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Theorem fldivp1 12871

Description: The difference between the floors of adjacent fractions is either 1 or 0. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
fldivp1	$/\$

**Proof of Theorem fldivp1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9465	. . . . . . . . 9
2		nnne0 9138	. . . . . . . . 9
3		peano2z 9482	. . . . . . . . . 10
4	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
5		dvdsval2 12301	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
6	1, 2, 4, 5	syl2an23an 1333	. . . . . . . 8 $/\$
7	6	biimpa 296	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
8		flid 10504	. . . . . . 7
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$
10		nnm1nn0 9410	. . . . . . . . . 10
11	10	nn0red 9423	. . . . . . . . 9
12	10	nn0ge0d 9425	. . . . . . . . 9
13		nnre 9117	. . . . . . . . 9
14		nngt0 9135	. . . . . . . . 9
15		divge0 9020	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
16	11, 12, 13, 14, 15	syl22anc 1272	. . . . . . . 8
17	16	ad2antlr 489	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
18	13	ltm1d 9079	. . . . . . . . . 10
19		nncn 9118	. . . . . . . . . . 11
20	19	mulridd 8163	. . . . . . . . . 10
21	18, 20	breqtrrd 4111	. . . . . . . . 9
22		1red 8161	. . . . . . . . . 10
23		ltdivmul 9023	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
24	11, 22, 13, 14, 23	syl112anc 1275	. . . . . . . . 9
25	21, 24	mpbird 167	. . . . . . . 8
26	25	ad2antlr 489	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
27	10	nn0zd 9567	. . . . . . . . . 10
28		znq 9819	. . . . . . . . . 10 $/\$
29	27, 28	mpancom 422	. . . . . . . . 9
30	29	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
31		flqbi2 10511	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
32	7, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
33	17, 26, 32	mpbir2and 950	. . . . . 6 $/\$ $/\$
34	9, 33	eqtr4d 2265	. . . . 5 $/\$ $/\$
35		zcn 9451	. . . . . . . . . 10
36	35	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
37	19	adantl 277	. . . . . . . . 9 $/\$
38		nnap0 9139	. . . . . . . . . 10 #
39	38	adantl 277	. . . . . . . . 9 $/\$ #
40	36, 37, 37, 39	divdirapd 8976	. . . . . . . 8 $/\$
41		ax-1cn 8092	. . . . . . . . . . . 12
42	41	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$
43	36, 42, 37	ppncand 8497	. . . . . . . . . 10 $/\$
44	43	oveq1d 6016	. . . . . . . . 9 $/\$
45	4	zcnd 9570	. . . . . . . . . 10 $/\$
46		subcl 8345	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
47	19, 41, 46	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
49	45, 48, 37, 39	divdirapd 8976	. . . . . . . . 9 $/\$
50	44, 49	eqtr3d 2264	. . . . . . . 8 $/\$
51	37, 39	dividapd 8933	. . . . . . . . 9 $/\$
52	51	oveq2d 6017	. . . . . . . 8 $/\$
53	40, 50, 52	3eqtr3d 2270	. . . . . . 7 $/\$
54	53	fveq2d 5631	. . . . . 6 $/\$
55	54	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$
56		znq 9819	. . . . . . 7 $/\$
57		1z 9472	. . . . . . 7
58		flqaddz 10517	. . . . . . 7 $/\$
59	56, 57, 58	sylancl 413	. . . . . 6 $/\$
60	59	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$
61	34, 55, 60	3eqtrrd 2267	. . . 4 $/\$ $/\$
62		znq 9819	. . . . . . . . 9 $/\$
63	3, 62	sylan 283	. . . . . . . 8 $/\$
64	63	flqcld 10497	. . . . . . 7 $/\$
65	64	zcnd 9570	. . . . . 6 $/\$
66	56	flqcld 10497	. . . . . . 7 $/\$
67	66	zcnd 9570	. . . . . 6 $/\$
68	65, 67, 42	subaddd 8475	. . . . 5 $/\$
69	68	adantr 276	. . . 4 $/\$ $/\$
70	61, 69	mpbird 167	. . 3 $/\$ $/\$
71		iftrue 3607	. . . 4
72	71	adantl 277	. . 3 $/\$ $/\$
73	70, 72	eqtr4d 2265	. 2 $/\$ $/\$
74		zmodcl 10566	. . . . . . . . . . 11 $/\$
75	3, 74	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
76	75	nn0red 9423	. . . . . . . . 9 $/\$
77		1re 8145	. . . . . . . . 9
78		resubcl 8410	. . . . . . . . 9 $/\$
79	76, 77, 78	sylancl 413	. . . . . . . 8 $/\$
80	79	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
81	75	nn0zd 9567	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82		elnndc 9807	. . . . . . . . . . . 12 DECID
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ DECID
84		elnn0 9371	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$
85	75, 84	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$
86	85	ord 729	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
87		id 19	. . . . . . . . . . . . 13
88		dvdsval3 12302	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
89	87, 3, 88	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
90	86, 89	sylibrd 169	. . . . . . . . . . 11 $/\$
91		con1dc 861	. . . . . . . . . . 11 DECID
92	83, 90, 91	sylc 62	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	imp 124	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
94		nnm1nn0 9410	. . . . . . . . 9
95	93, 94	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
96	95	nn0ge0d 9425	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
97	13, 14	jca 306	. . . . . . . 8 $/\$
98	97	ad2antlr 489	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
99		divge0 9020	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
100	80, 96, 98, 99	syl21anc 1270	. . . . . 6 $/\$ $/\$
101	13	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
102	76	ltm1d 9079	. . . . . . . . . 10 $/\$
103		zq 9821	. . . . . . . . . . . . 13
104	3, 103	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
105	104	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
106		nnq 9828	. . . . . . . . . . . 12
107	106	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$
108	14	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$
109		modqlt 10555	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
110	105, 107, 108, 109	syl3anc 1271	. . . . . . . . . 10 $/\$
111	79, 76, 101, 102, 110	lttrd 8272	. . . . . . . . 9 $/\$
112	37	mulridd 8163	. . . . . . . . 9 $/\$
113	111, 112	breqtrrd 4111	. . . . . . . 8 $/\$
114		1red 8161	. . . . . . . . 9 $/\$
115		ltdivmul 9023	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
116	79, 114, 101, 108, 115	syl112anc 1275	. . . . . . . 8 $/\$
117	113, 116	mpbird 167	. . . . . . 7 $/\$
118	117	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
119		peano2zm 9484	. . . . . . . . . 10
120	81, 119	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$
121		znq 9819	. . . . . . . . 9 $/\$
122	120, 121	sylancom 420	. . . . . . . 8 $/\$
123		flqbi2 10511	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
124	64, 122, 123	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
125	124	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
126	100, 118, 125	mpbir2and 950	. . . . 5 $/\$ $/\$
127		modqval 10546	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
128	105, 107, 108, 127	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
129	128	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . 11 $/\$
130	37, 65	mulcld 8167	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
131	45, 42, 130	sub32d 8489	. . . . . . . . . . 11 $/\$
132		pncan 8352	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	36, 41, 132	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134	133	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . 11 $/\$
135	129, 131, 134	3eqtr2d 2268	. . . . . . . . . 10 $/\$
136	135	oveq1d 6016	. . . . . . . . 9 $/\$
137	36, 130, 37, 39	divsubdirapd 8977	. . . . . . . . 9 $/\$
138	65, 37, 39	divcanap3d 8942	. . . . . . . . . 10 $/\$
139	138	oveq2d 6017	. . . . . . . . 9 $/\$
140	136, 137, 139	3eqtrrd 2267	. . . . . . . 8 $/\$
141		zre 9450	. . . . . . . . . . 11
142		nndivre 9146	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	141, 142	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	recnd 8175	. . . . . . . . 9 $/\$
145		nndivre 9146	. . . . . . . . . . 11 $/\$
146	79, 145	sylancom 420	. . . . . . . . . 10 $/\$
147	146	recnd 8175	. . . . . . . . 9 $/\$
148	144, 65, 147	subaddd 8475	. . . . . . . 8 $/\$
149	140, 148	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$
150	149	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
151	150	fveq2d 5631	. . . . 5 $/\$ $/\$
152	126, 151	eqtr3d 2264	. . . 4 $/\$ $/\$
153	65, 67	subeq0ad 8467	. . . . 5 $/\$
154	153	adantr 276	. . . 4 $/\$ $/\$
155	152, 154	mpbird 167	. . 3 $/\$ $/\$
156		iffalse 3610	. . . 4
157	156	adantl 277	. . 3 $/\$ $/\$
158	155, 157	eqtr4d 2265	. 2 $/\$ $/\$
159		simpr 110	. . . 4 $/\$
160		dvdsdc 12309	. . . 4 $/\$ DECID
161	159, 4, 160	syl2anc 411	. . 3 $/\$ DECID
162		exmiddc 841	. . 3 DECID $\/$
163	161, 162	syl 14	. 2 $/\$ $\/$
164	73, 158, 163	mpjaodan 803	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 713 DECID wdc 839

wceq 1395

wcel 2200

wne 2400

cif 3602 class class class wbr 4083

cfv 5318 (class class class)co 6001

cc 7997

cr 7998

cc0 7999

c1 8000

caddc 8002

cmul 8004

clt 8181

cle 8182

cmin 8317 # cap 8728

cdiv 8819

cn 9110

cn0 9369

cz 9446

cq 9814

cfl 10488

cmo 10544

cdvds 12298

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-sep 4202 ax-pow 4258 ax-pr 4293 ax-un 4524 ax-setind 4629 ax-cnex 8090 ax-resscn 8091 ax-1cn 8092 ax-1re 8093 ax-icn 8094 ax-addcl 8095 ax-addrcl 8096 ax-mulcl 8097 ax-mulrcl 8098 ax-addcom 8099 ax-mulcom 8100 ax-addass 8101 ax-mulass 8102 ax-distr 8103 ax-i2m1 8104 ax-0lt1 8105 ax-1rid 8106 ax-0id 8107 ax-rnegex 8108 ax-precex 8109 ax-cnre 8110 ax-pre-ltirr 8111 ax-pre-ltwlin 8112 ax-pre-lttrn 8113 ax-pre-apti 8114 ax-pre-ltadd 8115 ax-pre-mulgt0 8116 ax-pre-mulext 8117 ax-arch 8118

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 836 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-id 4384 df-po 4387 df-iso 4388 df-xp 4725 df-rel 4726 df-cnv 4727 df-co 4728 df-dm 4729 df-rn 4730 df-res 4731 df-ima 4732 df-iota 5278 df-fun 5320 df-fn 5321 df-f 5322 df-fv 5326 df-riota 5954 df-ov 6004 df-oprab 6005 df-mpo 6006 df-1st 6286 df-2nd 6287 df-pnf 8183 df-mnf 8184 df-xr 8185 df-ltxr 8186 df-le 8187 df-sub 8319 df-neg 8320 df-reap 8722 df-ap 8729 df-div 8820 df-inn 9111 df-n0 9370 df-z 9447 df-uz 9723 df-q 9815 df-rp 9850 df-fl 10490 df-mod 10545 df-dvds 12299

This theorem is referenced by: pcfac 12873

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