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Theorem fldivp1 12278

Description: The difference between the floors of adjacent fractions is either 1 or 0. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
fldivp1	$/\$

**Proof of Theorem fldivp1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9210	. . . . . . . . 9
2		nnne0 8885	. . . . . . . . 9
3		peano2z 9227	. . . . . . . . . 10
4	3	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$
5		dvdsval2 11730	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
6	1, 2, 4, 5	syl2an23an 1289	. . . . . . . 8 $/\$
7	6	biimpa 294	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
8		flid 10219	. . . . . . 7
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$
10		nnm1nn0 9155	. . . . . . . . . 10
11	10	nn0red 9168	. . . . . . . . 9
12	10	nn0ge0d 9170	. . . . . . . . 9
13		nnre 8864	. . . . . . . . 9
14		nngt0 8882	. . . . . . . . 9
15		divge0 8768	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
16	11, 12, 13, 14, 15	syl22anc 1229	. . . . . . . 8
17	16	ad2antlr 481	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
18	13	ltm1d 8827	. . . . . . . . . 10
19		nncn 8865	. . . . . . . . . . 11
20	19	mulid1d 7916	. . . . . . . . . 10
21	18, 20	breqtrrd 4010	. . . . . . . . 9
22		1red 7914	. . . . . . . . . 10
23		ltdivmul 8771	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
24	11, 22, 13, 14, 23	syl112anc 1232	. . . . . . . . 9
25	21, 24	mpbird 166	. . . . . . . 8
26	25	ad2antlr 481	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
27	10	nn0zd 9311	. . . . . . . . . 10
28		znq 9562	. . . . . . . . . 10 $/\$
29	27, 28	mpancom 419	. . . . . . . . 9
30	29	ad2antlr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
31		flqbi2 10226	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
32	7, 30, 31	syl2anc 409	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
33	17, 26, 32	mpbir2and 934	. . . . . 6 $/\$ $/\$
34	9, 33	eqtr4d 2201	. . . . 5 $/\$ $/\$
35		zcn 9196	. . . . . . . . . 10
36	35	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$
37	19	adantl 275	. . . . . . . . 9 $/\$
38		nnap0 8886	. . . . . . . . . 10 #
39	38	adantl 275	. . . . . . . . 9 $/\$ #
40	36, 37, 37, 39	divdirapd 8725	. . . . . . . 8 $/\$
41		ax-1cn 7846	. . . . . . . . . . . 12
42	41	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$
43	36, 42, 37	ppncand 8249	. . . . . . . . . 10 $/\$
44	43	oveq1d 5857	. . . . . . . . 9 $/\$
45	4	zcnd 9314	. . . . . . . . . 10 $/\$
46		subcl 8097	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
47	19, 41, 46	sylancl 410	. . . . . . . . . . 11
48	47	adantl 275	. . . . . . . . . 10 $/\$
49	45, 48, 37, 39	divdirapd 8725	. . . . . . . . 9 $/\$
50	44, 49	eqtr3d 2200	. . . . . . . 8 $/\$
51	37, 39	dividapd 8682	. . . . . . . . 9 $/\$
52	51	oveq2d 5858	. . . . . . . 8 $/\$
53	40, 50, 52	3eqtr3d 2206	. . . . . . 7 $/\$
54	53	fveq2d 5490	. . . . . 6 $/\$
55	54	adantr 274	. . . . 5 $/\$ $/\$
56		znq 9562	. . . . . . 7 $/\$
57		1z 9217	. . . . . . 7
58		flqaddz 10232	. . . . . . 7 $/\$
59	56, 57, 58	sylancl 410	. . . . . 6 $/\$
60	59	adantr 274	. . . . 5 $/\$ $/\$
61	34, 55, 60	3eqtrrd 2203	. . . 4 $/\$ $/\$
62		znq 9562	. . . . . . . . 9 $/\$
63	3, 62	sylan 281	. . . . . . . 8 $/\$
64	63	flqcld 10212	. . . . . . 7 $/\$
65	64	zcnd 9314	. . . . . 6 $/\$
66	56	flqcld 10212	. . . . . . 7 $/\$
67	66	zcnd 9314	. . . . . 6 $/\$
68	65, 67, 42	subaddd 8227	. . . . 5 $/\$
69	68	adantr 274	. . . 4 $/\$ $/\$
70	61, 69	mpbird 166	. . 3 $/\$ $/\$
71		iftrue 3525	. . . 4
72	71	adantl 275	. . 3 $/\$ $/\$
73	70, 72	eqtr4d 2201	. 2 $/\$ $/\$
74		zmodcl 10279	. . . . . . . . . . 11 $/\$
75	3, 74	sylan 281	. . . . . . . . . 10 $/\$
76	75	nn0red 9168	. . . . . . . . 9 $/\$
77		1re 7898	. . . . . . . . 9
78		resubcl 8162	. . . . . . . . 9 $/\$
79	76, 77, 78	sylancl 410	. . . . . . . 8 $/\$
80	79	adantr 274	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
81	75	nn0zd 9311	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82		elnndc 9550	. . . . . . . . . . . 12 DECID
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ DECID
84		elnn0 9116	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$
85	75, 84	sylib 121	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$
86	85	ord 714	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
87		id 19	. . . . . . . . . . . . 13
88		dvdsval3 11731	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
89	87, 3, 88	syl2anr 288	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
90	86, 89	sylibrd 168	. . . . . . . . . . 11 $/\$
91		con1dc 846	. . . . . . . . . . 11 DECID
92	83, 90, 91	sylc 62	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	imp 123	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
94		nnm1nn0 9155	. . . . . . . . 9
95	93, 94	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
96	95	nn0ge0d 9170	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
97	13, 14	jca 304	. . . . . . . 8 $/\$
98	97	ad2antlr 481	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
99		divge0 8768	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
100	80, 96, 98, 99	syl21anc 1227	. . . . . 6 $/\$ $/\$
101	13	adantl 275	. . . . . . . . . 10 $/\$
102	76	ltm1d 8827	. . . . . . . . . 10 $/\$
103		zq 9564	. . . . . . . . . . . . 13
104	3, 103	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
105	104	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 $/\$
106		nnq 9571	. . . . . . . . . . . 12
107	106	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 $/\$
108	14	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 $/\$
109		modqlt 10268	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
110	105, 107, 108, 109	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 $/\$
111	79, 76, 101, 102, 110	lttrd 8024	. . . . . . . . 9 $/\$
112	37	mulid1d 7916	. . . . . . . . 9 $/\$
113	111, 112	breqtrrd 4010	. . . . . . . 8 $/\$
114		1red 7914	. . . . . . . . 9 $/\$
115		ltdivmul 8771	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
116	79, 114, 101, 108, 115	syl112anc 1232	. . . . . . . 8 $/\$
117	113, 116	mpbird 166	. . . . . . 7 $/\$
118	117	adantr 274	. . . . . 6 $/\$ $/\$
119		peano2zm 9229	. . . . . . . . . 10
120	81, 119	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$
121		znq 9562	. . . . . . . . 9 $/\$
122	120, 121	sylancom 417	. . . . . . . 8 $/\$
123		flqbi2 10226	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
124	64, 122, 123	syl2anc 409	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
125	124	adantr 274	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
126	100, 118, 125	mpbir2and 934	. . . . 5 $/\$ $/\$
127		modqval 10259	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
128	105, 107, 108, 127	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
129	128	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . 11 $/\$
130	37, 65	mulcld 7919	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
131	45, 42, 130	sub32d 8241	. . . . . . . . . . 11 $/\$
132		pncan 8104	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	36, 41, 132	sylancl 410	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134	133	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . 11 $/\$
135	129, 131, 134	3eqtr2d 2204	. . . . . . . . . 10 $/\$
136	135	oveq1d 5857	. . . . . . . . 9 $/\$
137	36, 130, 37, 39	divsubdirapd 8726	. . . . . . . . 9 $/\$
138	65, 37, 39	divcanap3d 8691	. . . . . . . . . 10 $/\$
139	138	oveq2d 5858	. . . . . . . . 9 $/\$
140	136, 137, 139	3eqtrrd 2203	. . . . . . . 8 $/\$
141		zre 9195	. . . . . . . . . . 11
142		nndivre 8893	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	141, 142	sylan 281	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	recnd 7927	. . . . . . . . 9 $/\$
145		nndivre 8893	. . . . . . . . . . 11 $/\$
146	79, 145	sylancom 417	. . . . . . . . . 10 $/\$
147	146	recnd 7927	. . . . . . . . 9 $/\$
148	144, 65, 147	subaddd 8227	. . . . . . . 8 $/\$
149	140, 148	mpbid 146	. . . . . . 7 $/\$
150	149	adantr 274	. . . . . 6 $/\$ $/\$
151	150	fveq2d 5490	. . . . 5 $/\$ $/\$
152	126, 151	eqtr3d 2200	. . . 4 $/\$ $/\$
153	65, 67	subeq0ad 8219	. . . . 5 $/\$
154	153	adantr 274	. . . 4 $/\$ $/\$
155	152, 154	mpbird 166	. . 3 $/\$ $/\$
156		iffalse 3528	. . . 4
157	156	adantl 275	. . 3 $/\$ $/\$
158	155, 157	eqtr4d 2201	. 2 $/\$ $/\$
159		simpr 109	. . . 4 $/\$
160		dvdsdc 11738	. . . 4 $/\$ DECID
161	159, 4, 160	syl2anc 409	. . 3 $/\$ DECID
162		exmiddc 826	. . 3 DECID $\/$
163	161, 162	syl 14	. 2 $/\$ $\/$
164	73, 158, 163	mpjaodan 788	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $\/$ wo 698 DECID wdc 824

wceq 1343

wcel 2136

wne 2336

cif 3520 class class class wbr 3982

cfv 5188 (class class class)co 5842

cc 7751

cr 7752

cc0 7753

c1 7754

caddc 7756

cmul 7758

clt 7933

cle 7934

cmin 8069 # cap 8479

cdiv 8568

cn 8857

cn0 9114

cz 9191

cq 9557

cfl 10203

cmo 10257

cdvds 11727

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1435 ax-7 1436 ax-gen 1437 ax-ie1 1481 ax-ie2 1482 ax-8 1492 ax-10 1493 ax-11 1494 ax-i12 1495 ax-bndl 1497 ax-4 1498 ax-17 1514 ax-i9 1518 ax-ial 1522 ax-i5r 1523 ax-13 2138 ax-14 2139 ax-ext 2147 ax-sep 4100 ax-pow 4153 ax-pr 4187 ax-un 4411 ax-setind 4514 ax-cnex 7844 ax-resscn 7845 ax-1cn 7846 ax-1re 7847 ax-icn 7848 ax-addcl 7849 ax-addrcl 7850 ax-mulcl 7851 ax-mulrcl 7852 ax-addcom 7853 ax-mulcom 7854 ax-addass 7855 ax-mulass 7856 ax-distr 7857 ax-i2m1 7858 ax-0lt1 7859 ax-1rid 7860 ax-0id 7861 ax-rnegex 7862 ax-precex 7863 ax-cnre 7864 ax-pre-ltirr 7865 ax-pre-ltwlin 7866 ax-pre-lttrn 7867 ax-pre-apti 7868 ax-pre-ltadd 7869 ax-pre-mulgt0 7870 ax-pre-mulext 7871 ax-arch 7872

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 821 df-dc 825 df-3or 969 df-3an 970 df-tru 1346 df-fal 1349 df-nf 1449 df-sb 1751 df-eu 2017 df-mo 2018 df-clab 2152 df-cleq 2158 df-clel 2161 df-nfc 2297 df-ne 2337 df-nel 2432 df-ral 2449 df-rex 2450 df-reu 2451 df-rmo 2452 df-rab 2453 df-v 2728 df-sbc 2952 df-csb 3046 df-dif 3118 df-un 3120 df-in 3122 df-ss 3129 df-if 3521 df-pw 3561 df-sn 3582 df-pr 3583 df-op 3585 df-uni 3790 df-int 3825 df-iun 3868 df-br 3983 df-opab 4044 df-mpt 4045 df-id 4271 df-po 4274 df-iso 4275 df-xp 4610 df-rel 4611 df-cnv 4612 df-co 4613 df-dm 4614 df-rn 4615 df-res 4616 df-ima 4617 df-iota 5153 df-fun 5190 df-fn 5191 df-f 5192 df-fv 5196 df-riota 5798 df-ov 5845 df-oprab 5846 df-mpo 5847 df-1st 6108 df-2nd 6109 df-pnf 7935 df-mnf 7936 df-xr 7937 df-ltxr 7938 df-le 7939 df-sub 8071 df-neg 8072 df-reap 8473 df-ap 8480 df-div 8569 df-inn 8858 df-n0 9115 df-z 9192 df-uz 9467 df-q 9558 df-rp 9590 df-fl 10205 df-mod 10258 df-dvds 11728

This theorem is referenced by: pcfac 12280

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