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Theorem fldivp1 12255

Description: The difference between the floors of adjacent fractions is either 1 or 0. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
fldivp1	$/\$

**Proof of Theorem fldivp1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9201	. . . . . . . . 9
2		nnne0 8876	. . . . . . . . 9
3		peano2z 9218	. . . . . . . . . 10
4	3	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$
5		dvdsval2 11716	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
6	1, 2, 4, 5	syl2an23an 1288	. . . . . . . 8 $/\$
7	6	biimpa 294	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
8		flid 10209	. . . . . . 7
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$
10		nnm1nn0 9146	. . . . . . . . . 10
11	10	nn0red 9159	. . . . . . . . 9
12	10	nn0ge0d 9161	. . . . . . . . 9
13		nnre 8855	. . . . . . . . 9
14		nngt0 8873	. . . . . . . . 9
15		divge0 8759	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
16	11, 12, 13, 14, 15	syl22anc 1228	. . . . . . . 8
17	16	ad2antlr 481	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
18	13	ltm1d 8818	. . . . . . . . . 10
19		nncn 8856	. . . . . . . . . . 11
20	19	mulid1d 7907	. . . . . . . . . 10
21	18, 20	breqtrrd 4004	. . . . . . . . 9
22		1red 7905	. . . . . . . . . 10
23		ltdivmul 8762	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
24	11, 22, 13, 14, 23	syl112anc 1231	. . . . . . . . 9
25	21, 24	mpbird 166	. . . . . . . 8
26	25	ad2antlr 481	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
27	10	nn0zd 9302	. . . . . . . . . 10
28		znq 9553	. . . . . . . . . 10 $/\$
29	27, 28	mpancom 419	. . . . . . . . 9
30	29	ad2antlr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
31		flqbi2 10216	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
32	7, 30, 31	syl2anc 409	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
33	17, 26, 32	mpbir2and 933	. . . . . 6 $/\$ $/\$
34	9, 33	eqtr4d 2200	. . . . 5 $/\$ $/\$
35		zcn 9187	. . . . . . . . . 10
36	35	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$
37	19	adantl 275	. . . . . . . . 9 $/\$
38		nnap0 8877	. . . . . . . . . 10 #
39	38	adantl 275	. . . . . . . . 9 $/\$ #
40	36, 37, 37, 39	divdirapd 8716	. . . . . . . 8 $/\$
41		ax-1cn 7837	. . . . . . . . . . . 12
42	41	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$
43	36, 42, 37	ppncand 8240	. . . . . . . . . 10 $/\$
44	43	oveq1d 5851	. . . . . . . . 9 $/\$
45	4	zcnd 9305	. . . . . . . . . 10 $/\$
46		subcl 8088	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
47	19, 41, 46	sylancl 410	. . . . . . . . . . 11
48	47	adantl 275	. . . . . . . . . 10 $/\$
49	45, 48, 37, 39	divdirapd 8716	. . . . . . . . 9 $/\$
50	44, 49	eqtr3d 2199	. . . . . . . 8 $/\$
51	37, 39	dividapd 8673	. . . . . . . . 9 $/\$
52	51	oveq2d 5852	. . . . . . . 8 $/\$
53	40, 50, 52	3eqtr3d 2205	. . . . . . 7 $/\$
54	53	fveq2d 5484	. . . . . 6 $/\$
55	54	adantr 274	. . . . 5 $/\$ $/\$
56		znq 9553	. . . . . . 7 $/\$
57		1z 9208	. . . . . . 7
58		flqaddz 10222	. . . . . . 7 $/\$
59	56, 57, 58	sylancl 410	. . . . . 6 $/\$
60	59	adantr 274	. . . . 5 $/\$ $/\$
61	34, 55, 60	3eqtrrd 2202	. . . 4 $/\$ $/\$
62		znq 9553	. . . . . . . . 9 $/\$
63	3, 62	sylan 281	. . . . . . . 8 $/\$
64	63	flqcld 10202	. . . . . . 7 $/\$
65	64	zcnd 9305	. . . . . 6 $/\$
66	56	flqcld 10202	. . . . . . 7 $/\$
67	66	zcnd 9305	. . . . . 6 $/\$
68	65, 67, 42	subaddd 8218	. . . . 5 $/\$
69	68	adantr 274	. . . 4 $/\$ $/\$
70	61, 69	mpbird 166	. . 3 $/\$ $/\$
71		iftrue 3520	. . . 4
72	71	adantl 275	. . 3 $/\$ $/\$
73	70, 72	eqtr4d 2200	. 2 $/\$ $/\$
74		zmodcl 10269	. . . . . . . . . . 11 $/\$
75	3, 74	sylan 281	. . . . . . . . . 10 $/\$
76	75	nn0red 9159	. . . . . . . . 9 $/\$
77		1re 7889	. . . . . . . . 9
78		resubcl 8153	. . . . . . . . 9 $/\$
79	76, 77, 78	sylancl 410	. . . . . . . 8 $/\$
80	79	adantr 274	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
81	75	nn0zd 9302	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82		elnndc 9541	. . . . . . . . . . . 12 DECID
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ DECID
84		elnn0 9107	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$
85	75, 84	sylib 121	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$
86	85	ord 714	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
87		id 19	. . . . . . . . . . . . 13
88		dvdsval3 11717	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
89	87, 3, 88	syl2anr 288	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
90	86, 89	sylibrd 168	. . . . . . . . . . 11 $/\$
91		con1dc 846	. . . . . . . . . . 11 DECID
92	83, 90, 91	sylc 62	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	imp 123	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
94		nnm1nn0 9146	. . . . . . . . 9
95	93, 94	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
96	95	nn0ge0d 9161	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
97	13, 14	jca 304	. . . . . . . 8 $/\$
98	97	ad2antlr 481	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
99		divge0 8759	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
100	80, 96, 98, 99	syl21anc 1226	. . . . . 6 $/\$ $/\$
101	13	adantl 275	. . . . . . . . . 10 $/\$
102	76	ltm1d 8818	. . . . . . . . . 10 $/\$
103		zq 9555	. . . . . . . . . . . . 13
104	3, 103	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
105	104	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 $/\$
106		nnq 9562	. . . . . . . . . . . 12
107	106	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 $/\$
108	14	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 $/\$
109		modqlt 10258	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
110	105, 107, 108, 109	syl3anc 1227	. . . . . . . . . 10 $/\$
111	79, 76, 101, 102, 110	lttrd 8015	. . . . . . . . 9 $/\$
112	37	mulid1d 7907	. . . . . . . . 9 $/\$
113	111, 112	breqtrrd 4004	. . . . . . . 8 $/\$
114		1red 7905	. . . . . . . . 9 $/\$
115		ltdivmul 8762	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
116	79, 114, 101, 108, 115	syl112anc 1231	. . . . . . . 8 $/\$
117	113, 116	mpbird 166	. . . . . . 7 $/\$
118	117	adantr 274	. . . . . 6 $/\$ $/\$
119		peano2zm 9220	. . . . . . . . . 10
120	81, 119	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$
121		znq 9553	. . . . . . . . 9 $/\$
122	120, 121	sylancom 417	. . . . . . . 8 $/\$
123		flqbi2 10216	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
124	64, 122, 123	syl2anc 409	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
125	124	adantr 274	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
126	100, 118, 125	mpbir2and 933	. . . . 5 $/\$ $/\$
127		modqval 10249	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
128	105, 107, 108, 127	syl3anc 1227	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
129	128	oveq1d 5851	. . . . . . . . . . 11 $/\$
130	37, 65	mulcld 7910	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
131	45, 42, 130	sub32d 8232	. . . . . . . . . . 11 $/\$
132		pncan 8095	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	36, 41, 132	sylancl 410	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134	133	oveq1d 5851	. . . . . . . . . . 11 $/\$
135	129, 131, 134	3eqtr2d 2203	. . . . . . . . . 10 $/\$
136	135	oveq1d 5851	. . . . . . . . 9 $/\$
137	36, 130, 37, 39	divsubdirapd 8717	. . . . . . . . 9 $/\$
138	65, 37, 39	divcanap3d 8682	. . . . . . . . . 10 $/\$
139	138	oveq2d 5852	. . . . . . . . 9 $/\$
140	136, 137, 139	3eqtrrd 2202	. . . . . . . 8 $/\$
141		zre 9186	. . . . . . . . . . 11
142		nndivre 8884	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	141, 142	sylan 281	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	recnd 7918	. . . . . . . . 9 $/\$
145		nndivre 8884	. . . . . . . . . . 11 $/\$
146	79, 145	sylancom 417	. . . . . . . . . 10 $/\$
147	146	recnd 7918	. . . . . . . . 9 $/\$
148	144, 65, 147	subaddd 8218	. . . . . . . 8 $/\$
149	140, 148	mpbid 146	. . . . . . 7 $/\$
150	149	adantr 274	. . . . . 6 $/\$ $/\$
151	150	fveq2d 5484	. . . . 5 $/\$ $/\$
152	126, 151	eqtr3d 2199	. . . 4 $/\$ $/\$
153	65, 67	subeq0ad 8210	. . . . 5 $/\$
154	153	adantr 274	. . . 4 $/\$ $/\$
155	152, 154	mpbird 166	. . 3 $/\$ $/\$
156		iffalse 3523	. . . 4
157	156	adantl 275	. . 3 $/\$ $/\$
158	155, 157	eqtr4d 2200	. 2 $/\$ $/\$
159		simpr 109	. . . 4 $/\$
160		dvdsdc 11724	. . . 4 $/\$ DECID
161	159, 4, 160	syl2anc 409	. . 3 $/\$ DECID
162		exmiddc 826	. . 3 DECID $\/$
163	161, 162	syl 14	. 2 $/\$ $\/$
164	73, 158, 163	mpjaodan 788	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $\/$ wo 698 DECID wdc 824

wceq 1342

wcel 2135

wne 2334

cif 3515 class class class wbr 3976

cfv 5182 (class class class)co 5836

cc 7742

cr 7743

cc0 7744

c1 7745

caddc 7747

cmul 7749

clt 7924

cle 7925

cmin 8060 # cap 8470

cdiv 8559

cn 8848

cn0 9105

cz 9182

cq 9548

cfl 10193

cmo 10247

cdvds 11713

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1434 ax-7 1435 ax-gen 1436 ax-ie1 1480 ax-ie2 1481 ax-8 1491 ax-10 1492 ax-11 1493 ax-i12 1494 ax-bndl 1496 ax-4 1497 ax-17 1513 ax-i9 1517 ax-ial 1521 ax-i5r 1522 ax-13 2137 ax-14 2138 ax-ext 2146 ax-sep 4094 ax-pow 4147 ax-pr 4181 ax-un 4405 ax-setind 4508 ax-cnex 7835 ax-resscn 7836 ax-1cn 7837 ax-1re 7838 ax-icn 7839 ax-addcl 7840 ax-addrcl 7841 ax-mulcl 7842 ax-mulrcl 7843 ax-addcom 7844 ax-mulcom 7845 ax-addass 7846 ax-mulass 7847 ax-distr 7848 ax-i2m1 7849 ax-0lt1 7850 ax-1rid 7851 ax-0id 7852 ax-rnegex 7853 ax-precex 7854 ax-cnre 7855 ax-pre-ltirr 7856 ax-pre-ltwlin 7857 ax-pre-lttrn 7858 ax-pre-apti 7859 ax-pre-ltadd 7860 ax-pre-mulgt0 7861 ax-pre-mulext 7862 ax-arch 7863

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 821 df-dc 825 df-3or 968 df-3an 969 df-tru 1345 df-fal 1348 df-nf 1448 df-sb 1750 df-eu 2016 df-mo 2017 df-clab 2151 df-cleq 2157 df-clel 2160 df-nfc 2295 df-ne 2335 df-nel 2430 df-ral 2447 df-rex 2448 df-reu 2449 df-rmo 2450 df-rab 2451 df-v 2723 df-sbc 2947 df-csb 3041 df-dif 3113 df-un 3115 df-in 3117 df-ss 3124 df-if 3516 df-pw 3555 df-sn 3576 df-pr 3577 df-op 3579 df-uni 3784 df-int 3819 df-iun 3862 df-br 3977 df-opab 4038 df-mpt 4039 df-id 4265 df-po 4268 df-iso 4269 df-xp 4604 df-rel 4605 df-cnv 4606 df-co 4607 df-dm 4608 df-rn 4609 df-res 4610 df-ima 4611 df-iota 5147 df-fun 5184 df-fn 5185 df-f 5186 df-fv 5190 df-riota 5792 df-ov 5839 df-oprab 5840 df-mpo 5841 df-1st 6100 df-2nd 6101 df-pnf 7926 df-mnf 7927 df-xr 7928 df-ltxr 7929 df-le 7930 df-sub 8062 df-neg 8063 df-reap 8464 df-ap 8471 df-div 8560 df-inn 8849 df-n0 9106 df-z 9183 df-uz 9458 df-q 9549 df-rp 9581 df-fl 10195 df-mod 10248 df-dvds 11714

This theorem is referenced by: pcfac 12257

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