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Theorem fldivp1 12786

Description: The difference between the floors of adjacent fractions is either 1 or 0. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
fldivp1	$/\$

**Proof of Theorem fldivp1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9426	. . . . . . . . 9
2		nnne0 9099	. . . . . . . . 9
3		peano2z 9443	. . . . . . . . . 10
4	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
5		dvdsval2 12216	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
6	1, 2, 4, 5	syl2an23an 1312	. . . . . . . 8 $/\$
7	6	biimpa 296	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
8		flid 10464	. . . . . . 7
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$
10		nnm1nn0 9371	. . . . . . . . . 10
11	10	nn0red 9384	. . . . . . . . 9
12	10	nn0ge0d 9386	. . . . . . . . 9
13		nnre 9078	. . . . . . . . 9
14		nngt0 9096	. . . . . . . . 9
15		divge0 8981	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
16	11, 12, 13, 14, 15	syl22anc 1251	. . . . . . . 8
17	16	ad2antlr 489	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
18	13	ltm1d 9040	. . . . . . . . . 10
19		nncn 9079	. . . . . . . . . . 11
20	19	mulridd 8124	. . . . . . . . . 10
21	18, 20	breqtrrd 4087	. . . . . . . . 9
22		1red 8122	. . . . . . . . . 10
23		ltdivmul 8984	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
24	11, 22, 13, 14, 23	syl112anc 1254	. . . . . . . . 9
25	21, 24	mpbird 167	. . . . . . . 8
26	25	ad2antlr 489	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
27	10	nn0zd 9528	. . . . . . . . . 10
28		znq 9780	. . . . . . . . . 10 $/\$
29	27, 28	mpancom 422	. . . . . . . . 9
30	29	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
31		flqbi2 10471	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
32	7, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
33	17, 26, 32	mpbir2and 947	. . . . . 6 $/\$ $/\$
34	9, 33	eqtr4d 2243	. . . . 5 $/\$ $/\$
35		zcn 9412	. . . . . . . . . 10
36	35	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
37	19	adantl 277	. . . . . . . . 9 $/\$
38		nnap0 9100	. . . . . . . . . 10 #
39	38	adantl 277	. . . . . . . . 9 $/\$ #
40	36, 37, 37, 39	divdirapd 8937	. . . . . . . 8 $/\$
41		ax-1cn 8053	. . . . . . . . . . . 12
42	41	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$
43	36, 42, 37	ppncand 8458	. . . . . . . . . 10 $/\$
44	43	oveq1d 5982	. . . . . . . . 9 $/\$
45	4	zcnd 9531	. . . . . . . . . 10 $/\$
46		subcl 8306	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
47	19, 41, 46	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
49	45, 48, 37, 39	divdirapd 8937	. . . . . . . . 9 $/\$
50	44, 49	eqtr3d 2242	. . . . . . . 8 $/\$
51	37, 39	dividapd 8894	. . . . . . . . 9 $/\$
52	51	oveq2d 5983	. . . . . . . 8 $/\$
53	40, 50, 52	3eqtr3d 2248	. . . . . . 7 $/\$
54	53	fveq2d 5603	. . . . . 6 $/\$
55	54	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$
56		znq 9780	. . . . . . 7 $/\$
57		1z 9433	. . . . . . 7
58		flqaddz 10477	. . . . . . 7 $/\$
59	56, 57, 58	sylancl 413	. . . . . 6 $/\$
60	59	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$
61	34, 55, 60	3eqtrrd 2245	. . . 4 $/\$ $/\$
62		znq 9780	. . . . . . . . 9 $/\$
63	3, 62	sylan 283	. . . . . . . 8 $/\$
64	63	flqcld 10457	. . . . . . 7 $/\$
65	64	zcnd 9531	. . . . . 6 $/\$
66	56	flqcld 10457	. . . . . . 7 $/\$
67	66	zcnd 9531	. . . . . 6 $/\$
68	65, 67, 42	subaddd 8436	. . . . 5 $/\$
69	68	adantr 276	. . . 4 $/\$ $/\$
70	61, 69	mpbird 167	. . 3 $/\$ $/\$
71		iftrue 3584	. . . 4
72	71	adantl 277	. . 3 $/\$ $/\$
73	70, 72	eqtr4d 2243	. 2 $/\$ $/\$
74		zmodcl 10526	. . . . . . . . . . 11 $/\$
75	3, 74	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
76	75	nn0red 9384	. . . . . . . . 9 $/\$
77		1re 8106	. . . . . . . . 9
78		resubcl 8371	. . . . . . . . 9 $/\$
79	76, 77, 78	sylancl 413	. . . . . . . 8 $/\$
80	79	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
81	75	nn0zd 9528	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82		elnndc 9768	. . . . . . . . . . . 12 DECID
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ DECID
84		elnn0 9332	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$
85	75, 84	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$
86	85	ord 726	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
87		id 19	. . . . . . . . . . . . 13
88		dvdsval3 12217	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
89	87, 3, 88	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
90	86, 89	sylibrd 169	. . . . . . . . . . 11 $/\$
91		con1dc 858	. . . . . . . . . . 11 DECID
92	83, 90, 91	sylc 62	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	imp 124	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
94		nnm1nn0 9371	. . . . . . . . 9
95	93, 94	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
96	95	nn0ge0d 9386	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
97	13, 14	jca 306	. . . . . . . 8 $/\$
98	97	ad2antlr 489	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
99		divge0 8981	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
100	80, 96, 98, 99	syl21anc 1249	. . . . . 6 $/\$ $/\$
101	13	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
102	76	ltm1d 9040	. . . . . . . . . 10 $/\$
103		zq 9782	. . . . . . . . . . . . 13
104	3, 103	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
105	104	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
106		nnq 9789	. . . . . . . . . . . 12
107	106	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$
108	14	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$
109		modqlt 10515	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
110	105, 107, 108, 109	syl3anc 1250	. . . . . . . . . 10 $/\$
111	79, 76, 101, 102, 110	lttrd 8233	. . . . . . . . 9 $/\$
112	37	mulridd 8124	. . . . . . . . 9 $/\$
113	111, 112	breqtrrd 4087	. . . . . . . 8 $/\$
114		1red 8122	. . . . . . . . 9 $/\$
115		ltdivmul 8984	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
116	79, 114, 101, 108, 115	syl112anc 1254	. . . . . . . 8 $/\$
117	113, 116	mpbird 167	. . . . . . 7 $/\$
118	117	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
119		peano2zm 9445	. . . . . . . . . 10
120	81, 119	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$
121		znq 9780	. . . . . . . . 9 $/\$
122	120, 121	sylancom 420	. . . . . . . 8 $/\$
123		flqbi2 10471	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
124	64, 122, 123	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
125	124	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
126	100, 118, 125	mpbir2and 947	. . . . 5 $/\$ $/\$
127		modqval 10506	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
128	105, 107, 108, 127	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
129	128	oveq1d 5982	. . . . . . . . . . 11 $/\$
130	37, 65	mulcld 8128	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
131	45, 42, 130	sub32d 8450	. . . . . . . . . . 11 $/\$
132		pncan 8313	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	36, 41, 132	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134	133	oveq1d 5982	. . . . . . . . . . 11 $/\$
135	129, 131, 134	3eqtr2d 2246	. . . . . . . . . 10 $/\$
136	135	oveq1d 5982	. . . . . . . . 9 $/\$
137	36, 130, 37, 39	divsubdirapd 8938	. . . . . . . . 9 $/\$
138	65, 37, 39	divcanap3d 8903	. . . . . . . . . 10 $/\$
139	138	oveq2d 5983	. . . . . . . . 9 $/\$
140	136, 137, 139	3eqtrrd 2245	. . . . . . . 8 $/\$
141		zre 9411	. . . . . . . . . . 11
142		nndivre 9107	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	141, 142	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	recnd 8136	. . . . . . . . 9 $/\$
145		nndivre 9107	. . . . . . . . . . 11 $/\$
146	79, 145	sylancom 420	. . . . . . . . . 10 $/\$
147	146	recnd 8136	. . . . . . . . 9 $/\$
148	144, 65, 147	subaddd 8436	. . . . . . . 8 $/\$
149	140, 148	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$
150	149	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
151	150	fveq2d 5603	. . . . 5 $/\$ $/\$
152	126, 151	eqtr3d 2242	. . . 4 $/\$ $/\$
153	65, 67	subeq0ad 8428	. . . . 5 $/\$
154	153	adantr 276	. . . 4 $/\$ $/\$
155	152, 154	mpbird 167	. . 3 $/\$ $/\$
156		iffalse 3587	. . . 4
157	156	adantl 277	. . 3 $/\$ $/\$
158	155, 157	eqtr4d 2243	. 2 $/\$ $/\$
159		simpr 110	. . . 4 $/\$
160		dvdsdc 12224	. . . 4 $/\$ DECID
161	159, 4, 160	syl2anc 411	. . 3 $/\$ DECID
162		exmiddc 838	. . 3 DECID $\/$
163	161, 162	syl 14	. 2 $/\$ $\/$
164	73, 158, 163	mpjaodan 800	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 710 DECID wdc 836

wceq 1373

wcel 2178

wne 2378

cif 3579 class class class wbr 4059

cfv 5290 (class class class)co 5967

cc 7958

cr 7959

cc0 7960

c1 7961

caddc 7963

cmul 7965

clt 8142

cle 8143

cmin 8278 # cap 8689

cdiv 8780

cn 9071

cn0 9330

cz 9407

cq 9775

cfl 10448

cmo 10504

cdvds 12213

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 711 ax-5 1471 ax-7 1472 ax-gen 1473 ax-ie1 1517 ax-ie2 1518 ax-8 1528 ax-10 1529 ax-11 1530 ax-i12 1531 ax-bndl 1533 ax-4 1534 ax-17 1550 ax-i9 1554 ax-ial 1558 ax-i5r 1559 ax-13 2180 ax-14 2181 ax-ext 2189 ax-sep 4178 ax-pow 4234 ax-pr 4269 ax-un 4498 ax-setind 4603 ax-cnex 8051 ax-resscn 8052 ax-1cn 8053 ax-1re 8054 ax-icn 8055 ax-addcl 8056 ax-addrcl 8057 ax-mulcl 8058 ax-mulrcl 8059 ax-addcom 8060 ax-mulcom 8061 ax-addass 8062 ax-mulass 8063 ax-distr 8064 ax-i2m1 8065 ax-0lt1 8066 ax-1rid 8067 ax-0id 8068 ax-rnegex 8069 ax-precex 8070 ax-cnre 8071 ax-pre-ltirr 8072 ax-pre-ltwlin 8073 ax-pre-lttrn 8074 ax-pre-apti 8075 ax-pre-ltadd 8076 ax-pre-mulgt0 8077 ax-pre-mulext 8078 ax-arch 8079

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 833 df-dc 837 df-3or 982 df-3an 983 df-tru 1376 df-fal 1379 df-nf 1485 df-sb 1787 df-eu 2058 df-mo 2059 df-clab 2194 df-cleq 2200 df-clel 2203 df-nfc 2339 df-ne 2379 df-nel 2474 df-ral 2491 df-rex 2492 df-reu 2493 df-rmo 2494 df-rab 2495 df-v 2778 df-sbc 3006 df-csb 3102 df-dif 3176 df-un 3178 df-in 3180 df-ss 3187 df-if 3580 df-pw 3628 df-sn 3649 df-pr 3650 df-op 3652 df-uni 3865 df-int 3900 df-iun 3943 df-br 4060 df-opab 4122 df-mpt 4123 df-id 4358 df-po 4361 df-iso 4362 df-xp 4699 df-rel 4700 df-cnv 4701 df-co 4702 df-dm 4703 df-rn 4704 df-res 4705 df-ima 4706 df-iota 5251 df-fun 5292 df-fn 5293 df-f 5294 df-fv 5298 df-riota 5922 df-ov 5970 df-oprab 5971 df-mpo 5972 df-1st 6249 df-2nd 6250 df-pnf 8144 df-mnf 8145 df-xr 8146 df-ltxr 8147 df-le 8148 df-sub 8280 df-neg 8281 df-reap 8683 df-ap 8690 df-div 8781 df-inn 9072 df-n0 9331 df-z 9408 df-uz 9684 df-q 9776 df-rp 9811 df-fl 10450 df-mod 10505 df-dvds 12214

This theorem is referenced by: pcfac 12788

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