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Theorem fldivp1 12287
Description: The difference between the floors of adjacent fractions is either 1 or 0. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
fldivp1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )  -  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )  =  if ( N 
||  ( M  + 
1 ) ,  1 ,  0 ) )

Proof of Theorem fldivp1
StepHypRef Expression
1 nnz 9218 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
2 nnne0 8893 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
3 peano2z 9235 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
43adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
5 dvdsval2 11739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0  /\  ( M  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( N  ||  ( M  +  1 )  <-> 
( ( M  + 
1 )  /  N
)  e.  ZZ ) )
61, 2, 4, 5syl2an23an 1294 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  ||  ( M  +  1 )  <-> 
( ( M  + 
1 )  /  N
)  e.  ZZ ) )
76biimpa 294 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( M  +  1 )  /  N )  e.  ZZ )
8 flid 10227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )
97, 8syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )  =  ( ( M  +  1 )  /  N ) )
10 nnm1nn0 9163 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
1110nn0red 9176 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
1210nn0ge0d 9178 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( N  -  1 ) )
13 nnre 8872 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
14 nngt0 8890 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
15 divge0 8776 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( N  -  1 ) )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  < 
N ) )  -> 
0  <_  ( ( N  -  1 )  /  N ) )
1611, 12, 13, 14, 15syl22anc 1234 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( ( N  - 
1 )  /  N
) )
1716ad2antlr 486 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  0  <_  ( ( N  -  1 )  /  N ) )
1813ltm1d 8835 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  <  N )
19 nncn 8873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2019mulid1d 7924 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  x.  1 )  =  N )
2118, 20breqtrrd 4015 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  <  ( N  x.  1 ) )
22 1red 7922 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
23 ltdivmul 8779 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( ( N  -  1 )  /  N )  <  1  <->  ( N  -  1 )  <  ( N  x.  1 ) ) )
2411, 22, 13, 14, 23syl112anc 1237 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  /  N
)  <  1  <->  ( N  -  1 )  < 
( N  x.  1 ) ) )
2521, 24mpbird 166 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  /  N )  <  1 )
2625ad2antlr 486 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( N  -  1 )  /  N )  <  1 )
2710nn0zd 9319 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
28 znq 9570 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
1 )  /  N
)  e.  QQ )
2927, 28mpancom 420 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  /  N )  e.  QQ )
3029ad2antlr 486 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( N  -  1 )  /  N )  e.  QQ )
31 flqbi2 10234 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  + 
1 )  /  N
)  e.  ZZ  /\  ( ( N  - 
1 )  /  N
)  e.  QQ )  ->  ( ( |_
`  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  +  ( ( N  - 
1 )  /  N
) ) )  =  ( ( M  + 
1 )  /  N
)  <->  ( 0  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  N
)  /\  ( ( N  -  1 )  /  N )  <  1 ) ) )
327, 30, 31syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  +  ( ( N  - 
1 )  /  N
) ) )  =  ( ( M  + 
1 )  /  N
)  <->  ( 0  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  N
)  /\  ( ( N  -  1 )  /  N )  <  1 ) ) )
3317, 26, 32mpbir2and 939 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( |_ `  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  +  ( ( N  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  /  N ) )
349, 33eqtr4d 2206 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )  =  ( |_ `  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  +  ( ( N  -  1 )  /  N ) ) ) )
35 zcn 9204 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
3635adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  CC )
3719adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
38 nnap0 8894 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N #  0 )
3938adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  N #  0 )
4036, 37, 37, 39divdirapd 8733 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  +  N )  /  N
)  =  ( ( M  /  N )  +  ( N  /  N ) ) )
41 ax-1cn 7854 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
4241a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
4336, 42, 37ppncand 8257 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  +  ( N  -  1 ) )  =  ( M  +  N ) )
4443oveq1d 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  +  ( N  -  1 ) )  /  N
)  =  ( ( M  +  N )  /  N ) )
454zcnd 9322 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  1 )  e.  CC )
46 subcl 8105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
4719, 41, 46sylancl 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
4847adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
4945, 48, 37, 39divdirapd 8733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  +  ( N  -  1 ) )  /  N
)  =  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  +  ( ( N  -  1 )  /  N ) ) )
5044, 49eqtr3d 2205 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  +  N )  /  N
)  =  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  +  ( ( N  -  1 )  /  N ) ) )
5137, 39dividapd 8690 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  /  N
)  =  1 )
5251oveq2d 5866 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  /  N )  +  ( N  /  N ) )  =  ( ( M  /  N )  +  1 ) )
5340, 50, 523eqtr3d 2211 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  +  ( ( N  -  1 )  /  N ) )  =  ( ( M  /  N )  +  1 ) )
5453fveq2d 5498 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( ( M  + 
1 )  /  N
)  +  ( ( N  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( |_
`  ( ( M  /  N )  +  1 ) ) )
5554adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( |_ `  ( ( ( M  +  1 )  /  N )  +  ( ( N  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( |_ `  ( ( M  /  N )  +  1 ) ) )
56 znq 9570 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  /  N
)  e.  QQ )
57 1z 9225 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
58 flqaddz 10240 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  /  N
)  e.  QQ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  (
( M  /  N
)  +  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( M  /  N ) )  +  1 ) )
5956, 57, 58sylancl 411 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( M  /  N
)  +  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( M  /  N ) )  +  1 ) )
6059adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( |_ `  ( ( M  /  N )  +  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( M  /  N ) )  +  1 ) )
6134, 55, 603eqtrrd 2208 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  ( M  /  N ) )  +  1 )  =  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) )
62 znq 9570 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  /  N
)  e.  QQ )
633, 62sylan 281 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  /  N
)  e.  QQ )
6463flqcld 10220 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  e.  ZZ )
6564zcnd 9322 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  e.  CC )
6656flqcld 10220 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( M  /  N ) )  e.  ZZ )
6766zcnd 9322 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( M  /  N ) )  e.  CC )
6865, 67, 42subaddd 8235 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )  =  1  <->  (
( |_ `  ( M  /  N ) )  +  1 )  =  ( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) ) ) )
6968adantr 274 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( (
( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  -  ( |_
`  ( M  /  N ) ) )  =  1  <->  ( ( |_ `  ( M  /  N ) )  +  1 )  =  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) ) )
7061, 69mpbird 166 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )  =  1 )
71 iftrue 3530 . . . 4  |-  ( N 
||  ( M  + 
1 )  ->  if ( N  ||  ( M  +  1 ) ,  1 ,  0 )  =  1 )
7271adantl 275 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  if ( N  ||  ( M  + 
1 ) ,  1 ,  0 )  =  1 )
7370, 72eqtr4d 2206 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  ||  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )  =  if ( N  ||  ( M  +  1 ) ,  1 ,  0 ) )
74 zmodcl 10287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  e.  NN0 )
753, 74sylan 281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  e.  NN0 )
7675nn0red 9176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  e.  RR )
77 1re 7906 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
78 resubcl 8170 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  e.  RR )
7976, 77, 78sylancl 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  e.  RR )
8079adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  e.  RR )
8175nn0zd 9319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  e.  ZZ )
82 elnndc 9558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  e.  ZZ  -> DECID  ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  e.  NN )
8381, 82syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  -> DECID  ( ( M  +  1 )  mod  N )  e.  NN )
84 elnn0 9124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  e.  NN0  <->  ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  e.  NN  \/  ( ( M  +  1 )  mod  N )  =  0 ) )
8575, 84sylib 121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  e.  NN  \/  ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  =  0 ) )
8685ord 719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( -.  ( ( M  +  1 )  mod  N )  e.  NN  ->  ( ( M  +  1 )  mod  N )  =  0 ) )
87 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN )
88 dvdsval3 11740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( M  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  ( M  +  1
)  <->  ( ( M  +  1 )  mod 
N )  =  0 ) )
8987, 3, 88syl2anr 288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  ||  ( M  +  1 )  <-> 
( ( M  + 
1 )  mod  N
)  =  0 ) )
9086, 89sylibrd 168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( -.  ( ( M  +  1 )  mod  N )  e.  NN  ->  N  ||  ( M  +  1 ) ) )
91 con1dc 851 . . . . . . . . . . 11  |-  (DECID  ( ( M  +  1 )  mod  N )  e.  NN  ->  ( ( -.  ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  e.  NN  ->  N 
||  ( M  + 
1 ) )  -> 
( -.  N  ||  ( M  +  1
)  ->  ( ( M  +  1 )  mod  N )  e.  NN ) ) )
9283, 90, 91sylc 62 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( -.  N  ||  ( M  +  1
)  ->  ( ( M  +  1 )  mod  N )  e.  NN ) )
9392imp 123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( M  +  1 )  mod  N )  e.  NN )
94 nnm1nn0 9163 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  e.  NN  ->  (
( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  e.  NN0 )
9593, 94syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  e.  NN0 )
9695nn0ge0d 9178 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  0  <_  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) )
9713, 14jca 304 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )
9897ad2antlr 486 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )
99 divge0 8776 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
( M  +  1 )  mod  N )  -  1 ) )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  < 
N ) )  -> 
0  <_  ( (
( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  /  N ) )
10080, 96, 98, 99syl21anc 1232 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  0  <_  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
) )
10113adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
10276ltm1d 8835 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  <  ( ( M  +  1 )  mod  N ) )
103 zq 9572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( M  +  1 )  e.  QQ )
1043, 103syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  +  1 )  e.  QQ )
105104adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  1 )  e.  QQ )
106 nnq 9579 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
107106adantl 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  QQ )
10814adantl 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  N )
109 modqlt 10276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  QQ  /\  N  e.  QQ  /\  0  <  N )  ->  (
( M  +  1 )  mod  N )  <  N )
110105, 107, 108, 109syl3anc 1233 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  <  N )
11179, 76, 101, 102, 110lttrd 8032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  <  N )
11237mulid1d 7924 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  x.  1 )  =  N )
113111, 112breqtrrd 4015 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  <  ( N  x.  1 ) )
114 1red 7922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
115 ltdivmul 8779 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  -  1 )  /  N )  <  1  <->  ( ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  <  ( N  x.  1 ) ) )
11679, 114, 101, 108, 115syl112anc 1237 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  -  1 )  /  N )  <  1  <->  ( ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  <  ( N  x.  1 ) ) )
117113, 116mpbird 166 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
)  <  1 )
118117adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  /  N )  <  1 )
119 peano2zm 9237 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  e.  ZZ  ->  (
( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  e.  ZZ )
12081, 119syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  e.  ZZ )
121 znq 9570 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
)  e.  QQ )
122120, 121sylancom 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
)  e.  QQ )
123 flqbi2 10234 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
)  e.  QQ )  ->  ( ( |_
`  ( ( |_
`  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  +  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
) ) )  =  ( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  <->  ( 0  <_ 
( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
)  /\  ( (
( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  /  N )  <  1 ) ) )
12464, 122, 123syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )  +  ( ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  <-> 
( 0  <_  (
( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  /  N )  /\  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  -  1 )  /  N )  <  1
) ) )
125124adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( |_ `  (
( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  +  ( ( ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( |_
`  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  <->  ( 0  <_  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  -  1 )  /  N )  /\  (
( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  /  N )  <  1 ) ) )
126100, 118, 125mpbir2and 939 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  ( |_ `  ( ( |_
`  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  +  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
) ) )  =  ( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) ) )
127 modqval 10267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  QQ  /\  N  e.  QQ  /\  0  <  N )  ->  (
( M  +  1 )  mod  N )  =  ( ( M  +  1 )  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
128105, 107, 108, 127syl3anc 1233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  =  ( ( M  +  1 )  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
129128oveq1d 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  =  ( ( ( M  +  1 )  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) ) ) )  -  1 ) )
13037, 65mulcld 7927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) )  e.  CC )
13145, 42, 130sub32d 8249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  - 
1 )  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) ) ) )  =  ( ( ( M  +  1 )  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) ) )  -  1 ) )
132 pncan 8112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
13336, 41, 132sylancl 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
134133oveq1d 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  - 
1 )  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) ) ) )  =  ( M  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
135129, 131, 1343eqtr2d 2209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  =  ( M  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
136135oveq1d 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
)  =  ( ( M  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) ) ) )  /  N ) )
13736, 130, 37, 39divsubdirapd 8734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  -  ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) ) )  /  N )  =  ( ( M  /  N )  -  ( ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) )  /  N ) ) )
13865, 37, 39divcanap3d 8699 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) )  /  N )  =  ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) ) )
139138oveq2d 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  /  N )  -  (
( N  x.  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) )  /  N ) )  =  ( ( M  /  N )  -  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) ) )
140136, 137, 1393eqtrrd 2208 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  /  N )  -  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  -  1 )  /  N ) )
141 zre 9203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
142 nndivre 8901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  /  N
)  e.  RR )
143141, 142sylan 281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  /  N
)  e.  RR )
144143recnd 7935 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  /  N
)  e.  CC )
145 nndivre 8901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
)  e.  RR )
14679, 145sylancom 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
)  e.  RR )
147146recnd 7935 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
)  e.  CC )
148144, 65, 147subaddd 8235 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  /  N )  -  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( ( ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  /  N )  <->  ( ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  +  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
) )  =  ( M  /  N ) ) )
149140, 148mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )  +  ( ( ( ( M  +  1 )  mod 
N )  -  1 )  /  N ) )  =  ( M  /  N ) )
150149adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  +  ( ( ( ( M  + 
1 )  mod  N
)  -  1 )  /  N ) )  =  ( M  /  N ) )
151150fveq2d 5498 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  ( |_ `  ( ( |_
`  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  +  ( ( ( ( M  +  1 )  mod  N )  - 
1 )  /  N
) ) )  =  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )
152126, 151eqtr3d 2205 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  =  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )
15365, 67subeq0ad 8227 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )  =  0  <->  ( |_ `  ( ( M  +  1 )  /  N ) )  =  ( |_ `  ( M  /  N ) ) ) )
154153adantr 274 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )  -  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )  =  0  <->  ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )  =  ( |_ `  ( M  /  N ) ) ) )
155152, 154mpbird 166 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  -  ( |_
`  ( M  /  N ) ) )  =  0 )
156 iffalse 3533 . . . 4  |-  ( -.  N  ||  ( M  +  1 )  ->  if ( N  ||  ( M  +  1 ) ,  1 ,  0 )  =  0 )
157156adantl 275 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  if ( N  ||  ( M  +  1 ) ,  1 ,  0 )  =  0 )
158155, 157eqtr4d 2206 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  N  ||  ( M  +  1
) )  ->  (
( |_ `  (
( M  +  1 )  /  N ) )  -  ( |_
`  ( M  /  N ) ) )  =  if ( N 
||  ( M  + 
1 ) ,  1 ,  0 ) )
159 simpr 109 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
160 dvdsdc 11747 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( M  +  1
)  e.  ZZ )  -> DECID 
N  ||  ( M  +  1 ) )
161159, 4, 160syl2anc 409 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  -> DECID  N 
||  ( M  + 
1 ) )
162 exmiddc 831 . . 3  |-  (DECID  N  ||  ( M  +  1
)  ->  ( N  ||  ( M  +  1 )  \/  -.  N  ||  ( M  +  1 ) ) )
163161, 162syl 14 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  ||  ( M  +  1 )  \/  -.  N  ||  ( M  +  1
) ) )
16473, 158, 163mpjaodan 793 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( ( M  + 
1 )  /  N
) )  -  ( |_ `  ( M  /  N ) ) )  =  if ( N 
||  ( M  + 
1 ) ,  1 ,  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 703  DECID wdc 829    = wceq 1348    e. wcel 2141    =/= wne 2340   ifcif 3525   class class class wbr 3987   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   CCcc 7759   RRcr 7760   0cc0 7761   1c1 7762    + caddc 7764    x. cmul 7766    < clt 7941    <_ cle 7942    - cmin 8077   # cap 8487    / cdiv 8576   NNcn 8865   NN0cn0 9122   ZZcz 9199   QQcq 9565   |_cfl 10211    mod cmo 10265    || cdvds 11736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-q 9566  df-rp 9598  df-fl 10213  df-mod 10266  df-dvds 11737
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