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Theorem fldivp1 12920

Description: The difference between the floors of adjacent fractions is either 1 or 0. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
fldivp1	$/\$

**Proof of Theorem fldivp1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9497	. . . . . . . . 9
2		nnne0 9170	. . . . . . . . 9
3		peano2z 9514	. . . . . . . . . 10
4	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
5		dvdsval2 12350	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
6	1, 2, 4, 5	syl2an23an 1335	. . . . . . . 8 $/\$
7	6	biimpa 296	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
8		flid 10543	. . . . . . 7
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$
10		nnm1nn0 9442	. . . . . . . . . 10
11	10	nn0red 9455	. . . . . . . . 9
12	10	nn0ge0d 9457	. . . . . . . . 9
13		nnre 9149	. . . . . . . . 9
14		nngt0 9167	. . . . . . . . 9
15		divge0 9052	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
16	11, 12, 13, 14, 15	syl22anc 1274	. . . . . . . 8
17	16	ad2antlr 489	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
18	13	ltm1d 9111	. . . . . . . . . 10
19		nncn 9150	. . . . . . . . . . 11
20	19	mulridd 8195	. . . . . . . . . 10
21	18, 20	breqtrrd 4116	. . . . . . . . 9
22		1red 8193	. . . . . . . . . 10
23		ltdivmul 9055	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
24	11, 22, 13, 14, 23	syl112anc 1277	. . . . . . . . 9
25	21, 24	mpbird 167	. . . . . . . 8
26	25	ad2antlr 489	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
27	10	nn0zd 9599	. . . . . . . . . 10
28		znq 9857	. . . . . . . . . 10 $/\$
29	27, 28	mpancom 422	. . . . . . . . 9
30	29	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
31		flqbi2 10550	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
32	7, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
33	17, 26, 32	mpbir2and 952	. . . . . 6 $/\$ $/\$
34	9, 33	eqtr4d 2267	. . . . 5 $/\$ $/\$
35		zcn 9483	. . . . . . . . . 10
36	35	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
37	19	adantl 277	. . . . . . . . 9 $/\$
38		nnap0 9171	. . . . . . . . . 10 #
39	38	adantl 277	. . . . . . . . 9 $/\$ #
40	36, 37, 37, 39	divdirapd 9008	. . . . . . . 8 $/\$
41		ax-1cn 8124	. . . . . . . . . . . 12
42	41	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$
43	36, 42, 37	ppncand 8529	. . . . . . . . . 10 $/\$
44	43	oveq1d 6032	. . . . . . . . 9 $/\$
45	4	zcnd 9602	. . . . . . . . . 10 $/\$
46		subcl 8377	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
47	19, 41, 46	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
49	45, 48, 37, 39	divdirapd 9008	. . . . . . . . 9 $/\$
50	44, 49	eqtr3d 2266	. . . . . . . 8 $/\$
51	37, 39	dividapd 8965	. . . . . . . . 9 $/\$
52	51	oveq2d 6033	. . . . . . . 8 $/\$
53	40, 50, 52	3eqtr3d 2272	. . . . . . 7 $/\$
54	53	fveq2d 5643	. . . . . 6 $/\$
55	54	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$
56		znq 9857	. . . . . . 7 $/\$
57		1z 9504	. . . . . . 7
58		flqaddz 10556	. . . . . . 7 $/\$
59	56, 57, 58	sylancl 413	. . . . . 6 $/\$
60	59	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$
61	34, 55, 60	3eqtrrd 2269	. . . 4 $/\$ $/\$
62		znq 9857	. . . . . . . . 9 $/\$
63	3, 62	sylan 283	. . . . . . . 8 $/\$
64	63	flqcld 10536	. . . . . . 7 $/\$
65	64	zcnd 9602	. . . . . 6 $/\$
66	56	flqcld 10536	. . . . . . 7 $/\$
67	66	zcnd 9602	. . . . . 6 $/\$
68	65, 67, 42	subaddd 8507	. . . . 5 $/\$
69	68	adantr 276	. . . 4 $/\$ $/\$
70	61, 69	mpbird 167	. . 3 $/\$ $/\$
71		iftrue 3610	. . . 4
72	71	adantl 277	. . 3 $/\$ $/\$
73	70, 72	eqtr4d 2267	. 2 $/\$ $/\$
74		zmodcl 10605	. . . . . . . . . . 11 $/\$
75	3, 74	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
76	75	nn0red 9455	. . . . . . . . 9 $/\$
77		1re 8177	. . . . . . . . 9
78		resubcl 8442	. . . . . . . . 9 $/\$
79	76, 77, 78	sylancl 413	. . . . . . . 8 $/\$
80	79	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
81	75	nn0zd 9599	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82		elnndc 9845	. . . . . . . . . . . 12 DECID
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ DECID
84		elnn0 9403	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$
85	75, 84	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$
86	85	ord 731	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
87		id 19	. . . . . . . . . . . . 13
88		dvdsval3 12351	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
89	87, 3, 88	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
90	86, 89	sylibrd 169	. . . . . . . . . . 11 $/\$
91		con1dc 863	. . . . . . . . . . 11 DECID
92	83, 90, 91	sylc 62	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	imp 124	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
94		nnm1nn0 9442	. . . . . . . . 9
95	93, 94	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
96	95	nn0ge0d 9457	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
97	13, 14	jca 306	. . . . . . . 8 $/\$
98	97	ad2antlr 489	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
99		divge0 9052	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
100	80, 96, 98, 99	syl21anc 1272	. . . . . 6 $/\$ $/\$
101	13	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
102	76	ltm1d 9111	. . . . . . . . . 10 $/\$
103		zq 9859	. . . . . . . . . . . . 13
104	3, 103	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
105	104	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
106		nnq 9866	. . . . . . . . . . . 12
107	106	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$
108	14	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$
109		modqlt 10594	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
110	105, 107, 108, 109	syl3anc 1273	. . . . . . . . . 10 $/\$
111	79, 76, 101, 102, 110	lttrd 8304	. . . . . . . . 9 $/\$
112	37	mulridd 8195	. . . . . . . . 9 $/\$
113	111, 112	breqtrrd 4116	. . . . . . . 8 $/\$
114		1red 8193	. . . . . . . . 9 $/\$
115		ltdivmul 9055	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
116	79, 114, 101, 108, 115	syl112anc 1277	. . . . . . . 8 $/\$
117	113, 116	mpbird 167	. . . . . . 7 $/\$
118	117	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
119		peano2zm 9516	. . . . . . . . . 10
120	81, 119	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$
121		znq 9857	. . . . . . . . 9 $/\$
122	120, 121	sylancom 420	. . . . . . . 8 $/\$
123		flqbi2 10550	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
124	64, 122, 123	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
125	124	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
126	100, 118, 125	mpbir2and 952	. . . . 5 $/\$ $/\$
127		modqval 10585	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
128	105, 107, 108, 127	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
129	128	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . 11 $/\$
130	37, 65	mulcld 8199	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
131	45, 42, 130	sub32d 8521	. . . . . . . . . . 11 $/\$
132		pncan 8384	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	36, 41, 132	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134	133	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . 11 $/\$
135	129, 131, 134	3eqtr2d 2270	. . . . . . . . . 10 $/\$
136	135	oveq1d 6032	. . . . . . . . 9 $/\$
137	36, 130, 37, 39	divsubdirapd 9009	. . . . . . . . 9 $/\$
138	65, 37, 39	divcanap3d 8974	. . . . . . . . . 10 $/\$
139	138	oveq2d 6033	. . . . . . . . 9 $/\$
140	136, 137, 139	3eqtrrd 2269	. . . . . . . 8 $/\$
141		zre 9482	. . . . . . . . . . 11
142		nndivre 9178	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	141, 142	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	recnd 8207	. . . . . . . . 9 $/\$
145		nndivre 9178	. . . . . . . . . . 11 $/\$
146	79, 145	sylancom 420	. . . . . . . . . 10 $/\$
147	146	recnd 8207	. . . . . . . . 9 $/\$
148	144, 65, 147	subaddd 8507	. . . . . . . 8 $/\$
149	140, 148	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$
150	149	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
151	150	fveq2d 5643	. . . . 5 $/\$ $/\$
152	126, 151	eqtr3d 2266	. . . 4 $/\$ $/\$
153	65, 67	subeq0ad 8499	. . . . 5 $/\$
154	153	adantr 276	. . . 4 $/\$ $/\$
155	152, 154	mpbird 167	. . 3 $/\$ $/\$
156		iffalse 3613	. . . 4
157	156	adantl 277	. . 3 $/\$ $/\$
158	155, 157	eqtr4d 2267	. 2 $/\$ $/\$
159		simpr 110	. . . 4 $/\$
160		dvdsdc 12358	. . . 4 $/\$ DECID
161	159, 4, 160	syl2anc 411	. . 3 $/\$ DECID
162		exmiddc 843	. . 3 DECID $\/$
163	161, 162	syl 14	. 2 $/\$ $\/$
164	73, 158, 163	mpjaodan 805	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 715 DECID wdc 841

wceq 1397

wcel 2202

wne 2402

cif 3605 class class class wbr 4088

cfv 5326 (class class class)co 6017

cc 8029

cr 8030

cc0 8031

c1 8032

caddc 8034

cmul 8036

clt 8213

cle 8214

cmin 8349 # cap 8760

cdiv 8851

cn 9142

cn0 9401

cz 9478

cq 9852

cfl 10527

cmo 10583

cdvds 12347

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-sep 4207 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-cnex 8122 ax-resscn 8123 ax-1cn 8124 ax-1re 8125 ax-icn 8126 ax-addcl 8127 ax-addrcl 8128 ax-mulcl 8129 ax-mulrcl 8130 ax-addcom 8131 ax-mulcom 8132 ax-addass 8133 ax-mulass 8134 ax-distr 8135 ax-i2m1 8136 ax-0lt1 8137 ax-1rid 8138 ax-0id 8139 ax-rnegex 8140 ax-precex 8141 ax-cnre 8142 ax-pre-ltirr 8143 ax-pre-ltwlin 8144 ax-pre-lttrn 8145 ax-pre-apti 8146 ax-pre-ltadd 8147 ax-pre-mulgt0 8148 ax-pre-mulext 8149 ax-arch 8150

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 838 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-nel 2498 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rmo 2518 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-csb 3128 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-if 3606 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-int 3929 df-iun 3972 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-id 4390 df-po 4393 df-iso 4394 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-fv 5334 df-riota 5970 df-ov 6020 df-oprab 6021 df-mpo 6022 df-1st 6302 df-2nd 6303 df-pnf 8215 df-mnf 8216 df-xr 8217 df-ltxr 8218 df-le 8219 df-sub 8351 df-neg 8352 df-reap 8754 df-ap 8761 df-div 8852 df-inn 9143 df-n0 9402 df-z 9479 df-uz 9755 df-q 9853 df-rp 9888 df-fl 10529 df-mod 10584 df-dvds 12348

This theorem is referenced by: pcfac 12922

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