fldivp1 - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > fldivp1		Unicode version

Theorem fldivp1 13071

Description: The difference between the floors of adjacent fractions is either 1 or 0. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
fldivp1	$/\$

**Proof of Theorem fldivp1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9613	. . . . . . . . 9
2		nnne0 9282	. . . . . . . . 9
3		peano2z 9630	. . . . . . . . . 10
4	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
5		dvdsval2 12501	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
6	1, 2, 4, 5	syl2an23an 1336	. . . . . . . 8 $/\$
7	6	biimpa 296	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
8		flid 10668	. . . . . . 7
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$
10		nnm1nn0 9554	. . . . . . . . . 10
11	10	nn0red 9571	. . . . . . . . 9
12	10	nn0ge0d 9573	. . . . . . . . 9
13		nnre 9261	. . . . . . . . 9
14		nngt0 9279	. . . . . . . . 9
15		divge0 9164	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
16	11, 12, 13, 14, 15	syl22anc 1275	. . . . . . . 8
17	16	ad2antlr 489	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
18	13	ltm1d 9223	. . . . . . . . . 10
19		nncn 9262	. . . . . . . . . . 11
20	19	mulridd 8307	. . . . . . . . . 10
21	18, 20	breqtrrd 4142	. . . . . . . . 9
22		1red 8305	. . . . . . . . . 10
23		ltdivmul 9167	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
24	11, 22, 13, 14, 23	syl112anc 1278	. . . . . . . . 9
25	21, 24	mpbird 167	. . . . . . . 8
26	25	ad2antlr 489	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
27	10	nn0zd 9716	. . . . . . . . . 10
28		znq 9974	. . . . . . . . . 10 $/\$
29	27, 28	mpancom 422	. . . . . . . . 9
30	29	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
31		flqbi2 10675	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
32	7, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
33	17, 26, 32	mpbir2and 953	. . . . . 6 $/\$ $/\$
34	9, 33	eqtr4d 2270	. . . . 5 $/\$ $/\$
35		zcn 9599	. . . . . . . . . 10
36	35	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
37	19	adantl 277	. . . . . . . . 9 $/\$
38		nnap0 9283	. . . . . . . . . 10 #
39	38	adantl 277	. . . . . . . . 9 $/\$ #
40	36, 37, 37, 39	divdirapd 9120	. . . . . . . 8 $/\$
41		ax-1cn 8236	. . . . . . . . . . . 12
42	41	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$
43	36, 42, 37	ppncand 8640	. . . . . . . . . 10 $/\$
44	43	oveq1d 6073	. . . . . . . . 9 $/\$
45	4	zcnd 9719	. . . . . . . . . 10 $/\$
46		subcl 8488	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
47	19, 41, 46	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
49	45, 48, 37, 39	divdirapd 9120	. . . . . . . . 9 $/\$
50	44, 49	eqtr3d 2269	. . . . . . . 8 $/\$
51	37, 39	dividapd 9077	. . . . . . . . 9 $/\$
52	51	oveq2d 6074	. . . . . . . 8 $/\$
53	40, 50, 52	3eqtr3d 2275	. . . . . . 7 $/\$
54	53	fveq2d 5679	. . . . . 6 $/\$
55	54	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$
56		znq 9974	. . . . . . 7 $/\$
57		1z 9620	. . . . . . 7
58		flqaddz 10681	. . . . . . 7 $/\$
59	56, 57, 58	sylancl 413	. . . . . 6 $/\$
60	59	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$
61	34, 55, 60	3eqtrrd 2272	. . . 4 $/\$ $/\$
62		znq 9974	. . . . . . . . 9 $/\$
63	3, 62	sylan 283	. . . . . . . 8 $/\$
64	63	flqcld 10661	. . . . . . 7 $/\$
65	64	zcnd 9719	. . . . . 6 $/\$
66	56	flqcld 10661	. . . . . . 7 $/\$
67	66	zcnd 9719	. . . . . 6 $/\$
68	65, 67, 42	subaddd 8618	. . . . 5 $/\$
69	68	adantr 276	. . . 4 $/\$ $/\$
70	61, 69	mpbird 167	. . 3 $/\$ $/\$
71		iftrue 3631	. . . 4
72	71	adantl 277	. . 3 $/\$ $/\$
73	70, 72	eqtr4d 2270	. 2 $/\$ $/\$
74		zmodcl 10730	. . . . . . . . . . 11 $/\$
75	3, 74	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
76	75	nn0red 9571	. . . . . . . . 9 $/\$
77		1re 8289	. . . . . . . . 9
78		resubcl 8553	. . . . . . . . 9 $/\$
79	76, 77, 78	sylancl 413	. . . . . . . 8 $/\$
80	79	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
81	75	nn0zd 9716	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82		elnndc 9962	. . . . . . . . . . . 12 DECID
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ DECID
84		elnn0 9515	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$
85	75, 84	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$
86	85	ord 732	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
87		id 19	. . . . . . . . . . . . 13
88		dvdsval3 12502	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
89	87, 3, 88	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
90	86, 89	sylibrd 169	. . . . . . . . . . 11 $/\$
91		con1dc 864	. . . . . . . . . . 11 DECID
92	83, 90, 91	sylc 62	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	imp 124	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
94		nnm1nn0 9554	. . . . . . . . 9
95	93, 94	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
96	95	nn0ge0d 9573	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
97	13, 14	jca 306	. . . . . . . 8 $/\$
98	97	ad2antlr 489	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
99		divge0 9164	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
100	80, 96, 98, 99	syl21anc 1273	. . . . . 6 $/\$ $/\$
101	13	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
102	76	ltm1d 9223	. . . . . . . . . 10 $/\$
103		zq 9976	. . . . . . . . . . . . 13
104	3, 103	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
105	104	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
106		nnq 9983	. . . . . . . . . . . 12
107	106	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$
108	14	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$
109		modqlt 10719	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
110	105, 107, 108, 109	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10 $/\$
111	79, 76, 101, 102, 110	lttrd 8415	. . . . . . . . 9 $/\$
112	37	mulridd 8307	. . . . . . . . 9 $/\$
113	111, 112	breqtrrd 4142	. . . . . . . 8 $/\$
114		1red 8305	. . . . . . . . 9 $/\$
115		ltdivmul 9167	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
116	79, 114, 101, 108, 115	syl112anc 1278	. . . . . . . 8 $/\$
117	113, 116	mpbird 167	. . . . . . 7 $/\$
118	117	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
119		peano2zm 9632	. . . . . . . . . 10
120	81, 119	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$
121		znq 9974	. . . . . . . . 9 $/\$
122	120, 121	sylancom 420	. . . . . . . 8 $/\$
123		flqbi2 10675	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
124	64, 122, 123	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
125	124	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
126	100, 118, 125	mpbir2and 953	. . . . 5 $/\$ $/\$
127		modqval 10710	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
128	105, 107, 108, 127	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
129	128	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . 11 $/\$
130	37, 65	mulcld 8310	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
131	45, 42, 130	sub32d 8632	. . . . . . . . . . 11 $/\$
132		pncan 8495	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	36, 41, 132	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134	133	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . 11 $/\$
135	129, 131, 134	3eqtr2d 2273	. . . . . . . . . 10 $/\$
136	135	oveq1d 6073	. . . . . . . . 9 $/\$
137	36, 130, 37, 39	divsubdirapd 9121	. . . . . . . . 9 $/\$
138	65, 37, 39	divcanap3d 9086	. . . . . . . . . 10 $/\$
139	138	oveq2d 6074	. . . . . . . . 9 $/\$
140	136, 137, 139	3eqtrrd 2272	. . . . . . . 8 $/\$
141		zre 9598	. . . . . . . . . . 11
142		nndivre 9290	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	141, 142	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	recnd 8318	. . . . . . . . 9 $/\$
145		nndivre 9290	. . . . . . . . . . 11 $/\$
146	79, 145	sylancom 420	. . . . . . . . . 10 $/\$
147	146	recnd 8318	. . . . . . . . 9 $/\$
148	144, 65, 147	subaddd 8618	. . . . . . . 8 $/\$
149	140, 148	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$
150	149	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
151	150	fveq2d 5679	. . . . 5 $/\$ $/\$
152	126, 151	eqtr3d 2269	. . . 4 $/\$ $/\$
153	65, 67	subeq0ad 8610	. . . . 5 $/\$
154	153	adantr 276	. . . 4 $/\$ $/\$
155	152, 154	mpbird 167	. . 3 $/\$ $/\$
156		iffalse 3634	. . . 4
157	156	adantl 277	. . 3 $/\$ $/\$
158	155, 157	eqtr4d 2270	. 2 $/\$ $/\$
159		simpr 110	. . . 4 $/\$
160		dvdsdc 12509	. . . 4 $/\$ DECID
161	159, 4, 160	syl2anc 411	. . 3 $/\$ DECID
162		exmiddc 844	. . 3 DECID $\/$
163	161, 162	syl 14	. 2 $/\$ $\/$
164	73, 158, 163	mpjaodan 806	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 716 DECID wdc 842

wceq 1398

wcel 2205

wne 2414

cif 3624 class class class wbr 4114

cfv 5357 (class class class)co 6058

cc 8141

cr 8142

cc0 8143

c1 8144

caddc 8146

cmul 8148

clt 8324

cle 8325

cmin 8460 # cap 8872

cdiv 8963

cn 9254

cn0 9513

cz 9594

cq 9969

cfl 10652

cmo 10708

cdvds 12498

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2207 ax-14 2208 ax-ext 2216 ax-sep 4233 ax-pow 4292 ax-pr 4327 ax-un 4559 ax-setind 4664 ax-cnex 8234 ax-resscn 8235 ax-1cn 8236 ax-1re 8237 ax-icn 8238 ax-addcl 8239 ax-addrcl 8240 ax-mulcl 8241 ax-mulrcl 8242 ax-addcom 8243 ax-mulcom 8244 ax-addass 8245 ax-mulass 8246 ax-distr 8247 ax-i2m1 8248 ax-0lt1 8249 ax-1rid 8250 ax-0id 8251 ax-rnegex 8252 ax-precex 8253 ax-cnre 8254 ax-pre-ltirr 8255 ax-pre-ltwlin 8256 ax-pre-lttrn 8257 ax-pre-apti 8258 ax-pre-ltadd 8259 ax-pre-mulgt0 8260 ax-pre-mulext 8261 ax-arch 8262

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 839 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2085 df-mo 2086 df-clab 2221 df-cleq 2227 df-clel 2230 df-nfc 2375 df-ne 2415 df-nel 2510 df-ral 2527 df-rex 2528 df-reu 2529 df-rmo 2530 df-rab 2531 df-v 2817 df-sbc 3046 df-csb 3142 df-dif 3216 df-un 3218 df-in 3220 df-ss 3227 df-if 3625 df-pw 3676 df-sn 3700 df-pr 3701 df-op 3703 df-uni 3920 df-int 3955 df-iun 3998 df-br 4115 df-opab 4177 df-mpt 4178 df-id 4419 df-po 4422 df-iso 4423 df-xp 4760 df-rel 4761 df-cnv 4762 df-co 4763 df-dm 4764 df-rn 4765 df-res 4766 df-ima 4767 df-iota 5317 df-fun 5359 df-fn 5360 df-f 5361 df-fv 5365 df-riota 6011 df-ov 6061 df-oprab 6062 df-mpo 6063 df-1st 6347 df-2nd 6348 df-pnf 8326 df-mnf 8327 df-xr 8328 df-ltxr 8329 df-le 8330 df-sub 8462 df-neg 8463 df-reap 8866 df-ap 8873 df-div 8964 df-inn 9255 df-n0 9514 df-z 9595 df-uz 9872 df-q 9970 df-rp 10005 df-fl 10654 df-mod 10709 df-dvds 12499

This theorem is referenced by: pcfac 13073

W3C validator