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Theorem fldivp1 12671

Description: The difference between the floors of adjacent fractions is either 1 or 0. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
fldivp1	$/\$

**Proof of Theorem fldivp1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9391	. . . . . . . . 9
2		nnne0 9064	. . . . . . . . 9
3		peano2z 9408	. . . . . . . . . 10
4	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
5		dvdsval2 12101	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
6	1, 2, 4, 5	syl2an23an 1312	. . . . . . . 8 $/\$
7	6	biimpa 296	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
8		flid 10427	. . . . . . 7
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$
10		nnm1nn0 9336	. . . . . . . . . 10
11	10	nn0red 9349	. . . . . . . . 9
12	10	nn0ge0d 9351	. . . . . . . . 9
13		nnre 9043	. . . . . . . . 9
14		nngt0 9061	. . . . . . . . 9
15		divge0 8946	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
16	11, 12, 13, 14, 15	syl22anc 1251	. . . . . . . 8
17	16	ad2antlr 489	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
18	13	ltm1d 9005	. . . . . . . . . 10
19		nncn 9044	. . . . . . . . . . 11
20	19	mulridd 8089	. . . . . . . . . 10
21	18, 20	breqtrrd 4072	. . . . . . . . 9
22		1red 8087	. . . . . . . . . 10
23		ltdivmul 8949	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
24	11, 22, 13, 14, 23	syl112anc 1254	. . . . . . . . 9
25	21, 24	mpbird 167	. . . . . . . 8
26	25	ad2antlr 489	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
27	10	nn0zd 9493	. . . . . . . . . 10
28		znq 9745	. . . . . . . . . 10 $/\$
29	27, 28	mpancom 422	. . . . . . . . 9
30	29	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
31		flqbi2 10434	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
32	7, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
33	17, 26, 32	mpbir2and 947	. . . . . 6 $/\$ $/\$
34	9, 33	eqtr4d 2241	. . . . 5 $/\$ $/\$
35		zcn 9377	. . . . . . . . . 10
36	35	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
37	19	adantl 277	. . . . . . . . 9 $/\$
38		nnap0 9065	. . . . . . . . . 10 #
39	38	adantl 277	. . . . . . . . 9 $/\$ #
40	36, 37, 37, 39	divdirapd 8902	. . . . . . . 8 $/\$
41		ax-1cn 8018	. . . . . . . . . . . 12
42	41	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$
43	36, 42, 37	ppncand 8423	. . . . . . . . . 10 $/\$
44	43	oveq1d 5959	. . . . . . . . 9 $/\$
45	4	zcnd 9496	. . . . . . . . . 10 $/\$
46		subcl 8271	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
47	19, 41, 46	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
49	45, 48, 37, 39	divdirapd 8902	. . . . . . . . 9 $/\$
50	44, 49	eqtr3d 2240	. . . . . . . 8 $/\$
51	37, 39	dividapd 8859	. . . . . . . . 9 $/\$
52	51	oveq2d 5960	. . . . . . . 8 $/\$
53	40, 50, 52	3eqtr3d 2246	. . . . . . 7 $/\$
54	53	fveq2d 5580	. . . . . 6 $/\$
55	54	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$
56		znq 9745	. . . . . . 7 $/\$
57		1z 9398	. . . . . . 7
58		flqaddz 10440	. . . . . . 7 $/\$
59	56, 57, 58	sylancl 413	. . . . . 6 $/\$
60	59	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$
61	34, 55, 60	3eqtrrd 2243	. . . 4 $/\$ $/\$
62		znq 9745	. . . . . . . . 9 $/\$
63	3, 62	sylan 283	. . . . . . . 8 $/\$
64	63	flqcld 10420	. . . . . . 7 $/\$
65	64	zcnd 9496	. . . . . 6 $/\$
66	56	flqcld 10420	. . . . . . 7 $/\$
67	66	zcnd 9496	. . . . . 6 $/\$
68	65, 67, 42	subaddd 8401	. . . . 5 $/\$
69	68	adantr 276	. . . 4 $/\$ $/\$
70	61, 69	mpbird 167	. . 3 $/\$ $/\$
71		iftrue 3576	. . . 4
72	71	adantl 277	. . 3 $/\$ $/\$
73	70, 72	eqtr4d 2241	. 2 $/\$ $/\$
74		zmodcl 10489	. . . . . . . . . . 11 $/\$
75	3, 74	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
76	75	nn0red 9349	. . . . . . . . 9 $/\$
77		1re 8071	. . . . . . . . 9
78		resubcl 8336	. . . . . . . . 9 $/\$
79	76, 77, 78	sylancl 413	. . . . . . . 8 $/\$
80	79	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
81	75	nn0zd 9493	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82		elnndc 9733	. . . . . . . . . . . 12 DECID
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ DECID
84		elnn0 9297	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$
85	75, 84	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$
86	85	ord 726	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
87		id 19	. . . . . . . . . . . . 13
88		dvdsval3 12102	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
89	87, 3, 88	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
90	86, 89	sylibrd 169	. . . . . . . . . . 11 $/\$
91		con1dc 858	. . . . . . . . . . 11 DECID
92	83, 90, 91	sylc 62	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	imp 124	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
94		nnm1nn0 9336	. . . . . . . . 9
95	93, 94	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
96	95	nn0ge0d 9351	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
97	13, 14	jca 306	. . . . . . . 8 $/\$
98	97	ad2antlr 489	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
99		divge0 8946	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
100	80, 96, 98, 99	syl21anc 1249	. . . . . 6 $/\$ $/\$
101	13	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
102	76	ltm1d 9005	. . . . . . . . . 10 $/\$
103		zq 9747	. . . . . . . . . . . . 13
104	3, 103	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
105	104	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
106		nnq 9754	. . . . . . . . . . . 12
107	106	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$
108	14	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$
109		modqlt 10478	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
110	105, 107, 108, 109	syl3anc 1250	. . . . . . . . . 10 $/\$
111	79, 76, 101, 102, 110	lttrd 8198	. . . . . . . . 9 $/\$
112	37	mulridd 8089	. . . . . . . . 9 $/\$
113	111, 112	breqtrrd 4072	. . . . . . . 8 $/\$
114		1red 8087	. . . . . . . . 9 $/\$
115		ltdivmul 8949	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
116	79, 114, 101, 108, 115	syl112anc 1254	. . . . . . . 8 $/\$
117	113, 116	mpbird 167	. . . . . . 7 $/\$
118	117	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
119		peano2zm 9410	. . . . . . . . . 10
120	81, 119	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$
121		znq 9745	. . . . . . . . 9 $/\$
122	120, 121	sylancom 420	. . . . . . . 8 $/\$
123		flqbi2 10434	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
124	64, 122, 123	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
125	124	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
126	100, 118, 125	mpbir2and 947	. . . . 5 $/\$ $/\$
127		modqval 10469	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
128	105, 107, 108, 127	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
129	128	oveq1d 5959	. . . . . . . . . . 11 $/\$
130	37, 65	mulcld 8093	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
131	45, 42, 130	sub32d 8415	. . . . . . . . . . 11 $/\$
132		pncan 8278	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	36, 41, 132	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134	133	oveq1d 5959	. . . . . . . . . . 11 $/\$
135	129, 131, 134	3eqtr2d 2244	. . . . . . . . . 10 $/\$
136	135	oveq1d 5959	. . . . . . . . 9 $/\$
137	36, 130, 37, 39	divsubdirapd 8903	. . . . . . . . 9 $/\$
138	65, 37, 39	divcanap3d 8868	. . . . . . . . . 10 $/\$
139	138	oveq2d 5960	. . . . . . . . 9 $/\$
140	136, 137, 139	3eqtrrd 2243	. . . . . . . 8 $/\$
141		zre 9376	. . . . . . . . . . 11
142		nndivre 9072	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	141, 142	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	recnd 8101	. . . . . . . . 9 $/\$
145		nndivre 9072	. . . . . . . . . . 11 $/\$
146	79, 145	sylancom 420	. . . . . . . . . 10 $/\$
147	146	recnd 8101	. . . . . . . . 9 $/\$
148	144, 65, 147	subaddd 8401	. . . . . . . 8 $/\$
149	140, 148	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$
150	149	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
151	150	fveq2d 5580	. . . . 5 $/\$ $/\$
152	126, 151	eqtr3d 2240	. . . 4 $/\$ $/\$
153	65, 67	subeq0ad 8393	. . . . 5 $/\$
154	153	adantr 276	. . . 4 $/\$ $/\$
155	152, 154	mpbird 167	. . 3 $/\$ $/\$
156		iffalse 3579	. . . 4
157	156	adantl 277	. . 3 $/\$ $/\$
158	155, 157	eqtr4d 2241	. 2 $/\$ $/\$
159		simpr 110	. . . 4 $/\$
160		dvdsdc 12109	. . . 4 $/\$ DECID
161	159, 4, 160	syl2anc 411	. . 3 $/\$ DECID
162		exmiddc 838	. . 3 DECID $\/$
163	161, 162	syl 14	. 2 $/\$ $\/$
164	73, 158, 163	mpjaodan 800	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 710 DECID wdc 836

wceq 1373

wcel 2176

wne 2376

cif 3571 class class class wbr 4044

cfv 5271 (class class class)co 5944

cc 7923

cr 7924

cc0 7925

c1 7926

caddc 7928

cmul 7930

clt 8107

cle 8108

cmin 8243 # cap 8654

cdiv 8745

cn 9036

cn0 9295

cz 9372

cq 9740

cfl 10411

cmo 10467

cdvds 12098

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 711 ax-5 1470 ax-7 1471 ax-gen 1472 ax-ie1 1516 ax-ie2 1517 ax-8 1527 ax-10 1528 ax-11 1529 ax-i12 1530 ax-bndl 1532 ax-4 1533 ax-17 1549 ax-i9 1553 ax-ial 1557 ax-i5r 1558 ax-13 2178 ax-14 2179 ax-ext 2187 ax-sep 4162 ax-pow 4218 ax-pr 4253 ax-un 4480 ax-setind 4585 ax-cnex 8016 ax-resscn 8017 ax-1cn 8018 ax-1re 8019 ax-icn 8020 ax-addcl 8021 ax-addrcl 8022 ax-mulcl 8023 ax-mulrcl 8024 ax-addcom 8025 ax-mulcom 8026 ax-addass 8027 ax-mulass 8028 ax-distr 8029 ax-i2m1 8030 ax-0lt1 8031 ax-1rid 8032 ax-0id 8033 ax-rnegex 8034 ax-precex 8035 ax-cnre 8036 ax-pre-ltirr 8037 ax-pre-ltwlin 8038 ax-pre-lttrn 8039 ax-pre-apti 8040 ax-pre-ltadd 8041 ax-pre-mulgt0 8042 ax-pre-mulext 8043 ax-arch 8044

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 833 df-dc 837 df-3or 982 df-3an 983 df-tru 1376 df-fal 1379 df-nf 1484 df-sb 1786 df-eu 2057 df-mo 2058 df-clab 2192 df-cleq 2198 df-clel 2201 df-nfc 2337 df-ne 2377 df-nel 2472 df-ral 2489 df-rex 2490 df-reu 2491 df-rmo 2492 df-rab 2493 df-v 2774 df-sbc 2999 df-csb 3094 df-dif 3168 df-un 3170 df-in 3172 df-ss 3179 df-if 3572 df-pw 3618 df-sn 3639 df-pr 3640 df-op 3642 df-uni 3851 df-int 3886 df-iun 3929 df-br 4045 df-opab 4106 df-mpt 4107 df-id 4340 df-po 4343 df-iso 4344 df-xp 4681 df-rel 4682 df-cnv 4683 df-co 4684 df-dm 4685 df-rn 4686 df-res 4687 df-ima 4688 df-iota 5232 df-fun 5273 df-fn 5274 df-f 5275 df-fv 5279 df-riota 5899 df-ov 5947 df-oprab 5948 df-mpo 5949 df-1st 6226 df-2nd 6227 df-pnf 8109 df-mnf 8110 df-xr 8111 df-ltxr 8112 df-le 8113 df-sub 8245 df-neg 8246 df-reap 8648 df-ap 8655 df-div 8746 df-inn 9037 df-n0 9296 df-z 9373 df-uz 9649 df-q 9741 df-rp 9776 df-fl 10413 df-mod 10468 df-dvds 12099

This theorem is referenced by: pcfac 12673

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