. . . 4 $/\$ $/\$
70	61, 69	mpbird 167	. . 3 $/\$ $/\$
71		iftrue 3614	. . . 4
72	71	adantl 277	. . 3 $/\$ $/\$
73	70, 72	eqtr4d 2267	. 2 $/\$ $/\$
74		zmodcl 10669	. . . . . . . . . . 11 $/\$
75	3, 74	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
76	75	nn0red 9517	. . . . . . . . 9 $/\$
77		1re 8238	. . . . . . . . 9
78		resubcl 8502	. . . . . . . . 9 $/\$
79	76, 77, 78	sylancl 413	. . . . . . . 8 $/\$
80	79	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
81	75	nn0zd 9661	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82		elnndc 9907	. . . . . . . . . . . 12 DECID
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ DECID
84		elnn0 9463	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$
85	75, 84	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$
86	85	ord 732	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
87		id 19	. . . . . . . . . . . . 13
88		dvdsval3 12432	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
89	87, 3, 88	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
90	86, 89	sylibrd 169	. . . . . . . . . . 11 $/\$
91		con1dc 864	. . . . . . . . . . 11 DECID
92	83, 90, 91	sylc 62	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	imp 124	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
94		nnm1nn0 9502	. . . . . . . . 9
95	93, 94	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
96	95	nn0ge0d 9519	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
97	13, 14	jca 306	. . . . . . . 8 $/\$
98	97	ad2antlr 489	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
99		divge0 9112	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
100	80, 96, 98, 99	syl21anc 1273	. . . . . 6 $/\$ $/\$
101	13	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
102	76	ltm1d 9171	. . . . . . . . . 10 $/\$
103		zq 9921	. . . . . . . . . . . . 13
104	3, 103	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
105	104	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
106		nnq 9928	. . . . . . . . . . . 12
107	106	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$
108	14	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$
109		modqlt 10658	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
110	105, 107, 108, 109	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10 $/\$
111	79, 76, 101, 102, 110	lttrd 8364	. . . . . . . . 9 $/\$
112	37	mulridd 8256	. . . . . . . . 9 $/\$
113	111, 112	breqtrrd 4121	. . . . . . . 8 $/\$
114		1red 8254	. . . . . . . . 9 $/\$
115		ltdivmul 9115	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
116	79, 114, 101, 108, 115	syl112anc 1278	. . . . . . . 8 $/\$
117	113, 116	mpbird 167	. . . . . . 7 $/\$
118	117	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
119		peano2zm 9578	. . . . . . . . . 10
120	81, 119	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$
121		znq 9919	. . . . . . . . 9 $/\$
122	120, 121	sylancom 420	. . . . . . . 8 $/\$
123		flqbi2 10614	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
124	64, 122, 123	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
125	124	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
126	100, 118, 125	mpbir2and 953	. . . . 5 $/\$ $/\$
127		modqval 10649	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
128	105, 107, 108, 127	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
129	128	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . 11 $/\$
130	37, 65	mulcld 8259	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
131	45, 42, 130	sub32d 8581	. . . . . . . . . . 11 $/\$
132		pncan 8444	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	36, 41, 132	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134	133	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . 11 $/\$
135	129, 131, 134	3eqtr2d 2270	. . . . . . . . . 10 $/\$
136	135	oveq1d 6043	. . . . . . . . 9 $/\$
137	36, 130, 37, 39	divsubdirapd 9069	. . . . . . . . 9 $/\$
138	65, 37, 39	divcanap3d 9034	. . . . . . . . . 10 $/\$
139	138	oveq2d 6044	. . . . . . . . 9 $/\$
140	136, 137, 139	3eqtrrd 2269	. . . . . . . 8 $/\$
141		zre 9544	. . . . . . . . . . 11
142		nndivre 9238	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	141, 142	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	recnd 8267	. . . . . . . . 9 $/\$
145		nndivre 9238	. . . . . . . . . . 11 $/\$
146	79, 145	sylancom 420	. . . . . . . . . 10 $/\$
147	146	recnd 8267	. . . . . . . . 9 $/\$
148	144, 65, 147	subaddd 8567	. . . . . . . 8 $/\$
149	140, 148	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$
150	149	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
151	150	fveq2d 5652	. . . . 5 $/\$ $/\$
152	126, 151	eqtr3d 2266	. . . 4 $/\$ $/\$
153	65, 67	subeq0ad 8559	. . . . 5 $/\$
154	153	adantr 276	. . . 4 $/\$ $/\$
155	152, 154	mpbird 167	. . 3 $/\$ $/\$
156		iffalse 3617	. . . 4
157	156	adantl 277	. . 3 $/\$ $/\$
158	155, 157	eqtr4d 2267	. 2 $/\$ $/\$
159		simpr 110	. . . 4 $/\$
160		dvdsdc 12439	. . . 4 $/\$ DECID
161	159, 4, 160	syl2anc 411	. . 3 $/\$ DECID
162		exmiddc 844	. . 3 DECID $\/$
163	161, 162	syl 14	. 2 $/\$ $\/$
164	73, 158, 163	mpjaodan 806	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 716 DECID wdc 842

wceq 1398

wcel 2202

wne 2403

cif 3607 class class class wbr 4093

cfv 5333 (class class class)co 6028

cc 8090

cr 8091

cc0 8092

c1 8093

caddc 8095

cmul 8097

clt 8273

cle 8274

cmin 8409 # cap 8820

cdiv 8911

cn 9202

cn0 9461

cz 9540

cq 9914

cfl 10591

cmo 10647

cdvds 12428

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-sep 4212 ax-pow 4270 ax-pr 4305 ax-un 4536 ax-setind 4641 ax-cnex 8183 ax-resscn 8184 ax-1cn 8185 ax-1re 8186 ax-icn 8187 ax-addcl 8188 ax-addrcl 8189 ax-mulcl 8190 ax-mulrcl 8191 ax-addcom 8192 ax-mulcom 8193 ax-addass 8194 ax-mulass 8195 ax-distr 8196 ax-i2m1 8197 ax-0lt1 8198 ax-1rid 8199 ax-0id 8200 ax-rnegex 8201 ax-precex 8202 ax-cnre 8203 ax-pre-ltirr 8204 ax-pre-ltwlin 8205 ax-pre-lttrn 8206 ax-pre-apti 8207 ax-pre-ltadd 8208 ax-pre-mulgt0 8209 ax-pre-mulext 8210 ax-arch 8211

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 839 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2364 df-ne 2404 df-nel 2499 df-ral 2516 df-rex 2517 df-reu 2518 df-rmo 2519 df-rab 2520 df-v 2805 df-sbc 3033 df-csb 3129 df-dif 3203 df-un 3205 df-in 3207 df-ss 3214 df-if 3608 df-pw 3658 df-sn 3679 df-pr 3680 df-op 3682 df-uni 3899 df-int 3934 df-iun 3977 df-br 4094 df-opab 4156 df-mpt 4157 df-id 4396 df-po 4399 df-iso 4400 df-xp 4737 df-rel 4738 df-cnv 4739 df-co 4740 df-dm 4741 df-rn 4742 df-res 4743 df-ima 4744 df-iota 5293 df-fun 5335 df-fn 5336 df-f 5337 df-fv 5341 df-riota 5981 df-ov 6031 df-oprab 6032 df-mpo 6033 df-1st 6312 df-2nd 6313 df-pnf 8275 df-mnf 8276 df-xr 8277 df-ltxr 8278 df-le 8279 df-sub 8411 df-neg 8412 df-reap 8814 df-ap 8821 df-div 8912 df-inn 9203 df-n0 9462 df-z 9541 df-uz 9817 df-q 9915 df-rp 9950 df-fl 10593 df-mod 10648 df-dvds 12429

This theorem is referenced by: pcfac 13003

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