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Theorem fldivp1 12911

Description: The difference between the floors of adjacent fractions is either 1 or 0. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
fldivp1	$/\$

**Proof of Theorem fldivp1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9488	. . . . . . . . 9
2		nnne0 9161	. . . . . . . . 9
3		peano2z 9505	. . . . . . . . . 10
4	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
5		dvdsval2 12341	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
6	1, 2, 4, 5	syl2an23an 1333	. . . . . . . 8 $/\$
7	6	biimpa 296	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
8		flid 10534	. . . . . . 7
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$
10		nnm1nn0 9433	. . . . . . . . . 10
11	10	nn0red 9446	. . . . . . . . 9
12	10	nn0ge0d 9448	. . . . . . . . 9
13		nnre 9140	. . . . . . . . 9
14		nngt0 9158	. . . . . . . . 9
15		divge0 9043	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
16	11, 12, 13, 14, 15	syl22anc 1272	. . . . . . . 8
17	16	ad2antlr 489	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
18	13	ltm1d 9102	. . . . . . . . . 10
19		nncn 9141	. . . . . . . . . . 11
20	19	mulridd 8186	. . . . . . . . . 10
21	18, 20	breqtrrd 4114	. . . . . . . . 9
22		1red 8184	. . . . . . . . . 10
23		ltdivmul 9046	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
24	11, 22, 13, 14, 23	syl112anc 1275	. . . . . . . . 9
25	21, 24	mpbird 167	. . . . . . . 8
26	25	ad2antlr 489	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
27	10	nn0zd 9590	. . . . . . . . . 10
28		znq 9848	. . . . . . . . . 10 $/\$
29	27, 28	mpancom 422	. . . . . . . . 9
30	29	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
31		flqbi2 10541	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
32	7, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
33	17, 26, 32	mpbir2and 950	. . . . . 6 $/\$ $/\$
34	9, 33	eqtr4d 2265	. . . . 5 $/\$ $/\$
35		zcn 9474	. . . . . . . . . 10
36	35	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
37	19	adantl 277	. . . . . . . . 9 $/\$
38		nnap0 9162	. . . . . . . . . 10 #
39	38	adantl 277	. . . . . . . . 9 $/\$ #
40	36, 37, 37, 39	divdirapd 8999	. . . . . . . 8 $/\$
41		ax-1cn 8115	. . . . . . . . . . . 12
42	41	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$
43	36, 42, 37	ppncand 8520	. . . . . . . . . 10 $/\$
44	43	oveq1d 6028	. . . . . . . . 9 $/\$
45	4	zcnd 9593	. . . . . . . . . 10 $/\$
46		subcl 8368	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
47	19, 41, 46	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
49	45, 48, 37, 39	divdirapd 8999	. . . . . . . . 9 $/\$
50	44, 49	eqtr3d 2264	. . . . . . . 8 $/\$
51	37, 39	dividapd 8956	. . . . . . . . 9 $/\$
52	51	oveq2d 6029	. . . . . . . 8 $/\$
53	40, 50, 52	3eqtr3d 2270	. . . . . . 7 $/\$
54	53	fveq2d 5639	. . . . . 6 $/\$
55	54	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$
56		znq 9848	. . . . . . 7 $/\$
57		1z 9495	. . . . . . 7
58		flqaddz 10547	. . . . . . 7 $/\$
59	56, 57, 58	sylancl 413	. . . . . 6 $/\$
60	59	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$
61	34, 55, 60	3eqtrrd 2267	. . . 4 $/\$ $/\$
62		znq 9848	. . . . . . . . 9 $/\$
63	3, 62	sylan 283	. . . . . . . 8 $/\$
64	63	flqcld 10527	. . . . . . 7 $/\$
65	64	zcnd 9593	. . . . . 6 $/\$
66	56	flqcld 10527	. . . . . . 7 $/\$
67	66	zcnd 9593	. . . . . 6 $/\$
68	65, 67, 42	subaddd 8498	. . . . 5 $/\$
69	68	adantr 276	. . . 4 $/\$ $/\$
70	61, 69	mpbird 167	. . 3 $/\$ $/\$
71		iftrue 3608	. . . 4
72	71	adantl 277	. . 3 $/\$ $/\$
73	70, 72	eqtr4d 2265	. 2 $/\$ $/\$
74		zmodcl 10596	. . . . . . . . . . 11 $/\$
75	3, 74	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
76	75	nn0red 9446	. . . . . . . . 9 $/\$
77		1re 8168	. . . . . . . . 9
78		resubcl 8433	. . . . . . . . 9 $/\$
79	76, 77, 78	sylancl 413	. . . . . . . 8 $/\$
80	79	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
81	75	nn0zd 9590	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82		elnndc 9836	. . . . . . . . . . . 12 DECID
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ DECID
84		elnn0 9394	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$
85	75, 84	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$
86	85	ord 729	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
87		id 19	. . . . . . . . . . . . 13
88		dvdsval3 12342	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
89	87, 3, 88	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
90	86, 89	sylibrd 169	. . . . . . . . . . 11 $/\$
91		con1dc 861	. . . . . . . . . . 11 DECID
92	83, 90, 91	sylc 62	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	imp 124	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
94		nnm1nn0 9433	. . . . . . . . 9
95	93, 94	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
96	95	nn0ge0d 9448	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
97	13, 14	jca 306	. . . . . . . 8 $/\$
98	97	ad2antlr 489	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
99		divge0 9043	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
100	80, 96, 98, 99	syl21anc 1270	. . . . . 6 $/\$ $/\$
101	13	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
102	76	ltm1d 9102	. . . . . . . . . 10 $/\$
103		zq 9850	. . . . . . . . . . . . 13
104	3, 103	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
105	104	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
106		nnq 9857	. . . . . . . . . . . 12
107	106	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$
108	14	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$
109		modqlt 10585	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
110	105, 107, 108, 109	syl3anc 1271	. . . . . . . . . 10 $/\$
111	79, 76, 101, 102, 110	lttrd 8295	. . . . . . . . 9 $/\$
112	37	mulridd 8186	. . . . . . . . 9 $/\$
113	111, 112	breqtrrd 4114	. . . . . . . 8 $/\$
114		1red 8184	. . . . . . . . 9 $/\$
115		ltdivmul 9046	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
116	79, 114, 101, 108, 115	syl112anc 1275	. . . . . . . 8 $/\$
117	113, 116	mpbird 167	. . . . . . 7 $/\$
118	117	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
119		peano2zm 9507	. . . . . . . . . 10
120	81, 119	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$
121		znq 9848	. . . . . . . . 9 $/\$
122	120, 121	sylancom 420	. . . . . . . 8 $/\$
123		flqbi2 10541	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
124	64, 122, 123	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
125	124	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
126	100, 118, 125	mpbir2and 950	. . . . 5 $/\$ $/\$
127		modqval 10576	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
128	105, 107, 108, 127	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
129	128	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . 11 $/\$
130	37, 65	mulcld 8190	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
131	45, 42, 130	sub32d 8512	. . . . . . . . . . 11 $/\$
132		pncan 8375	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	36, 41, 132	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134	133	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . 11 $/\$
135	129, 131, 134	3eqtr2d 2268	. . . . . . . . . 10 $/\$
136	135	oveq1d 6028	. . . . . . . . 9 $/\$
137	36, 130, 37, 39	divsubdirapd 9000	. . . . . . . . 9 $/\$
138	65, 37, 39	divcanap3d 8965	. . . . . . . . . 10 $/\$
139	138	oveq2d 6029	. . . . . . . . 9 $/\$
140	136, 137, 139	3eqtrrd 2267	. . . . . . . 8 $/\$
141		zre 9473	. . . . . . . . . . 11
142		nndivre 9169	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	141, 142	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	recnd 8198	. . . . . . . . 9 $/\$
145		nndivre 9169	. . . . . . . . . . 11 $/\$
146	79, 145	sylancom 420	. . . . . . . . . 10 $/\$
147	146	recnd 8198	. . . . . . . . 9 $/\$
148	144, 65, 147	subaddd 8498	. . . . . . . 8 $/\$
149	140, 148	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$
150	149	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
151	150	fveq2d 5639	. . . . 5 $/\$ $/\$
152	126, 151	eqtr3d 2264	. . . 4 $/\$ $/\$
153	65, 67	subeq0ad 8490	. . . . 5 $/\$
154	153	adantr 276	. . . 4 $/\$ $/\$
155	152, 154	mpbird 167	. . 3 $/\$ $/\$
156		iffalse 3611	. . . 4
157	156	adantl 277	. . 3 $/\$ $/\$
158	155, 157	eqtr4d 2265	. 2 $/\$ $/\$
159		simpr 110	. . . 4 $/\$
160		dvdsdc 12349	. . . 4 $/\$ DECID
161	159, 4, 160	syl2anc 411	. . 3 $/\$ DECID
162		exmiddc 841	. . 3 DECID $\/$
163	161, 162	syl 14	. 2 $/\$ $\/$
164	73, 158, 163	mpjaodan 803	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 713 DECID wdc 839

wceq 1395

wcel 2200

wne 2400

cif 3603 class class class wbr 4086

cfv 5324 (class class class)co 6013

cc 8020

cr 8021

cc0 8022

c1 8023

caddc 8025

cmul 8027

clt 8204

cle 8205

cmin 8340 # cap 8751

cdiv 8842

cn 9133

cn0 9392

cz 9469

cq 9843

cfl 10518

cmo 10574

cdvds 12338

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-sep 4205 ax-pow 4262 ax-pr 4297 ax-un 4528 ax-setind 4633 ax-cnex 8113 ax-resscn 8114 ax-1cn 8115 ax-1re 8116 ax-icn 8117 ax-addcl 8118 ax-addrcl 8119 ax-mulcl 8120 ax-mulrcl 8121 ax-addcom 8122 ax-mulcom 8123 ax-addass 8124 ax-mulass 8125 ax-distr 8126 ax-i2m1 8127 ax-0lt1 8128 ax-1rid 8129 ax-0id 8130 ax-rnegex 8131 ax-precex 8132 ax-cnre 8133 ax-pre-ltirr 8134 ax-pre-ltwlin 8135 ax-pre-lttrn 8136 ax-pre-apti 8137 ax-pre-ltadd 8138 ax-pre-mulgt0 8139 ax-pre-mulext 8140 ax-arch 8141

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 836 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2802 df-sbc 3030 df-csb 3126 df-dif 3200 df-un 3202 df-in 3204 df-ss 3211 df-if 3604 df-pw 3652 df-sn 3673 df-pr 3674 df-op 3676 df-uni 3892 df-int 3927 df-iun 3970 df-br 4087 df-opab 4149 df-mpt 4150 df-id 4388 df-po 4391 df-iso 4392 df-xp 4729 df-rel 4730 df-cnv 4731 df-co 4732 df-dm 4733 df-rn 4734 df-res 4735 df-ima 4736 df-iota 5284 df-fun 5326 df-fn 5327 df-f 5328 df-fv 5332 df-riota 5966 df-ov 6016 df-oprab 6017 df-mpo 6018 df-1st 6298 df-2nd 6299 df-pnf 8206 df-mnf 8207 df-xr 8208 df-ltxr 8209 df-le 8210 df-sub 8342 df-neg 8343 df-reap 8745 df-ap 8752 df-div 8843 df-inn 9134 df-n0 9393 df-z 9470 df-uz 9746 df-q 9844 df-rp 9879 df-fl 10520 df-mod 10575 df-dvds 12339

This theorem is referenced by: pcfac 12913

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