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Theorem fldivp1 12346

Description: The difference between the floors of adjacent fractions is either 1 or 0. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
fldivp1	$/\$

**Proof of Theorem fldivp1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9272	. . . . . . . . 9
2		nnne0 8947	. . . . . . . . 9
3		peano2z 9289	. . . . . . . . . 10
4	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
5		dvdsval2 11797	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
6	1, 2, 4, 5	syl2an23an 1299	. . . . . . . 8 $/\$
7	6	biimpa 296	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
8		flid 10284	. . . . . . 7
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$
10		nnm1nn0 9217	. . . . . . . . . 10
11	10	nn0red 9230	. . . . . . . . 9
12	10	nn0ge0d 9232	. . . . . . . . 9
13		nnre 8926	. . . . . . . . 9
14		nngt0 8944	. . . . . . . . 9
15		divge0 8830	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
16	11, 12, 13, 14, 15	syl22anc 1239	. . . . . . . 8
17	16	ad2antlr 489	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
18	13	ltm1d 8889	. . . . . . . . . 10
19		nncn 8927	. . . . . . . . . . 11
20	19	mulridd 7974	. . . . . . . . . 10
21	18, 20	breqtrrd 4032	. . . . . . . . 9
22		1red 7972	. . . . . . . . . 10
23		ltdivmul 8833	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
24	11, 22, 13, 14, 23	syl112anc 1242	. . . . . . . . 9
25	21, 24	mpbird 167	. . . . . . . 8
26	25	ad2antlr 489	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
27	10	nn0zd 9373	. . . . . . . . . 10
28		znq 9624	. . . . . . . . . 10 $/\$
29	27, 28	mpancom 422	. . . . . . . . 9
30	29	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
31		flqbi2 10291	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
32	7, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
33	17, 26, 32	mpbir2and 944	. . . . . 6 $/\$ $/\$
34	9, 33	eqtr4d 2213	. . . . 5 $/\$ $/\$
35		zcn 9258	. . . . . . . . . 10
36	35	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
37	19	adantl 277	. . . . . . . . 9 $/\$
38		nnap0 8948	. . . . . . . . . 10 #
39	38	adantl 277	. . . . . . . . 9 $/\$ #
40	36, 37, 37, 39	divdirapd 8786	. . . . . . . 8 $/\$
41		ax-1cn 7904	. . . . . . . . . . . 12
42	41	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$
43	36, 42, 37	ppncand 8308	. . . . . . . . . 10 $/\$
44	43	oveq1d 5890	. . . . . . . . 9 $/\$
45	4	zcnd 9376	. . . . . . . . . 10 $/\$
46		subcl 8156	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
47	19, 41, 46	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
49	45, 48, 37, 39	divdirapd 8786	. . . . . . . . 9 $/\$
50	44, 49	eqtr3d 2212	. . . . . . . 8 $/\$
51	37, 39	dividapd 8743	. . . . . . . . 9 $/\$
52	51	oveq2d 5891	. . . . . . . 8 $/\$
53	40, 50, 52	3eqtr3d 2218	. . . . . . 7 $/\$
54	53	fveq2d 5520	. . . . . 6 $/\$
55	54	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$
56		znq 9624	. . . . . . 7 $/\$
57		1z 9279	. . . . . . 7
58		flqaddz 10297	. . . . . . 7 $/\$
59	56, 57, 58	sylancl 413	. . . . . 6 $/\$
60	59	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$
61	34, 55, 60	3eqtrrd 2215	. . . 4 $/\$ $/\$
62		znq 9624	. . . . . . . . 9 $/\$
63	3, 62	sylan 283	. . . . . . . 8 $/\$
64	63	flqcld 10277	. . . . . . 7 $/\$
65	64	zcnd 9376	. . . . . 6 $/\$
66	56	flqcld 10277	. . . . . . 7 $/\$
67	66	zcnd 9376	. . . . . 6 $/\$
68	65, 67, 42	subaddd 8286	. . . . 5 $/\$
69	68	adantr 276	. . . 4 $/\$ $/\$
70	61, 69	mpbird 167	. . 3 $/\$ $/\$
71		iftrue 3540	. . . 4
72	71	adantl 277	. . 3 $/\$ $/\$
73	70, 72	eqtr4d 2213	. 2 $/\$ $/\$
74		zmodcl 10344	. . . . . . . . . . 11 $/\$
75	3, 74	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
76	75	nn0red 9230	. . . . . . . . 9 $/\$
77		1re 7956	. . . . . . . . 9
78		resubcl 8221	. . . . . . . . 9 $/\$
79	76, 77, 78	sylancl 413	. . . . . . . 8 $/\$
80	79	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
81	75	nn0zd 9373	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82		elnndc 9612	. . . . . . . . . . . 12 DECID
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ DECID
84		elnn0 9178	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$
85	75, 84	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$
86	85	ord 724	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
87		id 19	. . . . . . . . . . . . 13
88		dvdsval3 11798	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
89	87, 3, 88	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
90	86, 89	sylibrd 169	. . . . . . . . . . 11 $/\$
91		con1dc 856	. . . . . . . . . . 11 DECID
92	83, 90, 91	sylc 62	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	imp 124	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
94		nnm1nn0 9217	. . . . . . . . 9
95	93, 94	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
96	95	nn0ge0d 9232	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
97	13, 14	jca 306	. . . . . . . 8 $/\$
98	97	ad2antlr 489	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
99		divge0 8830	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
100	80, 96, 98, 99	syl21anc 1237	. . . . . 6 $/\$ $/\$
101	13	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
102	76	ltm1d 8889	. . . . . . . . . 10 $/\$
103		zq 9626	. . . . . . . . . . . . 13
104	3, 103	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
105	104	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
106		nnq 9633	. . . . . . . . . . . 12
107	106	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$
108	14	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$
109		modqlt 10333	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
110	105, 107, 108, 109	syl3anc 1238	. . . . . . . . . 10 $/\$
111	79, 76, 101, 102, 110	lttrd 8083	. . . . . . . . 9 $/\$
112	37	mulridd 7974	. . . . . . . . 9 $/\$
113	111, 112	breqtrrd 4032	. . . . . . . 8 $/\$
114		1red 7972	. . . . . . . . 9 $/\$
115		ltdivmul 8833	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
116	79, 114, 101, 108, 115	syl112anc 1242	. . . . . . . 8 $/\$
117	113, 116	mpbird 167	. . . . . . 7 $/\$
118	117	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
119		peano2zm 9291	. . . . . . . . . 10
120	81, 119	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$
121		znq 9624	. . . . . . . . 9 $/\$
122	120, 121	sylancom 420	. . . . . . . 8 $/\$
123		flqbi2 10291	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
124	64, 122, 123	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
125	124	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
126	100, 118, 125	mpbir2and 944	. . . . 5 $/\$ $/\$
127		modqval 10324	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
128	105, 107, 108, 127	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
129	128	oveq1d 5890	. . . . . . . . . . 11 $/\$
130	37, 65	mulcld 7978	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
131	45, 42, 130	sub32d 8300	. . . . . . . . . . 11 $/\$
132		pncan 8163	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	36, 41, 132	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134	133	oveq1d 5890	. . . . . . . . . . 11 $/\$
135	129, 131, 134	3eqtr2d 2216	. . . . . . . . . 10 $/\$
136	135	oveq1d 5890	. . . . . . . . 9 $/\$
137	36, 130, 37, 39	divsubdirapd 8787	. . . . . . . . 9 $/\$
138	65, 37, 39	divcanap3d 8752	. . . . . . . . . 10 $/\$
139	138	oveq2d 5891	. . . . . . . . 9 $/\$
140	136, 137, 139	3eqtrrd 2215	. . . . . . . 8 $/\$
141		zre 9257	. . . . . . . . . . 11
142		nndivre 8955	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	141, 142	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	recnd 7986	. . . . . . . . 9 $/\$
145		nndivre 8955	. . . . . . . . . . 11 $/\$
146	79, 145	sylancom 420	. . . . . . . . . 10 $/\$
147	146	recnd 7986	. . . . . . . . 9 $/\$
148	144, 65, 147	subaddd 8286	. . . . . . . 8 $/\$
149	140, 148	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$
150	149	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
151	150	fveq2d 5520	. . . . 5 $/\$ $/\$
152	126, 151	eqtr3d 2212	. . . 4 $/\$ $/\$
153	65, 67	subeq0ad 8278	. . . . 5 $/\$
154	153	adantr 276	. . . 4 $/\$ $/\$
155	152, 154	mpbird 167	. . 3 $/\$ $/\$
156		iffalse 3543	. . . 4
157	156	adantl 277	. . 3 $/\$ $/\$
158	155, 157	eqtr4d 2213	. 2 $/\$ $/\$
159		simpr 110	. . . 4 $/\$
160		dvdsdc 11805	. . . 4 $/\$ DECID
161	159, 4, 160	syl2anc 411	. . 3 $/\$ DECID
162		exmiddc 836	. . 3 DECID $\/$
163	161, 162	syl 14	. 2 $/\$ $\/$
164	73, 158, 163	mpjaodan 798	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 708 DECID wdc 834

wceq 1353

wcel 2148

wne 2347

cif 3535 class class class wbr 4004

cfv 5217 (class class class)co 5875

cc 7809

cr 7810

cc0 7811

c1 7812

caddc 7814

cmul 7816

clt 7992

cle 7993

cmin 8128 # cap 8538

cdiv 8629

cn 8919

cn0 9176

cz 9253

cq 9619

cfl 10268

cmo 10322

cdvds 11794

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4122 ax-pow 4175 ax-pr 4210 ax-un 4434 ax-setind 4537 ax-cnex 7902 ax-resscn 7903 ax-1cn 7904 ax-1re 7905 ax-icn 7906 ax-addcl 7907 ax-addrcl 7908 ax-mulcl 7909 ax-mulrcl 7910 ax-addcom 7911 ax-mulcom 7912 ax-addass 7913 ax-mulass 7914 ax-distr 7915 ax-i2m1 7916 ax-0lt1 7917 ax-1rid 7918 ax-0id 7919 ax-rnegex 7920 ax-precex 7921 ax-cnre 7922 ax-pre-ltirr 7923 ax-pre-ltwlin 7924 ax-pre-lttrn 7925 ax-pre-apti 7926 ax-pre-ltadd 7927 ax-pre-mulgt0 7928 ax-pre-mulext 7929 ax-arch 7930

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 831 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2740 df-sbc 2964 df-csb 3059 df-dif 3132 df-un 3134 df-in 3136 df-ss 3143 df-if 3536 df-pw 3578 df-sn 3599 df-pr 3600 df-op 3602 df-uni 3811 df-int 3846 df-iun 3889 df-br 4005 df-opab 4066 df-mpt 4067 df-id 4294 df-po 4297 df-iso 4298 df-xp 4633 df-rel 4634 df-cnv 4635 df-co 4636 df-dm 4637 df-rn 4638 df-res 4639 df-ima 4640 df-iota 5179 df-fun 5219 df-fn 5220 df-f 5221 df-fv 5225 df-riota 5831 df-ov 5878 df-oprab 5879 df-mpo 5880 df-1st 6141 df-2nd 6142 df-pnf 7994 df-mnf 7995 df-xr 7996 df-ltxr 7997 df-le 7998 df-sub 8130 df-neg 8131 df-reap 8532 df-ap 8539 df-div 8630 df-inn 8920 df-n0 9177 df-z 9254 df-uz 9529 df-q 9620 df-rp 9654 df-fl 10270 df-mod 10323 df-dvds 11795

This theorem is referenced by: pcfac 12348

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