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Theorem fldivp1 12300

Description: The difference between the floors of adjacent fractions is either 1 or 0. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
fldivp1	$/\$

**Proof of Theorem fldivp1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9231	. . . . . . . . 9
2		nnne0 8906	. . . . . . . . 9
3		peano2z 9248	. . . . . . . . . 10
4	3	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$
5		dvdsval2 11752	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
6	1, 2, 4, 5	syl2an23an 1294	. . . . . . . 8 $/\$
7	6	biimpa 294	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
8		flid 10240	. . . . . . 7
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$
10		nnm1nn0 9176	. . . . . . . . . 10
11	10	nn0red 9189	. . . . . . . . 9
12	10	nn0ge0d 9191	. . . . . . . . 9
13		nnre 8885	. . . . . . . . 9
14		nngt0 8903	. . . . . . . . 9
15		divge0 8789	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
16	11, 12, 13, 14, 15	syl22anc 1234	. . . . . . . 8
17	16	ad2antlr 486	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
18	13	ltm1d 8848	. . . . . . . . . 10
19		nncn 8886	. . . . . . . . . . 11
20	19	mulid1d 7937	. . . . . . . . . 10
21	18, 20	breqtrrd 4017	. . . . . . . . 9
22		1red 7935	. . . . . . . . . 10
23		ltdivmul 8792	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
24	11, 22, 13, 14, 23	syl112anc 1237	. . . . . . . . 9
25	21, 24	mpbird 166	. . . . . . . 8
26	25	ad2antlr 486	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
27	10	nn0zd 9332	. . . . . . . . . 10
28		znq 9583	. . . . . . . . . 10 $/\$
29	27, 28	mpancom 420	. . . . . . . . 9
30	29	ad2antlr 486	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
31		flqbi2 10247	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
32	7, 30, 31	syl2anc 409	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
33	17, 26, 32	mpbir2and 939	. . . . . 6 $/\$ $/\$
34	9, 33	eqtr4d 2206	. . . . 5 $/\$ $/\$
35		zcn 9217	. . . . . . . . . 10
36	35	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$
37	19	adantl 275	. . . . . . . . 9 $/\$
38		nnap0 8907	. . . . . . . . . 10 #
39	38	adantl 275	. . . . . . . . 9 $/\$ #
40	36, 37, 37, 39	divdirapd 8746	. . . . . . . 8 $/\$
41		ax-1cn 7867	. . . . . . . . . . . 12
42	41	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$
43	36, 42, 37	ppncand 8270	. . . . . . . . . 10 $/\$
44	43	oveq1d 5868	. . . . . . . . 9 $/\$
45	4	zcnd 9335	. . . . . . . . . 10 $/\$
46		subcl 8118	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
47	19, 41, 46	sylancl 411	. . . . . . . . . . 11
48	47	adantl 275	. . . . . . . . . 10 $/\$
49	45, 48, 37, 39	divdirapd 8746	. . . . . . . . 9 $/\$
50	44, 49	eqtr3d 2205	. . . . . . . 8 $/\$
51	37, 39	dividapd 8703	. . . . . . . . 9 $/\$
52	51	oveq2d 5869	. . . . . . . 8 $/\$
53	40, 50, 52	3eqtr3d 2211	. . . . . . 7 $/\$
54	53	fveq2d 5500	. . . . . 6 $/\$
55	54	adantr 274	. . . . 5 $/\$ $/\$
56		znq 9583	. . . . . . 7 $/\$
57		1z 9238	. . . . . . 7
58		flqaddz 10253	. . . . . . 7 $/\$
59	56, 57, 58	sylancl 411	. . . . . 6 $/\$
60	59	adantr 274	. . . . 5 $/\$ $/\$
61	34, 55, 60	3eqtrrd 2208	. . . 4 $/\$ $/\$
62		znq 9583	. . . . . . . . 9 $/\$
63	3, 62	sylan 281	. . . . . . . 8 $/\$
64	63	flqcld 10233	. . . . . . 7 $/\$
65	64	zcnd 9335	. . . . . 6 $/\$
66	56	flqcld 10233	. . . . . . 7 $/\$
67	66	zcnd 9335	. . . . . 6 $/\$
68	65, 67, 42	subaddd 8248	. . . . 5 $/\$
69	68	adantr 274	. . . 4 $/\$ $/\$
70	61, 69	mpbird 166	. . 3 $/\$ $/\$
71		iftrue 3531	. . . 4
72	71	adantl 275	. . 3 $/\$ $/\$
73	70, 72	eqtr4d 2206	. 2 $/\$ $/\$
74		zmodcl 10300	. . . . . . . . . . 11 $/\$
75	3, 74	sylan 281	. . . . . . . . . 10 $/\$
76	75	nn0red 9189	. . . . . . . . 9 $/\$
77		1re 7919	. . . . . . . . 9
78		resubcl 8183	. . . . . . . . 9 $/\$
79	76, 77, 78	sylancl 411	. . . . . . . 8 $/\$
80	79	adantr 274	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
81	75	nn0zd 9332	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82		elnndc 9571	. . . . . . . . . . . 12 DECID
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ DECID
84		elnn0 9137	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$
85	75, 84	sylib 121	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$
86	85	ord 719	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
87		id 19	. . . . . . . . . . . . 13
88		dvdsval3 11753	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
89	87, 3, 88	syl2anr 288	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
90	86, 89	sylibrd 168	. . . . . . . . . . 11 $/\$
91		con1dc 851	. . . . . . . . . . 11 DECID
92	83, 90, 91	sylc 62	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	imp 123	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
94		nnm1nn0 9176	. . . . . . . . 9
95	93, 94	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
96	95	nn0ge0d 9191	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
97	13, 14	jca 304	. . . . . . . 8 $/\$
98	97	ad2antlr 486	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
99		divge0 8789	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
100	80, 96, 98, 99	syl21anc 1232	. . . . . 6 $/\$ $/\$
101	13	adantl 275	. . . . . . . . . 10 $/\$
102	76	ltm1d 8848	. . . . . . . . . 10 $/\$
103		zq 9585	. . . . . . . . . . . . 13
104	3, 103	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
105	104	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 $/\$
106		nnq 9592	. . . . . . . . . . . 12
107	106	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 $/\$
108	14	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 $/\$
109		modqlt 10289	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
110	105, 107, 108, 109	syl3anc 1233	. . . . . . . . . 10 $/\$
111	79, 76, 101, 102, 110	lttrd 8045	. . . . . . . . 9 $/\$
112	37	mulid1d 7937	. . . . . . . . 9 $/\$
113	111, 112	breqtrrd 4017	. . . . . . . 8 $/\$
114		1red 7935	. . . . . . . . 9 $/\$
115		ltdivmul 8792	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
116	79, 114, 101, 108, 115	syl112anc 1237	. . . . . . . 8 $/\$
117	113, 116	mpbird 166	. . . . . . 7 $/\$
118	117	adantr 274	. . . . . 6 $/\$ $/\$
119		peano2zm 9250	. . . . . . . . . 10
120	81, 119	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$
121		znq 9583	. . . . . . . . 9 $/\$
122	120, 121	sylancom 418	. . . . . . . 8 $/\$
123		flqbi2 10247	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
124	64, 122, 123	syl2anc 409	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
125	124	adantr 274	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
126	100, 118, 125	mpbir2and 939	. . . . 5 $/\$ $/\$
127		modqval 10280	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
128	105, 107, 108, 127	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
129	128	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . 11 $/\$
130	37, 65	mulcld 7940	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
131	45, 42, 130	sub32d 8262	. . . . . . . . . . 11 $/\$
132		pncan 8125	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	36, 41, 132	sylancl 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134	133	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . 11 $/\$
135	129, 131, 134	3eqtr2d 2209	. . . . . . . . . 10 $/\$
136	135	oveq1d 5868	. . . . . . . . 9 $/\$
137	36, 130, 37, 39	divsubdirapd 8747	. . . . . . . . 9 $/\$
138	65, 37, 39	divcanap3d 8712	. . . . . . . . . 10 $/\$
139	138	oveq2d 5869	. . . . . . . . 9 $/\$
140	136, 137, 139	3eqtrrd 2208	. . . . . . . 8 $/\$
141		zre 9216	. . . . . . . . . . 11
142		nndivre 8914	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	141, 142	sylan 281	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	recnd 7948	. . . . . . . . 9 $/\$
145		nndivre 8914	. . . . . . . . . . 11 $/\$
146	79, 145	sylancom 418	. . . . . . . . . 10 $/\$
147	146	recnd 7948	. . . . . . . . 9 $/\$
148	144, 65, 147	subaddd 8248	. . . . . . . 8 $/\$
149	140, 148	mpbid 146	. . . . . . 7 $/\$
150	149	adantr 274	. . . . . 6 $/\$ $/\$
151	150	fveq2d 5500	. . . . 5 $/\$ $/\$
152	126, 151	eqtr3d 2205	. . . 4 $/\$ $/\$
153	65, 67	subeq0ad 8240	. . . . 5 $/\$
154	153	adantr 274	. . . 4 $/\$ $/\$
155	152, 154	mpbird 166	. . 3 $/\$ $/\$
156		iffalse 3534	. . . 4
157	156	adantl 275	. . 3 $/\$ $/\$
158	155, 157	eqtr4d 2206	. 2 $/\$ $/\$
159		simpr 109	. . . 4 $/\$
160		dvdsdc 11760	. . . 4 $/\$ DECID
161	159, 4, 160	syl2anc 409	. . 3 $/\$ DECID
162		exmiddc 831	. . 3 DECID $\/$
163	161, 162	syl 14	. 2 $/\$ $\/$
164	73, 158, 163	mpjaodan 793	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $\/$ wo 703 DECID wdc 829

wceq 1348

wcel 2141

wne 2340

cif 3526 class class class wbr 3989

cfv 5198 (class class class)co 5853

cc 7772

cr 7773

cc0 7774

c1 7775

caddc 7777

cmul 7779

clt 7954

cle 7955

cmin 8090 # cap 8500

cdiv 8589

cn 8878

cn0 9135

cz 9212

cq 9578

cfl 10224

cmo 10278

cdvds 11749

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 609 ax-in2 610 ax-io 704 ax-5 1440 ax-7 1441 ax-gen 1442 ax-ie1 1486 ax-ie2 1487 ax-8 1497 ax-10 1498 ax-11 1499 ax-i12 1500 ax-bndl 1502 ax-4 1503 ax-17 1519 ax-i9 1523 ax-ial 1527 ax-i5r 1528 ax-13 2143 ax-14 2144 ax-ext 2152 ax-sep 4107 ax-pow 4160 ax-pr 4194 ax-un 4418 ax-setind 4521 ax-cnex 7865 ax-resscn 7866 ax-1cn 7867 ax-1re 7868 ax-icn 7869 ax-addcl 7870 ax-addrcl 7871 ax-mulcl 7872 ax-mulrcl 7873 ax-addcom 7874 ax-mulcom 7875 ax-addass 7876 ax-mulass 7877 ax-distr 7878 ax-i2m1 7879 ax-0lt1 7880 ax-1rid 7881 ax-0id 7882 ax-rnegex 7883 ax-precex 7884 ax-cnre 7885 ax-pre-ltirr 7886 ax-pre-ltwlin 7887 ax-pre-lttrn 7888 ax-pre-apti 7889 ax-pre-ltadd 7890 ax-pre-mulgt0 7891 ax-pre-mulext 7892 ax-arch 7893

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 826 df-dc 830 df-3or 974 df-3an 975 df-tru 1351 df-fal 1354 df-nf 1454 df-sb 1756 df-eu 2022 df-mo 2023 df-clab 2157 df-cleq 2163 df-clel 2166 df-nfc 2301 df-ne 2341 df-nel 2436 df-ral 2453 df-rex 2454 df-reu 2455 df-rmo 2456 df-rab 2457 df-v 2732 df-sbc 2956 df-csb 3050 df-dif 3123 df-un 3125 df-in 3127 df-ss 3134 df-if 3527 df-pw 3568 df-sn 3589 df-pr 3590 df-op 3592 df-uni 3797 df-int 3832 df-iun 3875 df-br 3990 df-opab 4051 df-mpt 4052 df-id 4278 df-po 4281 df-iso 4282 df-xp 4617 df-rel 4618 df-cnv 4619 df-co 4620 df-dm 4621 df-rn 4622 df-res 4623 df-ima 4624 df-iota 5160 df-fun 5200 df-fn 5201 df-f 5202 df-fv 5206 df-riota 5809 df-ov 5856 df-oprab 5857 df-mpo 5858 df-1st 6119 df-2nd 6120 df-pnf 7956 df-mnf 7957 df-xr 7958 df-ltxr 7959 df-le 7960 df-sub 8092 df-neg 8093 df-reap 8494 df-ap 8501 df-div 8590 df-inn 8879 df-n0 9136 df-z 9213 df-uz 9488 df-q 9579 df-rp 9611 df-fl 10226 df-mod 10279 df-dvds 11750

This theorem is referenced by: pcfac 12302

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