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Theorem fldivp1 12922

Description: The difference between the floors of adjacent fractions is either 1 or 0. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
fldivp1	$/\$

**Proof of Theorem fldivp1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9498	. . . . . . . . 9
2		nnne0 9171	. . . . . . . . 9
3		peano2z 9515	. . . . . . . . . 10
4	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
5		dvdsval2 12352	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
6	1, 2, 4, 5	syl2an23an 1335	. . . . . . . 8 $/\$
7	6	biimpa 296	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
8		flid 10544	. . . . . . 7
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$
10		nnm1nn0 9443	. . . . . . . . . 10
11	10	nn0red 9456	. . . . . . . . 9
12	10	nn0ge0d 9458	. . . . . . . . 9
13		nnre 9150	. . . . . . . . 9
14		nngt0 9168	. . . . . . . . 9
15		divge0 9053	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
16	11, 12, 13, 14, 15	syl22anc 1274	. . . . . . . 8
17	16	ad2antlr 489	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
18	13	ltm1d 9112	. . . . . . . . . 10
19		nncn 9151	. . . . . . . . . . 11
20	19	mulridd 8196	. . . . . . . . . 10
21	18, 20	breqtrrd 4116	. . . . . . . . 9
22		1red 8194	. . . . . . . . . 10
23		ltdivmul 9056	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
24	11, 22, 13, 14, 23	syl112anc 1277	. . . . . . . . 9
25	21, 24	mpbird 167	. . . . . . . 8
26	25	ad2antlr 489	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
27	10	nn0zd 9600	. . . . . . . . . 10
28		znq 9858	. . . . . . . . . 10 $/\$
29	27, 28	mpancom 422	. . . . . . . . 9
30	29	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
31		flqbi2 10551	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
32	7, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
33	17, 26, 32	mpbir2and 952	. . . . . 6 $/\$ $/\$
34	9, 33	eqtr4d 2267	. . . . 5 $/\$ $/\$
35		zcn 9484	. . . . . . . . . 10
36	35	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
37	19	adantl 277	. . . . . . . . 9 $/\$
38		nnap0 9172	. . . . . . . . . 10 #
39	38	adantl 277	. . . . . . . . 9 $/\$ #
40	36, 37, 37, 39	divdirapd 9009	. . . . . . . 8 $/\$
41		ax-1cn 8125	. . . . . . . . . . . 12
42	41	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$
43	36, 42, 37	ppncand 8530	. . . . . . . . . 10 $/\$
44	43	oveq1d 6033	. . . . . . . . 9 $/\$
45	4	zcnd 9603	. . . . . . . . . 10 $/\$
46		subcl 8378	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
47	19, 41, 46	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
49	45, 48, 37, 39	divdirapd 9009	. . . . . . . . 9 $/\$
50	44, 49	eqtr3d 2266	. . . . . . . 8 $/\$
51	37, 39	dividapd 8966	. . . . . . . . 9 $/\$
52	51	oveq2d 6034	. . . . . . . 8 $/\$
53	40, 50, 52	3eqtr3d 2272	. . . . . . 7 $/\$
54	53	fveq2d 5643	. . . . . 6 $/\$
55	54	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$
56		znq 9858	. . . . . . 7 $/\$
57		1z 9505	. . . . . . 7
58		flqaddz 10557	. . . . . . 7 $/\$
59	56, 57, 58	sylancl 413	. . . . . 6 $/\$
60	59	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$
61	34, 55, 60	3eqtrrd 2269	. . . 4 $/\$ $/\$
62		znq 9858	. . . . . . . . 9 $/\$
63	3, 62	sylan 283	. . . . . . . 8 $/\$
64	63	flqcld 10537	. . . . . . 7 $/\$
65	64	zcnd 9603	. . . . . 6 $/\$
66	56	flqcld 10537	. . . . . . 7 $/\$
67	66	zcnd 9603	. . . . . 6 $/\$
68	65, 67, 42	subaddd 8508	. . . . 5 $/\$
69	68	adantr 276	. . . 4 $/\$ $/\$
70	61, 69	mpbird 167	. . 3 $/\$ $/\$
71		iftrue 3610	. . . 4
72	71	adantl 277	. . 3 $/\$ $/\$
73	70, 72	eqtr4d 2267	. 2 $/\$ $/\$
74		zmodcl 10606	. . . . . . . . . . 11 $/\$
75	3, 74	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
76	75	nn0red 9456	. . . . . . . . 9 $/\$
77		1re 8178	. . . . . . . . 9
78		resubcl 8443	. . . . . . . . 9 $/\$
79	76, 77, 78	sylancl 413	. . . . . . . 8 $/\$
80	79	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
81	75	nn0zd 9600	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82		elnndc 9846	. . . . . . . . . . . 12 DECID
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ DECID
84		elnn0 9404	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$
85	75, 84	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$
86	85	ord 731	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
87		id 19	. . . . . . . . . . . . 13
88		dvdsval3 12353	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
89	87, 3, 88	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
90	86, 89	sylibrd 169	. . . . . . . . . . 11 $/\$
91		con1dc 863	. . . . . . . . . . 11 DECID
92	83, 90, 91	sylc 62	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	imp 124	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
94		nnm1nn0 9443	. . . . . . . . 9
95	93, 94	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
96	95	nn0ge0d 9458	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
97	13, 14	jca 306	. . . . . . . 8 $/\$
98	97	ad2antlr 489	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
99		divge0 9053	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
100	80, 96, 98, 99	syl21anc 1272	. . . . . 6 $/\$ $/\$
101	13	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
102	76	ltm1d 9112	. . . . . . . . . 10 $/\$
103		zq 9860	. . . . . . . . . . . . 13
104	3, 103	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
105	104	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
106		nnq 9867	. . . . . . . . . . . 12
107	106	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$
108	14	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$
109		modqlt 10595	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
110	105, 107, 108, 109	syl3anc 1273	. . . . . . . . . 10 $/\$
111	79, 76, 101, 102, 110	lttrd 8305	. . . . . . . . 9 $/\$
112	37	mulridd 8196	. . . . . . . . 9 $/\$
113	111, 112	breqtrrd 4116	. . . . . . . 8 $/\$
114		1red 8194	. . . . . . . . 9 $/\$
115		ltdivmul 9056	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
116	79, 114, 101, 108, 115	syl112anc 1277	. . . . . . . 8 $/\$
117	113, 116	mpbird 167	. . . . . . 7 $/\$
118	117	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
119		peano2zm 9517	. . . . . . . . . 10
120	81, 119	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$
121		znq 9858	. . . . . . . . 9 $/\$
122	120, 121	sylancom 420	. . . . . . . 8 $/\$
123		flqbi2 10551	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
124	64, 122, 123	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
125	124	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
126	100, 118, 125	mpbir2and 952	. . . . 5 $/\$ $/\$
127		modqval 10586	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
128	105, 107, 108, 127	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
129	128	oveq1d 6033	. . . . . . . . . . 11 $/\$
130	37, 65	mulcld 8200	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
131	45, 42, 130	sub32d 8522	. . . . . . . . . . 11 $/\$
132		pncan 8385	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	36, 41, 132	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134	133	oveq1d 6033	. . . . . . . . . . 11 $/\$
135	129, 131, 134	3eqtr2d 2270	. . . . . . . . . 10 $/\$
136	135	oveq1d 6033	. . . . . . . . 9 $/\$
137	36, 130, 37, 39	divsubdirapd 9010	. . . . . . . . 9 $/\$
138	65, 37, 39	divcanap3d 8975	. . . . . . . . . 10 $/\$
139	138	oveq2d 6034	. . . . . . . . 9 $/\$
140	136, 137, 139	3eqtrrd 2269	. . . . . . . 8 $/\$
141		zre 9483	. . . . . . . . . . 11
142		nndivre 9179	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	141, 142	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	recnd 8208	. . . . . . . . 9 $/\$
145		nndivre 9179	. . . . . . . . . . 11 $/\$
146	79, 145	sylancom 420	. . . . . . . . . 10 $/\$
147	146	recnd 8208	. . . . . . . . 9 $/\$
148	144, 65, 147	subaddd 8508	. . . . . . . 8 $/\$
149	140, 148	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$
150	149	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
151	150	fveq2d 5643	. . . . 5 $/\$ $/\$
152	126, 151	eqtr3d 2266	. . . 4 $/\$ $/\$
153	65, 67	subeq0ad 8500	. . . . 5 $/\$
154	153	adantr 276	. . . 4 $/\$ $/\$
155	152, 154	mpbird 167	. . 3 $/\$ $/\$
156		iffalse 3613	. . . 4
157	156	adantl 277	. . 3 $/\$ $/\$
158	155, 157	eqtr4d 2267	. 2 $/\$ $/\$
159		simpr 110	. . . 4 $/\$
160		dvdsdc 12360	. . . 4 $/\$ DECID
161	159, 4, 160	syl2anc 411	. . 3 $/\$ DECID
162		exmiddc 843	. . 3 DECID $\/$
163	161, 162	syl 14	. 2 $/\$ $\/$
164	73, 158, 163	mpjaodan 805	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 715 DECID wdc 841

wceq 1397

wcel 2202

wne 2402

cif 3605 class class class wbr 4088

cfv 5326 (class class class)co 6018

cc 8030

cr 8031

cc0 8032

c1 8033

caddc 8035

cmul 8037

clt 8214

cle 8215

cmin 8350 # cap 8761

cdiv 8852

cn 9143

cn0 9402

cz 9479

cq 9853

cfl 10528

cmo 10584

cdvds 12349

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-sep 4207 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-cnex 8123 ax-resscn 8124 ax-1cn 8125 ax-1re 8126 ax-icn 8127 ax-addcl 8128 ax-addrcl 8129 ax-mulcl 8130 ax-mulrcl 8131 ax-addcom 8132 ax-mulcom 8133 ax-addass 8134 ax-mulass 8135 ax-distr 8136 ax-i2m1 8137 ax-0lt1 8138 ax-1rid 8139 ax-0id 8140 ax-rnegex 8141 ax-precex 8142 ax-cnre 8143 ax-pre-ltirr 8144 ax-pre-ltwlin 8145 ax-pre-lttrn 8146 ax-pre-apti 8147 ax-pre-ltadd 8148 ax-pre-mulgt0 8149 ax-pre-mulext 8150 ax-arch 8151

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 838 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-nel 2498 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rmo 2518 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-csb 3128 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-if 3606 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-int 3929 df-iun 3972 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-id 4390 df-po 4393 df-iso 4394 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-fv 5334 df-riota 5971 df-ov 6021 df-oprab 6022 df-mpo 6023 df-1st 6303 df-2nd 6304 df-pnf 8216 df-mnf 8217 df-xr 8218 df-ltxr 8219 df-le 8220 df-sub 8352 df-neg 8353 df-reap 8755 df-ap 8762 df-div 8853 df-inn 9144 df-n0 9403 df-z 9480 df-uz 9756 df-q 9854 df-rp 9889 df-fl 10530 df-mod 10585 df-dvds 12350

This theorem is referenced by: pcfac 12924

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