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Theorem fldivp1 12517

Description: The difference between the floors of adjacent fractions is either 1 or 0. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
fldivp1	$/\$

**Proof of Theorem fldivp1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9345	. . . . . . . . 9
2		nnne0 9018	. . . . . . . . 9
3		peano2z 9362	. . . . . . . . . 10
4	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
5		dvdsval2 11955	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
6	1, 2, 4, 5	syl2an23an 1310	. . . . . . . 8 $/\$
7	6	biimpa 296	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
8		flid 10374	. . . . . . 7
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$
10		nnm1nn0 9290	. . . . . . . . . 10
11	10	nn0red 9303	. . . . . . . . 9
12	10	nn0ge0d 9305	. . . . . . . . 9
13		nnre 8997	. . . . . . . . 9
14		nngt0 9015	. . . . . . . . 9
15		divge0 8900	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
16	11, 12, 13, 14, 15	syl22anc 1250	. . . . . . . 8
17	16	ad2antlr 489	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
18	13	ltm1d 8959	. . . . . . . . . 10
19		nncn 8998	. . . . . . . . . . 11
20	19	mulridd 8043	. . . . . . . . . 10
21	18, 20	breqtrrd 4061	. . . . . . . . 9
22		1red 8041	. . . . . . . . . 10
23		ltdivmul 8903	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
24	11, 22, 13, 14, 23	syl112anc 1253	. . . . . . . . 9
25	21, 24	mpbird 167	. . . . . . . 8
26	25	ad2antlr 489	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
27	10	nn0zd 9446	. . . . . . . . . 10
28		znq 9698	. . . . . . . . . 10 $/\$
29	27, 28	mpancom 422	. . . . . . . . 9
30	29	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
31		flqbi2 10381	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
32	7, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
33	17, 26, 32	mpbir2and 946	. . . . . 6 $/\$ $/\$
34	9, 33	eqtr4d 2232	. . . . 5 $/\$ $/\$
35		zcn 9331	. . . . . . . . . 10
36	35	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
37	19	adantl 277	. . . . . . . . 9 $/\$
38		nnap0 9019	. . . . . . . . . 10 #
39	38	adantl 277	. . . . . . . . 9 $/\$ #
40	36, 37, 37, 39	divdirapd 8856	. . . . . . . 8 $/\$
41		ax-1cn 7972	. . . . . . . . . . . 12
42	41	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$
43	36, 42, 37	ppncand 8377	. . . . . . . . . 10 $/\$
44	43	oveq1d 5937	. . . . . . . . 9 $/\$
45	4	zcnd 9449	. . . . . . . . . 10 $/\$
46		subcl 8225	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
47	19, 41, 46	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
49	45, 48, 37, 39	divdirapd 8856	. . . . . . . . 9 $/\$
50	44, 49	eqtr3d 2231	. . . . . . . 8 $/\$
51	37, 39	dividapd 8813	. . . . . . . . 9 $/\$
52	51	oveq2d 5938	. . . . . . . 8 $/\$
53	40, 50, 52	3eqtr3d 2237	. . . . . . 7 $/\$
54	53	fveq2d 5562	. . . . . 6 $/\$
55	54	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$
56		znq 9698	. . . . . . 7 $/\$
57		1z 9352	. . . . . . 7
58		flqaddz 10387	. . . . . . 7 $/\$
59	56, 57, 58	sylancl 413	. . . . . 6 $/\$
60	59	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$
61	34, 55, 60	3eqtrrd 2234	. . . 4 $/\$ $/\$
62		znq 9698	. . . . . . . . 9 $/\$
63	3, 62	sylan 283	. . . . . . . 8 $/\$
64	63	flqcld 10367	. . . . . . 7 $/\$
65	64	zcnd 9449	. . . . . 6 $/\$
66	56	flqcld 10367	. . . . . . 7 $/\$
67	66	zcnd 9449	. . . . . 6 $/\$
68	65, 67, 42	subaddd 8355	. . . . 5 $/\$
69	68	adantr 276	. . . 4 $/\$ $/\$
70	61, 69	mpbird 167	. . 3 $/\$ $/\$
71		iftrue 3566	. . . 4
72	71	adantl 277	. . 3 $/\$ $/\$
73	70, 72	eqtr4d 2232	. 2 $/\$ $/\$
74		zmodcl 10436	. . . . . . . . . . 11 $/\$
75	3, 74	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
76	75	nn0red 9303	. . . . . . . . 9 $/\$
77		1re 8025	. . . . . . . . 9
78		resubcl 8290	. . . . . . . . 9 $/\$
79	76, 77, 78	sylancl 413	. . . . . . . 8 $/\$
80	79	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
81	75	nn0zd 9446	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82		elnndc 9686	. . . . . . . . . . . 12 DECID
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ DECID
84		elnn0 9251	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$
85	75, 84	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$
86	85	ord 725	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
87		id 19	. . . . . . . . . . . . 13
88		dvdsval3 11956	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
89	87, 3, 88	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
90	86, 89	sylibrd 169	. . . . . . . . . . 11 $/\$
91		con1dc 857	. . . . . . . . . . 11 DECID
92	83, 90, 91	sylc 62	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	imp 124	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
94		nnm1nn0 9290	. . . . . . . . 9
95	93, 94	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
96	95	nn0ge0d 9305	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
97	13, 14	jca 306	. . . . . . . 8 $/\$
98	97	ad2antlr 489	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
99		divge0 8900	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
100	80, 96, 98, 99	syl21anc 1248	. . . . . 6 $/\$ $/\$
101	13	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
102	76	ltm1d 8959	. . . . . . . . . 10 $/\$
103		zq 9700	. . . . . . . . . . . . 13
104	3, 103	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
105	104	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
106		nnq 9707	. . . . . . . . . . . 12
107	106	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$
108	14	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$
109		modqlt 10425	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
110	105, 107, 108, 109	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 $/\$
111	79, 76, 101, 102, 110	lttrd 8152	. . . . . . . . 9 $/\$
112	37	mulridd 8043	. . . . . . . . 9 $/\$
113	111, 112	breqtrrd 4061	. . . . . . . 8 $/\$
114		1red 8041	. . . . . . . . 9 $/\$
115		ltdivmul 8903	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
116	79, 114, 101, 108, 115	syl112anc 1253	. . . . . . . 8 $/\$
117	113, 116	mpbird 167	. . . . . . 7 $/\$
118	117	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
119		peano2zm 9364	. . . . . . . . . 10
120	81, 119	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$
121		znq 9698	. . . . . . . . 9 $/\$
122	120, 121	sylancom 420	. . . . . . . 8 $/\$
123		flqbi2 10381	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
124	64, 122, 123	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
125	124	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
126	100, 118, 125	mpbir2and 946	. . . . 5 $/\$ $/\$
127		modqval 10416	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
128	105, 107, 108, 127	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
129	128	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . 11 $/\$
130	37, 65	mulcld 8047	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
131	45, 42, 130	sub32d 8369	. . . . . . . . . . 11 $/\$
132		pncan 8232	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	36, 41, 132	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134	133	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . 11 $/\$
135	129, 131, 134	3eqtr2d 2235	. . . . . . . . . 10 $/\$
136	135	oveq1d 5937	. . . . . . . . 9 $/\$
137	36, 130, 37, 39	divsubdirapd 8857	. . . . . . . . 9 $/\$
138	65, 37, 39	divcanap3d 8822	. . . . . . . . . 10 $/\$
139	138	oveq2d 5938	. . . . . . . . 9 $/\$
140	136, 137, 139	3eqtrrd 2234	. . . . . . . 8 $/\$
141		zre 9330	. . . . . . . . . . 11
142		nndivre 9026	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	141, 142	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	recnd 8055	. . . . . . . . 9 $/\$
145		nndivre 9026	. . . . . . . . . . 11 $/\$
146	79, 145	sylancom 420	. . . . . . . . . 10 $/\$
147	146	recnd 8055	. . . . . . . . 9 $/\$
148	144, 65, 147	subaddd 8355	. . . . . . . 8 $/\$
149	140, 148	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$
150	149	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
151	150	fveq2d 5562	. . . . 5 $/\$ $/\$
152	126, 151	eqtr3d 2231	. . . 4 $/\$ $/\$
153	65, 67	subeq0ad 8347	. . . . 5 $/\$
154	153	adantr 276	. . . 4 $/\$ $/\$
155	152, 154	mpbird 167	. . 3 $/\$ $/\$
156		iffalse 3569	. . . 4
157	156	adantl 277	. . 3 $/\$ $/\$
158	155, 157	eqtr4d 2232	. 2 $/\$ $/\$
159		simpr 110	. . . 4 $/\$
160		dvdsdc 11963	. . . 4 $/\$ DECID
161	159, 4, 160	syl2anc 411	. . 3 $/\$ DECID
162		exmiddc 837	. . 3 DECID $\/$
163	161, 162	syl 14	. 2 $/\$ $\/$
164	73, 158, 163	mpjaodan 799	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 709 DECID wdc 835

wceq 1364

wcel 2167

wne 2367

cif 3561 class class class wbr 4033

cfv 5258 (class class class)co 5922

cc 7877

cr 7878

cc0 7879

c1 7880

caddc 7882

cmul 7884

clt 8061

cle 8062

cmin 8197 # cap 8608

cdiv 8699

cn 8990

cn0 9249

cz 9326

cq 9693

cfl 10358

cmo 10414

cdvds 11952

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-sep 4151 ax-pow 4207 ax-pr 4242 ax-un 4468 ax-setind 4573 ax-cnex 7970 ax-resscn 7971 ax-1cn 7972 ax-1re 7973 ax-icn 7974 ax-addcl 7975 ax-addrcl 7976 ax-mulcl 7977 ax-mulrcl 7978 ax-addcom 7979 ax-mulcom 7980 ax-addass 7981 ax-mulass 7982 ax-distr 7983 ax-i2m1 7984 ax-0lt1 7985 ax-1rid 7986 ax-0id 7987 ax-rnegex 7988 ax-precex 7989 ax-cnre 7990 ax-pre-ltirr 7991 ax-pre-ltwlin 7992 ax-pre-lttrn 7993 ax-pre-apti 7994 ax-pre-ltadd 7995 ax-pre-mulgt0 7996 ax-pre-mulext 7997 ax-arch 7998

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-if 3562 df-pw 3607 df-sn 3628 df-pr 3629 df-op 3631 df-uni 3840 df-int 3875 df-iun 3918 df-br 4034 df-opab 4095 df-mpt 4096 df-id 4328 df-po 4331 df-iso 4332 df-xp 4669 df-rel 4670 df-cnv 4671 df-co 4672 df-dm 4673 df-rn 4674 df-res 4675 df-ima 4676 df-iota 5219 df-fun 5260 df-fn 5261 df-f 5262 df-fv 5266 df-riota 5877 df-ov 5925 df-oprab 5926 df-mpo 5927 df-1st 6198 df-2nd 6199 df-pnf 8063 df-mnf 8064 df-xr 8065 df-ltxr 8066 df-le 8067 df-sub 8199 df-neg 8200 df-reap 8602 df-ap 8609 df-div 8700 df-inn 8991 df-n0 9250 df-z 9327 df-uz 9602 df-q 9694 df-rp 9729 df-fl 10360 df-mod 10415 df-dvds 11953

This theorem is referenced by: pcfac 12519

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