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Theorem fldivp1 13108

Description: The difference between the floors of adjacent fractions is either 1 or 0. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
fldivp1	$/\$

**Proof of Theorem fldivp1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9645	. . . . . . . . 9
2		nnne0 9314	. . . . . . . . 9
3		peano2z 9662	. . . . . . . . . 10
4	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
5		dvdsval2 12538	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
6	1, 2, 4, 5	syl2an23an 1340	. . . . . . . 8 $/\$
7	6	biimpa 296	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
8		flid 10700	. . . . . . 7
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$
10		nnm1nn0 9586	. . . . . . . . . 10
11	10	nn0red 9603	. . . . . . . . 9
12	10	nn0ge0d 9605	. . . . . . . . 9
13		nnre 9293	. . . . . . . . 9
14		nngt0 9311	. . . . . . . . 9
15		divge0 9196	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
16	11, 12, 13, 14, 15	syl22anc 1279	. . . . . . . 8
17	16	ad2antlr 493	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
18	13	ltm1d 9255	. . . . . . . . . 10
19		nncn 9294	. . . . . . . . . . 11
20	19	mulridd 8336	. . . . . . . . . 10
21	18, 20	breqtrrd 4156	. . . . . . . . 9
22		1red 8334	. . . . . . . . . 10
23		ltdivmul 9199	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
24	11, 22, 13, 14, 23	syl112anc 1282	. . . . . . . . 9
25	21, 24	mpbird 167	. . . . . . . 8
26	25	ad2antlr 493	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
27	10	nn0zd 9748	. . . . . . . . . 10
28		znq 10006	. . . . . . . . . 10 $/\$
29	27, 28	mpancom 426	. . . . . . . . 9
30	29	ad2antlr 493	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
31		flqbi2 10707	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
32	7, 30, 31	syl2anc 415	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
33	17, 26, 32	mpbir2and 957	. . . . . 6 $/\$ $/\$
34	9, 33	eqtr4d 2274	. . . . 5 $/\$ $/\$
35		zcn 9631	. . . . . . . . . 10
36	35	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
37	19	adantl 277	. . . . . . . . 9 $/\$
38		nnap0 9315	. . . . . . . . . 10 #
39	38	adantl 277	. . . . . . . . 9 $/\$ #
40	36, 37, 37, 39	divdirapd 9152	. . . . . . . 8 $/\$
41		ax-1cn 8265	. . . . . . . . . . . 12
42	41	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$
43	36, 42, 37	ppncand 8670	. . . . . . . . . 10 $/\$
44	43	oveq1d 6093	. . . . . . . . 9 $/\$
45	4	zcnd 9751	. . . . . . . . . 10 $/\$
46		subcl 8518	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
47	19, 41, 46	sylancl 417	. . . . . . . . . . 11
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
49	45, 48, 37, 39	divdirapd 9152	. . . . . . . . 9 $/\$
50	44, 49	eqtr3d 2273	. . . . . . . 8 $/\$
51	37, 39	dividapd 9109	. . . . . . . . 9 $/\$
52	51	oveq2d 6094	. . . . . . . 8 $/\$
53	40, 50, 52	3eqtr3d 2279	. . . . . . 7 $/\$
54	53	fveq2d 5697	. . . . . 6 $/\$
55	54	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$
56		znq 10006	. . . . . . 7 $/\$
57		1z 9652	. . . . . . 7
58		flqaddz 10713	. . . . . . 7 $/\$
59	56, 57, 58	sylancl 417	. . . . . 6 $/\$
60	59	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$
61	34, 55, 60	3eqtrrd 2276	. . . 4 $/\$ $/\$
62		znq 10006	. . . . . . . . 9 $/\$
63	3, 62	sylan 283	. . . . . . . 8 $/\$
64	63	flqcld 10693	. . . . . . 7 $/\$
65	64	zcnd 9751	. . . . . 6 $/\$
66	56	flqcld 10693	. . . . . . 7 $/\$
67	66	zcnd 9751	. . . . . 6 $/\$
68	65, 67, 42	subaddd 8648	. . . . 5 $/\$
69	68	adantr 276	. . . 4 $/\$ $/\$
70	61, 69	mpbird 167	. . 3 $/\$ $/\$
71		iftrue 3645	. . . 4
72	71	adantl 277	. . 3 $/\$ $/\$
73	70, 72	eqtr4d 2274	. 2 $/\$ $/\$
74		zmodcl 10762	. . . . . . . . . . 11 $/\$
75	3, 74	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
76	75	nn0red 9603	. . . . . . . . 9 $/\$
77		1re 8318	. . . . . . . . 9
78		resubcl 8583	. . . . . . . . 9 $/\$
79	76, 77, 78	sylancl 417	. . . . . . . 8 $/\$
80	79	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
81	75	nn0zd 9748	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82		elnndc 9994	. . . . . . . . . . . 12 DECID
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ DECID
84		elnn0 9547	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$
85	75, 84	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$
86	85	ord 736	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
87		id 19	. . . . . . . . . . . . 13
88		dvdsval3 12539	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
89	87, 3, 88	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
90	86, 89	sylibrd 169	. . . . . . . . . . 11 $/\$
91		con1dc 868	. . . . . . . . . . 11 DECID
92	83, 90, 91	sylc 62	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	imp 124	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
94		nnm1nn0 9586	. . . . . . . . 9
95	93, 94	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
96	95	nn0ge0d 9605	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
97	13, 14	jca 306	. . . . . . . 8 $/\$
98	97	ad2antlr 493	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
99		divge0 9196	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
100	80, 96, 98, 99	syl21anc 1277	. . . . . 6 $/\$ $/\$
101	13	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
102	76	ltm1d 9255	. . . . . . . . . 10 $/\$
103		zq 10008	. . . . . . . . . . . . 13
104	3, 103	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
105	104	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
106		nnq 10015	. . . . . . . . . . . 12
107	106	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$
108	14	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$
109		modqlt 10751	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
110	105, 107, 108, 109	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 $/\$
111	79, 76, 101, 102, 110	lttrd 8445	. . . . . . . . 9 $/\$
112	37	mulridd 8336	. . . . . . . . 9 $/\$
113	111, 112	breqtrrd 4156	. . . . . . . 8 $/\$
114		1red 8334	. . . . . . . . 9 $/\$
115		ltdivmul 9199	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
116	79, 114, 101, 108, 115	syl112anc 1282	. . . . . . . 8 $/\$
117	113, 116	mpbird 167	. . . . . . 7 $/\$
118	117	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
119		peano2zm 9664	. . . . . . . . . 10
120	81, 119	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$
121		znq 10006	. . . . . . . . 9 $/\$
122	120, 121	sylancom 424	. . . . . . . 8 $/\$
123		flqbi2 10707	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
124	64, 122, 123	syl2anc 415	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
125	124	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
126	100, 118, 125	mpbir2and 957	. . . . 5 $/\$ $/\$
127		modqval 10742	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
128	105, 107, 108, 127	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
129	128	oveq1d 6093	. . . . . . . . . . 11 $/\$
130	37, 65	mulcld 8339	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
131	45, 42, 130	sub32d 8662	. . . . . . . . . . 11 $/\$
132		pncan 8525	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	36, 41, 132	sylancl 417	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134	133	oveq1d 6093	. . . . . . . . . . 11 $/\$
135	129, 131, 134	3eqtr2d 2277	. . . . . . . . . 10 $/\$
136	135	oveq1d 6093	. . . . . . . . 9 $/\$
137	36, 130, 37, 39	divsubdirapd 9153	. . . . . . . . 9 $/\$
138	65, 37, 39	divcanap3d 9118	. . . . . . . . . 10 $/\$
139	138	oveq2d 6094	. . . . . . . . 9 $/\$
140	136, 137, 139	3eqtrrd 2276	. . . . . . . 8 $/\$
141		zre 9630	. . . . . . . . . . 11
142		nndivre 9322	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	141, 142	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	recnd 8347	. . . . . . . . 9 $/\$
145		nndivre 9322	. . . . . . . . . . 11 $/\$
146	79, 145	sylancom 424	. . . . . . . . . 10 $/\$
147	146	recnd 8347	. . . . . . . . 9 $/\$
148	144, 65, 147	subaddd 8648	. . . . . . . 8 $/\$
149	140, 148	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$
150	149	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
151	150	fveq2d 5697	. . . . 5 $/\$ $/\$
152	126, 151	eqtr3d 2273	. . . 4 $/\$ $/\$
153	65, 67	subeq0ad 8640	. . . . 5 $/\$
154	153	adantr 276	. . . 4 $/\$ $/\$
155	152, 154	mpbird 167	. . 3 $/\$ $/\$
156		iffalse 3648	. . . 4
157	156	adantl 277	. . 3 $/\$ $/\$
158	155, 157	eqtr4d 2274	. 2 $/\$ $/\$
159		simpr 110	. . . 4 $/\$
160		dvdsdc 12546	. . . 4 $/\$ DECID
161	159, 4, 160	syl2anc 415	. . 3 $/\$ DECID
162		exmiddc 848	. . 3 DECID $\/$
163	161, 162	syl 14	. 2 $/\$ $\/$
164	73, 158, 163	mpjaodan 810	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 720 DECID wdc 846

wceq 1402

wcel 2209

wne 2420

cif 3638 class class class wbr 4128

cfv 5375 (class class class)co 6078

cc 8170

cr 8171

cc0 8172

c1 8173

caddc 8175

cmul 8177

clt 8353

cle 8354

cmin 8490 # cap 8902

cdiv 8995

cn 9286

cn0 9545

cz 9626

cq 10001

cfl 10684

cmo 10740

cdvds 12535

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-sep 4247 ax-pow 4309 ax-pr 4344 ax-un 4576 ax-setind 4682 ax-cnex 8263 ax-resscn 8264 ax-1cn 8265 ax-1re 8266 ax-icn 8267 ax-addcl 8268 ax-addrcl 8269 ax-mulcl 8270 ax-mulrcl 8271 ax-addcom 8272 ax-mulcom 8273 ax-addass 8274 ax-mulass 8275 ax-distr 8276 ax-i2m1 8277 ax-0lt1 8278 ax-1rid 8279 ax-0id 8280 ax-rnegex 8281 ax-precex 8282 ax-cnre 8283 ax-pre-ltirr 8284 ax-pre-ltwlin 8285 ax-pre-lttrn 8286 ax-pre-apti 8287 ax-pre-ltadd 8288 ax-pre-mulgt0 8289 ax-pre-mulext 8290 ax-arch 8291

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 843 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3714 df-pr 3715 df-op 3717 df-uni 3934 df-int 3969 df-iun 4012 df-br 4129 df-opab 4191 df-mpt 4192 df-id 4436 df-po 4439 df-iso 4440 df-xp 4778 df-rel 4779 df-cnv 4780 df-co 4781 df-dm 4782 df-rn 4783 df-res 4784 df-ima 4785 df-iota 5335 df-fun 5377 df-fn 5378 df-f 5379 df-fv 5383 df-riota 6031 df-ov 6081 df-oprab 6082 df-mpo 6083 df-1st 6367 df-2nd 6368 df-pnf 8355 df-mnf 8356 df-xr 8357 df-ltxr 8358 df-le 8359 df-sub 8492 df-neg 8493 df-reap 8896 df-ap 8903 df-div 8996 df-inn 9287 df-n0 9546 df-z 9627 df-uz 9904 df-q 10002 df-rp 10037 df-fl 10686 df-mod 10741 df-dvds 12536

This theorem is referenced by: pcfac 13110

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